Egyptská matematika
|
|
- Monika Vančurová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Matematika v 17. a 18. storočí História matematiky Ingrid Semanišinová
2 4 etapy vývoja matematiky 1. Obdobie tvorby elementárnych poznatkov (do 6. storočia pred n.l) Matematika je veda o číslach 2. Obdobie matematiky konštantných veličín a) Obdobie tvorenia matematiky ako vedy v Grécku (6 až 4. storočie pred n. l.) b) Obdobie elementárnej matematiky v stredoveku (v Európe do konca 16. storočia) Matematika je veda o číslach a tvaroch 3. Obdobie premenných veličín (17. zač. 19. storočia) Matematika je veda o číslach, tvaroch, o pohybe, zmene, o priestore, o matematických postupoch 4. Obdobie matematiky zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov (od polovice 19. storočia) Matematika je veda o štruktúrach
3 Numerické výpočty Napier storočie prudký rozvoj vedy, techniky, remesiel, obchodu Potreba nových matematických prostriedkov na spracovanie pozorovaním a experimentmi získaných číselných údajov. Napier Napierove paličky
4 Napierove paličky
5 Napierove paličky
6 Napierove paličky
7 Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs Úsilie zrýchliť a zjednodušiť numerické výpočty zavedenie logaritmov Hlavná myšlienka prevedenie násobenia a delenia na sčítanie a odčítanie x x = log 87 + log 985 = log (87 985) Potrebujem doplniť horný riadok tabuľky, aby sme vedeli násobiť ľubovoľné čísla, nielen mocniny 10. x log x
8 Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs
9 Logaritmy Napier, Bürgi, Briggs Stifel 1544 porovnávanie geometrickej a aritmetickej postupnosti. Burgi logaritmy so základom približne e. Napier 1614 vydal dielo Mirifici logarithmorum canonis descriptio obsahuje tabuľky logaritmov so základom približne 1/e. Briggs 1617 osemmiestne tabuľky logaritmov so základom 10 pre čísla od 1 do 1000, v r štrnásťmiestne od 1 do Oughtred 1623 logaritmické pravítko
10 Logaritmické pravítko Najvýznamnejšia výpočtová pomôcka v dobe medzi počítadlom a kalkulačkou
11 Galileo Galilei ( ) Študoval v Pise medicínu, zaujíma sa o prírodné vedy, prednáša na univerzitách v Pise a v Padove spor s cirkvou úplná izolácia.
12 Galileo Galilei ( )
13 Galileo Galilei ( ) 1638 dielo Rozpravy a matematické dôkazy mechanika a lokálny pohyb, nový prístup ku skúmaniu pohybu: 1. Realizácia experimentov cieľ opísať pohyb (nie vysvetliť). 2. Zameral sa na 3 veličiny (dráha, čas, rýchlosť), zo skúmania vylúčil silu. 3. Uvedomil si, že nosným pojmom je okamžitá rýchlosť nekonečne malá dráha prejdená za nekonečne malý čas. Nekonečne malú veličinu skúma Galileo na viacerých príkladoch vstupná brána do infinitezimálneho počtu.
14 Galileo Galilei ( ) Dané sú dva sústredné, pevne zlepené kruhy. Väčší sa valí po priamke a. Pri jednej obrátke prejde úsečku AA1. Je zrejmé, že vtedy rovnako dlhú úsečku BB1 prejde menší kruh. Ale jeho obvod je menší, mal by teda prejsť menej? Ako je to možné? Galileo: Vlastnosti rovnosti a nerovnosti nemožno použiť tam, kde ide o nekonečnosť.
15 Johannes Keppler ( ) Od r Asistent Tycha de Brahe Dvorný matematik Rudolfa II Matematicky presne vyjadril zákony o pohybe planét (využil merania Tycho de Brahe): 1. Planéty obiehajú okolo Slnka po eliptických dráhach a Slnko leží v jednom z dvoch ohnisiek elipsy. 2. Pri pohybe planéty okolo Slnka opíše sprievodič planéty (spojnica Slnka a planéty) za rovnaký časový interval rovnakú plochu. 3. Pri pohybe planéty okolo Slnka je tretia mocnina hlavnej poloosi eliptickej dráhy planéty priamo úmerná druhej mocnine jej obežnej doby.
