Cvičenie 3 - Nedeterministické konečné automaty
|
|
- Pavlína Pokorná
- pred 1 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 1 / 68 Cvičenie 3 - Nedeterministické konečné automaty Ing. Viliam Hromada, PhD. C-510 Ústav informatiky a matematiky FEI STU viliam.hromada@stuba.sk
2 2 / 68 Determinizácia 1 Determinizujte nasledovný NKA. Určte, aký jazyk akceptuje daný NKA (DKA). 0 Start q 0 q 1 0 1
3 3 / 68 Vidíme, že automat na obrázku je nedeterministický, pretože zo stavu q 0 sú na symbol 0 definované prechody do 2 rôznych stavov: {q 0, q 1 }. Taktiež v stave q 0 nie je definovaný prechod na symbol 1 a v stave q 1 nie je definovaný prechod na symbol 0. Formálne by sme daný NKA mohli popísat ako päticu ({q 0, q 1 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 1 }), kde prechodová funkcia δ: δ(q 0, 0) = {q 0, q 1 } δ(q 0, 1) = δ(q 1, 0) = δ(q 1, 1) = {q 1 } Respektíve pomocou prechodovej tabul ky: 0 1 q 0 {q 0, q 1 } q 1 {q 1 }
4 4 / 68 Determinizáciu (t.j. vyrobenie ekvivalentného DKA) vykonáme pomocou tzv. subset-konštrukcie (Prednáška č. 3, slajdy 24-27). Stavy DKA budú všetky možné množiny stavov NKA. Počiatočný stav DKA bude stav obsahujúci len q 0, t.j. {q 0 } Akceptačné stavy DKA budú tie stavy, ktoré obsahujú aspoň 1 akceptačný stav NKA, t.j. v našom prípade {q 1 }, {q 0, q 1 }: Zostáva už len určit obsah prechodovej tabul ky: {q 0 } {q 1 } {q 0, q 1 } 0 1
5 5 / 68 Pre pripomenutie, prechody v DKA určíme podl a nasledovného "návodu": na výpočet prechodu zo stavu S na vstupný symbol a sa pozrieme na stavy p S, do akých stavov vedel prejst NKA zo stavov p na symbol a a tieto stavy zjednotíme. Formálne δ D (S, a) = δ N (p, a), kde δ N je prechodová funkcia NKA. p S Toto urobíme pre všetky stavy DKA, aby sme postupne vyplnili tabul ku 0 1 {q 0 } {q 1 } {q 0, q 1 }
6 6 / 68 Uvažujme S = a postupne symboly 0 a 1. V oboch prípadoch: δ D (, 0) = p δ D (, 1) = p 0 1 {q 0 } {q 1 } {q 0, q 1 } δ N (p, 0) = δ N (p, 1) =
7 7 / 68 Uvažujme S = {q 0 } a postupne symboly 0 a 1. δ D ({q 0 }, 0) = δ D ({q 0 }, 1) = p {q 0 } p {q 0 } 0 1 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 0, q 1 } δ N (p, 0) = δ N (q 0, 0) = {q 0, q 1 } δ N (p, 1) = δ N (q 0, 1) =
8 8 / 68 Uvažujme S = {q 1 } a postupne symboly 0 a 1. δ D ({q 1 }, 0) = δ D ({q 1 }, 1) = p {q 1 } p {q 1 } 0 1 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1 } δ N (p, 0) = δ N (q 1, 0) = δ N (p, 1) = δ N (q 1, 1) = {q 1 }
9 9 / 68 Uvažujme S = {q 0, q 1 } a postupne symboly 0 a 1. δ D ({q 0, q 1 }, 0) = δ D ({q 0, q 1 }, 1) = p {q 0,q 1 } p {q 0,q 1 } 0 1 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1 } δ N (p, 0) = δ N (q 0, 0) δ N (q 1, 0) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ N (p, 1) = δ N (q 0, 1) δ N (q 1, 1) = {q 1 } = {q 1 }
10 10 / 68 Výsledný DKA má teda prechodovú tabul ku: Prechodový diagram: 0 1 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 0, q 1 } 0 Start 0 1 {q 0 } {q 1 } 0 1 0, 1 1
11 Vyskúšajme si správanie oboch automatov pre rôzne vstupné ret azce w. ˆδ N bude rozšírená prechodová funkcia NKA, ˆδ D bude rozšírená prechodová funkcia DKA. w = 0 ˆδN (q 0, 0) = {q 0, q 1 }. q 1 je akceptačný stav NKA, t.j. 0 NKA akceptuje. ˆδ D ({q 0 }, 0) = {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } je akceptačný stav DKA, t.j. 0 DKA akceptuje. w = 00 ˆδN (q 0, 00) = {q 0, q 1 }. q 1 je akceptačný stav NKA, t.j. 00 NKA akceptuje. ˆδD ({q 0 }, 00) = {q 0, q 1 }. {q 0, q 1 } je akceptačný stav DKA, t.j. 00 DKA akceptuje. w = 001 ˆδN (q 0, 001) = {q 1 }. q 1 F N, 001 L(N). ˆδD ({q 0 }, 001) = {q 1 }. {q 1 } F D, 001 L(D). w = 0011 ˆδ N (q 0, 0011) = {q 1 }. q 1 F N, 0011 L(N). ˆδD ({q 0 }, 0011) = {q 1 }. {q 1 } F D, 0011 L(D). 11 / 68
12 12 / 68 Spracovanie ret azca 0011 v NKA si vieme demonštrovat aj takto: Ked že po spracovaní ret azca sa vie NKA dostat do akceptačného stavu q 1, tak ret azec akceptujeme. Všimnite si, že to isté musí nastat aj pri DKA.
