Egyptská matematika

Prepis

1 Matematika v 19. a v 20. storočí História matematiky Ingrid Semanišinová

2 Carl Friedrich Gauss ( ) Nemecký matematik významne ovplyvnil rozvoj teórie čísel, diferenciálny a integrálny počet, diferenciálnej geometrie, štatistiky. Študoval magnetizmus, astronómiu, optiku. Narodil sa v rodine murára. Bol považovaný za zázračné dieťa. Získal štipendium k štúdiu na miestnej univerzite. Študoval na nej od 16-tich rokov. O tri roky neskôr prešiel na univerzitu v Göttingene, kde pôsobil. Bol priateľský, spoločenský. Súčasníci ho považovali za najväčšieho matematika.

3 Carl Friedrich Gauss ( ) Gaussova rovina rovina komplexných čísel Gaussova eliminačná metóda riešenie sústav lineárnych rovníc o niekoľkých neznámych pomocou matíc Gaussovo rozdelenie zvonová krivka normálneho rozdelenia pravdepodonosti Objaviteľ modulárnej matematiky Dokázal základnú vetu algebry: Každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň. Gaussovi žiaci: Richard Dedekind, Bernard Riemann, korešpondenčne Sophia Germainová

4 Titulná strana diela Disquisitiones Arithmeticae, ktoré Gauss publikoval vo veku 21 rokov. Podľa mnohých ide o jednu z najkrajších matematických kníh na svete. Zhrnul v nej modulárnu algebru, obsahuje príspevky k teórii čísel.

5 Carl Friedrich Gauss ( ) Konštrukcia pravidelného 7, 11 a 13-uholníka je nemožná. Konštrukcia pravidelného 17-uholníka. V roku 1796 objavil súvislosť medzii geometriou a Fermatovými číslami. Dokázal, že pravidelný mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov je euklidovsky konštruovateľný iba vtedy, keď je počet jeho vrcholov rovný niektorému Fermatovmu prvočíslu alebo súčinu niekoľkých navzájom rôznych Fermatových prvočísel. V Göttingene má pomník so základňou v tvare pravidelného 17-uholníka.

6 Sophia Germainová ( ) Jedna z troch dcér bohatého obchodníka Korešpondenčne študovala na École Polytechnique pod menom Antoine August Le Blanc (meno skutočného študenta, ktorý štúdium vzdal Korešpondencia s Gaussom, Lagrangeom Požiadala Napoleona o Gaussovu ochranu pri jednom z Napoleonových ťažení Európou. Prispela k rozvoju infinitezimálneho počtu (teória pružnosti), teórie čísel. Gauss presadil udelenie čestného doktorátu Göttingenskej univerzity (zomrela skôr ako si ho mohla prevzať).

7 Sophia Germainová ( ) Oficiálne vedenie francúzskej vedy ju neuznávalo. V súčasnosti udeľovanie prestížnej ceny pre vedecké pracovníčky. Dokážte, že pre a > 1 je číslo a zložené číslo.

8 Soňa Kovalevská ( ) Záujem o matematiku od detstva, pozitívny vplyv strýka. 11-ročnej jej vytapetovali izbu stranami z učebnice matematickej analýzy. Nakoniec otec štúdium matematiky zakázal, dôvod vydať sa a vycestovať. Nemecko štúdium v Göttingene (prednášky Weiestrassa), práca o diferenciálnych rovniciach, nezískala pozíciu na univerzite, návrat do Ruska. Práca na dievčenskej škole, nevenuje sa matematike, (narodenie dcérky, opustenie manžela, samovražda manžela bol vážne chorý) 1883 docentské miesto v Stocholme, 1889 riadna profesorka prvá žena v dejinách, ceny francúzskej a švédskej akadémie, členka Cárskej akadémie vied v Petrohrade. Otvorila cestu matematickej kariére ďalším ženám.

9 Neeuklidovská geometria Euklidove postuláty 1. Viem od každého bodu ku každému bodu viesť priamu čiaru. 2. A ohraničenú priamku nepretržite priamo predlžovať. 3. A s každým stredom a polomerom opísať kruh. 4. A všetky pravé uhly rovnaké sú navzájom. 5. A ak na dve priamky priamka padla tak, že vnútorné uhly po jednej strane dvoch pravých menšie tvorí, tak predĺžené tie dve priamky neobmedzene, schádzajú sa na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.