16 Johannes Keppler ( ) Keplerov model, ktorý poukazuje na vzťah medzi planétami a Platónskymi telesami Keplerova planetárna teória. V súvislosti s tým skúmal aj vlastnosti pravidelných mnohouholníkov.
17 Kepler Harmonices Mundi (1619)
18 Johannes Keppler ( ) 1615 dielo Nová stereometria vínnych sudov súbor 87 výpočtov objemov rotačných telies vytvorených rotáciou oblúka kužeľosečky. Sústreďuje sa na získanie výsledku používa sekanie telies na nekonečne tenké listy a plôch na nekonečne tenké trojuholníčky, obdĺžničky, resp. iné jednorozmerné útvary
19 Keplerova metóda Objem torusu kruh sa otáča okolo osi o ležiacej v rovine kruhu k, pričom So =a>b. Torus nakrájame na tenučké zošikmené valce, ktoré poukladáme na seba vznikne valec s výškou 2πa a polomerom b.
20 Keplerova metóda Objem torusu kruh sa otáča okolo osi o ležiacej v rovine kruhu k, pričom So =a>b. Torus nakrájame na tenučké zošikmené valce, ktoré poukladáme na seba vznikne valec s výškou 2πa a polomerom b. Obsah kruhu Kružnicu rozdelíme na toľko častí, koľko má bodov, teda nekonečne veľa. Na každú časť pozeráme ako na základňu rovnoramenného trojuholníka s výškou r. Kružnicu rozvinieme do úsečky KL. Trojuholník ABS prejde do A B S. Všetky takéto trojuholníky tvoria trojuholník KLS.
21 Bonaventura Cavalieri ( ) Žiak Galilea Galileiho 1635 Geometria nedeliteľných Cavalieriho princíp Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá s ňou rovnobežná rovina pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakými obsahmi, tak majú tieto telesá rovnaký objem.
22 Ján Evangelista Torricelli ( ) Žiak Galileiho, priateľ Cavalieriho 1644 Opera Geometrica zdokonalil Cavalieriho metódu. Určil objem nekonečne dlhého telesa, ktoré vznikne rotáciou hyperboly okolo jej asymptoty. Našiel teda neohraničené teleso s konečným objemom. Slabinou celého obdobia bolo nevyjasnenosť pojmu nedeliteľný a absencia univerzálnych postupov.
23 Fylogenéza funkčného myslenia I 1. Človek si uvedomuje a (diskrétne) eviduje funkčné závislosti vo svete. 2. Evidované údaje vie využiť na plánovanie vlastnej činnosti a predpovedanie dejov v prírode (pohyb hviezd). 3. Vytvára tabuľky niektorých funkcií (chordála). 4. Gréci si uvedomujú problém diskrétne spojité a rozpracúvajú ho filozoficky i matematicky geometrický jazyk kriviek. 5. Objekt výskumu konkrétne krivky. 6. Al-Birúni začína študovať krivku zovšeobecnene. 7. Scholastika funkčná závislosť problém filozofickomatematický, úsilie o geometrické modelovanie pohybu
24 Fylogenéza funkčného myslenia II 8. Descartes a Fermat študujú krivky pomocou analytického aparátu. 9. Newton a Leibniz analyzujú zápis y = f(x) ako samostatný objekt (substitúcia, mocninový rad). 10. Johann Bernoulli definuje funkciu analyticky nezávisle na geometrii a fyzike. 11. Gregory a Taylor univerzálna metóda rozvoja funkcie do mocninového radu. 12. Euler pojem funkcia centrálny pojem analýzy storočie funkcia je ľubovoľné zobrazenie...
25 René Descartes ( ) Cartesius Zakladateľ novovekej racionalistickej filozofie Pochybujem teda myslím, myslím, teda som! Je považovaný za objaviteľa analytickej geometrie (spolu s Pierre de Fermatom)
26 René Descartes ( ) Cartesius 1637 Rozprava o metóde filozofická analýza vedeckej metódy. V dodatku Geometria nový revolučný prístup ku geometrii prostredníctvom algebry Hovorí sa, že Descartesovi vnukla myšlienku mucha na strope pozoroval ju a uvedomil si, že v každom okamihu sa dá jej poloha určiť cez vzdialenosti od dvoch zvislých na seba kolmých stien.
