Cvičenia Cvičenie 7 Ako je šecifikovaný mentálny model v kognitívnej vede? Riešenie Mentálne modely (alebo mentálne modelovanie) boli vý kát ostulované škótskym sychológom Kenneth Caikom v 9, ktoý edokladal, že ľudská myseľ obsahuje malé modely eality, omocou ktoých sme schoný ijať - anticiovať udalosti, uvažovať a vysvetlovať Model existuje v acovnej amäti a je tvoený ako výsledok komunikácie alebo edstavivosti Základnou čtou mentálnych modelov je, že sú izomofné s objektom, ktoý eezentujú (odobne, ako sú chemické molekuláne modely odobné molekulám) O ozacovanie mentálnych modelov v kognitívnej vede sa zaslúžil hlavne v 80-tych okoch minulého stoočia Johnson-Laid, ukázal efektívnosť tohto ístuu na šiokej tiede oblémov kognitívnej vedy k modelovaniu kognitívnych ocesov s tým, že ožadoval aj ich inteetačnú a edikčnú silu Podľa Johnson-Laida, oužitie mentálnych modelov v kognitívnej sychológii odstánilo jej deskitívny chaakte, bez snahy inteetovať ozoované výsledky Cvičenie 7 Ako je šecifikovaný syntaktický ístu k tvobe mentálneho modelu usudzovania? Riešenie Mentálny model je stotožnený s Gentzenovou iodzenou dedukciou, ktoá obsahuje okolo tuctu avidiel usudzovania vychádzajúcich z elementánych zákonov logiky s jednoduchou a jasnou inteetáciou ich významu Z množiny edokladov Φ= {,,, n} oužitím vyššie zmienených avidiel iodzenej dedukcie odvodíme záve Hovoíme, že tento záve logicky vylýva z edokladov (alebo, že existuje logický dôkaz fomuly z množiny edokladov {,,, } ), čo zaisujeme omocou elácie n takto: Φ Syntaktický ístu k tvobe mentálneho modelu logiky je vhodný e ľudí, ktoí už absolvovali učité základné vzdelanie z logiky a eto môžu suveénne oužívať iodzenú dedukciu ku konštukcii dôkazov zložitejších fomúl Cvičenie 7 Ako je šecifikovaný sémantický ístu k tvobe mentálneho modelu usudzovania? Riešenie Mentálny model je stotožnený s tvobou sémantického modelu množiny edokladov, Φ, solu s tautologickým dôsledkom, čo zaisujeme Φ Sémantický ístu je založený na gafickej metóde nazývanej sémantické tablá K ich konštukcii otebujeme oznať len elementáne základné ojmy sémantickej inteetácie logických sojok Cvičenie 7 Ako je šecifikovaný jazyk výokovej logiky (syntax výokovej logiky)? Riešenie Jazyk výokovej logiky je tvoený fomulami výokovej logiky, ktoé sú definované,q,,,q, a množiny omocou množiny atomických výokových emenných { }
logických sojok {,,,, } Fomuly výokovej logiky, ktoé tvoia jazyk L, sú ekuentne definované ako minimálna množina, ktoá vyhovuje týmto vlastnostiam () {,q,,,q,} L, () ak ( L ), otom ( ) L, ak, L, otom,,, L () Cvičenie 75 Ako sú šecifikované avdivostné hodnoty fomúl jazyka výokovej logiky (sémantika výokovej logiky)? Riešenie Sémantika výokovej logiky sa zaobeá avdivostnými hodnotami emenných a ich fomúl, sémantika nie je veľmi bohatá Sémantika výokovej fomuly je vlastne tabuľka avdivostných hodnôt fomuly e ôzne hodnoty jej atomických výokov Fomuly (elementy jazyka L výokovej logiky) majú avdivostný význam, ktoý je šecifikovaný takto: symbol eezentuje avdivostnú hodnotu avda a symbol 0 eezentuje avdivostnú hodnotu neavda Tabuľková metóda e výočet avdivostných hodnôt fomúl = ( q) ( q) a = ( q) ( q) q q q = ( q) ( q) = ( q) ( q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Fomula sa nazýva tautológia (alebo zákon, čo vyjadíme latí val ( ) = ( ) = def ( )( val ( ) = ) ), ak e každú inteetáciu V tabuľke fomula je tautológia, je avdivá e všetky možné inteetácie i, i =,,, V oačnom íade, ak e každú inteetáciu latí val ( ) = 0, fomula sa nazýva kontadikcia Ak existuje asoň jedna inteetácia taká, že val ( ) =, otom fomula je slniteľná (to znamená, že tautológia je šeciálny íad slniteľnosti, čo zaisujeme ) V tab fomula je slniteľná e dve inteetácie a Môžeme teda ovedať, že všetky fomuly, ktoé nie sú kontadikcie sú slniteľné a tautológie sú také slniteľné fomuly, ktoé sú e všetky možné inteetácie avdivé Model M ( ) = {,,, n} fomuly je tvoený množinou inteetácií, e ktoé je fomula avdivá, ( M )( val ( ) = ) Tautológie majú vo výokovej logike mimoiadne ostavenie zákonov logiky, tieto fomule sú vždy avdivé e ľubovoľné avdivostné hodnoty emenných Niektoé tautológie sa často oužívajú nielen v samotnej výokovej logike, ale aj v bežnom usudzovaní a sú obvykle označované aj vlastným menom Väčšinou ide o tautológie tvau ekvivalencie, ktoé umožňujú nahadzovať jedny fomuly inými bez staty vlastnosti ich tautologičnosti
