8 Produkčné modely 9 8 Produkčné modely Ekonometrcké modely produkce sa zameravajú na skúmane ekonomckých závslostí, ktoré sa važu na tvorbu nových hmotných statkov. Pr zodpovedajúcej modfkác možno formulu týchto modelov použť pre všetky čnnost, ktorých výsledok je tvorbou nových hodnôt materálnej nematerálnej povahy, ak majú ekonomcké ohodnotene a ak sú zvazané kaptálovým výdavkam. Výtvarné umelecké delo by sotva bolo možné modelovať ekonomckým modelom, ale premyselnú výrobu, založenú na umeleckej tvorbe (napríklad knžné publkáce, reprodukce obrazov, umelecké remeslá, atď.) už áno. Modelovať možno služby a né aktvty, ktoré súvsa s tvorvou čnnosťou človeka. 8. Metódy skúmana produkce Pr tvorbe nových hodnôt treba rozlšovať dva postupy: technologcký a hospodársky. Technologcké postupy vyjadrujú spôsob organzáce výrobnej práce a premenu výrobných prvkov na hotový výrobok. Hospodárske postupy predstavujú sledovane a vyhodnocovane hospodárskych výdavkov, ktoré sú s výrobou spojené a vykonávajú zsťovane hospodárskych výnosov, ktoré sú výsledkom príjmov z výroby. Oba postupy sa navzájom prekrývajú a sú navzájom prepojené. Výrobcu musí zaujímať, čo ho stojí energa, materál, práca a kaptál, č je výsledok jeho výrobnej čnnost efektívny, a č výrobok nájde svoje uplatnene na trhu. Nemožno vyrábať čokoľvek a za čokoľvek, všetko musí mať svoju hospodársku logku. Ak ju nemá, určte príde úpadok a zánk. Modelovať možno treba tak technologcké, ako aj hospodárske aspekty výrobných procesov. V ekonometrckých modeloch sa tak robí tým, že technologcké čntele, t.j. prvky technologckého procesu, sa oceňujú ekonomckým čnteľm, t.j. kaptálom, prácou, cenou a pod. Pre vyjadrene materálnej stránky výroby sa používajú výrobné procedúry - technologcké postupy, v ktorých sa vyjadrujú nelen postupnost premen surovín, materálov a energe na hotové výrobky, ale obsahujú všetky pravdlá a krtéra, ktoré treba pr výrobe dodržavať. Technologcké hľadsko je založené na kalkulácách a výkonových normách, kým ekonomcké hľadsko je založené na ch vyjadrení v hodnotových velčnách. Výroba je vždy výsledkom súhry mnohých výrobných prvkov. V ekonomckej teór sa hovorí o výrobných čnteľoch a zahrnujú sa do nch produkty prírody (pôdy), práca, kaptál ako hmotné čntele, a veda, poznane (v súčasnost často chápaná ako nformáca) ako čnteľ nehmotný. V ekonometrckých modeloch vystupujú teto čntele ako vysvetľujúce premenné k vysvetľovanej premennej, ktorou je výroba. Ide tu o vyjadrene funkčnej závslost f hodnoty produkce q (resp. y) od vstupných hodnôt výrobných čnteľov (x,,x n ). Pre konštrukcu produkčnej funkce je treba určť, ktoré vstupné výrobné čntele a v akom rozsahu sa stanú vysvetľujúcm velčnam technologckého procesu a jeho prípadnej nováce v dôsledku uplatňovana prvkov technckého pokroku. Vo všeobecnost možno vyjadrť produkčnú funkcu v mocnnovom tvare vzťahom q α α αn a x x L (8.) x n kde a, α sú reálne nezáporné konštanty.