27 História objavu analytickej geometrie Viete 1631 myšlienka súradnicovej sústavy delenie uhla na časti, uhol bol jednoznačne určený bodom a dvojicou dĺžok súradnicová sústava prvého kvadrantu. Descartes Geometria vyriešil starý Pappov problém v tej dobe vysoko cenené, práca bola zasadená do širšieho filozofického kontextu Fermat práca kolovala medzi matematikmi od r. 1637, vyšla až v 1679 bola čítanejšia ako Descartesova práca
28 René Descartes - úlohy Riešte rovnice: a) y 3 8yy y b) x 4 4x 3 19xx + 106x Descartes zapisoval už rovnice takmer v tom tvare ako sme dnes zvyknutý. Používal znak namiesto rovnítka a namiesto x 2 písal xx.
29 Význam objavu analytickej geometrie 1. Vznik nových matematických disciplín (lineárna algebra, vektorový počet). 2. Rozvoj infinitezimálneho počtu. 3. Riešenie troch klasických problémov. 4. Modelovanie jednej matematickej disciplíny pomocou inej. 5. Geometrické znázorňovanie algebraických vzťahov. 6. Prijatie záporných a komplexných čísel, 7. Algoritmický prístup ku geometrickým úlohám.
30 Rozvoj Teórie pravdepodobnosti Podľa gréckej mytológie hrali Zeus, Poseidon a Hádes kocky o vesmír. Zeus vyhral nebesá, Poseidon more a Hádes peklo. Prvé kroky v matematike Cardano Kľúčové kroky francúzsky matematici Blaise Pascal a Pierre de Fermat vzájomná korešpondencia, v ktorej sa zaoberali konkrétnou hazardnou hrou na jej základe vznik všeobecnej teórie, ktorá sa dá použiť na predpovedanie sledu udalostí v rôznych situáciách.
31 Rozvoj Teórie pravdepodobnosti Problém: Predpokladajme, že dvaja hráči hrajú kocky na 5 hier. Uprostred hry, v okamihu, kedy jeden hráč vedie nad druhým 2:1, je hra prerušená. Akým spôsobom si majú rozdeliť to, čo vsadili do hry? Všeobecný prístup k problému (zrejme ho formuloval Pacioli) viedol k vypracovaniu metódy, ktorá sa dala použiť na série náhodných udalostí základy modernej teórie pravdepodobnosti
32 Blaise Pascal ( ) Pascalov trojuholník známy už predtým (India, Čína), dôležitosť narastá kvôli algebre a potrebe používať binomický rozvoj. Pascalova práca o vlastnostiach trojuholníka je publikovaná 2 roky po smrti Pascala.
33 Pierre de Fermat ( ) Vysoký súdny úradník, žil bokom od hlavných centier matematického života, bol odkázaný na korešpondenciu (Pascal, Descartes,...). Matematická analýza a analytická geometria metóda hľadania extrému krivky. Hľadá pravidelnosť medzi prvočíslami Fermatove čísla 2 n +1, kde n je mocnina čísla 2.
34 Pierre de Fermat ( ) Fermat si myslel, že všetky čísla tvaru 2 n + 1, kde n = 2 m, m = 0,1,2,, sú prvočísla. Toto platí však iba pre prvých 5 čísel (F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = ). V 18. storočí ale Leonard Euler dokázal, že F 5 je deliteľné 641, čím jeho hypotézu vyvrátil. V roku 1796 Carl Friedrich Gauss objavil súvislosť medzii geometriou a Fermatovými číslami. Dokázal, že pravidelný mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov je euklidovsky konštruovateľný iba vtedy, keď je počet jeho vrcholov rovný niektorému Fermatovmu prvočíslu alebo súčinu niekoľkých navzájom rôznych Fermatových prvočísel. Dodnes nevieme, koľko existuje Fermatových čísel zložených a koľko prvočíselných.
35 Pierre de Fermat ( ) Veľká Fermatova veta: Žiadnu mocninu vyššiu ako druhú nevieme zapísať ako súčet dvoch čísel s rovnakým mocniteľom. Pre toto tvrdenie som našiel skutočne nádherný dôkaz, ale tento okraj je príliš úzky, aby som ho tu uviedol.