10 Neeuklidovská geometria Matematici skúšali dve možnosti: 1. Piaty postulát z ostatných vyplýva. 2. Piaty postulát je s ostatnými v rozpore. Saccheri 1773 pokus dokázať 5. Euklidov postulát vyvodením sporu z jeho negácie. Ak je daná priamka a bod ležiaci mimo nej, tak pre rovnobežky s danou priamkou a prechádzajúce daným bodom: 1. existuje viac ako jedna rovnobežka, 2. neexistuje žiadna rovnobežka. Formálny spor sa mu nepodarilo odvodiť.

11 Neeuklidovská geometria Playfair 1795 populárna podoba piateho postulátu: Bodom P, ležiacim mimo priamky p, možno viesť práve jednu rovnobežku s priamkou p. Legendre Súčet uhlov v trojuholníku je Gauss okolo roku 1824 v súkromnom liste: Predpoklad, že súčet uhlov v trojuholníku je menej ako vedie k zvláštnej geometrii, úplne odlišnej od našej, ale logickej a uspokojujúcej. Predpokladá sa, že na výsledok prišiel okolo roku 1799.

12 Neeuklidovská geometria Hyperbolická geometria Nikolaj Ivanovič Lobačevskij v roku 1829 publikoval článok Geometrie Imaginaire vo francúzštine obsahuje axiomatickú teóriu geometrie bez piateho postulátu (existujú aspoň 2 rovnobežky). Prvá neeuklidovská geometria (pretože Gauss svoje úvahy nepublikoval, je možné, že sa Lobačevskij o týchto úvahách dozvedel od Gaussovho priateľa Martina Bartelsa) János Bolyai práca bola vydaná 1832, objavená pred rokom 1825

13 Neeuklidovská geometria Sférická geometria Bernhard Riemann v roku 1854 Riemannova geometria daným bodom neexistuje žiadna rovnobežka (súčet uhlov v trojuholníku je väčší ako 180 o ). Euklidovská geometria hraničný prípad medzi hyperbolickou a sférickou geometriou. Einsteinova všeobecná teória relativity je založená na Riemannovej geometrii.

14 Geometrická topológia August Ferdinand Möbius ( ) Möbiov pásik Felix Klein ( ) Kleinova fľaša

15 George Boole ( ) Samouk čítal odborné publikácie z verejnej knižnice 16-ročný učil, 20-ročný má vlastnú školu, 24-ročný prvý matematický článok 32-ročný vydal prevratnú knihu o logike Matematická analýza logiky. Vďaka Augustovi de Morganovi je prijatý do britskej matematickej komunity. Od r pracuje v írskej Queen s College v Ballintemple 39-ročný ako profesor vydáva najslávnejšie dielo Zákony myslenia Logika je počítanie na množine, ktorá obsahuje len dva prvky, logické spojky sú počtové operácie. Postavil most od antického Aristotela k modernej umelej inteligencii.

16 George Cantor ( )

17 Množiny Nesúlad Cantorovej teórie s intuíciou. Stúpenci: Klein, Dedekind, Hilbert Oponenti: Kronecker, Poincaré, Russel 1878 hypotéza kontinua 1904 ocenenie Cantora britskou Royal Society 1889 definícia prirodzených čísel pomocou množín Peanova axiomatika 1899 Cantor neexistuje žiadne najväčšie nekonečno (nekonečných mohutností je neobmedzene veľa)

18 Paradoxy teórie množín Cantor: Pre ľubovoľnú vlastnosť P nájdeme odpovedajúcu množinu všetkých objektov, ktoré túto vlastnosť majú. Russell: Množina všetkých takých množín, ktoré samy seba neobsahujú ako prvok. Patrí uvažovaná množina do seba alebo nepatrí? Zermelo-Fraenkel nová teória množín myšlienkovo blízka Cantorovej, nie je taká elegantná. Množiny súbory objektov, ktoré nemôžu samy seba obsahovať ako svoj vlastný prvok (ostatné súbory objektov - triedy)

19 Bertrand Russel ( ) Výrazná osobnnosť reprezentuje logiku, teóriu množín a ich súvislosti s filozofiou štúdium na Trinity College Cambridge Nepáčila sa mu Cantorova veta o neexistencii najväčšieho nekonečna Do r vydal väčšinu významných matematických prác: 1910 Principia Mathematica Od r člen Royal Society Získal Nobelovu cenu za literatúru (1950).