0 Ekonometra pre manažérov Produkčná funkca vyjadruje regresný vzťah medz vstupným velčnam výrobných čnteľov a vysvetľovanou velčnou výslednej produkce. [Poznámka: v ekonomckej analýze sa spravdla pre množstvo výroby uvádza symbol q. V ekonometrckých modeloch sa vo všeobecnost pre vysvetľovanú premennú používa symbol y. Význam symbolu y vychádza z nterpretáce modelu. Veľké písmená symbolov sa uvádzajú pre premenné v základných, východskových súboroch, malé písmena symbolov pre premenné v modeloch]. Uvedenú rovncu možno stvárnť na ekonometrcký model vytvorením regresných štrukturálnych rovníc. Ako veme, každý ekonometrcký model obsahuje v sebe dva typy rovníc: rovnce správana a rovnce defnčné. Rovnce správana sú také rovnce, ktoré vyjadrujú správane sa prvkov ekonomckých procesov k sebe navzájom a nazývame ch tež ekonomckým (ekonometrckým) funkcam. Defnčné rovnce vyjadrujú stý vzájomný vzťah ako fakt a bez vysvetlena súvslostí a závslost v modeloch. Ide o dentty. Najčastejše používanou produkčnou funkcou je rovnca Cobbová-Douglasová, v ktorej sa výrobné čntele združl do dvoch skupín, t.j. do zamestnanost a do vybavenost základným prostredkam základným kaptálom F. Vychádza sa z produkčnej funkce vyjadrenej závslosťou y f x x Lx ), v konkrétnej podobe Cobbovej-Douglasovej funkce ( n α α y pre 0 ax x α (8.) resp. y af α β (8.3) kde a je multplkačnou konštantou a parameter (-α) je parametrom β s tým, že pre potreby ekonomckej analýzy sa počíta so súčtom hodnôt parametrov jednotlvých premenných rovných jeden, α+β. Inak by sa musela hodnota parametrov na túto úroveň upravovať. Pr analýze dvojfaktorovej (ale vacfaktorovej) produkčnej funkce musí sa samostatne skúmať ekonomcká významnosť každej premennej. Pre formulácu modelu to znamená, že sa model transformuje na model s funkcou jednej premennej a druhá premenná sa považuje za parameter rovnce, t.j. za stálu, nemennú hodnotu. Model (8.) sa môže potom upravť na tvar (8.4) y ax a x b Ak sa premenná x bude považovať za premennú s parametrom nula, potom rovnca (8.4) bude mať tvar y ax a x b (0) (8.5)
8 Produkčné modely Ak sa za parametre bude považovať premenná x, potom rovnca bude mať tvar a b y ax(0) x (8.6) Ak sa objem produkce bude považovať za nemenný, vysvetľujúce premenné vytvora celý rad možností pre stanovene objemu výroby [pozn.: pre produkčnú funkcu sa vytvárajú pramky tzv.: zokvanty] y ax a x b 0 (8.7) Pre ekonomckú analýzu zohráva významnú úlohu skúmane optmalzáce výrobnej funkce. Krtérom optmalzáce sú u produkčných funkcí predovšetkým výrobné náklady. Otázka optmalzáce stojí tak, že sa klade otázka, pr akej veľkost výroby sú náklady najnžše. Je potrebné zdôraznť, že de výhradne o parcálnu otázku, pretože v trhovom hospodárstve objem a druh výroby nezávsí spravdla ba od výrobných nákladov, ale závsí aj od možností odbytu. Ale aj tu hospodárnosť výroby má v konkurenčnom prostredí obrovský význam, lebo sa vyrába nelen pre zastený (resp. predpokladaný) odbyt, ale vyrábať sa musí pre zabezpečený trh kvaltne a hospodárne. Akosť (tá tež nečo stojí) a náklady sú východskom konkurenčnej ceny výrobku na trhu. Výpočet optmalzáce výroby spočíva teda v tom, že sa hľadá, ktorý bod na tej ktorej zokvante je z hľadska kalkuláce nákladov najvýhodnejší, t.j. dosahuje najnžšu hodnotu celkových nákladov. 8. Modely produkce Produkčné modely sú dnes v ekonomckej teór veľm rozvnuté. V lteratúre [] sa uvádza členene, z ktorého vyberáme nektoré čast. Produkčné funkce podľa počtu premenných sa dela na: - jednofaktorové, ktoré vyjadrujú závslosť produkce ba od jednej premennej (napr. základných prostredkov F alebo zamestnanost ), - dvojfaktorové, ktoré vyjadrujú závslosť produkce od dvoch čnteľov (napr. od oboch vyšše uvedených), - vacfaktorové, ktoré vyjadrujú závslosť od vacerých čnteľov. Podľa tvaru funkce sa dela na: - lneárne produkčné funkce, napr.: yb 0 +b F+b kde parametre b a b vyjadrujú hrančnú produktvtu čnteľov F a, t.j. absolútny prírastok produkce vyvolaný jednotkovým prírastkom základných prostredkov alebo zamestnanost,
