Matematika v 17. a 18. storočí História matematiky Ingrid Semanišinová
4 etapy vývoja matematiky 1. Obdobie tvorby elementárnych poznatkov (do 6. storočia pred n.l) Matematika je veda o číslach 2. Obdobie matematiky konštantných veličín a) Obdobie tvorenia matematiky ako vedy v Grécku (6 až 4. storočie pred n. l.) b) Obdobie elementárnej matematiky v stredoveku (v Európe do konca 16. storočia) Matematika je veda o číslach a tvaroch 3. Obdobie premenných veličín (17. zač. 19. storočia) Matematika je veda o číslach, tvaroch, o pohybe, zmene, o priestore, o matematických postupoch 4. Obdobie matematiky zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov (od polovice 19. storočia) Matematika je veda o štruktúrach
Numerické výpočty Napier 16. 17. storočie prudký rozvoj vedy, techniky, remesiel, obchodu Potreba nových matematických prostriedkov na spracovanie pozorovaním a experimentmi získaných číselných údajov. Napier Napierove paličky
Napierove paličky
Napierove paličky
Napierove paličky
Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs Úsilie zrýchliť a zjednodušiť numerické výpočty zavedenie logaritmov Hlavná myšlienka prevedenie násobenia a delenia na sčítanie a odčítanie x 0 1 2 3 4 5 6 10 x 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 100 1000 2 + 3 = 5 100 000 87 985 log 87 + log 985 = log (87 985) Potrebujem doplniť horný riadok tabuľky, aby sme vedeli násobiť ľubovoľné čísla, nielen mocniny 10. x 1 10 100 1000 10000 100 000 1 000 000 log x 0 1 2 3 4 5 6
Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs
Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs Stifel 1544 porovnávanie geometrickej a aritmetickej postupnosti. Burgi 1611- logaritmy so základom približne e. Napier 1614 vydal dielo Mirifici logarithmorum canonis descriptio obsahuje tabuľky logaritmov so základom približne 1/e. Briggs 1617 osemmiestne tabuľky logaritmov so základom 10 pre čísla od 1 do 1000, v r. 1624 štrnásťmiestne od 1 do 20000. Oughtred 1623 logaritmické pravítko
Logaritmické pravítko Najvýznamnejšia výpočtová pomôcka v dobe medzi počítadlom a kalkulačkou
Galileo Galilei (1564-1642) Študoval v Pise medicínu, zaujíma sa o prírodné vedy, prednáša na univerzitách v Pise a v Padove. 1613 spor s cirkvou. 1633 úplná izolácia.
Galileo Galilei (1564-1642)
Galileo Galilei (1564-1642) 1638 dielo Rozpravy a matematické dôkazy mechanika a lokálny pohyb, nový prístup ku skúmaniu pohybu: 1. Realizácia experimentov cieľ opísať pohyb (nie vysvetliť). 2. Zameral sa na 3 veličiny (dráha, čas, rýchlosť), zo skúmania vylúčil silu. 3. Uvedomil si, že nosným pojmom je okamžitá rýchlosť nekonečne malá dráha prejdená za nekonečne malý čas. Nekonečne malú veličinu skúma Galileo na viacerých príkladoch vstupná brána do infinitezimálneho počtu.
Galileo Galilei (1564-1642) Dané sú dva sústredné, pevne zlepené kruhy. Väčší sa valí po priamke a. Pri jednej obrátke prejde úsečku AA1. Je zrejmé, že vtedy rovnako dlhú úsečku BB1 prejde menší kruh. Ale jeho obvod je menší, mal by teda prejsť menej? Ako je to možné? Galileo: Vlastnosti rovnosti a nerovnosti nemožno použiť tam, kde ide o nekonečnosť.
Johannes Keppler (1571-1630) Od r. 1598 Asistent Tycha de Brahe 1601 1611 Dvorný matematik Rudolfa II Matematicky presne vyjadril zákony o pohybe planét (využil merania Tycho de Brahe): 1. Planéty obiehajú okolo Slnka po eliptických dráhach a Slnko leží v jednom z dvoch ohnisiek elipsy. 2. Pri pohybe planéty okolo Slnka opíše sprievodič planéty (spojnica Slnka a planéty) za rovnaký časový interval rovnakú plochu. 3. Pri pohybe planéty okolo Slnka je tretia mocnina hlavnej poloosi eliptickej dráhy planéty priamo úmerná druhej mocnine jej obežnej doby.