13 13 / 68 Ak chceme zistit, aký jazyk NKA (DKA) akceptuje, tentokrát to možno bude jednoduchšie z pohl adu na NKA: Na začiatku môže byt nejaká postupnost núl, pre ktorú by bol NKA stále v stave q 0. Potom sa môže pomocou jednej nuly presunút do q 1. A následne môže nasledovat postupnost jednotiek, ktorá bude stále súčast akceptovaného ret azca. Čiže akceptované ret azce začínajú postupnost ou núl dĺžky aspoň 1, za ktorými ide postupnost jednotiek dĺžky aspoň nula. L(N) = L(D) = 0 + 1, prípadne L(N) = L(D) = {0 i 1 j i 1, j 0, i, j Z}.
14 14 / 68 Determinizácia 2 Determinizujte nasledovný NKA nad abecedou {a, b, c}. Určte, aký jazyk akceptuje daný NKA (DKA). a b c Start q 0 q 1 q a 2 b
15 Vidíme, že automat na obrázku je nedeterministický, pretože zo stavu q 0 sú na symbol a definované prechody do 2 rôznych stavov: {q 0, q 1 }, podobne zo stavu q 1 sú na symbol b definované prechody do 2 rôznych stavov q 1, q 2. Taktiež v stave q 0 nie sú definované prechody na symboly b, c, v stave q 1 nie sú definované prechody na symboly a, c a v stave q 2 nie sú definované prechody na symboly a, b. Formálne by sme daný NKA mohli popísat ako päticu ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b, c}, δ, q 0, {q 1, q 2 }), kde prechodová funkcia δ: δ(q 0, a) = {q 0, q 1 } δ(q 0, b) = δ(q 0, c) = δ(q 1, a) = δ(q 1, b) = {q 1, q 2 } δ(q 1, c) = δ(q 2, a) = δ(q 2, b) = δ(q 2, c) = {q 2 } 15 / 68
16 16 / 68 Popis prechodovou tabul kou: a b c q 0 {q 0, q 1 } q 1 {q 1, q 2 } q 2 {q 2 }
17 17 / 68 Determinizáciu (t.j. vyrobenie ekvivalentného DKA) znovu vykonáme pomocou tzv. subset-konštrukcie. Predpripravená tabul ka: (s označenými počiatočným a akceptačnými stavmi). a b c {q 0 } {q 1 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 }
18 Uvažujme S = a postupne symboly a, b a c. δ D (, a) = δ N (p, a) = p δ D (, b) = p δ D (, c) = p δ N (p, b) = δ N (p, c) = a b c {q 0 } {q 1 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } {q, q, q } 18 / 68
19 Uvažujme S = {q 0 }. δ D ({q 0 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 0, a) = {q 0, q 1 } δ D ({q 0 }, b) = δ D ({q 0 }, c) = p {q 0 } p {q 0 } p {q 0 } δ N (p, b) = δ N (q 0, b) = δ N (p, c) = δ N (q 0, c) = a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } 19 / 68
20 δ D ({q 1 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 1, a) = δ D ({q 1 }, b) = δ D ({q 1 }, c) = p {q 1 } p {q 1 } p {q 1 } δ N (p, b) = δ N (q 1, b) = {q 1, q 2 } δ N (p, c) = δ N (q 1, c) = a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } 20 / 68
21 δ D ({q 2 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 2, a) = δ D ({q 2 }, b) = δ D ({q 2 }, c) = p {q 2 } p {q 2 } p {q 2 } δ N (p, b) = δ N (q 2, b) = δ N (p, c) = δ N (q 2, c) = {q 2 } a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } 21 / 68
22 δ D ({q 0, q 1 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 0, a) δ N (q 1, a) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ D ({q 0, q 1 }, b) = δ D ({q 0, q 1 }, c) = p {q 0,q 1 } p {q 0,q 1 } p {q 0,q 1 } δ N (p, b) = δ N (q 0, b) δ N (q 1, b) = {q 1, q 2 } = {q 1, q 2 } δ N (p, c) = δ N (q 0, c) δ N (q 1, c) = = a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } 22 / 68
23 δ D ({q 0, q 2 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 0, a) δ N (q 2, a) = {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ D ({q 0, q 2 }, b) = δ D ({q 0, q 2 }, c) = p {q 0,q 2 } p {q 0,q 2 } p {q 0,q 2 } δ N (p, b) = δ N (q 0, b) δ N (q 2, b) = = δ N (p, c) = δ N (q 0, c) δ N (q 2, c) = {q 2 } = {q 2 } a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1 } {q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } 23 / 68