Ekonometra pre manažérov - mocnnové produkčné funkce, z ktorých najvýznamnejša je už uvedená Cobbova- Douglasová produkčná funkca tvaru yaf α β kde parametre α a β vyjadrujú elastctu (pružnosť) produkce y vo vzťahu k čnteľom F a, t.j. relatívny prírastok produkce v % vyvolaný prírastkom základných prostredkov alebo zamestnanost o %, - zložtejše funkce, napr. produkčná funkca s konštantnou alebo varablnou elastctou substtúce a pod. Pr skúmaní podnkových výkonov sa ekonomka sústreďuje nelen na otázky objemu výkonov, ale na otázky výkonnost vložených prostredkov pr tvorbe produktov. Skúma sa produktvta, efektívnosť jednotlvých výrobných čnteľov voč objemu výroby. Jednotlvé funkce, ktoré sa vzťahujú na efektívnosť jednotlvých výrobných čnteľov, q f (x ), q f (x ),, sa odvodzujú zo všeobecnej produkčnej funkce qf(x,x,,x n ). Pr skúmaní efektívnost výroby výrobcov a manažérov zaujímajú otázky, ako pružne reaguje výroba na zmenu výrobných čnteľov. Hovorí sa potom o lneárnej pružnost výrobného čnteľa (qax ), alebo kvadratckej (progresívnej č degresívnej) pružnost (qax ±bx +c). V ekonomckej analýze sa pr skúmaní efektívnost výroby pracuje s tvarom produkčných funkcí pre -tý (x ) výrobný čnteľ. Funkce sa modelujú v lneárnom nelneárnom tvare, prčom sa skúma (a) celková q, (b) premerná (q/x ) a (c) hrančná (margnálna, dferencálna) produktívnosť q. Majú takýto algebracký (modelový) a grafcký tvar: - lneárna funkca: a) q ax q b) a x c) q a kde a,b sú parametre premennej určujúce jej sklon. Obr. 8. Lneárna produkčná funkca
8 Produkčné modely 3 Lneárna funkca je ekonomcky neutrálna, pretože pr raste jednotky výrobného čnteľa raste objem výkonov pramo úmerne. Konštantná je premerná a hrančná produktívnosť a na jednotku výroby sa nemení; - progresívna funkca: b / a a) q kde b a x b) c) q / x b q a x x b / a x ( b / a) Obr. 8. Progresívna produkčná funkca - degresívna funkca: a / b a) q kde a b x b) c) q / x a q b x x a / b x ( a / b) Obr. 8.3 Degresívna produkčná funkca
4 Ekonometra pre manažérov Celková funkca je stúpajúca, ale premerná hrančná je klesajúca, prčom hrančná klesá rýchlejše. Táto funkca je ekonomcky nevýhodná. Všetky tr funkce sú (v kladnom kvadrante) stúpajúce, prčom hrančná funkca stúpa rýchlejše ako premerná. - progresívno-degresívna funkca: 3 a) q ax bx - pre úsek funkce treteho stupňa b) c) q q x ( ax q / bx ax 3bx ) Obr. 8.4 Progresívno-degresívna produkčná funkca Pr skúmaní produkce sa neskúma ba jej objem, ale skúmajú sa aj né hospodársky významné vlastnost výroby. Pr kvanttatívnych vlastnostach sa skúma predovšetkým vplyv zmeny veľkost výrobného čnteľa na veľkosť výroby q. Tento vplyv sa charakterzuje parcálnou dervácou danej funkce podľa príslušného čnteľa δq δx α α αn α ax x Kx (8.8) n Parcálna derváca δ q / δx udáva rýchlosť zmeny hodnoty funkce q pr zmene veľkost -tého čnteľa x za predpokladu, že ostatné čntele sa nemena. 8.3 Pružnosť produkčných funkcí Pod pružnosťou produkčnej funkce rozume sa závslosť produkce (výroby) od posudzovaného výrobného čnteľa a odvodzuje sa od produkčnej funkce tvaru q f x, K, x ). ( n Pružnosť produkčnej funkce má spravdla prebeh lneárny, kvadratcký alebo kubcký.