Johannes Keppler (1571-1630) Keplerov model, ktorý poukazuje na vzťah medzi planétami a Platónskymi telesami Keplerova planetárna teória. V súvislosti s tým skúmal aj vlastnosti pravidelných mnohouholníkov.
Kepler Harmonices Mundi (1619)
Johannes Keppler (1571-1630) 1615 dielo Nová stereometria vínnych sudov súbor 87 výpočtov objemov rotačných telies vytvorených rotáciou oblúka kužeľosečky. Sústreďuje sa na získanie výsledku používa sekanie telies na nekonečne tenké listy a plôch na nekonečne tenké trojuholníčky, obdĺžničky, resp. iné jednorozmerné útvary
Keplerova metóda Objem torusu kruh sa otáča okolo osi o ležiacej v rovine kruhu k, pričom So =a>b. Torus nakrájame na tenučké zošikmené valce, ktoré poukladáme na seba vznikne valec s výškou 2πa a polomerom b.
Keplerova metóda Objem torusu kruh sa otáča okolo osi o ležiacej v rovine kruhu k, pričom So =a>b. Torus nakrájame na tenučké zošikmené valce, ktoré poukladáme na seba vznikne valec s výškou 2πa a polomerom b. Obsah kruhu Kružnicu rozdelíme na toľko častí, koľko má bodov, teda nekonečne veľa. Na každú časť pozeráme ako na základňu rovnoramenného trojuholníka s výškou r. Kružnicu rozvinieme do úsečky KL. Trojuholník ABS prejde do A B S. Všetky takéto trojuholníky tvoria trojuholník KLS.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Žiak Galilea Galileiho 1635 Geometria nedeliteľných Cavalieriho princíp Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá s ňou rovnobežná rovina pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakými obsahmi, tak majú tieto telesá rovnaký objem.
Ján Evangelista Torricelli (1608-1647) Žiak Galileiho, priateľ Cavalieriho 1644 Opera Geometrica zdokonalil Cavalieriho metódu. Určil objem nekonečne dlhého telesa, ktoré vznikne rotáciou hyperboly okolo jej asymptoty. Našiel teda neohraničené teleso s konečným objemom. Slabinou celého obdobia bolo nevyjasnenosť pojmu nedeliteľný a absencia univerzálnych postupov.
Fylogenéza funkčného myslenia I 1. Človek si uvedomuje a (diskrétne) eviduje funkčné závislosti vo svete. 2. Evidované údaje vie využiť na plánovanie vlastnej činnosti a predpovedanie dejov v prírode (pohyb hviezd). 3. Vytvára tabuľky niektorých funkcií (chordála). 4. Gréci si uvedomujú problém diskrétne spojité a rozpracúvajú ho filozoficky i matematicky geometrický jazyk kriviek. 5. Objekt výskumu konkrétne krivky. 6. Al-Birúni začína študovať krivku zovšeobecnene. 7. Scholastika funkčná závislosť problém filozofickomatematický, úsilie o geometrické modelovanie pohybu
Fylogenéza funkčného myslenia II 8. Descartes a Fermat študujú krivky pomocou analytického aparátu. 9. Newton a Leibniz analyzujú zápis y = f(x) ako samostatný objekt (substitúcia, mocninový rad). 10. Johann Bernoulli definuje funkciu analyticky nezávisle na geometrii a fyzike. 11. Gregory a Taylor univerzálna metóda rozvoja funkcie do mocninového radu. 12. Euler pojem funkcia centrálny pojem analýzy 13. 19. storočie funkcia je ľubovoľné zobrazenie...
René Descartes (1596-1650) Cartesius Zakladateľ novovekej racionalistickej filozofie Pochybujem teda myslím, myslím, teda som! Je považovaný za objaviteľa analytickej geometrie (spolu s Pierre de Fermatom)
René Descartes (1596-1650) Cartesius 1637 Rozprava o metóde filozofická analýza vedeckej metódy. V dodatku Geometria nový revolučný prístup ku geometrii prostredníctvom algebry Hovorí sa, že Descartesovi vnukla myšlienku mucha na strope pozoroval ju a uvedomil si, že v každom okamihu sa dá jej poloha určiť cez vzdialenosti od dvoch zvislých na seba kolmých stien.