24 δ D ({q 1, q 2 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 1, a) δ N (q 2, a) = = δ D ({q 1, q 2 }, b) = δ D ({q 1, q 2 }, c) = p {q 1,q 2 } p {q 1,q 2 } p {q 1,q 2 } δ N (p, b) = δ N (q 1, b) δ N (q 2, b) = {q 1, q 2 } = {q 1, q 2 } δ N (p, c) = δ N (q 1, c) δ N (q 2, c) = {q 2 } = {q 2 } a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1 } {q 2 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 0, q 1, q 2 } 24 / 68
25 25 / 68 δ D ({q 0, q 1, q 2 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 0, a) δ N (q 1, a) δ N (q 2, a) = p {q 0,q 1,q 2 } {q 0, q 1 } = {q 0, q 1 } δ D ({q 0, q 1, q 2 }, b) = δ N (p, b) = δ N (q 0, b) δ N (q 1, b) δ N (q 2, b) = p {q 0,q 1,q 2 } {q 1, q 2 } = {q 1, q 2 } δ D ({q 0, q 1, q 2 }, c) = δ N (p, c) = δ N (q 0, c) δ N (q 1, c) δ N (q 2, c) = {q 2 } = {q 2 } p {q 0,q 1,q 2 }
26 26 / 68 a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1 } {q 2 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 2 }
27 27 / 68 Správanie sa NKA pre ret azec aa: T.j. ˆδ N (q 0, aa) = {q 0, q 1 }. Vidíme, že NKA sa vie dostat po spracovaní ret azca aa do jedného zo stavov {q 0, q 1 }. Ekvivalentne, v DKA: ˆδ D ({q 0 }, aa) = {q 0, q 1 }. V oboch automatoch by sme samozrejme aa akceptovali.
28 28 / 68 Správanie sa NKA pre ret azec aba: T.j. ˆδ N (q 0, aba) =. Vidíme, že NKA sa nevie dostat spracovaním aba do žiadneho stavu, pretože sa pre všetky možné výpočty zasekne. Ekvivalentne, v DKA: ˆδ D ({q 0 }, aba) =. V oboch automatoch by sme samozrejme aba neakceptovali.
29 29 / 68 Pri pohl ade na NKA (alebo aj DKA) vidíme, že tieto automaty akceptujú jazyk: L(N) = L(D) = {a i b j c k i 1, j 0, k 0, i, j, k Z} ekvivalentne: L(N) = L(D) = a + b c.
30 30 / 68 Efektívnejšia determinizácia DKA, ktorý sme dostali, má až 8 stavov, ked že pôvodný NKA mal 3 (2 3 = 8). Vo vzniknutom DKA sú však stavy {q 1 }, {q 0, q 2 }, {q 0, q 1, q 2 } nedosiahnutel né, t.j. neexistuje vstupné slovo, pri ktorého spracovaní by sa automat vedel dostat do jedného z týchto 3 stavov. Preto sú v automate nadbytočné. Preto môžeme uvažovat upravený algoritmus determinizácie, pri ktorom nevytvoríme všetky stavy DKA hned, ale konštruujeme ich "on-the-fly" počas determinizácie podl a toho, či sú alebo nie sú dosiahnutel né.
31 31 / 68 Efektívnejšia determinizácia Začnime teda znovu z daného NKA: a b c Start q 0 q 1 q a 2 b Na začiatku vieme, že v DKA bude určite dosiahnutel ný jeho počiatočný stav {q 0 }. Preto vyšetríme prechody z neho a každý stav, ktorý takto dostaneme bude tiež dosiahnutel ný. a b c {q 0 }
32 32 / 68 a b c {q 0 } {q 0, q 1 } Vidíme, že aj stavy a {q 0, q 1 } sú dosiahnutel né, tak ich pridáme do prechodovej tabul ky a vyšetríme prechody aj pre ne: a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } Pribudol d alší dosiahnutel ný stav {q 1, q 2 }. Vyšetríme aj jeho prechody:
33 33 / 68 a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } Pribudol d alší dosiahnutel ný stav {q 2 }, vyšetríme aj ten: a b c {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 2 } {q 2 } {q 2 }
34 34 / 68 Ked že už žiadne d alšie dosiahnutel né stavy nepribudli, máme DKA ekvivalentný k zadanému NKA, pričom počet stavov je 5, čo je menej než 8, získaných pôvodnou subset konštrukciou. Samozrejme, oba DKA sú ekvivalentné.
35 35 / 68 Príklad 3 Determinizujte nasledovný NKA. Určte, aký jazyk akceptuje daný NKA (DKA). b q 1 Start q 0 a, b b b a q 2
36 36 / 68 Vykonáme rýchlu determinizáciu. T.j. začneme s počiatočným stavom {q 0 } v DKA a hl adáme z neho dosiahnutel né stavy. a b {q 0 } δ D ({q 0 }, a) = δ D ({q 0 }, b) = p {q 0 } p {q 0 } δ N (p, a) = δ N (q 0, a) = {q 1, q 2 } δ N (p, b) = δ N (q 0, b) = {q 1 } Doplníme do prechodovej tabul ky a zároveň vidíme, že dosiahnutel né sú 2 nové stavy: {q 1, q 2 } a {q 1 }. Oba sú zároveň aj akceptačné.