8 Produkčné modely 5 Lneárna produkčná funkca je modelovaná výrazom čnteľa x sa defnuje všeobecným vzťahom q a + bx a pružnosť výrobného x dq q dx ε (8.9) Po dosadení hodnôt modelovanej velčny q dostaneme hodnotu lneárnej pružnost funkce x ε b (8.0) a + bx bx a + bx z čoho vyplýva, že pružnosť je merou využta výrobného čnteľa modelovaného funkcou tvaru q a u lneárneho tvaru funkce pružnosť výrobného čnteľa stúpa so stúpajúcou funkcou, teda so stúpajúcou hodnotou výrobného čnteľa pr nezmenenej konštante b a východskovej hodnoty, t.j. konštanty a. Kvadratcká produkčná funkca má progresívny alebo degresívny prebeh a vychádza z výrazu q ax ± bx. Pružnosť produktvty výrobného čnteľa x pr progresívnej produktívnej funkce je defnovaná výrazom x dq x ax + bx ε ( a + bx ) (8.) q dx ax + bx ax + bx hodnôt vypočítanej pružnost vyplýva, že využte výrobného čnteľa x je výhodné, pretože celková pružnosť stúpa a teda stúpa aj produktvta výrobného čnteľa. U degresívnej produkčnej funkce by tomu bolo naopak. Kubcká produkčná funkca má progresívno degresívny prebeh a je modelovaná napr. 3 funkcou tvaru ax + bx cx. Pružnosť produktívnost výrobného čnteľa x je vyjadrený vzťahom x dq x ax + bx 3cx ( a + bx 3cx ) 3 3 ε (8.) 3 q dx ax + bx cx ax + bx cx uvedeného vzťahu je možné urobť teto závery: a) ak je ε<, prírastok produkce sa získa z väčšeho prírastku výrobného čnteľa, a teda jeho produktvta klesá, b) ak je ε, prírastok produkce sa získa rovnakým prírastkom výrobného čnteľa, a preto jeho produktívnosť ostáva nezmenená, c) ak je ε>, prírastok produkce sa získa z nžšeho prírastku výrobného čnteľa, a preto jeho produktívnosť stúpa.
6 Ekonometra pre manažérov Špecfcky sa problematkou produkčných funkcí zaoberá mkroekonomka. Uvedené východskové poznatky o modelovaní produkce treba prehĺbť podľa odvetví a odborov národného hospodárstva, v ktorých sa produkca analyzuje. Poznane o produkčných funkcách sú nevyhnutnou podmenkou manažérskeho prístupu k radenu podnkateľských čnností. Pr analýze produkčných funkcí sa treba ešte zmenť o elastcte produkce a o substutúc výrobných čnteľov. Pod elastctou sa rozume schopnosť reakce jednej velčny na zmenu nej velčny, ktorá ju ovplyvňuje. Koefcent elastcty vyjadruje vzťah medz relatívnou zmenou pozorovanej velčny Y a relatívnou zmenou príslušného výrobného čnteľa (napr. zamestnanost ) E Y, relatívna relatívna zmena Y zmena resp.: dy Y dy, (8.3) d Y d E Y koefcentu elastcty možno vyjadrť vzťah d dy, (8.4) Y E Y d dy Ak, potom koefcent elastcty je E Y,, teda ak sa zmení čnteľ Y o jednotku, koefcent elastcty sa rovná relatívnej zmene Y. Koefcent elastcty udáva o koľko percent sa zmení velčna Y ak sa zmení velčna o %. Substtúca výrobných čnteľov znamená vzájomnú zamenteľnosť jedného čnteľa ným čnteľom, napríklad zamestnanosť základným kaptálom (základným prostredkam) F tak, aby sa objem výroby nezmenl. Mera substtúce z, ktorá zabezpečí konštantnosť výroby Y, sa rovná podelu produktvít čnteľov a F Y df z (8.5) d Y F dôvodnene uvedeného vzťahu nájdeme v príslušnej lteratúre.
