L avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s

L avoruké materiály Peter Markoš, FÚ SAV 25 február 2004 Abstract Porozprávam o niektorých EM vlastnostiach l avorukých materiálov: elektrodynamika s ε < 0 a µ < 0, l avoruké štruktúry, numerické simulácie, výpočet efektívnej permitivity a permeability. Nezatajím problémy, na ktoré sme narazili. Typeset by FoilTEX

Maxwellove rovnice div D = ρ rot H = J + D t div B = 0 rot E = B t ρ = 0 J = 0 D = ε E B = µ H ε... permitivita µ... permeabilita Vo všeobecnosti ε a µ sú komplexné tenzory. Index lomu: n = εµ Impedancia: z = µ ε Typeset by FoilTEX 1

Typeset by FoilTEX 2

Rovinná monochromatická vlna k E = ω c µh k H = ω εe (1) c Vlnový vektor: k 2 = ω2 c 2 εµ Nie je dôvod zakázat obe ε aj µ záporné. (2) L avorukost... : vektory E, H a k sa orientujú podl a pravidla l avej ruky. Poyntingov vektor: S = E H. k ε E H k a S sú antiparalelné: k. S < 0. Typeset by FoilTEX 3

Disperzia Energia EM pol a: musíme použit obecný vzt ah U = εω ω E2 + µω ω H2 Podmienky (3) εω ω > 0 µω ω > 0 Dôsledok: l avorukost vyžaduje disperziu. Dôsledok (K-K): nexistujú l avoruké materiály bez EM strát. Typeset by FoilTEX 4

Grupová rýchlost v g je zdrojom najčastejších nedorozumení pri interpretácii výsledkov v LHM. v g = ω k v g = c (nω)/ ω Dá sa ukázat, že grupová rýchlost je kladná. Ale: žiadna analýza nebola urobená pre obecné parametre (ε, µ komplexné). Aby sme sa vyhli nedorozumeniam, zabudneme na grupovú rýchlost. Podstatný je smer šírenia energie. Typeset by FoilTEX 5

Index lomu Dopad EM vlny na rozhranie RHM - LHM. Požadujeme: n > 0 z > 0 n = εµ ε = ε e iφ ε, µ = µ e iφ µ, n = n e iφ n. φ n = 1 2 (φ ε + φ µ ) Ak je ε < 0 aj µ < 0, potom aj n < 0. L avoruké materiály majú preto záporný index lomu. Typeset by FoilTEX 6

Ideálna šošovka? Veselago ukázal, že tenká vrstva LH materiálu funguje ako šošovka. Pendry: takáto šošovka nemá zobrazovaciu chybu. Dôvod: LH médium zosilňuje evanescentné módy, ktoré v RH prostredí exponenciálne zanikajú. Fyzikálny dôvod: rozhranie LH - RH prostredí podporuje vznik povrchových vĺn. (Ruppin, Haldane). Možnost získat šošovky so zobrazovacou chybou menšou ako je vlnová dĺžka je hlavným motívom štúdia LH štruktúr Typeset by FoilTEX 9

Námietky LH nemôže fungovat, pretože EM straty sú vel mi vel ké (Garcia). Záporný lom EM vlny narušuje kauzalitu (Valanju) Záporný lom EM vlny je len near field effect (Garcia) Ideálne šošovky neexistujú (Walser, t Hooft, ai.) Priestorová disperzia neumožňuje definovat efektívne parametre (Efros) µ(ω) nemá fyzikálny význam pri vysokých frekvenciách (Efros) Typeset by FoilTEX 18

Efektívne parametre homogénny systém dĺžky L: Transmisia odrazivost ako funkcia indexu lomu a impedancie: [ t 1 = cos(nkl) i ( z + 1 ) ] sin(nkl) 2 z (4) r t = i 2 ( z 1 ) sin(nkl) (5) z k je vlnový vektor EM vlny vo vákuu. n = εµ a z = µ/ε Typeset by FoilTEX 19

Efektívne parametre (1 + r) z = ± 2 t 2 (1 r) 2 t 2 (6) cos(nkl) = X = 1 ( 1 r 2 + t 2) (7) 2t nutné podmienky: z > 0 a n > 0 e n kl [cos(n kl) + i sin(n kl)] = Y = X ± 1 X 2. (8) umožňuje určit jednoznačne znamienko indexu lomu. Typeset by FoilTEX 20