37 37 / 68 a {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 1 } Najprv zistíme prechody zo stavu {q 1, q 2 }: δ D ({q 1, q 2 }, a) = δ D ({q 1, q 2 }, b) = {q 0, q 1, q 2 } p {q 1,q 2 } p {q 1,q 2 } b δ N (p, a) = δ N (q 1, a) δ N (q 2, a) = = δ N (p, b) = δ N (q 1, b) δ N (q 2, b) = {q 1 } {q 0, q 2 } = Doplníme do prechodovej tabul ky a zároveň vidíme, že dosiahnutel né sú 2 nové stavy: (neakceptačný) a {q 0, q 1, q 2 } (akceptačný).
38 38 / 68 a {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1 } {q 0, q 1, q 2 } Zistíme prechody zo stavu {q 1 }: δ D ({q 1 }, a) = δ D ({q 1 }, b) = p {q 1 } p {q 1 } b δ N (p, a) = δ N (q 1, a) = δ N (p, b) = δ N (q 1, b) = {q 1 } Doplníme do prechodovej tabul ky. Vidíme, že oba stavy už v tabul ke máme, čiže sme nenašli nový dosiahnutel ný stav.
39 a {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1, q 2 } Zistíme prechody zo stavu : δ D (, a) = p δ D (, b) = p δ N (p, a) = δ N (p, b) = b Doplníme do prechodovej tabul ky. Vidíme, že sme nenašli nový dosiahnutel ný stav. 39 / 68
40 Doplníme do prechodovej tabul ky. Vidíme, že sme nenašli nový dosiahnutel ný stav. 40 / 68 a {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1, q 2 } b Zistíme prechody zo stavu {q 0, q 1, q 2 }: δ D ({q 0, q 1, q 2 }, a) = δ N (p, a) = δ N (q 0, a) δ N (q 1, a) δ N (q 2, a) = p {q 0,q 1,q 2 } {q 1, q 2 } = {q 1, q 2 } δ D ({q 0, q 1, q 2 }, b) = p {q 0,q 1,q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 2 } = {q 0, q 1, q 2 } δ N (p, b) = δ N (q 0, b) δ N (q 1, b) δ N (q 2, b) =
41 41 / 68 a {q 0 } {q 1, q 2 } {q 1 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 0, q 1, q 2 } {q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } b Ked že tabul ka je celá vyplnená a každý stav sme vyšetrili, dostávame výslednú prechodovú tabul ku DKA, ktorý je ekvivalentný zadanému NKA. Čiže z maximálneho počtu 8 stavov má tento DKA stavov len 5.
42 42 / 68
43 43 / 68 Výpočet slova abbab v NKA: Vidíme, že existuje 6 rôznych spôsobov, akými môže NKA spracovat vstup abbab.
44 44 / 68 Pre porovnanie výpočet slova abbab v príslušnom DKA: Ked že je to DKA, tu existuje len 1 spôsob, ako možno spracovat vstup abbab.
45 45 / 68 Ak by sme chceli určit jazyk, ktorý NKA / DKA akceptujú, tak jednoduchšie je to z pohl adu na NKA: Slovo akceptujem tak, že sa z q0 viem jeho prečítaním dostat do q 1, t.j. určite na jeho konci je jedno a / jedno b (cesta z q 0 do q 1 ), za ktorými môže nasledovat postupnost b (slučka v q 1 ). Ale navyše, je možné ešte predtým íst z q 0 cez q 2 naspät do q 0 l ubovol ný počet krát, t.j. na začiatku slova sa môžu opakovat a (t.j. z q 0 do q 2 ), za ním môže byt l ubovol ná postupnost b (slučka v q 2 ) a následne 1 b (z q 2 do q 0 ). Čiže celkovo ret azce, ktoré automaty akceptujú, sú v tvare: {{a}{b} {b}} {a, b}{b}
46 46 / 68 Príklad 4 Nájdite NKA, ktorý akceptuje jazyk L nad abecedou {0, 1}, kde L = {0w1 w {0, 1} } inými slovami: L = {w w začína nulou a končí jednotkou } Ret azce z jazyka: L = {01, 001, 011, 0001, 0011, 0101, 0111,...}
47 NKA sú ideálne pre popis takýchto jazykov, ked že sú často jednoduchšie na zostrojenie než DKA. Najmä v NKA nemusíme uvažovat, či je prechod na jednotku súčast ou časti w alebo je to posledná jednotka. Proste definujeme aj taký, aj taký prechod a NKA sa "postará" o zvyšok. Ked že w má označovat l ubovol ný ret azec z núl a jednotiek, v NKA to vieme realizovat vel mi jednoducho pomocou slučky na všetky symboly. 47 / 68
48 48 / 68 0, 1 Start q 0 q 1 q 2 0 1
49 49 / 68 DKA vytvorený z NKA by vyzeral nasledovne: Start {q 0 } {q 1 } {q 1, q 2 } , 1
50 50 / 68 Príklad 5 Nájdite NKA, ktorý akceptuje jazyk L nad abecedou {a, b}, kde L = {xayb x, y {a, b} } Ret azce z jazyka: L = {ab, aab, aabb, baab, babb,...}
51 51 / 68 a, b a, b Start q 0 q 1 q a 2 b
52 52 / 68 Príklad 6 Na predchádzajúcom cvičení bola medzi náročnejšími úlohami úloha nájst DKA, ktorý akceptuje nasledovný jazyk nad abecedou {0, 1}: L = {w tretí symbol w od konca je jednotka } Táto úloha sa ovel a jednoduchšie rieši tak, že sa nájde NKA a ten sa potom skonvertuje na DKA, než že sa nájde DKA priamo.