8 Produkčné modely 7 Príklad 8. Cobbová-Douglasová produkčná funkca Manažér podnku Mladá Voda, a.s., ktorého zamestnanc sa zaoberajú plnením flaš nealkoholckým nápojm, chce modelovať výrobnú funkcu na základe údajov o počte robotníkov a o množstve prevádzkového kaptálu. Východskom pre skúmane výroby sú prerezové údaje za 0 vybraných prevádzok v určtom mesac v roku 003 uvedené v tab. 8.. Ukazovateľ kaptálovej vybavenost vypočítal nžner v pomere k rozlohe a kapacte prevádzky, a jeho hodnoty sa pohybujú v ntervale od do,75. Objem produkce v jednotlvých prevádzkach sa uvádza v ltroch za jednotku času. Produkca Kaptál Práca 98 5 99 7 04 0 0 36,5 30,5 6 44,5 9 7,5 33 8,5 36 65,5 9 76,5 36 9,5 39,5 4 9,5 43 06,5 44 8,75 44 5,75 48 4,75 53 7,75 55 79,75 58 Tab. 8. Údaje o produkc v prevádzkach podnku Jedným zo spôsobov modelovana výroby je Cobbová-Douglasová produkčná funkca. Všeobecný predps (8.3) určujúc Cobbovú-Douglasovú produkčnú funkcu môžeme doplnť na stochastcký prdaním náhodnej zložky do modelu y af α β e u kde y je úroveň produkce, F je úroveň kaptálovej vybavenost, popsuje úroveň zamestnanost, a je úrovňová konštanta, α je parameter modelu, pre ktorý platí 0 α, β je parameter modelu, pre ktorý platí 0 β, a u je náhodná zložka v model.
8 Ekonometra pre manažérov Použte metódy najmenších štvorcov na odhad parametrov regresného modelu predpokladá lneárny vzťah medz vysvetľovanou a vysvetľujúcm premenným. V špecálnych prípadoch je možné prevesť nelneárny model na model, ktorý je lneárny v parametroch a takto transformovaný model rešť pomocou metódy najmenších štvorcov. Takýmto spôsobom sa môže rešť tež Cobbová-Douglasová produkčná funkca alebo logstcká funkca. Uvedené funkce nelneárne v parametroch je logartmovaním možné transformovať na funkce lneárne v parametroch. Odhad úrovňovej konštanty je po transformác pôvodnej funkce v tvare logartmu, a preto sa vyžaduje jeho odlogartmovane. Odhadnuté parametre α, β sú koefcenty relatívnej pružnost a určujú o koľko percent vzraste v premere objem vysvetľovanej premennej (produkca), ak vzraste vysvetľujúca premenná (kaptál, práca) o % za nak nezmenených podmenok. Súčet koefcentov relatívnej pružnost ( α + β ) vyjadruje efekt z rozsahu výroby. Pre tento súčet, za predpokladu vyšše uvedených obmedzení pre obdva koefcenty, platí ( α + β ) rastúce výnosy z rozsahu, ( α + β ) konštantné výnosy z rozsahu, ( α + β ) klesajúce výnosy z rozsahu. Uvedeme s prncíp lneárnej transformáce Cobbovej-Douglasovej produkčnej funkce: α β u Východskovú rovncu y af e logartmujeme vykonáme substtúcu ln y ln a + α ln F + β ln + u a ln a y ln( y) F ln( F) ln( ) pomocou ktorej sme dospel k rovnc lneárnej v parametroch y a + α F + + u β v ktorej odhadujeme parametre metódou najmenších štvorcov. Výsledkom je odhadnutá regresná rovnca yˆ aˆ +α ˆF + ˆ β Po dosadení emprckých údajov o produkc, kaptále a prác v prevádzkach podnku do modelu získame z ch logartmovaných hodnôt premenných odhady parametrov ˆ, α ˆ β y ˆ + F +,779 0,348 0, 644 uvedenej rovnce získame hodnoty parametrov pôvodnej odhadovanej rovnce v nelneárnom tvare, a to a exp( a ) 6,0; α 0,348; β 0, 644. Hodnoty koefcentov relatívnej pružnost α, β získame pramo z odhadnutej transformovanej rovnce, hodnotu úrovňovej konštanty získame odlogartmovaním (spätnou substtúcou).