Nutné podmienky: Prepdokladáme homogénny materiál. byt vlnová dĺžka vo vnútri vzorky. Preto typická nehomogenita musí Toto nemusí byt vždy splnené: vel kost elementárnej bunky: 3-3.5 mm frekvencia EM vlny: 10 GHz vlnová dĺžka vo vákuu: 3-4 cmm index lomu vo vnútri materiálu 0 < n < 3 Typeset by FoilTEX 21

Príklad: LHM štruktúra Transmission 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 SRR: 3x3x3 mm Re(n)<0 f=1.2ghz # of unit cells: N=5 N=10 N=15 N=20 8 9 10 11 12 13 Frequency [GHz] Refraction index 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Im (n) = 10 2 Re(n) <0 ε metal =( 3+5.88 i)x10 5 Size of the unit cell: 3.3 x 3.67 x 3.67 mm Re n Im n 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 Frequency [GHz] Typeset by FoilTEX 22

Príklad: LHM štruktúra 0.1 ν=9.8 GHz 0.5 ν=10.5 GHz 0.1 ν=11 GHz Real (t) 0.0 0.0 0.0 n= 3.26 + 0.0155 i 0.1 200 225 250 275 300 TTTTTT n= 1.31 + 0.005 i 0.5 200 225 250 275 300 System length [#unit cells] n= 0.378 +0.008 i 0.1 200 225 250 275 300 TTTT Typeset by FoilTEX 23

Príklad: LHM štruktúra n kl 2 4 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 ν=9.8 GHz Re(n)= 3.26 2 0 ν=10.5 GHz Re(n)= 1.31 ν=11 GHz Re(n)= 0.378 4 200 210 220 230 240 System length L [#unit cells] n kl 4 2 0 2 ν=10.5 GHz, E x, Re(n)=+1.13 4 200 210 220 230 240 System length L [#unit cells] Typeset by FoilTEX 24

Mriežka tenkých kovových drôtov Efektívna permitivita periodickej mriežky tenkých kovových drôtov: 5 18 0 5 10 15 ε eff 10xε eff 50 100 200 50 100 200 4 6 8 10 12 14 Frequency [GHz] ε /ε 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 0 5 10 15 20 Frequency [GHz] Absorption Plasma frequency [GHz] 16 14 12 10 8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 wire radius r [mm] Drudeho formula: ε = 1 ω2 p ω 2 +iωγ Numerické dáta potvrdzujú teoretické predpoklady. Typeset by FoilTEX 25

Mriežka SRR Problém: zmena polarizácie EM vlny počas prechodu cez štruktúru: 0.5 10 0 Array of SRRs t xx 2 Real part of transmisison 0 0.5 t 100 t Y Transmission 10 2 10 4 10 6 t yy 2 t t yx 2 xy 2 1 0 10 20 30 40 50 System length [number of unit cells] X Z 10 8 8 9 10 11 12 13 14 Frequency [GHz] t yy (0, L) = t (0) yy (0, L)+t (1) yy t (1) yy = z,z t yx (0, z)t xx (z, z )t xy (z L)+...(9) Problém: simulácie? nie je tento efekt sp:osobený len nepresnost ou numerickej Typeset by FoilTEX 26

Mriežka SRR Array of SRRs Transmission 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 t yy 2 t xy 2 t xx 2 t yx 2 8 9 10 11 12 13 14 Frequency [GHz] Permittivity Impedance 6 4 2 0 2 4 6 9 10 11 12 3 2 1 0 1 9 10 11 12 Frequency [GHz] Permeability Refractive index 20 10 0 10 9 10 11 12 5 4 3 2 1 0 1 9 10 11 12 Frequency [GHz] Typeset by FoilTEX 27

Mriežka SRR+wires Double negative material Transmission 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 t yy 2 t xx 2 t yx 2 t xy 2 8 9 10 11 12 13 14 Frequency [GHz] Permittivity Impedance 1 0 1 2 3 4 9 10 11 12 13 14 1 0 1 2 9 10 11 12 13 14 Frequency [GHz] Permeability Refraction index 2 1 0 1 2 3 9 10 11 12 4 2 0 2 4 9 10 11 12 Frequency [GHz] V rezonančnej oblasti nie sú splnené podmienky ε > 0 ani (εω) ω > 0. Typeset by FoilTEX 28

