Egyptská matematika

Prepis

1 Matematika v období rímskej nadvlády História matematiky Ingrid Semanišinová

2 História 212 p.n.l. dobytie Syrakúz, neskôr Kartágo, Grécko, Egypt, Mezopotámia vznikli kolónie ovládané rímskou administratívou. V otrokárskom Ríme malý záujem o matematiku. Postupné šírenie kresťanstva v Ríme a neskôr v celej Európe 4. storočie kresťanstvo je povolené rímskymi cisármi prechod z jedného extrému (odsudzovanie kresťanov) k druhému (všetko, čo je nekresťanské pohanské je zlé a treba to zničiť!) čiastočné zničenie knižnice v Alexandrii v r Sťahovanie národov prenikanie barbarských kmeňov (germánske, slovanské, Húni,...) nepoznali starú grécku kultúru nevážili si ju. Feudalizmus založený na primitívnom poľnohospodárstve obava pred poskytovaním vedomostí širokej vrstve aritmetika považovaná za mágiu. 8. storočie opätovné ničenie diel z Alexandrijskej knižnice Arabmi. Konštantinopol ušetrený od invázií - útočisko pre nasledovníkov gréckeho učenia.

3 Významní matematici (10-75) Heron (10-70) Cleomedes (60-120) Nicomachus (70-135) Theon of Smyrna (70-130) Meneláos (85-165) Ptolemy ( ) Diophantus ( ) Porphyry ( ) Sporus ( ) Pappus ( ) Serenus ( ) Theon ( ) Hypatia ( ) Proclus ( ) Domninus ( ) Marinus ( ) Anthemius ( ) Boethius ( ) Eutocius ( ) Simplicius

4 Herón Rozvinul počtársku matematiku, viac ho zaujímala prax ako teória. Dielo Metrika obsahy plôch do nepravidelných vpíše mnohouholník a rozdelí na trojuholníky, povrchy telies pokrýva tenkými kúskami papiera, ktoré narovná a počíta obsah Herónov vzorec na výpočet obsahu trojuholníka uvedený v diele Metrika, dokázaný v diele Dioptra.

5 Herónov vzorec Obsah trojuholníka so stranami a, b, c je číslo K, ktoré vypočítame nasledovne: Vzorec bol dokázaný s využitím obrázku, v ktorom: BH = AF OL je kolmá na OC BL je kolmá na BC

6 Herónov vzorec BH = AF, OL je kolmá na OC, BL je kolmá na BC.

7 Meneláos Menelaova veta

8 Claudius Ptolemy (Ptolemaios) Geograf, astronóm, optik a matematik Pôsobil v Alexandrii, najvýznamnejšie dielo Almagest pozostáva z 13 kníh výklad astronomických poznatkov známych v dobe, v ktorej žil.

9 Almagest ukážka z latinského prekladu

10 Ptolemaiova geocentrická sústava

11 Ptolemaiova geografia Osemzväzkové dielo GEOGRAFIA vedomosti z geografie o Európe, Ázii a Afrike. Zakreslil zakrivený zemský povrch do roviny. Rovník rozdelil na 360 častí, vytvoril sieť poludníkov a rovníkov. Hlavná časť diela je vyčerpávajúci popis okolo 8000 miest, usporiadaných podľa regiónov, s ich predpokladanou zemepisnou šírkou a dĺžkou. V práci bola obsiahnutá myšlienka súradníc čísel, ktoré určujú body zemského povrchu.

12 Svet podľa Ptolemaia

13 Ptolemaiova trigonometria Je zahrnutá v prvej knihe Almagestu. Obsahuje vety potrebné na zostavenie tabuľky tetív (sínusov) uhlov od 0 do 180 stupňov s polstupňovými intervalmi. Ptolemaios rozdelil kruh na 360 a jeho priemer na 120 zhodných dielov a vyjadril ich zlomky v 60-tkovej sústave. (1 diel má 60 minút a jedna minúta 60 sekúnd)

14 Ptolemaiova trigonometria Chord - dĺžka tetivy (pozri obrázok) Chord 60 = 60 Chord 1 = 1;2,50 Chord 90 = 84;51,10 Chord 120 = 103;55,23 Chord 1 vypočítal pomocou vpísaného 360-uholníka. Určil tak aj približnú hodnotu π. Chord 72 a 36 získal zlatým rezom ako strany do kruhu vpísaných pravidelných 5 uholníkov a 10 uholníkov Úloha. Určte vzťah medzi funkciou chord a funkciou sínus a cosínus.

15 Ptolemaiova veta Nech ABCD je štvoruholník vpísaný do kruhu. Potom platí:

16 Diofantos Žil v Alexandrii. Vek, ktorého sa dožil, sa odhaduje z epigramu: Pútnik! Tu odpočíva popol Diofantov. A čísla hovoria, je to zázrak, aký dlhý bol jeho život. Šestina života patrila krásnemu detstvu. Ešte dvanástina života ubehla, než sa jeho brada pokryla páperím. Sedminu života strávil v bezdetnom manželstve. Uplynulo ďalších päť rokov a radoval sa z narodenia krásneho syna, toho, ktorému Osud vymeral veselý a žiariaci život na tejto Zemi, ale dlhý len polovicu toho, čo otcovi. A v hlbokom smútku ukončil starý muž svoju púť tu na Zemi, štyri roky po strate syna."