8 Produkčné modely 9 Rovncu produkce v pôvodnom nelneárnom tvare môžeme zapísať y ˆ 6,0F 0,348 0,644 Parameter α 0, 348 nterpretujeme tým spôsobom, že ak vzraste množstvo kaptálu o % a počet pracovníkov zostane nezmenený, tak vzraste objem produkce v premere o 0,348%. Parameter β 0, 644 znamená, že ak vzraste počet zamestnancov o % a množstvo kaptálu zostane nezmenené, tak objem výroby vzraste o 0,644%. Súčet obdvoch koefcentov je prblžne rovný jednej (0,99), takže prevádzky vykazujú konštantné výnosy z rozsahu. Každý zo vstupov vykazuje klesajúce hrančné výnosy. odhadnutej produkčnej funkce veme určť hrančný produkt kaptálu a práce. Podľa (8.8) vypočítame hrančný produkt kaptálu y F α a F F α β y α F 79 0,348 55,48,75 Ak sa zvýš kaptálové vybavene o jednotku a množstvo pracovníkov zostane nezmenené, tak možno očakávať prírastok produkce o prblžne 55, 5 ltra nápoja za jednotku času. Hrančný produkt práce vypočítame ako parcálnu dervácu podľa premennej, y β af a β y β 79 0,644 3,0 58 Ak sa zvýš počet pracovníkov o jednotku a kaptálové vybavene prevádzky sa nezmení, tak môžeme očakávať prírastok 3, ltra nápoja naplneného do flaš. Cobbová-Douglasová produkčná funkca je defnovaná ako substtučná, t.j. úbytok čnteľa práce je možné kompenzovať prdaním kaptálu, resp. opačne a úroveň produkce zostane nezmenená. Meru substtúce vypočítame podľa vzťahu (8.) a dostávame z y y F y β y α F β α F 0,644,75 0,056 0,348 58 výšením počtu pracovníkov o jedného môžeme kompenzovať úbytok kaptálového vybavena o 0,056 ndexového bodu a hodnota produkce zostane nezmenená. Alternatívne môžeme vypočítať meru substtúce kaptálu prácou z y F y y α F y β α β F 0,348 0,644 58,75 7,909 Vypočítanú hodnotu možno nterpretovať tým spôsobom, že zvýšením kaptálového vybavena o jednotku môžeme nahradť prácu osemnástch zamestnancov, a objem výroby zostane zachovaný.
30 Ekonometra pre manažérov 8.4 Modely nákladov Náklady predstavujú pr výrobe spotrebované prvky vstupných velčín, akým sú napríklad surovny, materály, energa, práca, odpsy hmotných a nehmotných prostredkov, režjné náklady a pod. Časť týchto nákladov je stála, fxná a ne je závslá od objemu výroby a druhá, varablná časť nákladov je od výroby závslá. Problémom analýzy väzeb nákladových druhov na objem výroby sa zaoberá mkroekonomka. Ekonometrcká analýza nákladov sa sústreďuje na vytvorene modelov, pomocou ktorých je možné defnovať závslost vlastných nákladov výroby od ných výrobných čnteľov. Takáto analýza poslúž radacm pracovníkom pr rozhodovaní o výrobe o výdavkoch s ňou spojených. Pre vyjadrene prebehu nákladov sa pr modelovaní používajú takéto nákladové funkce (N náklady, q jednotková výroba) - lneárna funkca: ( q) a + a q N 0 Obr. 8.5 Lneárna funkca nákladov - polynóm druhého stupňa (parabola): N ( q) a + a q + a q 0 Obr. 8.6 Kvadratcká funkca nákladov
8 Produkčné modely 3 - polynóm k-tého stupňa: k N ( q) a0 + aq +... + ak q + a k q k - mocnnová funkca: N( q ) aq Obr. 8.7 Polynomcká nákladová funkca (k-tého stupňa) b N ( a > 0, b > ) ( a > 0, 0 < b < ) ( a > 0, b < 0 ) - exponencálna funkca: N ( q) ae q Obr. 8.8 Mocnnová nákladová funkca N( q) ab N( q) e βq βq βq+ α kde a, b sú nezáporné konštanty, α,β sú konštanty, e je Eulerové číslo. Obr. 8.9 Exponencálna nákladová funkca
3 Ekonometra pre manažérov - hyperbolcká funkca: N ( q) a 0 a + a q kde a je konštanta. Obr. 8.0 Hyperbolcká nákladová funkca - logartmcká funkca: N ( q) a lg( α q + β ), prčom αq+β>0 Obr. 8. Logartmcká nákladová funkca V ekonometrckej analýze sa používa nákladová funkca pre celkové náklady pre náklady na jednotku výroby, jednotkové náklady. Pre vyjadrene celkových nákladov N c sa spravdla používa vzťah N c f n ( Y ) + b X + u (8.6) kde Y je celkový objem produkce, X - vysvetľujúce premenné, u,v - náhodné zložky v nákladových funkcách.