História objavu analytickej geometrie Viete 1631 myšlienka súradnicovej sústavy delenie uhla na časti, uhol bol jednoznačne určený bodom a dvojicou dĺžok súradnicová sústava prvého kvadrantu. Descartes Geometria vyriešil starý Pappov problém v tej dobe vysoko cenené, práca bola zasadená do širšieho filozofického kontextu Fermat práca kolovala medzi matematikmi od r. 1637, vyšla až v 1679 bola čítanejšia ako Descartesova práca
René Descartes - úlohy Riešte rovnice: a) y 3 8yy y + 8 0 b) x 4 4x 3 19xx + 106x 120 0 Descartes zapisoval už rovnice takmer v tom tvare ako sme dnes zvyknutý. Používal znak namiesto rovnítka a namiesto x 2 písal xx.
Význam objavu analytickej geometrie 1. Vznik nových matematických disciplín (lineárna algebra, vektorový počet). 2. Rozvoj infinitezimálneho počtu. 3. Riešenie troch klasických problémov. 4. Modelovanie jednej matematickej disciplíny pomocou inej. 5. Geometrické znázorňovanie algebraických vzťahov. 6. Prijatie záporných a komplexných čísel, 7. Algoritmický prístup ku geometrickým úlohám.
Rozvoj Teórie pravdepodobnosti Podľa gréckej mytológie hrali Zeus, Poseidon a Hádes kocky o vesmír. Zeus vyhral nebesá, Poseidon more a Hádes peklo. Prvé kroky v matematike Cardano Kľúčové kroky francúzsky matematici Blaise Pascal a Pierre de Fermat vzájomná korešpondencia, v ktorej sa zaoberali konkrétnou hazardnou hrou na jej základe vznik všeobecnej teórie, ktorá sa dá použiť na predpovedanie sledu udalostí v rôznych situáciách.
Rozvoj Teórie pravdepodobnosti Problém: Predpokladajme, že dvaja hráči hrajú kocky na 5 hier. Uprostred hry, v okamihu, kedy jeden hráč vedie nad druhým 2:1, je hra prerušená. Akým spôsobom si majú rozdeliť to, čo vsadili do hry? Všeobecný prístup k problému (zrejme ho formuloval Pacioli) viedol k vypracovaniu metódy, ktorá sa dala použiť na série náhodných udalostí základy modernej teórie pravdepodobnosti
Blaise Pascal (1623-1662) Pascalov trojuholník známy už predtým (India, Čína), dôležitosť narastá kvôli algebre a potrebe používať binomický rozvoj. Pascalova práca o vlastnostiach trojuholníka je publikovaná 2 roky po smrti Pascala.
Pierre de Fermat (1601 1665 ) Vysoký súdny úradník, žil bokom od hlavných centier matematického života, bol odkázaný na korešpondenciu (Pascal, Descartes,...). Matematická analýza a analytická geometria metóda hľadania extrému krivky. Hľadá pravidelnosť medzi prvočíslami Fermatove čísla 2 n +1, kde n je mocnina čísla 2.
Pierre de Fermat (1601-1665) Fermat si myslel, že všetky čísla tvaru 2 n + 1, kde n = 2 m, m = 0,1,2,, sú prvočísla. Toto platí však iba pre prvých 5 čísel (F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65 537). V 18. storočí ale Leonard Euler dokázal, že F 5 je deliteľné 641, čím jeho hypotézu vyvrátil. V roku 1796 Carl Friedrich Gauss objavil súvislosť medzii geometriou a Fermatovými číslami. Dokázal, že pravidelný mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov je euklidovsky konštruovateľný iba vtedy, keď je počet jeho vrcholov rovný niektorému Fermatovmu prvočíslu alebo súčinu niekoľkých navzájom rôznych Fermatových prvočísel. Dodnes nevieme, koľko existuje Fermatových čísel zložených a koľko prvočíselných.