20 Erlangenský program 1872 Potreba urobiť poriadok ujasniť logickú stavbu jednotlivých disciplín, presnejšie formulovať predpoklady, pravidlá. Pravzorom bola Euklidovská geometria Čo s rôznymi matematickými disciplínami zdanlivo odlišné problémy, podobné metódy práce, podobné štruktúry Iniciatíva Felixa Kleina zjednodušene: chcel geometrie utriediť podľa algebraických vlastností

21 David Hilbert ( ) Nemecký matematik, jeden z najväčších matematikov 20. storočia, pôsobil na Göttingenskej univerzite (nastúpil na miesto po Weierstrassovi) Majster axiomatickej teórie. V roku 1900 predložil na 2. medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži zoznam 23 takzvaných Hilbertových problémov. Tieto problémy predstavovali najväčšie vtedy nevyriešené matematické problémy. Veľká časť týchto problémov je už dnes vyriešená, pričom ich riešenie významne ovplyvnilo matematiku 20. storočia program na prebudovanie základov celej matematiky Dožil sa úpadku Göttingenskej univerzitu medzi matematikmi bolo veľa židov a sympatizantov židov emigrácia.

22 Vzostup a pád Hilbertovho programu Hilbertov program hľadanie nesporného a úplneho axiomatického systému Axiomatický prístup k matematike umožnil oddeliť dokázateľnosť a pravdivosť Dokázateľnosť od zadaných axióm k tvrdeniu technický termín, ktorý je v moci matematikov Pravdivosť zahŕňa hlboké filozofické otázky

23 Kurt Gödel ( ) Narodil sa v Brne, študoval na Viedenskej univerzite, 1930 získal doktorát 1931, počas diskusie o inej prednáške Veta o neúplnosti: Ak vytvoríme pre dostatočne bohatú matematickú teóriu nesporný systém axióm, tak je tento systém nutne neúplný. Myšlienka dôkazu vychádza zo starovekého gréckeho paradoxu o klamárovi: Predpokladajme, že nejaký človek o sebe tvrdí, že je klamár. Je to možné? 1940 útek do Ameriky, pôsobil v Princetone

24 Emmy Noether ( ) 1907 absolvovala v Norimberku, len asistentka na univerzite, publikovala práce, ktoré citoval Albert Einstein, 1911 prijatá do Nemeckej jednoty matematikov. David Hilbert sa zasadzoval o udelenie docentúry na Göttingenskej univerzite, kde ju zamestnal ako svoju asistentku. Habilitovala sa v r. 1919, v r emigrovala do USA. Je známa predovšetkým vďaka svojej práci v oblasti abstraktnej algebry a teoretickej fyziky. Revolučné objavy v teórii okruhov, polí a algebier. Najvýznamnejší výsledok Noetherovej veta, ktorá hovorí o súvislosti medzi symetriou a zákonmi zachovania. Albert Einstein ju nazval najvýznamnejšou ženou v histórii matematiky.

25 G.H.Hardy ( ) Významný anglický matematik známy svojimi prácami v oblasti teórie čísel a matematickej analýzy. Hardyho-Weinbergov zákon vysvetľuje, s využitím matematiky, že dominantný gén nezíska úplnú prevahu a recesívny úplne nevyhynie Esej o estetike matematiky: Obrana matematika Matematik, podobne ako maliar alebo básnik je tvorca umeleckého diela. Ak jeho dielo má trvalejšiu hodnotu ako ich, je to preto, že je vytvorené z myšlienok.

26 G.H.Hardy ( ) Objaviteľ indického matematika Srinivasu Ramanujana ( ), ktorý prakticky bez akéhokoľvek formálneho vzdelania v matematike podstatne prispel k ďalšiemu rozvoju matematickej analýzy, teórie čísel a nekonečných radov.

27 Stefan Banach ( ) Významný poľský matematik Funkcionálna analýza ako samostatný a ucelený odbor Študoval na Ľvovskej technickej univerzite 1916 stretnutie s Hugom Steinhausom spoločné publikácie Ďalší významní poľskí matematici 20. storočia: Jan Lukasiewicz, Waclaw Sierpinski, Stefan Mazurkiewicz, Kazimierz Kuratowski

28 Paul Erdős ( ) Maďarský matematik židovského pôvodu. Jeden z najvýraznejších matematikov 20. storočia. Za svoj život publikoval viac ako článkov v oblasti teórie čísiel, kombinatoriky, teórie grafov, teórie množín, konštruktívnej teórie funkcií, teórie pravdepodobnosti a aj v rôznych oblastiach klasickej matematickej analýzy. Bol známy tým, že neustále cestoval medzi najrôznejšími matematickými konferenciami a inštitúciami po celom svete. Vďaka tomu žije na svete niekoľko stoviek matematikov, ktorý sú podpísaný ako spoluautori pod niektorým jeho odborným článkom.