53 53 / 68 Skonštruujeme NKA, ktorý dokáže rozpoznat, že tretí symbol od konca je jednotka. To znamená, že prečíta akýkol vek prefix pred touto jednotkou a následne zistí, že tretí symbol od konca je jednotka a za ňou ešte dva l ubovol né symboly. Tento jazyk sa dá totižto prepísat aj nasledovne: {0, 1} 1{0, 1} 2 A to pomocou NKA zostrojíme pomerne jednoducho:
54 54 / 68 0, 1 Start q 0 q 1 q 2 q 3 1 0, 1 0, 1
55 Príslušný DKA by vyzeral nasledovne (pozor, v obrázku to nie je dobre vidiet, ale zo stavu q3 je prechod do stavu q6 na symbol 0) 55 / 68
56 Ďalšie 2 zaujímavé úlohy (obe sú variantou úloh z knihy [1], odporúčam sa pozriet na d alšie úlohy v spomínanej literatúre v kapitole 2.3.7, kde sú úlohy na NKA). 1. Množina ret azcov nad abecedou {0, 1, 2} taká, že ich posledný symbol sa v ret azci vyskytuje ešte aspoň jeden krát. Do jazyka patria napríklad 00, 0120, 0121, 0122, 122, 212, 222,... Do jazyka nepatria napríklad 0, 1, 2, 01, 12, 20, 012, 210, Množina ret azcov nad abecedou {0, 1} taká, že sa v nich nachádzajú dve nuly, ktoré sú od seba oddelené počtom pozícií, ktorý je násobok trojky. Do jazyka patria napríklad 11100, 01110, 00100, , 1001, ,... Do jazyka nepatria napríklad 010, 111, 0110, / 68
57 57 / 68 A pre vel ký úspech dôkazová úloha Pre jazyk L = {0w1 w {0, 1} } sme zostrojili NKA: 0, 1 Start q 0 q 1 q Dokážme, že tento automat naozaj akceptuje daný jazyk a teda, že akceptačný výpočet (t.j. taký, ktorý po prečítaní skončí v stave q 2 ) existuje práve také ret azce, ktoré začínajú nulou a končia jednotkou.
58 58 / 68 Chceme teda dokázat, že pre náš automat platí tvrdenie: S 3 : q 2 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou a končí jednotkou. Na dôkaz si pomôžeme d alšími dvomi tvrdeniami o zvyšných 2 stavoch: S 2 : q 1 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou. S 1 : q 0 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w = ε. Tvrdenia S 2, S 3 sa týkajú ret azcov l ubovol nej dĺžky, tie budeme dokazovat matematickou indukciou. Tvrdenie S 1 je možné dokázat bez indukcie.
59 59 / 68 Dôkaz S 1 : q 0 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w = ε. 1. Ak w = ε, potom q 0 ˆδ N (q 0, w). Nech w = ε. Potom ˆδ N (q 0, w) = ˆδ N (q 0, ε), čo podl a definície je rovné {q 0 }. T.j. platí, že q 0 ˆδ N (q 0, w). 2. Ak q 0 ˆδ N (q 0, w), potom w = ε. Nech q 0 ˆδ N (q 0, w). Z pohl adu na automat, takýto ret azec w nemôže mat prvý symbol 0, lebo by q 0 nebolo možné výpočtom dosiahnut. Taktiež ak by bol prvý symbol 1, automat by sa zasekol. Preto je w ret azec "bez prvého symbolu" a teda prázdny ret azec, t.j. w = ε.
60 60 / 68 Dôkaz S 2 : q 1 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou. Základný krok, n = 0 1. Ak w začína nulou, potom q 1 ˆδ N (q 0, w). Máme w = ε. Takéto w nulou však začínat nemôže. Predpoklad je teda nesplnený a celé tvrdenie považujeme v tomto prípade za platné. 2. Ak q 1 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou. Máme w = ε. V takom prípade sa však nemôže stat, že q 1 ˆδ N (q 0, w), čiže predpoklad je nesplnený. V takom prípade je však celé tvrdenie platné.
