Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka musí byť zameraná na sprístupňovanie nového učiva (zavedenie nového pojmu, odvodenie novej vlastnosti pojmu, odvodenie vzorca, novej metódy riešenia a podobne). Zdieľanie príprav - dresa: http://lms.upjs.sk - Kurz: Matematika a didaktika matematiky - Kľúč: RSMstatnice2019 - Názov súboru: Statnice2019_Priezvisko_isloOkruhu.pdf - Termín: 10. marec 2019 Priebeh štátnice 1. Výber okruhu Študent si z okruhov, ktoré sú k dispozícii, náhodne vyberie jeden, ktorým bude jednoznačne zvolená: príprava na vyučovaciu jednotku - komisia určí, ktorú časť prípravy študent bude prezentovať; - Študent aj komisia majú k dispozícii vytlačenú resp. elektronickú prípravu študenta, ktorú vopred nahral do Moodlu. matematický nadhľad - Študent má preukázať, že má prehľad o kľúčových matematických myšlienkach, ktoré sú nadstavbou stredoškolskej matematiky a rozumie im. - Komisia špecifikuje, ktorú podotázku má študent zodpovedať. didaktický nadhľad - Študent má preukázať, že vníma dôležité princípy, ktoré je nutné brať do úvahy pri vyučovaní daného okruhu. 2. Výber otázky Konkrétna téma zo školskej matematiky Študent si náhodne vyberie otázku k okruhu zo školskej matematiky, ktorá má dve časti: a zverejnená otázka - Študent má preukázať, že mu je jasné, aké postavenie má daná otázka v školskej matematike, aké typy úloh má žiak zvládnuť (a že ich vie riešiť), aké sú ciele pri vyučovaní tejto témy, ako sa buduje predstava pojmu a podobne. - Komisia môže a nemusí zúžiť vybranú otázku (napr. pri operáciach s desatinnými číslami požiada študenta, aby sa venoval iba deleniu). - Komisia sa môže pýtať na veci súvisiace s danou otázkou (napr. pri otázke goniometrické funkcie požiada študenta o definíciu funkcie). b nezverejnená otázka - Študent má preukázať, že dokáže riešiť resp. formulovať typové úlohy zo školskej matematiky, posúdiť správnosť žiackeho riešenia. 3. Príprava na odpoveď (cca 30 minút) 4. i) ii) iii) Odpoveď študenta pred štátnicovou komisiou má tri časti: odpoveď na otázky,, (cca 10 minút) prezentácia časti prípravy (cca 15 minút) diskusia k príprave (cca 10 minút)
I. Číselné množiny Číselné obory ako algebraické štruktúry a vzťahy medzi nimi. Mohutnosť množín číselných oborov. Hustota množín číselných oborov. Zásady pri rozširovaní číselných množín. 1 Racionálne čísla - desatinné čísla a Operácie s desatinnými číslami - vhodný model a algoritmus. b Sformulujte slovnú úlohu, ktorej matematický model je číselný výraz 9,83 0,3. 2 Racionálne čísla - zlomky a Operácie so zlomkami - vhodné modely. b Žiakovi bola zadaná úloha na sčítanie zlomkov 2/7 a 4/5, ktorú nevie vyriešiť. Vymyslite 4 úlohy, o ktorých si myslíte, že by mu mohli pomôcť. Výber úloh odôvodnite. 3 elé čísla a Operácie s celými číslami - vhodné modely. b Sformulujte slovnú úlohu, ktorej matematický model je číselný výraz 3-5 + (-2). 4 Iracionálne čísla a Propedeutika pojmu iracionálne číslo vo vyučovaní matematiky na ZŠ. b Dokážte, že sin 45 o je iracionálne číslo. Zverejnené otázky RŠM 2
II. Množiny a výroky Princíp porovnávania mohutnosti nekonečných množín. Definície, axiómy, matematické vety a ich dôkazy. Dôkazy matematických viet, typy matematických dôkazov. Veta o matematickej indukcii - formulácia vety, myšlienka dôkazu, dôkaz vybraného tvrdenia matematickou indukciou Vyučovanie matematických dôkazov (ontogenéza argumentácie, ako učiť dôkazy). 1 Množiny a Operácie s množinami - možnosti vizualizácie. 2 Výroky a Kvantifikované výroky. Zložené výroky - reprezentácia pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt a pomocou Vennových diagramov. 3 Dôkaz v učive základnej školy a Rôzne prístupy k dôkazu Pytagorovej vety na základnej škole. 4 Dôkaz v učive strednej školy a Rôzne prístupy k dôkazu vybraného tvrdenia o deliteľnosti na strednej škole. Zverejnené otázky RŠM 3
