Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX
Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer matica M 3. Niektoré vlastnosti matice M 4. Chebyshevova identita 5. Prechod dvoma bariérami (elektrón, EM vlna) 6. Metastabilný stav Typeset by FoilTEX 1
Prechod rovinnej vlny cez pravouhlú bariéru Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a Ψ(x) = 8 >< >: Ae ikx + Be ikx x < a Fe ik x + Ge ik x a < x < a Ce ikx + De ikx a < x. (1) k = E, k = E V Typeset by FoilTEX 2
Máme teraz dva páry rovníc kontinuity x = a: e ika A +e +ika B = e ik a F +e +ik a G ke ika A ke +ika B = k e ik a F k e +ik a G (2) x = a: e +ika C +e ika D = e +ik a F +e ik a G ke +ika C ke ika D = k e +ik a F k e ik a G. (3) Riešime najprv ten druhý: F G = B @ k + k 2k e +i(k k )a k k 2k e i(k+k )a k k 2k e +i(k+k )a k + k 2k e i(k k )a 1 C A C D (4) Typeset by FoilTEX 3
Potom prvý: A B = B @ k + k 2k e i(k k)a k k k k 2k e i(k +k)a k + k 2k e+i(k +k)a 2k e+i(k k)a 1 C A F G (5) Predpokladajme teraz, že vlna sa šíri zl ava. Vpravo máme preto len vlnu postupujúcu doprava, D. t = C/A r = B/A. (6) Na rozdiel od potenciálového schodu máme teraz t 2 + r 2 = 1 Úloha: prečo? Úloha: Čo urobím, ak E = V? Potom totiž k =. Typeset by FoilTEX 4
Prípad E = V Ak E = V, tak k. Riešenie musíme hl adat zo Schrödingerovej rovnice, ktorá má tvar 2 Ψ(x) x 2 = (7) s riešením Ψ(x) = F + Gx. (8) Rovnice spojitosti sú preto komplikovanejšie: a teda e +ika C +e ika D = F +Ga ike +ika C ike ika D = G. G = ik e ika C e ika D (9) (1) Typeset by FoilTEX 5
Podobne F = e ika (1 ika)c + e ika (i + ika)d. (11) Rovnako musíme prepísat druhú dvojicu rovníc: e ika A +e +ika B = F Ga ike ika A ike +ika B = G. (12) Aby sme našli A = eika 2 [F + G(1 ika)/(ik)], B = e ika 2 [F G(1 + ika)/(ik)]. (13) Pozn. V poslednej rovnici sme uvažovali, že rozhranie je umiestnené v bode a. V obecnejšom prípade, kedy je rozhranie v bode a p, máme vzt ahy resp. F = e ikap (1 ika p )C + e ikap (i + ika p )D G = ik e ikap C e ikap D (14) A = e ik pa 2 ˆF + G(1 + ikap )/(ik), B = e+ika p 2 ˆF G(1 ikap )/(ik). (15) Typeset by FoilTEX 6
Prechod rovinnej vlny bariérou Transfer matica: C = M D A B M 11 = cos 2k a + i 2 M 12 = + i 2! k k + k sin 2k a k k k k k! sin 2k a, (16) (17) and M 22 = cos 2k a i 2 M 21 = i 2! k k + k sin 2k a k k k k k! sin 2k a. (18) Typeset by FoilTEX 7
Transmisia: T = t 2 = S 12 2 = 1 M 22 2. (19) T = 1 + 1 4 1 " # 2 (2) k k k sin 2 2k a. k Transmission coefficient T 1.8.6.4.2 β = 1 E > < E < V E > V V < V > -2-1 1 2 3 E / V Typeset by FoilTEX 8
Totálna transmisia T = 1 ak sin 2k a = t 1 r 2 r 1r 2 t 1e i4φ Ak 2k a = nπ, potom je vlnová dĺžka vo vnútri bariéry λ = 2π k = 4a (21) n resp. šírka bariéry l = 2a = n 2 λ. (22) t 1 r 2 t 1e i2φ r 1 t 1 r 2 r 1t 2 ei3φ t 1 t 2 eiφ Vlna sa v bariére mnohonásobne odráža. Ak l = nλ /2, potom sú všetky komponenty sú vo fáze. l Typeset by FoilTEX 9
Totálna transmisia T = 1 ak 2k a = 1 Real Ψ, Ψ 6 3 n = 1-3 -6-3 4-2 -1 1 2 3 2 n = 2-2 -4-3 -2-1 1 2 3 2 n = 5-2 -3-2 -1 1 2 3 x /a Typeset by FoilTEX 1
Tunelovanie cez bariéru 3 E < V k = i p E V = iκ Dosadím: 1 T = 1 + 1 " # 2 (23) k 4 k k sin 2 2k a. k Dostanem exponenciálny pokles transmisie: 1 T = 1 + 1 " # 2 (24) k 4 κ + κ sinh 2 2κ a. k Ψ, Ψ Real 2 1-1 β = 1 E =.95 V -2-3 -2-1 1 2 3 x /a Typeset by FoilTEX 11