61 61 / 68 Dôkaz S 3 : q 2 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou a končí jednotkou. Základný krok, n = 0 1. Ak w začína nulou a končí jednotkou, potom q 2 ˆδ N (q 0, w). Máme w = ε. Takéto w však nemôže začínat nulou a končit jednotkou. Predpoklad je teda nesplnený a celé tvrdenie považujeme v tomto prípade za platné. 2. Ak q 2 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou a končí jednotkou. Máme w = ε. V takom prípade sa však nemôže stat, že q 2 ˆδ N (q 0, w), čiže predpoklad je nesplnený. V takom prípade je však celé tvrdenie platné.
62 Základné prípady S 2, S 3 platia, vyslovme teda indukčný predpoklad, že tvrdenia platia pre ret azce dĺžky n a dokážme, že platia pre ret azce dĺžky n / 68
63 63 / 68 Dôkaz S 2 : q 1 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou. w = n Ak w začína nulou, potom q 1 ˆδ N (q 0, w). Nech w = xa, x = n, a {0, 1}. Ked že w začína nulou, tým pádom aj x začína nulou a navyše x je dĺžky n. Z indukčného predpokladu vieme, že q 1 ˆδ N (q 0, x). A z obrázka automatu je zrejmé, že q 1 δ N (q 1, a) aj pre a = 0, aj pre a = 1. Preto teda aj q 1 ˆδ N (q 0, w). 2. Ak q 1 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou. (Dôkaz na d alšom slajde)
64 Ak q 1 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou. w = n + 1 w = xa, x = n, a {0, 1}. Ak q 1 ˆδ N (q 0, w), potom uvažujme, ako sa tam q 1 dostalo: Nech a = 0. V takom prípade po ret azci x musí byt NKA v takých stavoch, z ktorých sa prečítaním nuly dá íst do q 1. Teda q 0 ˆδ N (q 0, x), aj q 1 ˆδ N (q 0, x). Ak q 0 ˆδ N (q 0, x), tak vieme, že musí platit, že x = ε. A v tom prípade w = xa = 0, čiže ret azec začínajúci nulou. Ak q 1 ˆδ N (q 0, x), tak z indukčného predpokladu musí platit, že x začína nulou. Lenže v takom prípade aj w začína nulou. Nech a = 1. V takom prípade po ret azci x musí byt NKA v takých stavoch, z ktorých sa prečítaním nuly dá íst do q 1. Teda q 1 ˆδ N (q 0, x). Z indukčného predpokladu vieme, že x musí v takom prípade začínat nulou a teda aj w bude začínat nulou. Analýzou všetkých možností sme dospeli k tomu, že ak q 1 ˆδ N (q 0, w), tak potom určite w bude začínat nulou. 64 / 68
65 65 / 68 Dôkaz S 3 : q 2 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou a končí jednotkou. w = n Ak w začína nulou a končí jednotkou, potom q 2 ˆδ N (q 0, w). Nech w = x1, x = n. Ked že w začína nulou, tým pádom aj x začína nulou a navyše x je dĺžky n. Z indukčného predpokladu vieme, že q 1 ˆδ N (q 0, x). A z obrázka automatu je zrejmé, že q 2 δ N (q 1, 1). Preto teda aj q 2 ˆδ N (q 0, w). 2. Ak q 2 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou a končí jednotkou. (Dôkaz na d alšom slajde)
66 66 / 68 Ak q 2 ˆδ N (q 0, w), potom w začína nulou a končí jednotkou. w = n + 1 w = xa, x = n, a {0, 1}. Ak q 2 ˆδ N (q 0, w), potom uvažujme, ako sa tam q 2 dostalo: Nech a = 0. Z pohl adu na obrázok automatu je zrejmé, že nie je možné, aby ret azec, ktorého posledný symbol bol 0, skončil v stave q 2, pretože zo žiadneho stavu nie je možný prechod do stavu q 2 na symbol 0. Preto posledný symbol w nemôže byt nula. Nech a = 1. V takom prípade po ret azci x musí byt NKA v takých stavoch, z ktorých sa prečítaním jednotky dá íst do q 2. Taký stav je len q 1. To znamená, že x má tú vlastnost, že q 1 ˆδ N (q 0, x). Z indukčného predpokladu však vyplýva, že v takom prípade musí x začínat nulou. A teda aj w musí začínat nulou. Čiže v tomto prípade w začína nulou a končí jednotkou! Analýzou všetkých možností sme dospeli k tomu, že ak q 2 ˆδ N (q 0, w), tak potom určite w bude začínat nulou a končit jednotkou.
67 67 / 68 Tým sme dokázali platnost 3 tvrdení: S 3 : q 2 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou a končí jednotkou. Na dôkaz si pomôžeme d alšími dvomi tvrdeniami o zvyšných 2 stavoch: S 2 : q 1 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w začína nulou. S 1 : q 0 ˆδ N (q 0, w) vtedy a len vtedy, ak w = ε. Z tvrdenia S 3 vyplýva, že jazyk tohto automatu tvoria práve ret azce, ktoré začínajú 0 a končia 1, lebo to sú práve tie ret azce, pre ktoré existuje výpočet do akceptačného stavu q 2.