29 Paul Erdős ( ) Erdősovo číslo: Humorná klasifikácia matematikov podľa toho, ako veľmi sú autorsky vzdialení od Paula Erdőse. Definícia: Uvažujme graf, ktorého vrcholy sú matematici a dva vrcholy sú spojené hranou, práve vtedy keď spolupracovali na nejakom odbornom článku (sú teda aspoň raz uvedení ako spoluautori).erdősovo číslo konkrétneho matematika je dĺžka najkratšej cesty z vrcholu, ktorý odpovedá Paulu Erdősovi, do vrcholu, ktorý odpovedá príslušnému matematikovi.

30 John Forbes Nash ( ) Americký matematik známy svojou prácou v oblasti teórie hier a diferenciálnej geometrie. Jeho sľubne sa rozvíjajúcu kariéru matematika na takmer tridsať rokov výrazne skomplikovala vážna duševná porucha, napriek tomu zotrval pri svojej práci. V roku 1994 mu bola za prínos k teórii hier udelená Cena Švédskej národnej banky za rozvoj ekonomickej vedy na pamiatku Alfreda Nobela (známa ako Nobelova cena za ekonómiu). Hlavná postava filmu Čistá duša (A Beautiful Mind) o jeho matematickom nadaní a súboji so schizofréniou.

31 Fieldsova medaila Fieldsova medaila je udeľovaná na počesť kanadského matematika Johna Charlesa Fieldsa od roku Od začiatku je náhradou za chýbajúcu matematiku v rámci Nobelových cien. Kandidátov vyberá anonymná komisia matematikov raz za štyri roky, počas stretnutia Medzinárodnej matematickej únie. Je určená len pre významných matematikov, ktorí majú menej ako 40 rokov má ich oceniť za to, čo doteraz urobili, a povzbudiť ísť ďalej. Fieldsova medaila je zo 14-karátového zlata, finančná odmena s ňou zviazaná je kanadských dolárov.

32 Fieldsova medaila Medzi matematikmi koluje romantický dôvod o tom, prečo matematici nemajú nobelovku. Alfred Nobel, známy švédsky chemik a vynálezca dynamitu, pôvodne chcel zahrnúť aj matematikov medzi nobelistov. Keď sa však dozvedel, že horúcim kandidátom na túto cenu je švédsky matematik Mittag Leffler, skríkol: Ten, čo mi behá za ženou?! Nie!

33 Fieldsova medaila 19. medzinárodný matematický kongres sa konal v 2010 v Indii. Na kongrese zvolili za prezidentku Svetovej matematickej únie po prvý raz ženu. Je to Belgičanka Ingrid Daubechiesová z Princetonskej univerzity, ktorá sa kedysi v dizertačnej práci zaoberala kvantovými teóriami. V roku 2006 získal Fieldsovu medailu (ale neprebral si ju) Grigorij Pereľman za vyriešenie Poincarého hypotézy, matematického problému, ktorý odolával úsiliu matematikov vyše sto rokov. 20. medzinárodný matematický kongres 2014, Južná Kórea Ceny získali: Artur Avila, Manjul Bhargava, Martin Hairer, Maryam Mirzakhani

34 História čísla 0 Pozičná nula: 2000 p.n.l pozičná nula v Babylone n.l. Aryabhata (z jeho prác do Európy) storočie Čína Množstevná nula: Okolo p.n.l intuitívne v Grécku, nie je zaradená do číselnej sústavy 4. storočie Mayovia

35 História čísla 0 Množstevná nula: zač. 7. storočia Brahmagupta používa nulu a stanovuje pre ňu pravidlá: Dlh bez nuly je dlh. Majetok bez nuly je majetok. Nula bez nuly je nula. Dlh odobratý od nuly je majetok. Majetok odobratý od nuly je dlh. Výsledkom násobenia nuly a majetku (dlhu) je nula. Výsledkom násobenia nuly nulou je nula. Dlh alebo majetok delený nulou dáva zlomok s menovateľom 0. Nula delene majetok alebo dlh je nula. Nula delene nula je nula.