Tunelovanie - prúd cez bariéru V bariére vlnová funkcia klesá exponenciálne. napriek tomu ňou musí tiect prúd, inak by častica nemala šancu tunelovat. Úloha: Nájdite prúd tečúci bariérou v procese tunelovania. j(x) = hi» Ψ(x) Ψ (x) 2m x Dosadíme Ψ(x) = Fe +κx + Ge κx a dostaneme Ψ (x) Ψ(x). (25) x j(x) = i hκ m ˆG F F G. (26) Naozaj prúd je nenulový. Samozrejme j(x) nezávisí od x a je rovný prúdu nal avo a napravo od bariéry. Úloha: dokážte toto tvrdenie. Typeset by FoilTEX 12
Viazané stavy Ak je V <, potom existujú viazané stavy s E < Najdeme ich l ahko: Pretože E < a k 2 = E, musí byt k = iκ. Ak κ >, potom vlna De ikx = De +κx nesmie existovat (x > ). Preto D. Rovnako Ae +ikx = Ae κx nesmie existovat (x < ). Preto A. Máme ale vzt ah medzi koeficientami A, B, C a D: C D = M A B C = M 11 A + M 12 B D = M 21 A + M 22 B (27) Druhá rovnica môže byt splnená, len ak B = (triviálne riešenie), alebo ak M 22 (k = iκ) =. (28) Typeset by FoilTEX 13
Dostali sme všeobecne platnú rovnicu pre výpočet viazaných stavov: M 22 (k = iκ) =. (29) Energia viazaného stavu: E b = κ 2. Riešeníe: v prípade potenciálovej bariéry M 22 (k) = cos2k a i 2! k k + k sin 2k a (3) k M 22 (k = iκ) = cos2k a + 1 2! κ k k sin2k a = (31) κ cot 2k a = 1 2 " # κ k k, k = κ q (E V ). (32) Teraz využijeme cot 2x = 1 2 (cot x tan x), Typeset by FoilTEX 14
Dostaneme dve vetvy riešení: alebo tan k a = κ k tan k a = k κ. (33) 8 4-4 β = 1 β = 1 β = 1-8 β = 1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 kp (k a) 2 + (κa) 2 = V a 2 = β 2 (34) Typeset by FoilTEX 15
or tan k a = 1 k a q β 2 (k a) 2 tan k k (35) a a = p β 2 (k a) 2. Energia viazaného stavu: E = V» 1 + 1β 2(k a) 2, (36) Úloha: Nájdi energie viazaných stavov v limite V. Vtedy tan k a = alebo tan k a =, preto k a = π 2 n a čo je výraz známy z učebnice QM. E = h2 (k a) 2 2m a 2 = h2 π 2 n 2 8mn 2 Typeset by FoilTEX 16
Vlnová funckia viazaných stavov n = 7 n = 6 n = 5 Ψ n (x) n = 4 n = 3 n = 2 n = 1-2 -1 1 2 x /a Typeset by FoilTEX 17
Viazané stavy elektromagnetickej vlny n=2 n=7 x z Ak má vrstva vyšší index lomu ako okolité prostredie, potom existuju viazané stavy - analógia s viazným stavom v kvantovej potenciálovej jame. Mimo vrstvy EM vlna exponenciálne klesá so vzdialenost ou. Vo vnútri vrstvy sa EM vlna širi rovnobežne s rozhraním (vlnovody). Typeset by FoilTEX 18
Prechod vlnového baĺıka bariérou Celková vlnová funkcia bude Z Ψ(x) = C d kp(k)φ k (x)e iet (37) Kde teraz φ k (x) = 8 >< >: Ae ikx + Be ikx x < a Fe ik x + Ge ik x a < x < a Ce ikx + De ikx a < x. (38) Samozrejme, A = A(k), B = B(k), atd. k = E, k = E V Typeset by FoilTEX 19
Prechod barierou V=3 a=1, k=2, var(k)=.1 Τ =.685 Ψ 2-1 -5 5 1 x Vlna sa mnohonásobne odráža od oboch rozhraní - preto odrazená vlna pozostáva z viacerých komponent. Typeset by FoilTEX 2
Prechod vlnového baĺıka bariérou Prechod barierou V=3 a=1, k=2, var(k)=.1 Τ =.685 Ψ 2-1 -5 5 1 x Detail Ψ(x) 2 v čase t = 12 (najspodnejšia krivka na predchádzajúcom obrázku). Typeset by FoilTEX 21