36 Pierre de Fermat ( ) Veľká Fermatova veta: 1753 Euler dokazuje pre n = Legendre a Dirichlet nezávisle pre n = Lamé pre n = , Kummer a 1907, Lindemann chybné dôkazy 1994 Andrew Wiles (1993 nesprávny dôkaz) o probléme sa dočítal ako 10-ročný v miestnej knižnici v Cambridgei
37 Marin Mersenne ( ) Francúzsky mních dielo Cogitata Physica- Mathematica Tvrdil, že čísla M n = 2 n 1 sú prvočísla pre n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Nikto nevie ako k tomu dospel, za pomoci počítačov sa zistilo, že sa dopustil 5-tich chýb. M je prvočíslo má miest. Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Dodnes nevieme, či je týchto prvočísel nekonečne veľa.
38 Isaac Newton ( ) Syn vidieckeho šľachtica, študoval na Trinity College v Cambridge univerzita bola uzavretá pre mor najplodnejšie roky vyvinul metódu fluxií tak nazýval svoju koncepciu diferenciálneho a integrálneho počtu Bol zvolený za prezidenta Kráľovskej spoločnosti (Royal Society) najvyššie vedecké uznanie 1705 povýšený kráľovnou do šľachtického stavu Bol považovaný za národný poklad epitaf: Smrteľníci, blahorečte si, že taký veľký muž žil pre blaho ľudstva.
39 Isaac Newton ( ) Trpel chorobným strachom z možnej kritiky väčšinu prác nepublikoval. V roku 1684 ho Edmund Halley presvedčil, aby vydal niektoré state o zákonoch pohybu a gravitácie. Dielo Matematické základy prírodovedy (Principia) vydané v r navždy zmenilo ráz prírodných vied dielo Optika teória optiky, v dodatku bol krátky náčrt teórie fluxií, ktorý vyvinul pred takmer 40 rokmi Dielo De analysi kolovalo medzi britskými matematikmi od r a publikované bolo v r Úplne vydanie Newtonových metód diferenciálneho a integrálneho počtu až v r (9 rokov po smrti)
40 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Narodil sa v Lipsku, bol považovaný za zázračné dieťa 1672 začína sa venovať matematike 1670 založil Berlínsku akadémiu vied 1675 myšlienka infinitezimálneho počtu, zistil súvislosť medzi derivovaním a integrovaním a zostavil základné pravidlá matematickej analýzy
41 Newton a Leibniz Potreba analyzovať pohyb a zmenu potreba odhaliť vzťah medzi pohybom a zmenou určiť rýchlosť zmeny funkcie určiť pomer zmeny y = f(x) ku zmeme x. Problém nekonečne malých veličín (Leibniz zaviedol označenie dy a dx) Chýba aparát na precíznu formuláciu nekonečne malých veličín kritika (anglický biskup Berkeley) Leibniz: Môžete si myslieť, že tieto veci sú úplné nezmysly, napriek tomu sa ukazujú ako výhodné pomôcky pre počítanie. Berkeley: Čo sú to vlastne fluxie? Veličiny prchavých prírastkov. A prchavé prírastky? Nie sú to ani veličiny nadobúdajúce konečné hodnoty, ani veličiny nekonečne malé, nie sú vôbec ničím. Máme ich snáď nazývať duchmi zmiznutých veličín? Spoľahlivou obranou sa stala matematická teória aproximácie, ktorú vypracovali nasledovníci Newtona a Leibniza Cauchy, Weierstrass (pojem limity) cca 200 rokov po zavedení.
42 Bernoulliovci - rodostrom
43 Bernoulliovci Sedem členov tejto rodiny sa zapísalo do dejín matematiky. Otec rodiny Nicolaus 3 synovia: Jacob I. prvý použil slovo integrál, používal polárne súradnice, dokázal Zákon veľkých čísel. Nicolaus I. profesor matematiky v Petrohrade, syn Nicolaus II. diferenciálne rovnice, súčty nekonečných radov Johann I. odraz a lom svetla, rovnice kriviek, plochy rovinných útvarov, 3 synovia: Nikolaus III. vlastnosti kriviek, teória pravdepodobnosti Daniel teória pravdepodobnosti, Bernoulliho zákon o prúdení kvapalín a plynu, asi najproduktívnejší Bernoulliovec Johann II. matematická teória šírenia tepla a svetla, 2 synovia Jacob II. matematická fyzika (pružnosť, hydrostatika, balistika) a Johan III. zázračné dieťa, slávu mu priniesli zápisky z ciest po Nemecku
44 Jacob I Bernoulli ( ) Spolu s bratom Jánom (Johann) boli najlepšími žiakmi Leibniza Objav zákona veľkých čísel jedna zo základných viet pravdepodobnosti. (Pojem pravdepodobnosť a posteriori stanovíme ju po výskyte udalosti. Pokiaľ vypočítame pravdepodobnosť z danej populačnej vzorky s akou spoľahlivosťou platí pre celú vzorku? Dokázal, že testovaním dostatočne rozsiahlej vzorky dát, bude pravdepodobnosť takmer rovná vypočítanej pravdepodobnosti.) Spresnenie základov infinitezimálneho počtu Riešenie diferenciálnych rovníc Skúmal zložené úrokovanie: Uvažujme obdobie 1 roka, úročenie 100% a počiatočný vklad 1 euro. Koľko dostaneme na konci roka? Úrok znížime na polovicu, ale bude sa započítavať každý polrok osobitne. Rozdeľme rok na štvrtiny a každý štvrťrok budeme úročiť 25%... Budú naše zisky neustále rásť?