36 História čísla storočie Bhaskara číslo delene nula je nekonečno. 13. storočie Fibonacci okrem čísel 1 až 9 používa symbol 0 nie je to rovnocenné číslo. Guillaume de l Hôpital (Johann Bernoulli) - l Hôpitalovo pravidlo Problémy s nulou v kalendári rok 0 neexistuje (1582 gregoriánsky kalendár)

37 História čísla π Babylon hodnota 3, neskôr 25/8=3,125 Egypt Rhindov papyrus 3,16 Archimedes 22/7 < π < 223/71 vpísaný a opísaný 96-uholník Zu Chongzhi ( , Čína) 355/113 prvých 6 miest za desatinnou čiarkou je správnych Aryabhata 62832/2000 Fibonacci 3,1418

38 História čísla π Ludolf van Ceulen ( ) nemal univerzitné vzdelanie, práca O kruhu, počítaniu Ludolfovho čísla venoval väčšinu života. V r práca, v ktorej je π spočítané na 35 desatinných miest. Zvolil si mnohouholník s 2 62 vrcholmi! π ako symbol - William Jones v roku 1706 Brook Taylor mnohé funkcie je možné lokálne aproximovať pomocou polynómov, niektoré funkcie nadobúdajú v istom bode hodnotu π. Hodnota π ako limita súčtu nekonečného radu, napr. Liebniz, Euler, Lambert π je iracionálne číslo 1882 Lindemann π je transcendentné číslo

39 História čísla e = 2, konštanta e sa objavuje v súvislosti s logaritmami u Napiera Koniec 17. storočia Jacob Bernoulli naráža na hodnotu e v súvislosti so zloženým úrokovaním. Študuje tiež krivku logaritmickú špirálu.

40 História čísla e = 2, Euler teória logaritmovania, používa symbol e, aj názov Eulerovo číslo Euler vyčísľuje e na 23 desatinných miest, objav vzťahu e iπ + 1= Hermite dokazuje, že e je transcendentné číslo e je vyčíslené na cifier.

41 Nekonečno 490 p.n.l Zenónove paradoxy 350 p.n.l Aristoteles odmieta myšlienku nekonečna nič v našom fyzickom svete nemá nekonečnú veľkosť, nekonečný vek, nekonečnu sa nikdy neocitneme tvárou v tvár. Tento pohľad na nekonečno sa stal uznávanou pravdou na niekoľko storočí. Archimedes neustále zvyšovanie počtu strán mnohouholníka, Eudoxos zjemňovanie štvorčekovej siete 1584 Giordano Bruno, spis O nekonečne, vesmíre a svetoch. V roku 1600 bol upálený.

42 Nekonečno Galileo Galilei sústredné kruhy - Vlastnosti rovnosti a nerovnosti nemožno použiť tam, kde ide o nekonečnosť. Vlastnosti rovnosti a nerovnosti nemožno použiť tam, kde ide o nekonečnosť. Kepler, Cavalieri, Torricelli John Wallis symbol pre nekonečno. Newton, Liebniz, Euler, Cauchy, Bernoulliovci, Bolzano uvedomenie, že diferenciálny počet stojí na pochopení nekonečna 1874 Cantor pracuje exaktne s nekonečnom, rozlišuje rôzne veľkosti nekonečna.

43 Komplexné čísla 1572 Rafael Bombelli počíta s imaginárnymi číslami 1777 Euler používa symbol i pre druhú odmocninu z čísla Argand geometrické znázornenie imaginárnych čísel Argandove diagramy 1811 Gauss funkcie komplexnej premennej, symbolika a + bi, pojem komplexné číslo, dôkaz základnej vety algebry

44 Domáca úloha 1. Rozprávajú sa traja obyvatelia ostrova A, B, C. Ide okolo cudzinec a opýta sa A: Ste klamár alebo poctivec? A odpovie, ale nezreteľne, takže cudzinec nerozozná, čo povedal. Cudzinec sa na to opýta B: Čo hovoril A? B odpovie: A hovoril, že je klamár. V tom okamihu tretí, C, povie: Neverte B, ten klame. Čo sú B a C? Vysvetlite! (2 body) 2. Číslo π sa dá vyjadriť v tvare nekonečného číselného radu. Vyhľadajte, resp. odvoďte aspoň 4 takéto vyjadrenia. Pre každé z týchto vyjadrení spočítajte prvých 8 členov nekonečného radu. (4 body)