Cvičenie 76 Ako je šecifikovaná teóia? Riešenie Ľubovoľná neázdna množina fomúl, {,,, } Φ = n, sa nazýva teóia výokovej logiky Ak e teóiu Φ existuje taká inteetácia, e ktoú sú všetky fomuly avdivé, val ( i ) =, e i =,,,n, otom množina takýchto inteetácií sa nazýva model teóie M ( Φ ) Teóia Φ sa nazýva konzistentná, ak má neázdny model, M ( Φ) Nech Φ= = q q, = q q, = q q { } chceme zistiť, či táto teóia má model Pomocou tabuľkovej metódy učíme avdivostné hodnoty týchto fomúl e všetky možné inteetácie, = ( q) ( q) 5 P q q q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( q) ( q ) 5 q q q 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( q) ( q) 5 6 7 q q q 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z týchto tabuliek vylýva, že existujú dve inteetácie emenných, = ( 0,q 0) = (,q ) modelom teóie Φ, M ( T) {, } a, e ktoé všetky fomuly z Φ sú avdivé, tj inteetácie a sú = Tiež môžeme ovedať, že teóia Φ je konzistentná, čo vylýva iamo zo skutočnosti, že má model Cvičenie 77 Ako je definovaný ojem tautologický dôsledeok teóie? Riešenie Fomula sa nazýva tautologický dôsledok teóie Φ (čo označíme Φ ) áve vtedy, ak každý model teóie Φ je aj modelom fomuly (tj fomula je v ňom avdivá) Nech je tautologickým dôsledkom teóie Φ, otom e každý model inteetáciu latí: val( ) = val ( i ) =, e i =,,,n Píklad Nech teóia Φ je definovaná ovnako ako v edchádzajúcom íklade, má dva modely učené inteetáciami emenných = ( 0,q 0) a = (,q ) Uvažujme
fomulu v tvae q, otom táto fomula nie je tautologickým dôsledkom teóie Φ, etože len e model je fomula avdivá, val ( ) = 0 val =, e model už nie je avdivá, Cvičenie 78 Pomocou iodzenej dedukcie zostojte záve z týchto dvoch edokladov: () Keď bude šať, otom ôjdem do kina () Keď bude šať, otom ôjdem do kaviane Riešenie V vom koku vykonáme fomalizáciu týchto výokov, zavedieme ti atomické výokové emenné = bude šať, q = ôjdem do kina, = ôjdem do kaviane Φ= q,, zaujíma nás, aký netiviálny Potom množina edokladov má tva { } dôsledok vylýva z týchto edokladov, Φ= { q, }? Množinu edokladov ozšíime o omocný edoklad (hovoíme, že je aktivovaný) q ( edoklad ) ( edoklad ) (aktivácia omocného edokladu ) q (oužitie avidla modus onens na edoklady a ) 5 (oužitie avidla modus onens na edoklady a ) 6 q (intodukcia konjunkcie na dôsledky a 5) 7 q (deaktivácia omocného edokladu omocou dôsledku 6) Záve, ktoý vylýva z edokladov je q = ak bude šať ôjdem do kina a kaviane Cvičenie 79 Pomocou iodzenej dedukcie zostojte záve z týchto dvoch edokladov: () Keď bude šať, otom ôjdem do kina () Keď bude snežiť, otom ôjdem do kina Riešenie V vom koku vykonáme fomalizáciu týchto výokov, zavedieme ti atomické výokové emenné = bude šať, q = ôjdem do kina, = bude snežiť Φ= q, q, zaujíma nás, aký netiviálny Potom množina edokladov má tva { } dôsledok vylýva z týchto edokladov, Φ= { q, q}? Množinu edokladov ozšíime o omocný edoklad (hovoíme, že je aktivovaný)