Mriežka tenkých prerušovaných drôtov drôtov 20 2 Transmission 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 0.45 0.35 0.3 0 0.1 0.2 5 15 25 35 Frequency [GHz] 0.4 f 0 L c light /L Permittivity Impedance 10 0 10 5 10 15 20 25 30 6 4 2 0 2 4 6 5 10 15 20 25 30 Frequency [GHz] Permeability Refractive index 1 0 1 2 5 10 15 20 25 30 4 3 2 1 0 1 5 10 15 20 25 30 Frequency [GHz] Typeset by FoilTEX 29

Problémy Všetky numerické dáta dávajú ε µ < 0 V rezonančnej oblasti nie je splnená podmienka (εω) ω členy, ε < 0 aj ε/ ω < 0. > 0, pretože oba Otázky: 1. prečo? neadekvátnost popisu - nie je možné zaviest efektívne parametre 2. vadí to? možno aj nie: formulácia EM teórie nie je kompletná Typeset by FoilTEX 30

EM straty - Rovinná vlna Straty: Q = 1 2π dωω H 2 µ + E 2 ε (10) podl a Landaua aj iných vyžadujú ε > 0 AJ µ > 0. Pre rovinnú vlnu Q = 1 2π E 2 = µ ε H2 dωω H 2 2n (ω)z (ω) (11) straty sú kladné aj ked je ε < 0. Typeset by FoilTEX 31

Neúplnost popisu Systém je anizotropný: ε aj µ sú tenzory Systém je chirálny: D = ε E + γ H B = γ E + µ H (12) Systém nie je homogénny (priestorová disperzia). Typeset by FoilTEX 32

Iné problémy technologické, je t ažké zostrojit 2D a 3D vzorky. Príklad: závislost EM strát od kvality dielektrickej podložky. 10 0 X Z Y Transmission peak 10 2 10 4 10 6 10 8 10 0 10 4 10 8 10 12 Transmission 6 7 8 9 Frequency [GHz] 10 3 10 2 10 1 10 0 Im ε Board Re ε Board =3.4 Typeset by FoilTEX 33

Iné problémy SRR má aj elektrickú (nielen magnetickú) odozvu: 10 0 10 0 10 4 10 2 Transmission 10 8 10 12 10 16 10 20 SRR only wires SRR + wires = LHM Transmission 10 4 10 6 10 24 10 28 6 7 8 9 10 11 12 Frequency [GHz] 10 8 width of wire is 0.33 mm width of wire is 1 mm 8 9 10 11 Frequency [GHz] Elektrická odozva SRR dokáže zničit LH chovanie. Typeset by FoilTEX 34

Trojrozmerné štruktúry? Snaha odstránit anizotropiu. Technologicky vel mi t ažké vytvorit. Typeset by FoilTEX 35

Trojrozmerné štruktúry... Transmisison 10 0 10 10 10 20 10 30 10 40 10 50 8 9 10 11 Frequency [GHz] 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 0.5 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 Re t yy Re t yx Re t xy Re t xx 0.5 0 10 20 30 0 10 20 30 Length of the system Nutnost analýzy anizotropných optických modelov: index lomu závisí od smeru. ε aj µ sú komplexné tenzory... Nie sme schopní rozhodnút, či systém je l avoruký. Typeset by FoilTEX 36

Záver Veríme, že EM vlastnosti LH štruktúr neodporujú žiadnemu fundamentálnemu zákonu fyziky. Teória dobre funguje pre homogénne materiály, ktoré ale neexistujú Rozporné výsledky pre skutočné štruktúry: existuje elektrodynamika pre l ubovol né hodnoty parametrov ε a µ? Technologické problémy pri príprave izotropných vzoriek Záver: mnoho nejasností a neriešených problémov Typeset by FoilTEX 37

Dodatok: Fotónové kryštály Záporný lom EM vlny bol pozorovaný aj na rozhraní vákuum - fotónový kryštyál. Fyzikálna podstata tohto deja je ale odlišná od LH štruktúr, pretože perióda PC je porovnatel ná s vlnovou d lžkou. PC je zložený len z dielektrických tyčiek. Nehrozia teda žiadne EM straty. L ahko sa pripravujú 2D PC. Z hl adiska výroby ideálnych šošoviek je PC (vraj) vel mi nádejný. Typeset by FoilTEX 38