8 Produkčné modely 33 Ak medz celkovým a jednotkovým nákladm platí vzťah n j N c /Y, potom pre vyjadrene jednotkových nákladov n j platí vzťah n n j f + Y ( Y ) + ( b X ) v (8.7) Poznamenávame, že u jednoduchších, alebo slne agregovaných nákladových funkcí sa nemusí počítať s ným vysvetľujúcm premenným a postačí ba väzba na objem výroby Y. V tom prípade sa, pochopteľne, vyšše uvedené vzťahy zjednodušujú na všeobecný vzťah N c f ( Y ) + u o vzťahu medz jednotkovým a celkovým nákladm tež vyplýva, že pr nak nezmenených podmenkach, celkové náklady sú súčnom jednotkových nákladov a objemu výroby N c Yn j (8.8) a teda, v danom prípade, jednotkové náklady vyjadrujú všetky vplyvy všetkých ostatných výrobných čnteľov. Pre uvedený vzťah možno vytvorť aj regresnú rovncu zavedením parametrov premenných Y a n j, konštanty a náhodnej premennej Nc b + b Y + b n j + u 0 (8.9) Pravda, vývoj celkových nákladov nemusí byť lneárny, môže byť aj nelneárny. Rozdel medz lneárnym a nelneárnym vývojom nákladovej funkce možno odstránť zavedením dodatkovej trendovej premennej E t tvaru E t rt t( e ) kde r predstavuje premerné tempo prírastku produkce za čas t. Po tomto doplnení možno lneárnu regresnú rovncu vyjadrť vzťahom N c 3 + b0 + by + bn j + b Et u (8.0) Nelneárny prebeh nákladovej funkce môže mať nektorý z prebehov, ktorých vzorce sme vyšše uvedl. V nákladových kalkulácách sa vyskytujú celkom jednoduché formy výpočtu nákladov a zsku. Také sú, napríklad, uvedené v publkác [4]. Výrobné náklady na jednotku výroby w sa skladajú z fxných nákladov F a varablných nákladov v, vždy na jednotku výroby, prčom q vyjadruje množstvo vyrobených výrobkov. Platí to za predpokladu, že sledujeme celkové náklady na výrobu, alebo množstvo predaných výrobkov a že nás bude zaujímať zsk.
34 Ekonometra pre manažérov Výrobné náklady na jednotku w výroby teda budú F + vq w (8.) q a celkové výrobné náklady wq F + vq (8.) Pravda, varablné náklady možno rozpsovať podľa druhu nákladov (materál, energa, mzda, režjné náklady, atď.) a fxné tež možno rozpísať, ale jednoduchše je ch chápať ako konštantu. resp. Ak p je predajná cena výrobku, môže sa vypočítať veľkosť zsku π vzťahom π pq ( F + vq) (8.3) π pq wq (8.4) Pravda, de o jednoduché kalkulačné závslost. Príklad 8. Modelovane nákladov v podnku V tomto príklade sa budeme zaoberať nákladovou analýzou s využtím ekonometrckého modelu. Radac pracovník chce zostavť model, na základe ktorého by mohol radť náklady a pochopteľne dosahnuť ch úsporu. Vo svojch úvahách vychádza z jednoduchého lneárneho vzťahu medz veľkosťou celkových nákladov a množstvom produkovaného tovaru. O vývoj celkových nákladov (v ts. Sk) a o množstve produkce (v kusoch) v jednotlvých mesacoch roku 003 v konkrétnom podnku nformuje tab. 8.. Obdobe Náklady Objem výroby 7000 600 7800 8450 3 8000 0400 4 8800 600 5 8500 800 6 700 4800 7 7000 6400 8 7500 8700 9 700 7500 0 7600 8600 8600 400 8500 00 Spolu 93 600 08 050 Tab. 8. Údaje o produkc a nákladoch podnku