17 Diofantos Žil v Alexandrii. Vek, ktorého sa dožil, sa odhaduje z epigramu: Pútnik! Tu odpočíva popol Diofantov. A čísla hovoria, je to zázrak, aký dlhý bol jeho život. Šestina života patrila krásnemu detstvu. Ešte dvanástina života ubehla, než sa jeho brada pokryla páperím. Sedminu života strávil v bezdetnom manželstve. Uplynulo ďalších päť rokov a radoval sa z narodenia krásneho syna, toho, ktorému Osud vymeral veselý a žiariaci život na tejto Zemi, ale dlhý len polovicu toho, čo otcovi. A v hlbokom smútku ukončil starý muž svoju púť tu na Zemi, štyri roky po strate syna."

18 Diofantos Prvý, kto systematicky používal algebraické symboly. Prvý, kto pripustil, že zlomky sú čísla kladné racionálne čísla považuje za koeficienty a riešenia. Dielo Aritmetika z pôvodných 13 zväzkov sa zachovalo 6 považované za prvú učebnicu algebry. Používal v rovniciach špeciálne znaky pre označenie mocnín, neznámych a symbolicky vyjadroval odčítanie a rovnosť.

19 Diofantos Riešil rovnice s jednou neznámou a s dvoma a viacerými neznámymi. Nepoužíval všeobecné metódy riešenia (každý problém si vyžadoval špecifické riešenie). Väčšina úloh v Aritmetike viedla k riešeniu kvadratických rovníc (nepoznal nulu, ani záporné koeficienty). Uspokojil sa s racionálnym riešením, záporné, alebo iracionálne korene považoval za nezmyselné.

20 Diofantova symbolika x = x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 plus mínus

21 Diofantova Aritmetika Kniha I, úloha 17 Nájdite 4 čísla, také, že ak hociktoré tri sčítame dokopy ich súčet budú dané štyri čísla, napríklad 20, 22, 24 a 27.

22 Diofantova Aritmetika Kniha II, úloha 8 Rozdeľte daný štvorec, napríklad číslo 16 na súčet dvoch štvorcov. Strana 85 s úlohou 8 z Diofantovej knihy Arithmetica (vyd. 1621)

23 Diofantova Aritmetika Kniha II, úloha 13 Nájdite číslo, také, že ak dve dané čísla, napríklad 6 a 7 od neho odčítame dostaneme štvorce

24 Diofantova Aritmetika a veľká Fermatova veta V redakcii Claude Bacheta bola v r vydaná Diofantova Aritmetika vydanie vzbudilo pozornosť európskych matematikov. Z Fermatových poznámok na okraji tejto knihy bolo zrejmé, že jej štúdium vzbudilo záujem Fermata o teóriu čísel.

25 Diofantova Aritmetika a veľká Fermatova veta Vedľa úlohy 8 z II. knihy Aritmetiky ( Je daná druhá mocnina nejakého čísla. Napíšte ho ako súčet iných dvoch druhých mocnín ) si Fermat v r poznamenal: Na druhej strane je nemožné napísať tretiu mocninu ako súčet dvoch tretích mocnín alebo štvrtú mocninu ako súčet dvoch štvrtých mocnín alebo keď to zovšeobecníme žiadnu mocninu vyššiu ako druhú nevieme zapísať ako súčet dvoch čísel s rovnakým mocniteľom. Pre toto tvrdenie som našiel skutočne nádherný dôkaz, ale tento okraj je príliš úzky, aby som ho tu uviedol. Veta bola dokázaná v r britským matematikom Andrew Wilesom.

26 Pappus z Alexandrie ( ) Dielo Synagogé matematická zbierka úloh geometrické vedomosti z vtedajšej doby zhodnosť, podobnosť, telesá, kužeľosečky. Dielo je neoceniteľný záznam častí matematiky, o ktorej by sme sa inak nedozvedeli. Zo všetkých zachovaných gréckych diel je to najbohatšia kolekcia informácii o starovekej geometrii, najmä o chýbajúcich dielach Euklida a Apolloniusa. Vydanie zbierky z r. 1589

27 Hypatia ( ) prvá žena matematička Žila v rokoch 370 až 410. Vyznala sa v matematike, filozofii, medicíne, v astronómii. Napísala komentár k prvým 6-tim knihám Aritmetiky, ku Conice od Apollonia, editovala Almagest Prednášala v Muzeóne v Alexandrii. K jej poslucháčom patril aj filozof Synesius z Cyrény, neskôr biskup Ptolemais. Niektorí kresťanskí vodcovia ju označili za kacírku. Bola zavraždená davom náboženských fanatikov. S jej smrťou sa spája koniec dlhej a slávnej histórie gréckej matematiky.

28 Boethius ( ) Uvedomil si smutný stav vedy začal vzdelávať učencov v štyroch predmetoch aritmetika, geometria, hudba a astronómia (Kvadrívium) Geometria prvé 4 knihy Euklidových Základov Aritmetika vychádzala z diela Úvod do aritmetiky od Nicomachusa Pytagorovho žiaka. Neprispel ničím novým, ale v danom období bol jediný (o kom vieme) kto poznal princípy formálnej aritmetiky a geometrie. Jeho dielo bolo poslednýkrát vydané v r. 1521, potom upadol do zabudnutia matematici sa vrátili k originálnym dielam.