45 Leonhard Paul Euler ( ) Začal študovať teológiu, vplyv Bernulliovcov uprednostnil štúdium matematiky Mal 19 rokov, keď napísal prvý článok. Oženil sa ako 26-ročný. Mal 13 detí, 5 sa dožilo dospelosti. Postupne strácal zrak, po návrate do Petrohradu bol takmer úplne slepý. Pôsobil v Petrohrade, neskôr v Berlíne. V roku 1766 sa vrátil do Petrohradu, kde zomrel.
46 Leonhard Paul Euler ( ) Euler používa označenie e v súvislosti s teóriou logaritmovania. Vyjadrenie e: Euler určil hodnotu čísla e s presnosťou na 23 desatinných miest: Eulerova identita: Upravte číselný výraz:
47 Leonhard Paul Euler ( ) Eulerova veta: s + v = h + 2 Eulerove štvorce: Eulerov problém s 36 dôstojníkmi (1779) Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 36 dôstojníkov povyberaných zo šiestich plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major, nadporučík, poručík a podporučík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený zo šiestich radov po šiestich dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe.
48 Euler Problém Königsbergských mostov V Königsbergu v Prusku (dnešný Kaliningrad v Rusku) je ostrov, nazývaný Kneiphof. Obkolesuje ho rieka Pregel, ktorá sa tu rozvetvuje. Na tejto rieke je postavených 7 mostov. Ľudia sa počas nedeľných prechádzok snažili prejsť všetkými siedmimi mostmi v meste práve raz.
49 Euler Problém Königsbergských mostov Nie je podstatné ako to vyzerá geograficky, len to čo je s čím spojené. Euler je považovaný za zakladateľa Teórie grafov
50 Mapa londýnskeho metra - jej prvá verzia bola vytvorená v roku 1931 Henry C. Beckom.
51 Domáca úloha (5 bodov) Riešte Eulerov problém pre 25 dôstojníkov Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 25 dôstojníkov povyberaných z piatich plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major, nadporučík a poručík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený z piatich radov po piatich dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe. Riešte Eulerov problém pre 16 dôstojníkov Na vojenskú slávnosť má nastúpiť 16 dôstojníkov povyberaných zo štyroch plukov a to tak, aby z každého pluku bol vybraný plukovník, podplukovník, major a nadporučík. Dôstojníci mali pri nástupe utvoriť štvorec zložený zo štyroch radov po štyroch dôstojníkoch a to tak, aby v každom rade a zástupe bol jeden dôstojník z každého pluku i z každej hodnosti. Nakreslite ako vyzeral štvorec, ktorý vytvorili pri nástupe.
Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
Podrobnejšie(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
Podrobnejšietkacikova
Apollonius z Perge (história matematiky) Jana Tkačíková, 4. roč. Mat-NV Apollonius z Perge Apollonius z Perge (približne 262-190 p.n.l.) bol grécky geometer a astronóm, je známy ako jeden z najvýznamnejších
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_2kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
Podrobnejšieprijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc
Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje
Podrobnejšie(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieMicrosoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieZákladná škola, Školská 3, Čierna nad Tisou Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda
Základná škola, Školská 3, 076 43 Čierna nad Tisou Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2018/2019 Trieda: VIII.A,B
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšiePrezentace aplikace PowerPoint
Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu
PodrobnejšiePL_2_2_vplyv_objemu
Pokus 1 (Lapitková, et al., 2010, s. 78) Cieľ pokusu Preskúmať, ako vplýva objem a tvar telesa na hĺbku ponoru. Úloha č.1 Porovnaj hĺbku ponorenia dvoch škatúľ s rôznymi objemami, ak ich rovnako zaťažíš
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieStredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium)
Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) 1. Počty žiakov a tried, ktoré možno prijať do prvého ročníka študijných odborov Podľa 65 ods. 1) Zákona č. 245/2008
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieTestovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat
Testovanie 9 2019 Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matematiky Test z matematiky riešilo spolu 37 296 žiakov 9.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieTelesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c
Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieMATEMATIKA
ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
PodrobnejšieUČEBNÉ OSNOVY
UČEBNÉ OSNOVY Predmet: Matematika 8. 9. ročník (ISCED ) Charakteristika predmetu: Učebný predmet matematika na. stupni ZŠ je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky
PodrobnejšieUčebné osnovy so vzdelávacím štandardom
Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieUčebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret
Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tretí Týždenne: 5 h ročne: 165 h 1 disponibilná hodina
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
PodrobnejšieSeriál XXXII.I Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika Úvod Tento rok bude seriál o mechanike. Mechanika je jedna z najstarších častí fyziky a zároveň je prvou fyzikálnou disciplínou, ktorá bola uspokojivo matematicky popísaná. Keďže mechanika
PodrobnejšieZadanie_1_P1_TMII_ZS
Grafické riešenie mechanizmov so súčasným pohybom DOMÁE ZDNIE - PRÍKLD č. Príklad.: Určte rýchlosti a zrýchlenia bodov,, a D rovinného mechanizmu na obrázku. v danej okamžitej polohe, ak je daná konštantná
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieŠkVP_MAT
Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieEgyptská matematika
Matematika v období rímskej nadvlády História matematiky Ingrid Semanišinová História 212 p.n.l. dobytie Syrakúz, neskôr Kartágo, Grécko, Egypt, Mezopotámia vznikli kolónie ovládané rímskou administratívou.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieEgyptská matematika
Matematika v 19. a v 20. storočí História matematiky Ingrid Semanišinová Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Nemecký matematik významne ovplyvnil rozvoj teórie čísel, diferenciálny a integrálny počet, diferenciálnej
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieŠtudijný program (Študijný odbor) Školiteľ Forma štúdia Téma Požiadavky na prijatie Výzbroj a technika ozbrojených síl (8.4.3 Výzbroj a technika ozbro
(8.4.3 ) doc. Ing. Martin Marko, CSc. e mail: martin.marko@aos.sk tel.:0960 423878 Elektromagnetická kompatibilita mobilných platforiem komunikačných systémov. Zameranie: Analýza metód a prostriedkov vedúcich
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]
Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší
PodrobnejšieUrčenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivýc
Určenie hustoty látok Určiť hustotu je trochu pracné. Nemá zmysel, aby ju ľudia určovali stále, keď hustotu potrebujú. Preto je už hustota jednotlivých látok zmeraná a uvedená v tabuľkách hustoty. Tabuľky
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
Podrobnejšie59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2017/2018 Kategória G Archimediáda Doplnenie databázy úloh pre súťaž tímov obvodu, okresu, mesta máj 2
59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 017/018 Kategória G Archimediáda Doplnenie databázy úloh pre súťaž tímov obvodu, okresu, mesta máj 018 riešenie úloh 1. Tlak pneumatík automobilu na vozovku
PodrobnejšieMatematika
Matematika Stupeň vzdelania: základné Forma štúdia: denná Vyučovací jazyk: slovenský Časový rozsah výučby: v piatom až deviatom ročníku v jednom školskom roku je časový rozsah 165 hodín. 5. roč. 6. roč.
PodrobnejšieÚlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR
Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieMicrosoft Word - navrh-na-tvvp-matematika-pre-tretiakov-bs
Návrh na tematický výchovno-vzdelávací plán pre predmet (TVVP) (aktualizovaný na školský rok 2019/2020) Stupeň vzdelania: ISCED 1 primárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami
Podrobnejšie1)
Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieObsah
Obsah str. 1. Základné pojmy pružnosti a pevnosti 1.1 Predmet a význam náuky o pružnosti a pevnosti 3 1.2 Z histórie oboru 3 1.3 Základné predpoklady o materiáli 4 1.4 Vonkajšie a vnútorné sily 5 1.5 Normálové
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
Podrobnejšie