q ( edoklad ) q ( edoklad ) q (aktivácia omocného edokladu ) (oužitie avidla modus tollens na edoklady a ) 5 (oužitie avidla modus tollens na edoklady a ) 6 (intodukcia konjunkcie na dôsledky a 5) (oužitie De Moganovho avidla na 6) 7 8 q ( ) (deaktivácia omocného edokladu n) 9 ( ) q (invezia imlikácie) Záve, ktoý vylýva z edokladov je { } Φ = q, q q Cvičenie 70 Ako sú definovanbé sémantické tablá? Riešenie Sémantické tabla vizualizujú tansfomáciu fomuly na ekvivalentný tva = ( l l l ) ( l l l ) ktoý obsahuje disjunkciu konjunktívnzch klauzúl Platia tieto vlastnosti: () Ku každej fomule existuje ekvivalentná fomula, ktoá je s ňou ekvivalentná, = () Fomula je kontadikcia áve vtedy, keď e každú klauzulu obsahuje dvojicu komlmentánych liteálov () Fomula je tautológia áve vtedy, keď ( ) obsahuje e každú klauzulu dvojicu komlmentánych liteálov () Ak fomula ( ) má takú klauzulu, ktoá neobsahuje dvojicu komlementánych liteálov, otom fomula je slniteľná e inteetáciu emenných, ktoá je šecifikovaná liteálmi z tejto klauzuly Sématické tablo iadené fomule je binány stom T, ktoý zostojíme ostuným edlžovaním jeho vetiev odľa fomúl: A ( disjunkcia ) B ( konjunkcia ) C ( imlikácia) D ( ekvivalencia) Poces konštukcie sémantického tabla je ukončený vtedy, ak každá vetva tabla má všetky neatomické fomuly už edĺžené na liteály Vyššie uvedené vlastnosti fomúl latia e sémantické tabla v tejto odobe: T je uzaveté () Fomula je kontadikcia áve vtedy, keď sémantické tablo () Fomula je tautológia áve vtedy, keď sémantické tablo T ( ) je uzaveté
() Fomula je slniteľná áve vtedy, keď sémantické tablo T ( ) je otvoené, ičom inteetáciu emenných, e ktoú je fomula avdivá, môžeme zostojiť omocou vybanej otvoenej vetvy tabla Cvičenie 7 Peíšte fomulu = q do ekvivalentného tvau Riešenie = = ( q ) ( ) ( q q ) ( q ) ( q ) ( ) ( q q ) ( q ) = q q q = 0, 0, =,, = 0,, Vidíme, že v takto uavenej fomule existujú klauzuly, ktoé sú a-oi neavdivé (obsahujú konjunkciu emennej a jej negácie), ktoé sú označené symbolom Pe zostávajúce klauzule, ktoé sú označené symbolom existuje vždy inteetácia, e ktoú sú avdivé (ozi ob a tab ) Tabuľka avdivostných hodnôt fomuly = ( q) ( ( ) ) # P q q ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =(0,0,) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 =(,,0) 8 0 =(,,) Sémantické tablo fomuly má tva
q q q q q q ( ) ( ) =(0,0,) =(,,) Vetvy tabla, ktoé sú označené symbolom sa neuvažujú, etože eezentujú neavdivé klauzuly Vetvy označené symbolom eezentujú klauzuly s avdivou inteetáciou =(,,0) Cvičenie 7 Pomocou sémantického tabla veifikujte eláciu tautologického dôsledku q,q { } Riešenie Vieme, že táto fomula tautologického dôsledku je ekvivaltná tautológii = q q, negácia tejto fomuly má tva ( q) ( q ) ( ) = Sémantické tablo e túto negáciu má tva ( q) q ( q ) q ( ) q q q x x x x Vidíme, že každá vetva je uzavetá, otom elácia tautologického dôsledku q,q je latná { } Cvičenie 7 Pomocou sémantického tabla zostojte záve z teóie Φ= { q, }, t j budeme iešiť eláciu Φ= { q, }?
Riešenie Výsledky sú znázonené na nasledujúcom obázku Potom teóia Φ= { q, } má štyi ôzne inteetácie modely, e ktoé sú edoklady teóie avdivé (,q ) (,q ) (,q ) (,q ) = 0?,? = 0?, = 0,? =?, kde symbol? znamená, že avdivostná hodnota danej emennej nie je šecifikovaná (čiže môže byť ľubovoľná) Každému modelu iadíme iešenie, ktoé je avdivé = = = q = q To znamená, že máme štyi iešenia elácie Φ= { q, }? v tvae Φ= { q, } i, e i =,,, Tieto iešenia môžeme skladať omocou disjunkcie do nového iešenia, disjunkciou všetkých e všetky modely teóie Φ= { q, } ( ) = q q q q ( q ) ( q ) Potom latí { q, } ( q ) i dostaneme iešenie, ktoé je avdivé Poznamenajme, že toto iešenie je ľahko zostojiteľné aj omocou iodzenej dedukcie keď množina edokladov je ozšíená o dodatočný edoklad, { q,,} ( q )
Cvičenie 7 Pomocou sémantického tabla zostojte iešenie, ktoé vylýva z Φ= q,q, t j budeme iešiť eláciu Φ= { q,q }? { } Riešenie Výsledky sú znázonené na nasledujúcom obázku q q q q q o o x o =( /?, q/, /) = ( /0, q/?, /) = ( /0, q/0, /?) Zo sémantického tabla vylýva, že otvoené vetvy odukujú ti inteetácie (modely) = ( 0,q 0,?) (,q ) (,q ) = 0?, =?, Každému modelu môžeme iísať iešenie, ktoé je avdivé = q = = q Ak tieto ti nezávislé iešenia sojíme omocou disjunkcie = ( q) ( ) ( q ) ( q ) ( q) Φ= q,q, čo nie je nič iné, ako Týmto sme dokázali, že latí { } hyotetický sylogizmus