68 68 / 68 Použitá literatúra 1 Hopcroft, Motwani, Ullman - Introduction to Automata Theory, Languages and Computations, 3rd Ed.
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
Podrobnejšie(Microsoft Word - Tuzemsk\341 a zahrani\350n\341 jazda \232tandardn\341 jazda.docx)
Vytvorenie tuzemskej a zahraničnej jazdy, štandardná jazda V postupe sú uvedené kroky, ktorými môžeme rýchlo a jednoducho vytvoriť ďalšie jazdy a cestovné príkazy pomocou štandardných jázd. Tuzemská jazda
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieMicrosoft Word - 8.cvicenie.doc
Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
Podrobnejšie7/1/2015 Úvod do databáz, skúškový test, max 25 bodov, 90 min
19/1/2017 Úvod do databáz, skúškový test, max 60 bodov 1. Uvažujte databázu bez duplikátov a null hodnôt: lubipijan, Alkohol, navstivilidn, Pijan, Krcma, vypilidn, Alkohol, Mnozstvo. Platí: Idn Pijan,
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zmeny v dlhodobom majetku.docx
Zmeny v dlhodobom majetku s dopadom na DPPO A) Úprava základu dane pri osobných automobiloch so vstupnou cenou 48 000 Eur a viac Ak je v evidencii majetku osobný automobil so vstupnou cenou 48 000 Eur
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieQFH anténa pre príjem skcube Publikované: , Kategória: HAM - Technika Vypustenie družice SkCube určíte pritiahlo pozorno
QFH anténa pre príjem skcube Publikované: 22.07.2017, Kategória: HAM - Technika www.svetelektro.com Vypustenie družice SkCube určíte pritiahlo pozornosť viacerých ľudí. Dokonca aj takých, ktorí predtým
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieAutoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
Podrobnejšie1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle
1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar
PodrobnejšieŽiadosť o licenčnú zmluvu na podujatie Na adrese v sekcii hlavného menu kliknete na položku Používatelia. Zobrazí sa blokové menu,
Na adrese http://www.soza.sk v sekcii hlavného menu kliknete na položku Používatelia. Zobrazí sa blokové menu, kde si zvolíte prvú možnosť, a to Chcem licenciu. Po kliknutí na túto voľbu (pozri obrázok
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieN desitka.indd
DESIATKA Interakčná, taktická kartová hra od holandských autorov. Hra, v ktorej sa snažíte prekabátiť svojich súperov! Hra, v ktorej môže zvíťaziť aj ten, komu šťastie práve nepraje. Podmienkou sú pevné
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieKlasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX
Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod cez bariéru/vrstvu: rezonančná transmisia 2. Tunelovanie 3. Rezonančné tunelovanie 4.
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
PodrobnejšieDigitálne technológie v každodennom živote 3. ročník akademický rok 2019/2020 Harmonogram prednášok
Digitálne technológie v každodennom živote 3. ročník akademický rok 2019/2020 Harmonogram prednášok Zimný semester akademického roka 2019/2020 13.09.2019 o 9:00 1. Modul Grafika a Textový editor Obrázky:
PodrobnejšieSnímka 1
Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie
PodrobnejšieSlovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta informatiky a informačných technológií Ilkovičova 2, , Bratislava 4 Internet vecí v našich ž
Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta informatiky a informačných technológií Ilkovičova 2, 842 16, Bratislava 4 Internet vecí v našich životoch [IoT] Používateľská príručka - Android Tím:
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TR
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TRIEDY SNARKOV Peter Gazdík DIPLOMOVÁ PRÁCA Vedúci diplomovej
PodrobnejšieDirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969
Dirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 30 38. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403703
PodrobnejšieSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA INFORMATIKY A INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ Metodika archivácie verzií HW Tímový projekt Stratos FIIT M
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA INFORMATIKY A INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ Metodika archivácie verzií HW Tímový projekt Stratos FIIT MANAŽMENT V SOFTVÉROVOM INŽINIERSTVE 2016 Ján Pánis
PodrobnejšieSiete vytvorené z korelácií casových radov
Siete vytvorené z korelácií časových radov Beáta Stehlíková 2-EFM-155 Analýza sociálnych sietí Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK v Bratislave, 2019 Siete vytvorené z korelácií Siete vytvorené
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšiePríklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v
Príklad 5 - enzén 3. ilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = 12.862 kmol/h efinovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude vhodné prepočítať na hmotnostný tok. m 1 = n 1*M 1 enzén