Pierre de Fermat (1601-1665) Veľká Fermatova veta: Žiadnu mocninu vyššiu ako druhú nevieme zapísať ako súčet dvoch čísel s rovnakým mocniteľom. Pre toto tvrdenie som našiel skutočne nádherný dôkaz, ale tento okraj je príliš úzky, aby som ho tu uviedol.
Pierre de Fermat (1601-1665) Veľká Fermatova veta: 1753 Euler dokazuje pre n = 3 1825 Legendre a Dirichlet nezávisle pre n = 5 1839 Lamé pre n = 7 1843, Kummer a 1907, Lindemann chybné dôkazy 1994 Andrew Wiles (1993 nesprávny dôkaz) o probléme sa dočítal ako 10-ročný v miestnej knižnici v Cambridgei
Marin Mersenne (1588-1648) Francúzsky mních dielo Cogitata Physica- Mathematica Tvrdil, že čísla M n = 2 n 1 sú prvočísla pre n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Nikto nevie ako k tomu dospel, za pomoci počítačov sa zistilo, že sa dopustil 5-tich chýb. M 3 021 377 je prvočíslo má 909 526 miest. Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Dodnes nevieme, či je týchto prvočísel nekonečne veľa.
Isaac Newton (1643-1727) Syn vidieckeho šľachtica, študoval na Trinity College v Cambridge. 1665-1666 univerzita bola uzavretá pre mor najplodnejšie roky vyvinul metódu fluxií tak nazýval svoju koncepciu diferenciálneho a integrálneho počtu Bol zvolený za prezidenta Kráľovskej spoločnosti (Royal Society) najvyššie vedecké uznanie 1705 povýšený kráľovnou do šľachtického stavu Bol považovaný za národný poklad epitaf: Smrteľníci, blahorečte si, že taký veľký muž žil pre blaho ľudstva.
Isaac Newton (1643-1727) Trpel chorobným strachom z možnej kritiky väčšinu prác nepublikoval. V roku 1684 ho Edmund Halley presvedčil, aby vydal niektoré state o zákonoch pohybu a gravitácie. Dielo Matematické základy prírodovedy (Principia) vydané v r. 1687 navždy zmenilo ráz prírodných vied. 1704 dielo Optika teória optiky, v dodatku bol krátky náčrt teórie fluxií, ktorý vyvinul pred takmer 40 rokmi Dielo De analysi kolovalo medzi britskými matematikmi od r. 1670 a publikované bolo v r. 1711. Úplne vydanie Newtonových metód diferenciálneho a integrálneho počtu až v r. 1736 (9 rokov po smrti)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Narodil sa v Lipsku, bol považovaný za zázračné dieťa 1672 začína sa venovať matematike 1670 založil Berlínsku akadémiu vied 1675 myšlienka infinitezimálneho počtu, zistil súvislosť medzi derivovaním a integrovaním a zostavil základné pravidlá matematickej analýzy
Newton a Leibniz Potreba analyzovať pohyb a zmenu potreba odhaliť vzťah medzi pohybom a zmenou určiť rýchlosť zmeny funkcie určiť pomer zmeny y = f(x) ku zmeme x. Problém nekonečne malých veličín (Leibniz zaviedol označenie dy a dx) Chýba aparát na precíznu formuláciu nekonečne malých veličín kritika (anglický biskup Berkeley) Leibniz: Môžete si myslieť, že tieto veci sú úplné nezmysly, napriek tomu sa ukazujú ako výhodné pomôcky pre počítanie. Berkeley: Čo sú to vlastne fluxie? Veličiny prchavých prírastkov. A prchavé prírastky? Nie sú to ani veličiny nadobúdajúce konečné hodnoty, ani veličiny nekonečne malé, nie sú vôbec ničím. Máme ich snáď nazývať duchmi zmiznutých veličín? Spoľahlivou obranou sa stala matematická teória aproximácie, ktorú vypracovali nasledovníci Newtona a Leibniza Cauchy, Weierstrass (pojem limity) cca 200 rokov po zavedení.