III. Teória čísel Rôzne číselné sústavy, rozvinutý zápis čísla v rôznych číselných sústavách. Základná veta aritmetiky - formulácia tvrdenia, myšlienka dôkazu, počet deliteľov celého čísla. Prvočísla a zložené čísla, zvyškové triedy celých čísel. Euklidov algoritmus. Vyučovanie kritérií deliteľnosti (logická analýza učiva). 1 Kritéria deliteľnosti prirodzených čísel a Využitie kritérií deliteľnosti prirodzených čísel pri riešení slovných úloh. 2 Prvočísla a zložené čísla a lgoritmus na zisťovanie, či je číslo prvočíslo alebo zložené číslo na ZŠ a SŠ, Eratostenovo sito. 3 Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok prirodzených čísel a Využitie NSD a nsn pri riešení slovných úloh. Zverejnené otázky RŠM 4
IV. Mocniny, mnohočleny, lomené výrazy Základná veta algebry. Rozklad na ireducibilné činitele, korene polynómov nad R a - porovnanie. Mocniny s reálnym exponentom. Premenná (písmeno) v školskej matematike. 1 Mnohočleny - operácie a Operácie s mnohočlenmi - úlohy na upevňovanie učiva. 2 Mnohočleny - rozklad a Metódy riešenia úloh zameraných na rozklad mnohočlenov na súčin, na úpravu racionálnych lomených výrazov. Geometrická interpretácia vzorcov (a+b) 2, (a-b) 2, a 2 -b 2. 3 Mocniny a Operácie s mocninami - úlohy na upevňovanie učiva. Zverejnené otázky RŠM 5
V. Rovnice a nerovnice Lineárne kongruencie s jednou neznámou. Vlastnosti absolútnej hodnoty, dôkaz trojuholníkovej nerovnosti. Gaussova eliminačná metóda. Slovné úlohy vedúce k riešeniu rovníc - fázy riešenia slovnej úlohy. Geometrické, algebraické, aritmetické riešenie slovnej úlohy. 1 Lineárne rovnice a nerovnice, ekvivalentné úpravy a Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc, počet riešení lineárnej rovnice. 2 Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou a Metódy riešenia rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou. 3 Kvadratické rovnice a nerovnice a Metódy riešenia kvadratických rovníc a nerovníc. 4 Iracionálne rovnice a nerovnice, dôsledkové úpravy a Metódy riešenia iracionálnych rovníc a nerovníc. 5 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice a Metódy riešenia exponenciálnych a logaritmických rovníc a nerovníc. 6 Sústavy lineárnych rovníc a Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc. Zverejnené otázky RŠM 6
VI. Planimetria Skladanie zhodných zobrazení, grupa zhodností v rovine. Skladanie podobných zobrazení, grupa podobností v rovine. plikácia určitého integrálu - obsah kruhu a dĺžka kružnice. Etapy riešenia konštrukčných úloh. 1 Mnohouholníky a Súčet vnútorných uhlov v konvexnom mnohouholníku. Základné prvky niektorých mnohouholníkov (výška a ťažnica trojuholníka, uhlopriečka). 2 Kružnica a kruh a Odvodenie vzorcov pre obsah a obvod kruhu na ZŠ. 3 Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov a Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov - využitie pri riešení úloh zo školskej matematiky. 4 Euklidove vety a Využitie Euklidových viet pri riešení úloh. Dôkaz Euklidových viet. 5 Množiny bodov danej vlastnosti a Využitie množín danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh. 6 Zhodné zobrazenia a Využitie zhodných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh. 7 Podobné zobrazenia v rovine a Využitie podobných zobrazení pri riešení konštrukčných úloh. Zverejnené otázky RŠM 7
VII. Stereometria Vzájomná poloha podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Odchýlka podpriestorov afinného priestoru (analytická metóda). Vzdialenosť bodu od nadroviny (analytická metóda). plikácie určitého integrálu - objem rotačného telesa. Van Hieleho model rozvoja geometrického myslenia - vysvetlenie na konkrétnom pojme zo stereometrie. 1 Polohové vlastnosti útvarov v priestore a Veta o rovnobežnosti dvoch rovín - prípravné úlohy. 2 Rez telesa rovinou a Vzájomná poloha troch rovín - využitie pri zostrojovaní rezov. 3 Metrické vlastnosti útvarov v priestore - vzdialenosť a Vzdialenosť dvoch priamok v priestore (synteticky) - úlohy na upevňovanie učiva. 4 Objemy a povrchy telies a Objemy a povrchy vybraných telies - úlohy na aplikáciu učiva. Zverejnené otázky RŠM 8