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšieSprievodný list SofComs.r.o., Priemyselná 1, Liptovský Mikuláš Program basic.sk Verzia ( ) Dátum Autor Ing. J. Malíček
Sprievodný list SofComs.r.o., Priemyselná 1, 031 01 Liptovský Mikuláš Program basic.sk Verzia 3.01.11 (3.02.01) Dátum 20.12.2017 Autor Ing. J. Malíček, Z. Patka Hot - line 044/562 41 97-8 Vážený používateľ
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
Podrobnejšie1)
Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite
PodrobnejšieOBECNÉ ZASTUPITEĽSTVO V ŠENKVICIACH Dňa: číslo: 12. Por. č.: 12. Návrh VZN Obce Šenkvice o vyhradení miesta a ustanovení podmienok na umies
OBECNÉ ZASTUPITEĽSTVO V ŠENKVICIACH Dňa: 29.06.2017 číslo: 12. Por. č.: 12. Návrh VZN Obce Šenkvice o vyhradení miesta a ustanovení podmienok na umiestňovanie volebných plagátov na verejných priestranstvách
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
Podrobnejšie1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja 1 1 Turingove stroje 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja Predstavme si kol ajnice pevný, na je
1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja 1 1 Turingove stroje 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja Predstavme si kol ajnice pevný, na jednu stranu nekonečný, rad (nerozoznatel ných) štvorčekov,
PodrobnejšieMicrosoft Word - Manažment_tagov_tim24_tema12_2017.docx
Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta informatiky a informačných technológií Ilkovičova 2, 842 16 Bratislava 4 Manažment tagov Tím 24 Študijný program: Inteligentné softvérové systémy, Internetové
Podrobnejšie1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu
PodrobnejšieTSS GROUP A.S. UŽÍVATEL SKÝ MANUÁL EČV 2: Basic a Light Plate recognition software Október 2015 V Dubnica nad Váhom, dňa Róbert Sokol
TSS GROUP A.S. UŽÍVATEL SKÝ MANUÁL EČV 2: Basic a Light Plate recognition software Október 2015 V Dubnica nad Váhom, dňa 10.10.2015 Róbert Sokol Obsah Úvod 3 1 Štruktúra aplikácie 4 2 Client Aplikácia
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieProblémové správanie žiakov stredných škôl;
Zníţená známka zo správania u ţiakov stredných škôl GYMNÁZIÁ RNDr. Mária Slovíková,CSc. Ústav informácií a prognóz školstva Anotácia: Článok obsahuje prehľad základných údajov a porovnanie vývoja podielu
Podrobnejšie1 Interpret Pythonu Interpret Pythonu sa typicky spustí volaním programu python, ale je lepšie využit nejaké vývojové prostredie. Takýchto vývojových
1 Interpret Pythonu Interpret Pythonu sa typicky spustí volaním programu python, ale je lepšie využit nejaké vývojové prostredie. Takýchto vývojových prostredí je vol ne k dispozícii niekol ko. IDLE je
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieMicrosoft Word - typ_S_1_Priklad.doc
Ročné zúčtovanie zdravotného poistenia typ S Pokyny na vyplnenie Tlačivo typu S vypĺňa poistenec so súbehom viacerých činností bez zmeny sadzby poistného. Ide o súbehy: zamestnanec u viacerých zamestnávateľov
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
Podrobnejšie(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieSnímka 1
HIERARCHICKÝ LINEÁRNY MODEL PRIDANEJ HODNOTY ŠKOLY VO VZDELÁVANÍ Trajová Jana, Mária Kolková, Pavol Kaclík, Lukáš Píš 20.-21.10.2015, Bratislava Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je
PodrobnejšieDejepis extra 12/2018 Časopis nie iba pre tých, čo majú radi históriu... Pred budovou Národnej banky Slovenska.
Dejepis extra 12/2018 Časopis nie iba pre tých, čo majú radi históriu... Pred budovou Národnej banky Slovenska. Dňa 15.11. 2018 sa žiaci 7. B vydali na svoju prvú tohoročnú dejepisnú exkurziu. Našim prvým
PodrobnejšiePríklad 9 - Lisovanie+ Vylúhovanie+ Sušenie 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu Bilančná schéma: m6 =? w6a = m4 =? kg 0.1 Zvolený základ výpočtu: w
Príklad 9 - Lisovanie+ Vylúhovanie+ Sušenie 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu Bilančná schéma: m6 =? w6a = m4 =? kg 0.1 Zvolený základ výpočtu: w4d = 1 w6d = 0.9 m 1 = 100 kg 4 6 EXTRAKTOR 1 3 LIS
PodrobnejšieDediĊnosť
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Dedičnosť v jazyku C# Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond OOP rekapitulácia Trieda je základná jednotka objektového programovania
PodrobnejšieMeno: Škola: Ekonomická olympiáda 2017/2018 Test krajského kola SÚŤAŽ REALIZUJE PARTNERI PROJEKTU
Meno: Škola: Ekonomická olympiáda 2017/2018 Test krajského kola SÚŤAŽ REALIZUJE PARTNERI PROJEKTU Ekonomická olympiáda Test krajského kola 2017/2018 Pokyny pre študentov: Test obsahuje štyri časti. Otázky
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieTEORETICKÉ ÚLOHY
TEORETICKÉ ÚLOHY Chemická olympiáda kategória D 50. ročník šk. rok 2013/14 Krajské kolo Odpoveďový hárok Štartové číslo:... Spolu bodov:... Úloha 1 (12 b) Zo zátvorky vyberte správne tvrdenia (podčiarknite
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý
Podrobnejšie