8 Produkčné modely 35 Formálne môžeme zapísať model v tvare N C f ( q, u) kde N sú celkové náklady, q je množstvo produkovaného tovaru a u je náhodná zložka. C Špecfkujeme lneárny funkčný vzťah medz premenným modelu N C F + vq + u kde F v je úrovňová konštanta, v model vyjadruje veľkosť nákladov nezávslých od objemu výroby, tzv. fxných nákladov, predstavuje varablné náklady na jednotku produkce. Keďže de o rešene regresnej rovnce lneárnej v parametroch, tak použjeme na odhad jej parametrov metódu najmenších štvorcov, a dostaneme rovncu v tvare ˆ Fˆ + vq ˆ, t.j. N ˆ 554,8+ 0,54q R C (55,394) (0,07) t,593 t 9,57 0,896 DW,853 Model generuje jednak úroveň premerných mesačných fxných nákladov ( F 554,8 ts. Sk), a úroveň premerných varablných nákladov na jednotku produkce ( v 54 Sk). Pr raste produkce o jednotku sa zvýša celkové náklady o 0,54 ts. Sk. Model ako celok je štatstcky významný a pomerne dobre vysvetľuje úroveň celkových nákladov (89,6%), jednotlvé parametre ( F,v ) sú štatstcky významné na základe t-štatstky. pohľadu prognózy nás zaujíma vývoj celkových nákladov v období január a február 004, prognózu vykonáme pomocou odhadnutého modelu. Plánované množstvo produkce v január 004 je 8000 kusov výrobkov, vo február 004 je plánovaných 8500 kusov tovaru. N ˆ N ˆ C jan C feb 554,8+ 0,54 8000 7546,8. 04 554,8+ 0,54 8500 7673,8. 04 Výpočty v predchádzajúcch dvoch radkoch sú vyjadrením odhadu očakávaných celkových nákladov v obdobach január a február 004, ktoré bezprostredne nasledujú za obdobam, z ktorých sme čerpal údaje pre odhad parametrov v ekonometrckom model. Odhad očakávaných nákladov teda vychádza z nemennost podelu fxných nákladov na celkových nákladoch výroby a na konštantných jednotkových varablných nákladoch výroby. Na základe modelu je možné plánovať ročné náklady v podnku, úrovňová konštanta sa pre tento účel vynásobí dvanástm Nˆ C 6677,7 + 0, 54q N C Ak uvažujeme v roku 004 s množstvom vyrobených výrobkov celkové náklady výroby predstavujú častku q 0000 kusov, tak
36 Ekonometra pre manažérov N ˆ 6677,7 + 0,54 0000 96657,7 ts. Sk 004 C Nákladovú analýzu je možné ďalej doplnť ďalším ukazovateľm, ako sú napríklad celkové jednotkové výrobné náklady podľa vzorca (8.). V roku 004 pr predpokladanej produkc 0 ts. kusov výrobkov očakávame premerné výrobné náklady na jednotku produkce w F + vq q 96657,7 0000 004 0,805 ts. Sk Úvahu ďalej môžeme rozšírť o kalkulácu zsku, prčom uvažujeme predajnú cenu Sk/jednotku tovaru. Výpočet zsku vykonáme podľa vzorca (8.3) alebo (8.4) p 000 π pq ( F + vq) 0000 96657,7 334,8 ts. Sk 004 Ak vyjadríme náklady budúceho obdoba na základe ukazovateľa nákladovost z mnulého obdoba, tak zstíme, že vznká relatívna úspora nákladov v dôsledku degrese fxných nákladov. Nákladovosť mnulého obdoba (roku 003) vyjadríme pomerným číslom w 003, skutočné údaje za rok 003 sa uvádzajú v tab. 8., NC 003 93600 w003 0,866ts. Sk q 08050 003 Náklady plánovaného množstva výroby pr nákladovost mnulého obdoba (roku 003) vypočítame N C 0000 0,866 004 0390 ts. Sk Relatívnu úsporu nákladov ( N C 004 ) spôsobenú degresou fxných nákladov vypočítame ako rozdel celkových nákladov v roku 004 s uvažovanou nákladovosťou roku 003 a celkových nákladov v roku 004 s uvažovanou nákladovosťou roku 004 odvodenou z modelu N ˆ 004 C NC 004 NC 004 0390 96657,7 76,8 ts. Sk a predpokladu nemenných fxných nákladov sú teda rezervy v znžovaní nákladov spôsobené rozšrovaním výroby. Otázky. Popíšte Cobbovú-Douglasovú produkčnú funkcu a nterpretujte jej parametre.. Vysvetlte pojmy zokvanta a substtúca výrobných čnteľov. 3. Vymenujte čntele ovplyvňujúce celkové náklady podnku. 4. ostrojte jednoduchý model zsku. 5. apíšte vzorec koefcentu elastcty v produkčných funkcách a nterpretujte ho.