VIII. nalytická geometria Parametrické vyjadrenie podpriestoru afinného priestoru. Všeobecná rovnica nadroviny. Vektorové priestory, báza vektorového priestoru. Súradnicová a vektorová metóda pri riešení úloh. Predstavy pojmu vektor. 1 Stredová rovnica kužeľosečiek a Stredová rovnica kružnice a elipsy - vstupné vedomosti a prípravné úlohy. 2 Parametrické vyjadrenie lineárnych útvarov v rovine a priestore a Parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky a úsečky - vstupné vedomosti a prípravné úlohy. 3 Všeobecná rovnica priamky a roviny a Všeobecná rovnica priamky a roviny - vstupné vedomosti a prípravné úlohy. Zverejnené otázky RŠM 9
IX. Elementárne funkcie, základné vlastnosti Limita funkcie, vzťah limity funkcie k spojitosti, typy nespojitosti funkcie. Vety o stredných hodnotách. Derivácia funkcie, neurčitý integrál, určitý integrál - definície. Vyšetrovanie priebehu funkcie s využitím diferenciálneho počtu. Rozvíjanie funkčného myslenia. 1 Lineárna, lineárna lomená, kvadratická, mocninová funkcia a Definície. Monotónnosť, párnosť a nepárnosť funkcie - prípravné úlohy. 2 Exponenciálna a logaritmická funkcia a Definície. Inverzná funkcia k danej funkcii - prípravné úlohy. 3 Goniometrické funkcie a Definície. Periodičnosť funkcie - prípravné úlohy. Zverejnené otázky RŠM 10
X. Goniometria Myšlienka aproximácie funkcií sínus a kosínus pomocou Taylorovho rozvoja. Sínusová a kosínusová veta analytický dôkaz. Postup pri zavedení goniometrických funkcií. 1 Goniometria pravouhlého trojuholníka a Funkcie sínus a kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku - vstupné vedomosti a prípravné úlohy. 2 Sínusova a kosínusova veta a Riešenie trojuholníka pomocou sínusovej a kosínusovej vety - úlohy na upevňovanie učiva. 3 Goniometrické rovnice a Metódy riešenia goniometrických rovníc. Zverejnené otázky RŠM 11
XI. Postupnosti a rady Konvergencia, monotónnosť a ohraničenosť postupnosti. Propedeutika pojmu limita 1 ritmetická postupnosť a ritmetická postupnosť - úlohy na osvojenie pojmu. 2 Geometrická postupnosť a Geometrická postupnosť - úlohy na aplikáciu učiva. 3 Nekonečný geometrický rad a Nekonečný geometrický rad - vstupné vedomosti a prípravné úlohy. Zverejnené otázky RŠM 12
XII. Kombinatorika Dirichletov princíp, princíp inklúzie a exklúzie (uviesť konkrétne úlohy a ich riešenie). Základné pojmy teórie grafov (graf, stromový graf, bipartitný graf, cesta v grafe, eulerovský graf, eulerovský ťah). Rozvíjanie kombinatorického myslenia. 1 Kombinácie, variácie, permutácie a Štyri typovo rôzne úlohy z kombinatoriky a ich riešenia pomocou výpisu možností. 2 inomická veta a Súvis binomickej vety s Pascalovým trojuholníkom a vlastnosťami kombinačných čísel. Zverejnené otázky RŠM 13
XIII. Pravdepodobnosť Distribučná funkcia. Podmienená pravdepodobnosť, ayesova formula. Normálne rozdelenie pravdepodobnosti. Miskoncepcie v pravdepodobnosti. 1 Klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti pravdepodobnosti a Vstupné vedomosti, prípravné úlohy - klasická definícia pravdepodobnosti, vlastnosti pravdepodobnosti. 2 Nezávislé javy, súčin pravdepodobností a Využitie stromového grafu vo vyučovaní pravdepodobnosti - konkrétna úloha. Zverejnené otázky RŠM 14
XIV. Štatistika harakteristiky polohy náhodnej veličiny (priemer, medián, modus, minimum, maximum, horný aj dolný kvartil, rozpätie, kvartilové rozpätie, smerodajná odchýlka, rozptyl). harakteristiky variability náhodnej veličiny. Otázky vhodné na štatistický prieskum (zamerať sa na rôzne štatistické súbory, jednotky, znaky). 1 harakteristiky polohy a Modus, medián, aritmetický priemer - úlohy na upevňovanie učiva. 2 harakteristiky variability a Rozptyl, odchýlka - prípravné úlohy. Zverejnené otázky RŠM 15