Rozptylová matica S Každý potenciál, ktorý je ohraničený v priestore na interval maticou. dĺžky l môžeme charakterizovat rozptylovou S = Ae +ikx Be ikx r t Fe +ik x Ge ik x E V x! t r B A = S F G S vyjadruje odchádzajúce vlny pomocou vchádzajúcich Vchádzajúca vlna alebo prejde, alebo sa odrazí. Preto B = r A + tg F = t (39) A + rg t, r, t, r amplitúdy prechodu (transmisie) a odrazu reflexie. (4) Typeset by FoilTEX 22
Transfer matica M... definuje lineárny vzt ah medzi vlnovými funkciami nal avo a napravo od prekážky. B = r A + tg F = t A + rg (41) Z týchto rovníc vyjadríme G = t 1 B t 1 r A F = t A + rt 1 B rt 1 r A Takže máme F G = M A B = t rt 1 r t 1 r rt 1 t 1! A B (42) je transfer matica. Výhoda transfer matice: súčin dvoch transfer matíc je opät transfer matica: M 12 = M 2 M 1 (43) Túto a iné vlastnosti transfer matice využijeme neskôr pri analýze zložitejšićh rozptylových procesov. Typeset by FoilTEX 23
Príklad I: Transfer matica vol ného priestoru dĺžky l M = e ik l @ eik l 1 A, (44) Typeset by FoilTEX 24
Príklad II: Rovinná vlna na rozhraní; elektrón Ae +ikx Fe +ik x Be ikx Ge ik x V (x) = j x < = V = const x > Riešenie Schrödingerovej rovnice: (45) E V h2 2m 2 Ψ + [V (x) E]Ψ =, (46) x2 x je vlnová funkcia Ψ(x) = ( ΨL (x) = Ae ikx + Be ikx k = E x < Ψ R (x) = Fe ik x + Ge ikx k = E V x > (47) Typeset by FoilTEX 25
Zo spojitosti Ψ(x) a Ψ(x)/ x na rozhraní x = dostaneme lineárne rovnice A + B = F + G k(a B) = k (F G) (48) z ktorých vyjadríme amplitúdy F G vĺn v jednom prostredí pomocou amplitúd v tom druhom: = 1 k + k k! k A F A 2k k k k = M + k B G B (49) alebo A B = 1 2k k + k k k k k k + k! F G A B = M F G (5) Inou možnost ou je vyjadrit vlny odchádzajúce od rozhrania pomocou B = 1 k k 2k! A B F k + k 2k k k G F vĺn vchádzajúcich: = S A G (51) Úloha: Ukážte, že M M = 1 Úloha: Ukážte, že det S = 1 Typeset by FoilTEX 26
Príklad III: Transfer matica pre potenciálovú bariéru Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a M bariéra = M schod M M 1 schod. (52) F G = B @ k + k 2k k k 2k k k 2k k + k 2k 1 C A A B F G = M schod A B (53) Typeset by FoilTEX 27
Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a M bariéra = M schod M M 1 schod. (54) k + k k 1 k C = B 2k D @ 2k C F C A = [M G D schod ] 1 F (55) G Takže je naozaj M bariera = M schod k k 2k @ eik l k + k 2k e ik l 1 A [M schod ] 1 (56) Typeset by FoilTEX 28
Chebyshevova identita Matematická identita: Majme maticu M a b M = c d. (57) det M=1, vlastné hodnoty sú λ 1 = e iql a λ 2 = e iql. (58) Potom N-tá mocnina M N M N a b = = c d Kde U N je dané vzt ahom aun 1 U N 2 bu N 1 cu N 1 du N 1 U N 2. (59) U N = sin(n + 1)ql, Tr M = λ 1 + λ 2 = 2 cos ql. U 1 =, U = 1. (6) sin ql Typeset by FoilTEX 29
Význam Chebyshevovej identity Analyzujme prechod cez N rovnakých prekážok. Ak poznáme M pre jednu prekážku, tak výsledná transfer matica je M N. Transmisia cez jednu prekážku je T = t 2 = t 2 t 2 + r 2 = 1 1 + r 2 t 2 (61) ( t 2 + r 2 = 1). Ďalej máme M 12 = r t, (62) so that the transmission through a single barrier is T 1 = 1 1 + M 12 2. (63) Typeset by FoilTEX 3
1 T N = 1 + M 12 2 U N 1 2. (64) T N = 1 + r 2 t 2 1 sin 2, Nql sin 2 ql (65) Takže zo znalosti vlastností jedinej prekážky okamžite vieme nájst transmisiu cez l ubovol ný pčet rovnakých prekážok. Typeset by FoilTEX 31