Bernoulliovci - rodostrom
Bernoulliovci Sedem členov tejto rodiny sa zapísalo do dejín matematiky. Otec rodiny Nicolaus 3 synovia: Jacob I. prvý použil slovo integrál, používal polárne súradnice, dokázal Zákon veľkých čísel. Nicolaus I. profesor matematiky v Petrohrade, syn Nicolaus II. diferenciálne rovnice, súčty nekonečných radov Johann I. odraz a lom svetla, rovnice kriviek, plochy rovinných útvarov, 3 synovia: Nikolaus III. vlastnosti kriviek, teória pravdepodobnosti Daniel teória pravdepodobnosti, Bernoulliho zákon o prúdení kvapalín a plynu, asi najproduktívnejší Bernoulliovec Johann II. matematická teória šírenia tepla a svetla, 2 synovia Jacob II. matematická fyzika (pružnosť, hydrostatika, balistika) a Johan III. zázračné dieťa, slávu mu priniesli zápisky z ciest po Nemecku
Jacob I Bernoulli (1654 1705) Spolu s bratom Jánom (Johann) boli najlepšími žiakmi Leibniza Objav zákona veľkých čísel jedna zo základných viet pravdepodobnosti. (Pojem pravdepodobnosť a posteriori stanovíme ju po výskyte udalosti. Pokiaľ vypočítame pravdepodobnosť z danej populačnej vzorky s akou spoľahlivosťou platí pre celú vzorku? Dokázal, že testovaním dostatočne rozsiahlej vzorky dát, bude pravdepodobnosť takmer rovná vypočítanej pravdepodobnosti.) Spresnenie základov infinitezimálneho počtu Riešenie diferenciálnych rovníc Skúmal zložené úrokovanie: Uvažujme obdobie 1 roka, úročenie 100% a počiatočný vklad 1 euro. Koľko dostaneme na konci roka? Úrok znížime na polovicu, ale bude sa započítavať každý polrok osobitne. Rozdeľme rok na štvrtiny a každý štvrťrok budeme úročiť 25%... Budú naše zisky neustále rásť?
Leonhard Paul Euler (1707 1783) Začal študovať teológiu, vplyv Bernulliovcov uprednostnil štúdium matematiky Mal 19 rokov, keď napísal prvý článok. Oženil sa ako 26-ročný. Mal 13 detí, 5 sa dožilo dospelosti. Postupne strácal zrak, po návrate do Petrohradu bol takmer úplne slepý. Pôsobil v Petrohrade, neskôr v Berlíne. V roku 1766 sa vrátil do Petrohradu, kde zomrel.
Leonhard Paul Euler (1707 1783) Euler používa označenie e v súvislosti s teóriou logaritmovania. Vyjadrenie e: Euler určil hodnotu čísla e s presnosťou na 23 desatinných miest: Eulerova identita: Upravte číselný výraz:
Leonhard Paul Euler (1707 1783) Eulerova veta: s + v = h + 2 Eulerove štvorce: Eulerov problém s 36 dôstojníkmi (1779) Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 36 dôstojníkov povyberaných zo šiestich plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major, nadporučík, poručík a podporučík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený zo šiestich radov po šiestich dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe.
Euler Problém Königsbergských mostov V Königsbergu v Prusku (dnešný Kaliningrad v Rusku) je ostrov, nazývaný Kneiphof. Obkolesuje ho rieka Pregel, ktorá sa tu rozvetvuje. Na tejto rieke je postavených 7 mostov. Ľudia sa počas nedeľných prechádzok snažili prejsť všetkými siedmimi mostmi v meste práve raz.
Euler Problém Königsbergských mostov Nie je podstatné ako to vyzerá geograficky, len to čo je s čím spojené. Euler je považovaný za zakladateľa Teórie grafov
Mapa londýnskeho metra - jej prvá verzia bola vytvorená v roku 1931 Henry C. Beckom.
Domáca úloha (5 bodov) Riešte Eulerov problém pre 25 dôstojníkov Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 25 dôstojníkov povyberaných z piatich plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major, nadporučík a poručík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený z piatich radov po piatich dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe. Riešte Eulerov problém pre 16 dôstojníkov Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 16 dôstojníkov povyberaných zo štyroch plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major a nadporučík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený zo štyroch radov po štyroch dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe.