Filip Lacina. Stochastická integrace BAKALÁ SKÁ PRÁCE. Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Filip Lacina Stochastická integrace Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalá ské práce: Studijní program: Studijní obor: Prof. RNDr. Josef t pán, DrSc. Matematika Finan ní matematika Praha 213

Na tomto míst bych rád pod koval svému ²koliteli Prof. RNDr. Josefu t pánovi, DrSc. za jeho odborné rady, ochotu a laskavost p i vedení této práce. Dále bych cht l vyjád it dík své p ítelkyni Lucii Chybové za její lásku, podporu, trp livost a pochopení.

Prohla²uji, ºe jsem tuto bakalá skou práci vypracoval samostatn a výhradn s pouºitím citovaných pramen, literatury a dal²ích odborných zdroj. Beru na v domí, ºe se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona. 121/2 Sb., autorského zákona v platném zn ní, zejména skute nost, ºe Univerzita Karlova v Praze má právo na uzav ení licen ní smlouvy o uºití této práce jako ²kolního díla podle Ÿ6 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 14. 5. 213 Filip Lacina

Název práce: Stochastická integrace Autor: Filip Lacina Katedra: Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalá ské práce: Prof. RNDr. Josef t pán, DrSc., Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Moderní teorie pravd podobnosti, náhodných proces a nan ní matematika vyºadují pro matematické modelování zavedení r zných d leºitých pojm. Jeden z nich je p edm tem této práce. Jedná se o stochastický integrál, tedy integrál náhodné funkce (procesu) podle Wienerova procesu (Brownova pohybu) - jakoºto procesu s ortogonálními p ír stky. Problémem je, ºe Wiener v proces nemá kone nou variaci, a proto stochastický integrál nelze budovat jako Lebesgue- Stieltjes v. K e²ení této situace p isp je kone ná kvadratická variace Wienerova procesu a Doobovy rovnosti. Samotná konstrukce je, na rozdíl od klasického zp - sobu popsaného nap. v J. Dupa ová, J. Hurt and J. t pán: Stochastic Modeling in Economics and Finance, odstavec III.2, vedena pon kud netradi ní cestou, a to pomocí Lenglartovy nerovnosti. Poté ukáºeme, ºe kaºdý spojitý proces je vhodným integrandem pro námi zkonstruovaný integrál. V samém záv ru práce je taktéº dokázána jednorozm rná Itôova formule. Klí ová slova: martingal, markovský as, Wiener v proces, stochastický integrál. Title: Stochastic integration Author: Filip Lacina Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof., RNDr. Josef t pán, DrSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: The modern theory of probability, theory of stochastic processes and - nancial mathematics insist on the inctroduction of many important notions. This work deals with one of them. Namely the stochastic integral, it means integral of a random function (stochastic process) with respect to the Wiener process (Brownian motion), as a process with independent increments. The problem is, the Wiener process is not o a nite variation, thus we cannot construct stochastic integral as a Lebesgue-Stieltjes integral. To solve this situation we will use nite quadratic variation of Wiener process and Doob inequalities. The construction of stochastic integral itself uses the Lenglart inequality, unlike the construction introduced in J. Dupa ová, J. Hurt and J. t pán: Stochastic Modeling in Economics and Finance, paragraph III.2. After that we will show that every continouous process is an appropriate integrand for our stochastic intergal. At the end of this work we will prove the one-dimensional Itô formula. Keywords: martingale, Markov time, Wiener process, stochastic integral.

Obsah 1 Základní pojmy a nástroje 3 2 Wiener v proces, martingaly, markovské asy 9 3 Stochastická integrace 21 1

Úvod Úkolem práce je zkonstruovat stochastický integrál, tedy integrál náhodného procesu podle Wienerova procesu. Kone ným objektem bude lokální martingal, mající klasické vlastnosti integrálu: linearitu a spojitost a který je spojitý podle pravd podobnosti. Hlavním úkolem bude docílit toho, abychom byli schopni integrovat kaºdý spojitý proces a dokázat jednorozm rnou Itôovu formuli. Vzhledem k tomu, ºe Wienerov v proces nemá kone nou variaci, nelze postupovat jako p i konstrukci Lebesgue-Stieltjesova integrálu. V první kapitole jsou zavedeny základní matematické pojmy a nástroje pot ebné k dal²ímu postupu. Ve druhé kapitole se nachází denice a v ty o vlastnostech Wienerova procesu, martingalech a markovských asech. V poslední kapitole je provedena samotná kontrukce stochastického integrálu. Postup spo ívá v tom, ºe je nejprve zkonstruován stochastický integrál pro jednoduchý proces, poté L 2 -integrál a nakonec integrál pro kaºdý spojitý proces, p ipomínající integrál Riemann v. Záv rem je dokázána zmín ná Itôova formule a uvedeno n kolik p íklad. 2

Kapitola 1 Základní pojmy a nástroje V této kapitole uvedeme n které základní pojmy teorie pravd podobnosti a náhodných proces. Denice 1.1. Uspo ádanou trojici (Ω, F, P ) nazýváme pravd podobnostní prostor jestliºe Ω je neprázdná mnoºina, F 2 Ω je σ-algebra a P je pravd podobnostní míra na F. Denice 1.2. Nech (Ω, F, P ) je pravd podobnostní prostor a (E, E) je m itelný prostor. Budeme íkat, ºe zobrazení X : Ω E je náhodná veli ina (dále jen n.v.) s hodnotami v (E, E), jestliºe je m itelná t.j. [X B] def. = {ω Ω : X(ω) B} = X 1 B F pro kaºdé B E. Tento fakt budeme zna it X : (Ω, F) (E, E). Pokud (E, E) = (R, B(R)), nazýváme X reálnou n.v., pokud (E, E) = (R, B(R )), nazýváme X zobecn nou reálnou n.v. B(R) zde zna í borelovskou σ-algebru na R. Denice 1.3. Je li X n.v. s hodnotami v (E, E), pak zavádíme pojem rozd lení (pravd podobnosti) n.v. X jako pravd podobnostní míru P X denovanou na E p edpisem P X (B) = P (X B) def. = P ([X B]) pro B E. Jiné pouºívané zna- ení je P X = L(X) = L(X/P). Úmluva 1.4. Symbol f dp bude v celé práci zna it Lebesgue v integrál F z f p es F podle P. Denice 1.5. Pro zobecn nou reálnou n.v. X denovanou na pravd podobnostním prostoru (Ω, F, P ) denujeme její st ední hodnotu jako EX = Ω X dp, pokud integrál existuje. Jinak budeme íkat, ºe X nemá st ední hodnotu. Denice 1.6. Zavedeme zna ení: (i) L(Ω, F) je mnoºina v²ech zobecn ných reálných n.v. denovaných na (Ω, F); 3

(ii) L p (Ω, F, P ) = X L(Ω, F) : E X p < pro kaºdé 1 p <. Úmluva 1.7. V této práci budeme pouºívat úmluvu b ºnou p i integrování: ( ) = = = =. Dále v textu budeme u rovností a nerovností vynechávat poznámku "platí skoro jist ", pokud bude z kontextu jasné, zdali se o takový p ípad jedná, i ne. Tvrzení 1.8. Vlastnosti st ední hodnoty: Nech X, Y L(Ω, F), c R, pak platí: (i) pro kaºdé F F je EI F = P (F ); (ii) pokud X L 1 (Ω, F, P ), pak E[cX] = cex; (iii) pro kaºdé X, Y L 1 (Ω, F, P ) platí E[X + Y ] = EX + EY ; (iv) pro kaºdé X, Y L 1 (Ω, F, P ) platí: X Y = EX EY. Plyne p ímo z vlastností abstraktního Lebesgueova integrálu. Denice 1.9. Nech X L 1 (Ω, F, P ) a B F je σ-algebra. Pak kaºdou reálnou n.v. Y s vlastnostmi: (i) Y L 1 (Ω, F, P B ), kde P B zna í restrikci P na B ; (ii) pro kaºdou mnoºinu B B platí Y dp = X dp ; B B nazveme podmín nou st ední hodnotou n.v. X vzhledem k σ-algeb e B (p i podmínce B). Takovouto n.v. Y budeme ozna ovat E[X B], nebo E B X. Protoºe podmín ná st ední hodnota není ur ena jednozna n, ozna ujeme E[X B] mnoºinu v²ech podmín ných st edních hodnot E[X B]. Tvrzení 1.1. Existence podmín né st ední hodnoty: Je-li X L 1 (Ω, F, P ) a B F je σ-algebra, pak existuje alespo jedna podmín ná st ední hodnota n.v. X za podmínky B a mnoºina E[X B] je t ídou ekvivalence s.j. v L 1 (Ω, F, P/ B ). Ozna íme-li µ(b) = X dp pro B B, B potom E[X B] je mnoºinou v²ech Radon-Nikodýmových derivací µ podle P/ B. Viz [Lach], str. 41. Denice 1.11. Nech (Ω, F, P ) je pravd podobnostní prostor a B F je σ-algebra. Pak pro jev F F denujeme podmín nou pravd podobnost jako P (F B) = E[I F B] 4

a mnoºinu v²ech podmín ných pravd podobností jako P(F B) = E[I F B]. Denice 1.12. Nech X L 1 (Ω, F, P ) a Y : (Ω, F) (E, E) budeme ozna- ovat E[X Y ] = E[X σ(y )], E[X Y ] = E[X σ(y )] a pro jev F F P (F Y ) = P (F σ(y )), P(F Y ) = P(F σ(y )), kde σ(y ) zna í σ( B E Y 1 (B)). Nyní se podívejme na vlastnosti podmín né st ední hodnoty, které jsou podobné vlastnostem oby ejné st ední hodnoty (tedy integrálu). Tvrzení 1.13. Vlastnosti podmín né st ední hodnoty: Nech X, Y L 1 (Ω, F, P ) a B F je σ-algebra. Pak platí: (i) Pro konstanty a, b, c R platí: E[aX + by + c B] = ae[x B] + be[y B] + c. (ii) Pokud [X Y ] s.j., pak E[X B] E[Y B] s.j. (iii) Vºdy platí E[E[X B]] = EX. (iv) Kdyº X je B-m itelná, pak E[X B] = X. (v) Pokud C B F jsou σ-algebry, pak E[E[X B] C] = E[E[X C] B] = E[X C]. (vi) Kdyº σ(x) a B jsou nezávislé σ-algebry, pak E[X B] = X s.j., kde nezávislost znamená P (F S) = P (F ) P (S) pro v²echna F σ(x), S B. Denujme nyní je²t nezávislost n.v.: X, Y jsou nezávislé (pí²eme X Y ) σ(x) σ(y ). P irozen pokud X je n.v. a F je σ-algebra, pak X F def σ(x) F. Viz [Lach], str. 41. def Tvrzení 1.14. Nech X je reálná n.v. a Y je n.v. s hodnotami v m itelném prostoru (E, E). Kdyº σ(x) σ(y ), pak existuje m itelná funkce f : (E, E) (R, B(R)) taková, ºe X = f(y ). 5

Viz [Lach], str. 48. D sledek 1.15. Pokud X L 1 (Ω, F, P ) a Y : (Ω, A) (E, E), pak lze podmín nou st ední hodnotu psát jako E[X Y ] = f(y ) pro vhodnou funkci f : (E, E) (R, B(R)). Tento fakt je p ímým d sledkem tvrzení 1.14., nebo σ(e[x Y ]) σ(y ), protoºe E[X Y ] je dle denice σ(y )-m itelná. Denice 1.16. Pro X L 1 (Ω, F, P ) a Y : (Ω, F) (E, E) budeme ozna ovat E[X Y = y] = f(y), pro kaºdé y E, kde f : (E, E) (R, B(R)) spl uje E[X Y ] = f(y ). Denice 1.17. Nech X : (Ω, A) (E, E), Y : (Ω, A) (H, H) jsou n.v. s hodnotami v m itelných prostorech. Podmín ným rozd lením n.v. X za podmínky Y budeme rozum t funkci P X Y : E H [, 1] : (B, y) P X Y (B y), která spl uje následující t i podmínky: 1. Pro kaºdé y H je mnoºinová funkce (B, y) P X Y (B y) pravd podobnostní mírou na E. 2. Pro kaºdé B E je funkce y P X Y (B y) H-m itelná. 3. Pro kaºdé B E a C H platí P X Y (B y) dp Y (y) = P (X B, Y C). C Symbolem L(X Y ) budeme ozna ovat mnoºinu v²ech podmín ných rozd lení X za podmínky Y. Nyní uvedeme bez d kazu n které základní vlastnosti podmín ného rozd lení. Tvrzení 1.18. Vztah podmín ného rozd lení a podmín né st ední hodnoty: Nech jsou dány n.v. X : (Ω, F) (E, E), Y : (Ω, F) (H, H) s hodnotami v m - itelných prostorech a nech existuje jejich podmín né rozd lení P X Y. Pokud G : (E H, E H) (R, B(R)) a G(X, Y ) L 1 (Ω, F, P ), pak E[G(X, Y ) Y = y] = G(x, y) dp X Y (x y) pro P Y -skoro v²echna y H. E 6

Viz [Lach], str. 58. Tvrzení 1.19. Existence podmín ného rozd lení: Za podmínek jako v p edchozím tvrzení platí, ºe existuje alespo jedno podmín né rozd lení n.v. X za podmínky n.v. Y, pokud je spl ena alespo jedna z následujících podmínek: 1. E je úplný separabilní metrický prostor; 2. n.v. X, Y jsou nezávislé; 3. existuje nejvý²e spo etná mnoºina I H taková, ºe P (Y I) = 1 a {y} H, P (Y = y) > pro kaºdé y I. Viz [Lach], str. 59, 6. Nyní se za neme zabývat zna n sloºit j²ími "strukturami" p esn e eno kolekcemi náhodných veli in. Úmluva 1.2. Zaxujme nyní pro budoucí ú ely prostor (Ω, F, P ), na kterém budeme pracovat, abychom jej nemuseli stále explicitn psát do p edpoklad de- nic a v t. Denice 1.21. Kolekci reálných n.v. X nazveme stochastickým procesem nebo taktéº náhodným procesem, pokud X = (X(t), t T ), taktéº X = (X(ω, t), t T ), T R +. Pokud nebude e eno jinak, budeme chápat stochastický proces na celém R +. Trajektorií stochastického procesu rozumíme reálnou funkci reálné prom nné X ω (t) takovou, ºe t X ω (t) pro n jaké ω Ω. Proces nazveme spojitý, rostoucí, klesající, neklesající..., pokud jeho trajektorie spl ují danou vlastnost. Podobn nazveme proces skoro jist spojitý, skoro jist klesající..., pokud jeho trajektorie spl ují danou vlastnost mimo mno- ºinu, která má pravd podobnost nula. Nyní uvedeme na ukázku jednoduché p íklady stochastických proces. P íklad 1.22. Nech ([, 1], B([, 1]), λ) je pravd podobnostní prostor. Pak X(ω, t) = I {ω} (t), X(ω, t) = sin(ωt) jsou stochastické procesy. Ve druhém p ípad jde dokonce o proces spojitý. Pro práci s náhodnými procesy se ukáºe velmi uºite né zavést následující pojem. Denice 1.23. Filtrací rozumíme mnoºinu σ-algeber { F t, t R + }, pokud pro kaºdé t R + F t F a pro kaºdé s, t R +, s < t platí F s F t. Filtraci nazveme 7

standardní, pokud spl uje následující dv podmínky: def (i) spojitost zprava: F t = F t+ = s>t F s pro kaºdé t ; (ii) úplnost: F obsahuje v²echny mnoºiny z F, jejichº pravd podobnost je. Pojem ltrace je úzce spjat s náhodnými procesy. Kaºdému procesu ur itým zp sobem "p íslu²í" jistá ltrace. Tento fenomén popí²e následující denice. Denice 1.24. Pro stochastický proces X denujeme jeho kanonickou ltraci jako: F X t = σ(x(s), s t), F X = σ(x(t), t ). Denice 1.25. Nech F t je ltrace. Pak proces X nazveme F t -adaptovaný, pokud pro kaºdé t platí Ft X F t, speciáln tedy pokud pro kaºdé t je n.v. X(t) F t -m itelná. Na prom nnou t ve stochastickém procesu se asto díváme jako na as. Kanonická ltrace je nejmen²í ltrace, na kterou je proces adaptován a Ft X potom reprezentuje jakousi historii událostí do asu t. 8

Kapitola 2 Wiener v proces, martingaly, markovské asy Denice 2.1. Brownovým pohybem nazýváme gaussovský proces s nulovou st ední hodnotou a kovarian ní funkcí cov(x(s), X(t)) = s t pro s, t R +. Tedy takový proces, kdy (t 1,..., t n R + ) : L(X(t 1 ),..., X(t n )) = N n (, (t i t j ) n i,j=1), kde N n (µ, Σ) zna í n-rozm rné normální rozd lení s vektorem st edních honot µ a kovarian ní maticí Σ. Dále s t zna í minimum z prvk s a t. Tvrzení 2.2. Existence Brownova pohybu: Brown v pohyb existuje a kaºdý Brown v pohyb lze modikovat (zm nit na mnoºin s pravd podobností nula) tak, aby vznikl spojitý proces. Spojitý Brown v pohyb budeme nazývat Wiener v proces a budeme jej zna it W = (W (t), t R + ). Viz [DHS, str. 239]. V ta 2.3. Ekvivalentní denice Brownova pohybu: Proces X je Brown v pohyb, práv kdyº (i) X() = skoro jist ; (ii) má nezávislé p ír stky, tedy X(t 1 ) X(), X(t 2 ) X(t 1 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) jsou nezávislé n.v.; (2.1) (iii) L(X(t) X(s)) = N(, t s ) pro v²echna t, s R +. Nech X je gaussovský proces s nulovou st ední hodnotou. Potom nejprve E[X()] =, cov(x(), X()) = var(x()) = =. Tedy X() = skoro 9

jist. Dále pro s u t < platí cov(x(t) X(u), X(u) X(s)) = E[(X(t) X(u))(X(u) X(s))] = = E[X(t)X(u)] E[X(t)X(s)] E[X 2 (u)] + E[X(u)X(s)] = u s u + s = pro s u t a vektor (2.1) má tedy normální rozd lení, protoºe lineární transformace normáln rozd leného vektoru je op t normáln rozd lený vektor. Z toho vyplývá, ºe p ír stky jsou nezávislé a p íslu²n rozd lené, protoºe pro normální rozd lení platí, ºe pokud jsou n.v. nekorelované, pak jsou i nezávislé. Nech naopak X spl uje vlastnosti (i), (ii) a (iii). Nejprve se podívejme na st ední hodnotu a rozptyl marginál. Platí E[X(t)] = E[X(t) X()] =, var(x(t)) = var(x(t) X()) = t. Dále cov(x(s), X(t)) = E[X(t) X(s)] = E[(X(t) X(s))(X(s) X()) + X 2 (s)] = = + E[X 2 (s)] = var(x(s)) = s = s t, pro v²echna s, t R, s < t. Zbývá tedy ukázat, ºe X(t i ) jsou normáln rozd leny. Po provedení transformace f(x(t 1 ) X(), X(t 2 ) X(t 1 )..., X(t n ) X(t n 1 )) = (X(t 1 ),..., X(t n )) vznikne skute n vektor s poºadovanými vlastnostmi, protoºe f je lineární. Wiener v proces je stabilní v i pom rn ²iroké ²kále transformací. Uve me proto n které z nich. Tvrzení 2.4. Transformace Wienerova procesu: Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak (i) ( W (t), t ), (σ 1 W (σ 2 t), t ), σ 2 > jsou Wienerovy procesy. (ii) (W (t + t ) W (t), t ), t je Wiener v proces. (iii) Ozna íme-li W (t) = tw (t 1 ), t > a W () =, pak existuje Wiener v proces (W (t), t ), ºe W (t) = W (t), t skoro jist. Viz [TPMZ, str. 46]. Nyní bychom cht li zkoumat dal²í, sloºit j²í vlastnosti Wienerova procesu. K tomu bude nutné zavést n kolik pojm a ukázat, ºe Wiener v proces je spl uje. Denice 2.5. Nech {F t, t } je ltrace, pak Wiener v proces W = (W (t), t ) nazveme F t -Wienerovým procesem, pokud: (i) W je adaptován na F t ; (ii) (W (t) W (s)) F s pro v²echna s t. V ta 2.6. Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W je Ft W -Wiener v proces. 1

( Nejprve si zave me ozna ení: g n (t) def = σ W ( ) ( ) ) kt 2 W (k 1)t, k = 1, 2,..., 2 n,, n 2 n n N, t. Dále g(t) def = n=1 g n(t). Existence g je zaru ena monotonií g n. Nyní budeme chtít ukázat, ºe g(t) = Ft W. Ale ( [ ( ) ( )] ) kt (k 1)t g(t) = σ W W, k = 1, 2,..., 2 n, = ( = σ W n N ( kt 2 n 2 n 2 n ) ), k = 1, 2,..., 2 n, = σ(w (s), s t) = Ft W. Druhá rovnost platí, protoºe pro f : R k R k bijekci platí σ(f(x)) = σ(x) pro v²echna k N. T etí rovnost pak platí ze spojitosti Wienerova procesu. Nyní ukáºeme, ºe W (t) W (s) F s pro s t. Jelikoº Wiener v proces má nezávislé p ír stky, platí n N : W (t) W (s) g n (s) = W (t) W (s) g n (s) = n=1 ( ) = W (t) W (s) σ g n (s) = Fs W, kde poslední implikace platí proto, ºe n=1 g n(s) je uzav eno na kone né pr niky. Pro podrobnosti k tomuto kroku viz [TPMZ], odstavec II.5. n=1 Nyní bychom rádi zkoumali Wiener v proces z mírn odli²ného úhlu pohledu, a to podmi ování. Denice 2.7. Nech X = X(t), t je stochastický proces a {F t, t } je ltrace. Proces X nazveme martingal, pokud spl uje následující dv vlastnosti: (i) X(t) L 1 (Ω, F, P ), pro kaºdé t ; (ii) E F X s [X(t)] = X(s) pro kaºdé s t. Proces X nazveme F t -martingal, pokud platí: (i) X je adaptován na F t ; (ii) X(t) L 1 (Ω, F, P ); (iii) E Fs [X(t)] = X(s), pro kaºdé s t. Nyní uvedeme jednoduchý vztah mezi práv denovanými pojmy. V ta 2.8. Za podmínek v p edchozí denici platí: Pokud je stochastický proces X F t -martingal pro n jakou ltraci F t, pak je martingal. D kaz provedeme p ímým výpo tem: E F X s [X(t)] = E F X s [E F s [X(t)]] = E F X s [X(s)] = X(s) pro v²echna s t. 11

Tento výpo et platí dle tvrzení 1.13.(v). Vra me se nyní k Wienerovu procesu. Vzhledem k tomu, ºe pro n j platí (W (t) W (s)) N(, s t ) a zárove W (t) W (s) F W s, s t, by se dalo intuitivn o ekávat, ºe Wiener v proces bude martingal. Tato my²lenka bude nyní formáln dokázána. V ta 2.9. Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W je martingal. D kaz op t provedeme p ímým výpo tem: E F W s [W (t)] = E F W s [(W (t) W (s)) + W (s)] = + W (s) = W (s), s t. Výpo et platí díky tomu, ºe W je F W t -Wiener v proces. Jak jiº bylo zmín no, Wiener v proces je stabilní v i n kterým transformacím. Ani jeho martingalová vlastnost se v ur itých p ípadech neztrácí. V ta 2.1. Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W 2 (t) t je martingal. Ukaºme, ºe W 2 (t) t je F W t -martingal a tedy martingal. Po ítejme E F W s [W 2 (t)] = E F W s [W (t) W (s)] 2 + 2E F W s [W (t)w (s)] E F W s [W 2 (s)] = = (t s) + 2W 2 (s) W 2 (s) = W 2 (s) s + t, s t. Tedy E F W s [W 2 (t) t] = W 2 (s) s. Nyní bychom cht li zkoumat hladkost a velikost oscilací trajektorií Wienerova procesu. Proto zavedeme následující pojmy. Denice 2.11. Variací reálné funkce f na intervalu [a, b] rozumíme funkci ( n ) V [a,b] (f) = sup f(x i ) f(x i 1 ), i=1 kde supremum je bráno p es v²echna d lení D n = {a = x 1 < x 2 < < x n = b}. Kvadratickou variací f na intervalu [a, b] rozumíme funkci V 2 [a,b](f) = lim S n 1 D n, kde S Dn = (f(t (n) k+1 ) D f(t(n) k ))2, n 12 k=

kde D n nazýváme normou d lení D n a D n def = max t (n) k+1 t(n) k. k Tyto nov zavedené veli iny nyní pouºijeme jako míry hladkosti a velikosti oscilací Wienerova procesu. Tvrzení 2.12. Derivace a variace Wienerova procesu: Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W nemá kone nou derivaci v ºádném bod skoro jist a tudíº nemá kone nou variaci na ºádném intervalu [a, b], kde a < b. D kaz tohoto tvrzení je pom rn technický a je podrobn popsán v [TPMZ], str. 46. V ta 2.13. Kvadratická variace Wienerova procesu: Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces a D n d lení intervalu [a, b], a < b <. Pak platí: (i) D n = S Dn b a v L 2 ; (ii) n=1 D n < = V[a,b] 2 (W ) = b a s.j. pro n. Z ejm platí E[S Dn ] = b a. Nyní po ítejme E[S Dn (b a)] 2 = var(s Dn ) = k var(w (t (n) k+1 ) W (t(n) k ))2 = = k E[(W (t (n) k+1 ) W (t(n) k ))2 ((t (n) k+1 ) (t(n) k ))]2 = = k (t (n) k+1 t(n) k )2 E[W 2 (1) 1] 2 E[W 2 (1) 1] 2 k (t (n) k+1 t(n) k ) D n = kde rovnost = platí, protoºe L = E[W 2 (1) 1] 2 (b a) D n, (W (t(n) k+1 ) W (t(n) k ))2 = L(W (1)). t (n) k+1 t(n) k Pro d kaz (ii) nyní nech ε > a ozna me: a n = P ( S Dn (b a) ε). Pak platí a n = P ( S Dn (b a) ε) ε 2 var(s Dn ) ε 2 E[W 2 (1) 1] 2 (b a) D n. A tedy n=1 a n konverguje. Nyní d kaz druhé ásti tohoto tvrzení získáme aplikací Borel-Cantelliho lemmatu (viz [TPMZ], str. 135). Nyní se podívejme na asymptotické chování trajektorií Wienerova procesu. 13

V ta 2.14. Zákon velkých ísel: Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W (t) lim = s.j. t t Pokud dodrºíme zna ení z tvrzení 2.4., pak W (t) lim t t = lim t W (t) = lim t W (t) = kde pravá rovnost platí proto, ºe W (t) je Wiener v proces. s.j., Nyní budeme chtít stochastický proces zastavovat v r zných d leºitých okamºicích. K tomu nám bude slouºit pojem, který je p edm tem následující denice. Denice 2.15. Nech {F t, t } je ltrace. Pak funkci τ : (Ω, F) ([, ], B([, ])) nazveme (F t -)markovským asem, pokud [τ t] F t pro kaºdé t. Markovským asem procesu X pak nazveme F X t - markovský as. Nyní denujme F τ = {F F : F [τ t] F t } pro v²chna t. F τ ozna ujeme jako σ-algebru událostí do asu τ. Poznámka 2.16. Název σ-algebra událostí do asu τ byl zvolen proto, ºe τ je skute n σ-algebra (viz [Chung], str. 1) a τ je F τ -m itelná funkce, nebo pokud ozna íme F s mnoºinu [τ s] pro s, pak F s F τ pro kaºdé s. Nebo F s [τ t] F t, protoºe F s [τ t] = [τ s, τ t] = [τ s t] F s t F t. Tedy v kaºdém ase t umíme rozhodnout, zdali do tohoto asu událost popisovaná τ nastala, i nikoliv. Tvrzení 2.17. Vlastnosti markovských as : Nech τ a ν jsou F t -markovské asy. Potom 1. ν τ, ν τ a ν + τ jsou taktéº F t -markovské asy; 2. τ t je F t -m itelná n.v. pro kaºdé t ; 3. F F ν = F [ν τ] F τ ; 4. ν τ = F ν F τ ; 5. [ν < τ], [ν τ], [ν = τ] F ν F τ ; 6. F ν F τ = F ν τ. 14

Viz [DHS], str. 245. Nyní uvedeme dva netriviální p íklady markovských as. P íklad 2.18. Nech X = (X(t), t ) je spojitý stochastický proces, b R. Dále nech τ b zna í první vstup procesu X do b, tedy Potom τ b je markovský as procesu X. τ b = inf {t : X(t) = b}. [τ b t] = [ s t : X(s) = b] = [ inf X(q) = b] Ft X. q t q Q t Poznámka 2.19. Poznamenejme je²t, ºe p edchozí d kaz se dá snadno modikovat a ukázat, ºe první vstup spojitého procesu do obecné uzav ené mnoºiny je taktéº markovský as. Pokud bychom p idali je²t p edpoklad spojitosti F X t zprava, pak i první vstup do otev ené mnoºiny je markovským asem. P íklad 2.2. Nech τ je markovský as procesu, pak τ n denováno jako τ n = k2 n pro (k 1)2 n τ < k2 n, τ n = pro τ n, 1 k n2 n, n N je posloupnost markovských as a platí τ n τ pro n. Stejné vlastnosti má i posloupnost τ n denovaná jako τ n = K n, pro K 1 τ < K n n, K N, τ n = pro τ =. Zaxujme t a ov me: (k 1)2 n t < k2 n = [τ n t] = [τ < (k 1)2 n ] F (k 1)2 n F t, t n = [τ n t] = [τ n] F n F t. Bodová konvergence je z ejmá. D kaz pro druhou posloupnost je zcela analogický p edchozímu. N kolik následujích tvrzení se bude v novat kalkulu p i podmi ování σ-algebrami markovských as. Tvrzení 2.21. Nech Z L 1 (Ω, F, P ) a τ a ν jsou markovské asy. Pak: (i) [ν τ] = E[Z F ν ] = E[Z F ν τ ] skoro jist. (ii) E Fν E Fτ Z = E Fν τ Z skoro jist. 15

Viz [DHS], str. 246. V ta 2.22. Waldova rovnost: Nech X = (X(t), t ) je spojitý martingal, X() =, E[max s t X(s) ] <. Pak pro kaºdý markovský as τ takový, ºe τ > ; τ < skoro jist ; t τ(ω) = X ω (t) c < platí X(τ) L 1 (Ω, F, P ) a EX(τ) =. Pouºijeme druhou aproximaci τ z p íkladu 2.2. Pro L N platí [τ L] X(τ n ) dp = nl 1 k= [ k 1 n τ< n] k = X ( ) k n X(L) dp = dp = nl 1 k= X(L) dp. [ k 1 n τ< k n] X(L) dp = [τ L] [τ>l] Rovnost = platí proto, ºe E[X(L) F k ] = X ( k n n) a tedy díky integrální rovnosti z denice 1.9. zde m ºeme tyto n.v. zam nit. Rovnost = pak platí proto, ºe Platí E[X(L)] = E[E[X(L) F ]] = E[X()] = E =. X(τ n ) max t L+1 X(t) L 1(Ω, F, P ) na [τ L]. Nyní díky Lebesgueov v t o integrovatelné majorant a spojitosti X m ºeme ud lat limitní p echod a získat lim X(τ n ) dp = lim X(τ n) dp = X(τ) dp = X(L) dp. n n [τ L] [τ L] [τ L] [τ>l] V tomto okamºiku budeme pot ebovat je²t jeden limitní p echod a to L. Aplikujeme tento limitní p echod na poslední rovnost v p edchozím výpo tu a dostaneme EX(τ) = lim X(L) dp =, L [τ>l] 16

protoºe [τ>l] X(L) dp cp [τ > L] L. Tvrzení 2.23. Optional sampling theorem: Nech X = (X(t), t ) je zprava spojitý F t -martingal a ν τ T < dvojice omezených F t -markovských as. Pak X(ν), X(τ) L 1 (Ω, F, P ), E[X(τ) F ν ] = X(ν). Viz [DHS], str. 248. Tvrzení 2.24. Stopping theorem: Nech X = (X(t), t ) je zprava spojitý F t -martingal a ν, τ jsou F t -markovské asy, pak platí: (i) Pokud ν τ, pak pro kaºdé t platí E Fν [X(t τ)] = X(t ν). (ii) Pokud je navíc X omezený proces a ν τ jsou kone né F t -markovské asy, pak E Fν X(τ) = X(ν). Viz [DHS], str. 249. Nyní jsme jiº schopni ukázat, ºe Wiener v proces spl uje d leºitou vlastnost, která je p edm tem následující denice. Denice 2.25. Nech X = (X(t), t ) je stochastický proces a τ je markovský as takový, ºe τ < skoro jist. Ozna me B X τ (t) = X(τ + t) X(τ). Pak o procesu X ekneme, ºe má silnou markovskou vlastnost, pokud jsou spl eny následující dv podmínky: (i) B X τ F τ ; (ii) L(B X τ (t)) = L(X(t)). V ta 2.26. Silná markovská vlastnost Wienerova procesu: Nech W = (W (t), t ) je Wiener v proces. Pak W má silnou markovskou vlastnost. Nech t a τ je markovský as procesu W takový, ºe τ < s.j. Bτ W (t) je spojitý proces a platí Bτ W () =. Abychom ukázali, ºe je Wiener v, sta í ukázat, ºe má stejná kone n rozm rná rozd lení jako proces W (viz [TPMZ], str. 422.). Nyní op t pouºijme druhou aproximaci z p íkladu 2.2. a po ítejme P [W (τ n + t) W (τ n ) a] = 17

= = k=1 [ k 1 P n k=1 [ k 1 P τ < k ] P n n τ < k ( n, W t + k ) W n [ ( W t + k ) W n = P [W (t) a] 1, ( ) ] k a = n ( ) ] k a = n kde první rovnost plyne z v ty o úplné pravd podobnosti, druhá rovnost platí proto, ºe W ( ( t + n) k W k n) F W k, nebo W je Ft W -Wiener v proces a kone n n poslední rovnost vyplývá z toho, ºe W ( ( t + n) k W k n) N(, t) W (t). Pro libovolné kone n dimenzionální rozd lení by výpo et prob hl zcela analogicky. Tedy P [(W (τ n +t 1 ) W (τ n ),..., W (τ n +t r ) W (τ n )) M] = P [(W (t 1 ),..., W (t r )) M] pro kaºdou M B(R r ), pro kaºdé r N. Nyní se podívejme na nezávislost B X τ (t) a F τ. Pro kaºdou F F τ a M B(R r ) platí P [F (W (τ n + t 1 ) W (τ n ),..., W (τ n + t r ) W (τ n )) M] = = P (F ) P [(W (t 1 ),..., W (t r )) M] (viz vý²e). Tedy pro kaºdé n N platí B X τ n (t) F τ. Ze spojitosti W platí B X τ n (t) n B X τ (t). A tedy B X τ (t) je Wiener v proces a B X τ (t) F τ dle [TPMZ], odstavec II.5. Nyní uvedeme je²t pomocné tvrzení a denici a za neme se v novat prostor m L 2. Tvrzení 2.27. Doobovy nerovnosti: Nech X = (X(t), t ) je spojitý martingal, pak (i) pro p 1 platí: P [sup s t X(s) a] ( E X(t) p ; a p p (ii) pro p > 1 platí: E[sup s t X(s) p p ] p 1) E X(t) p. Viz [DHS], str. 243. Denice 2.28. F t -adaptovaný proces X = (X(t), t ) nazveme lokální F t -martingal, pokud existuje posloupnost F t -markovských as τ n taková, ºe kaºdý z proces X(τ n t) je F t -martingal. Poznámka 2.29. Je z ejmé, ºe pokud je proces martingal, pak je lokální martingal. Opa ná implikace ov²em neplatí. A to ani po dodání p edpokladu integrovatelnosti marginál, tedy E X(t) < pro kaºdé t. Nyní jiº p ichází na adu L 2. Denice 2.3. Nech X = (X(t), t ) je spojitý martingal, pak jej nazveme 18

L 2 -martingalem, pokud pro v²echna t platí, ºe E X(t) 2 <. Poznámka 2.31. D sledkem druhé Doobovy nerovnosti je, ºe pokud X = (X(t), t ) je spojitý L 2 -martingal, pak E[ sup X(s) 2 ] 4E[ X(t) 2 ] < = sup X(s) L 2. s t s t V ta 2.32. Nech M = (M(t), t ) je L 2 -martingal a u s t. Pak platí: (i) E[(M(t) M(s)) (M(s) M(u))] = E[M(s) M(u)] E Fs (M(t) M(s)) = ; (ii) E[M(t) M(u)] 2 = E[M(t) M(s)] 2 + E[M(s) M(u)] 2 ; (iii) E Fs [M(t) M(u)] 2 = E Fs [M(t) M(s)] 2 + (M(s) M(u)) 2 ; (iv) E Fu [M(t) M(u)] 2 = E Fu [M 2 (t) M 2 (u)]. Provedeme p ímým výpo tem. (i) E[(M(t) M(s)) (M(s) M(u))] = = E[E Fs [(M(t) M(s)) (M(s) M(u))]] = = E[(M(s) M(u))E Fs [(M(t) M(s))]] =. (ii) E[M(t) M(u)] 2 = E[(M(t) M(s)) + (M(s) M(u))] 2 = = E[M(t) M(s)] 2 + 2E[(M(t) M(s)) (M(s) M(u))] + E[M(s) M(u)] 2 = = E[M(t) M(s)] 2 + E[M(s) M(u)] 2, nebo E[(M(t) M(s)) (M(s) M(u))] = dle (i). Rovnost = platí, protoºe marginály M jsou v L 2. (iii) E Fs [M(t) M(u)] 2 = E Fs [(M(t) M(s)) + (M(s) M(u))] 2 = = E Fs [M(t) M(s)] 2 2E Fs [M(t) M(s) (M(s) M(u))]+E Fs [M(s) M(u)] 2 = = E Fs [M(t) M(s)] 2 + (M(s) M(u)) 2, nebo druhý len ve výrazu p ed poslední rovností je roven díky martingalové vlastnosti a t etí len je F s -m itelný. (iv) E Fu [M(t) M(u)] 2 = E Fu [M 2 (t) 2M(u)M(t) + M 2 (u)] = E Fu [M 2 (t)] M 2 (u). 19

Nyní uvedeme vztah mezi martingaly a procesy s kone nou variací. V ta 2.33. Vztah mezi martingaly a procesy s kone nou omezenou variací: Nech M = (M(t), t ) je spojitý L 2 -martingal takový, ºe M() = a M má kone nou omezenou variaci. Tedy pro kaºdé t : V [,t] (M) c <. Pak M(t) = pro v²echna t skoro jist. P edpokládáme V [,t] (M) = sup n Dn(t) j=1 M(t j) M(t j 1 ) c <, kde D n (t) = { = t < t 1 < < t n = t} pro v²echna (t, ω) R + Ω. Uvaºme posloupnost D n (t) = { = t n < t n 1 < < t n K n = t }, ºe D n (t) n. Po ítejme K n j=1 (M(t j ) M(t j 1 )) 2 max M(t n j ) M(t n 1 j ) 1 j K n n M(t n j ) M(t n j 1) j=1 max M(t n j ) M(t n 1 j ) c n. 1 j K n Víme, ºe E[M(t)] = pro v²echna t a pomocí Lebesgueovy v ty o integrovatelné majorant a 2.32.(ii) spo teme K n E[M(t)] 2 = E[M(t) ] 2 = E[M(t n j ) M(t n j 1)] 2 n. j=1 A tedy M(t) = skoro jist díky ƒeby²evov nerovnosti. K dispozici je ov²em je²t siln j²í tvrzení: Tvrzení 2.34. Nech L je spojitý lokální martingal s L() =. Pak existuje nulová mnoºina N F, ºe pro v²echna ω / N platí implikace Viz [DHS], str. 27. V [,t] (L) < = L(s) = pro s t. 2

Kapitola 3 Stochastická integrace Úmluva 3.1. Máme zaxován pravd podobnostní prostor (Ω, F, P ). Nyní na n j bude t eba klást siln j²í p edpoklady. Od tohoto okamºiku nech je prostor Ω úplný a ltrace F t úplná. Stochastický integrál t G dw nelze kv li nekone né variaci budovat jako Lebesgue-Stieltjes v. Proto provedeme následující konstrukci. Denice 3.2. Prostorem L 2 = L 2 (F t ) rozumíme funkce G : R + Ω R m itelné vzhledem k B(R + ) F, F t [ ] t-adaptované a spl ující E G2 (s) ds < pro v²echna t. ekneme, ºe posloupnost G (n) L 2 konverguje ke G L 2 v L 2, [ ] t pokud E (G(n) (s) G(s)) 2 ds, t. Je z ejmé, ºe L 2 je lineární prostor. Nyní postupn zkonstruujeme stochastický integrál práv pro procesy z L 2. Tvrzení 3.3. Nech G L 2. Pak t G(s) ds, t G2 (s) ds jsou spojité F t -adaptované procesy. Viz [DHS], str. 259. Denice 3.4. Nech G : R + Ω R je náhodný proces. G nazveme jednoduchý, pokud existuje lokáln kone né d lení {t j } intervalu R +, t j, ºe G = j=1 G j I [tj,t j+1 ), G j jsou F tj -m itelné a EG 2 j <. Mnoºinu v²ech takových proces budeme zna it J 2. Tvrzení 3.5. V ta o hustot : (i) Nech G L 2, G c <, pak existuje posloupnost omezených proces G (n) J 2 taková, ºe G (n) G v L 2. (ii) Nech G L 2, pak existuje posloupnost proces G (n) J 2 taková, ºe 21

G (n) G v L 2. Viz [DHS], str. 261. Denice 3.6. Ozna me mnoºinu spojitých L 2 -martingal M takových, ºe M() = jako CM 2. ekneme, ºe posloupnost M (n) CM 2 konverguje k M CM 2, pokud E [ max s t M (n) (s) M(s) 2] pro v²echna t. Z ejm CM 2 tvo í lineární podprostor prostoru L 2. Poznámka 3.7. P ímým d sledkem druhé Doobovy nerovnosti je, ºe posloupnost M (n) CM 2 konverguje k M CM 2, práv kdyº E [ M (n) (t) M(t) 2] pro v²echna t. Tvrzení 3.8. Nech M (n) je posloupnost v CM 2 taková, ºe E [ (M (n) (t) M (m) (t)) 2] m,n pro v²echna t. Pak existuje M CM 2, ºe E [ M (n) (t) M(t) 2] pro v²echna t. Tedy jakási analogie úplnosti prostoru CM 2. Viz [DHS], str. 255. Denice 3.9. Stochastický integrál pro jednoduchý proces: Nech G je jednoduchý proces a W je Wiener v proces. Pak proces k 1 I G (t) := G j (W (t j+1 ) W (t j )) + G k (W (t) W (t k )) j= pro t k t < t k+1, kde asy {t j } hrají stejnou úlohu jako v denici jednoduchého procesu, nazveme stochastický integrál G. Nyní ukáºeme n které vlastnosti takto zavedeného integrálu. V ta 3.1. Nech G J 2, pak I G (t) CM 2 takový, ºe E[I G (t)] = a E[I G (t)] 2 = E t G 2 ds, t. Za neme s jednoduchou situací, kdy G(t) = G 1 I [t1,t 2 ](t), ºe G 1 je F-m itelná a E[G 2 1] <. Pak jist I G () =. Nyní chceme spo ítat E Fs [I G (t)] pro s t. Netriviální situace nastane, pokud t 1 s t. Tedy E Fs [I G (t)] = E Fs [G 1 (W (t) W (t 1 ))] = G 1 E Fs [(W (t) W (t 1 ))] = 22

V této situaci platí: = G 1 (W (s) W (t 1 )) = I G (s). E[I G (t)] = E[G 1 (W (t) W (t 1 ))] = E[G 1 ] E[(W (t) W (t 1 ))] =. Dále pak: E[I G (t)] 2 = E[G 1 (W (t) W (t 1 ))] 2 = E[G 2 1] E[(W (t) W (t 1 ))] 2 = = E[G 1 ] 2 (t t 1 ) = E t G 2 ds. Nyní jiº jednoduchým roz²í ením dané situace získáme d kaz této v ty. V ta 3.11. Nech G L 2 a { G (n)} J 2 je posloupnost taková, ºe G (n) G v L 2. Pak existuje martingal M CM 2 takový, ºe I G (n) M v L 2. Navíc je tento proces ur en jednozna n. Nech M (n) = I G (n), pak { M (n)} CM 2 dle v ty 3.1. Platí E[M (n) (t) M (m) (t)] 2 = E = E t t (G (n) G (m) ) 2 ds G (n) G (m) dw m,n, kde poslední rovnost platí op t díky v t 3.1. A tedy díky v t 3.8. existuje M s poºadovanými vlastnostmi. Nyní ukáºeme jednozna nost. Nech tedy jsou G (n) 1, G (n) 2 J 2, ºe E t 1 G) 2 ds, E (G (n) t (G (n) 2 = 2 G) 2 ds, t. Uvaºme posloupnost G := (G (1) 1, G (1) 2, G (2) 1, G (2) 2,... ). Tato posloupnost je cauchyovská, nebo = E t E t (G m G n) 2 ds = E (G m G) 2 ds + E t t (G m G + G G n) 2 ds = (G m G)(G n G) ds + E t (G n G) 2 ds. 23

Limita tohoto výrazu je ov²em rovna nule, protoºe první a t etí len konvergují k nule z p edpokladu a prost ední len lze rozepsat jako t (G m G)(G n G) ds = 1 4 ((G m G)+(G n G)) 2 1 4 ((G m G) (G n G)) 2, a tedy limita pro m, n je rovna nule z ejm. Nech M n = I G n, pak i tato posloupnost je cauchyovská (argument je stejný jako v prvním výpo tu tohoto d kazu). Tedy I (n) G, I (n) 1 G mají stejnou limitu v CM 2. 2 Denice 3.12. Nech G L 2. Uvaºme posloupnost proces {G (n)} J 2 takovou, ºe G (n) G v L 2. Taková posloupnost existuje díky tvrzení 3.5. Dále uvaºme I L 2 G (t), pro který platí IL 2 G (t) = lim n I G (n)(t). Pak I L 2 G (t) nazveme stochastickým L 2 -integálem G. Tato denice je korektní, nebo pro jakoukoliv p ípustnou posloupnost { G (n)} zaji² uje existenci i jednozna nost I L 2 G (t) v ta 3.11. Nyní uvedeme dv d leºité vlastnosti L 2 -integrálu. Tvrzení 3.13. Nech G, G 1, G 2 L 2 a a, b R. Pak (i) I L 2 (a G 1 +b G 2 ) (t) = a IL 2 G 1 (t) + b I L 2 G 2 (t), t ; [ (ii) E[I L 2 G (t)] =, E[IL 2 ] t G (t)]2 = E G2 (s) ds, t. Plyne p ímo z denice I L 2 G (t) a v ty 3.1. limitním p echodem. Poznámka 3.14. První vlastnost z p edchozího tvrzení se nazývá linearita, druhá pak isometrie. Poznámka 3.15. Pov²imn me si, ºe pro G L 2 je I L 2 G (t) spojitý, F t-adaptovaný proces takový, ºe E t (I L 2 G (s))2 ds = t E [ t (I L 2 G (s))2] ds = t E t E G 2 (u) du <. s G 2 (u) du ds A tedy je vhodným argumentem pro dal²í integraci. A tedy i samotný Wiener v proces je v L 2, nebo W (t) = I L 2 1 (t). M ºeme se zajímat, co je I L 2 W (t). V ta 3.16. Nech W je Wiener v proces. Pak platí W (t) = W 2 (t) t, t. 2 I L 2 24

Uvaºme posloupnost d lení D (n) = [, t] takovou, ºe D (n). Platí { } = t (n) < t (n) 1 < < t (n) K n = t intervalu K n ( ) Kn 2 W 2 (t) = W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) ( ) + 2 W (t (n) j 1 ) W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ). ( ) j=1 j=1 První len konverguje pro n k t v pravd podobnosti, protoºe jeho st ední hodnota je zjevn t a pro kaºdé n dle vzorce pro tvrtý obecný moment normálního rozd lení plyne, ºe [ ( ) ] 2 ( 2 var W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) = 3 t (n) j t j 1) (n). Z nezávislosti p ír stk Wienerova procesu vyplývá, ºe rozptyl sou tu se rovná sou tu rozptyl a tedy var [ Kn ( j=1 W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) ) 2 ] = j=1 K n j=1 K n ( 2 = 3 t (n) j t j 1) (n). [ ( ) ] 2 var W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) = Tento výraz ov²em pro n konverguje k nule, protoºe kvadratická variace identity, jakoºto spojit diferencovatelného zobrazení, je na [, t] rovna nule. A tedy, díky ƒeby²evov nerovnosti, máme konvergenci k t v pravd podobnosti W (t (n) ( zaru enu. Druhý výraz v ( ) jest 2 K n j=1 W (t(n) j 1 ) j ) W (t (n) j 1 ) ) = I Gn pro G n := K n j=1 W (t(n) j 1 ) I( ) J W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) 2. Ze spojitosti W na [, t] plyne, ºe G n W v²ude na [, t] Ω. Tím je vzhledem k existenci a jednozna nosti limity G n a tím i I Gn v ta dokázána. Budeme pot ebovat je²t n které dal²í vlastnosti stochastického L 2 -integrálu. V ta 3.17. Nech G L 2, s t <. Dále nech G = na [, s], G je omezený a ξ bu F s -m itelná náhodná veli ina v L 2. Pak ξ G L 2 a platí I L 2 ξ G (t) = ξ IL 2 G (t). Nech nejprve J je jednoduchý proces, ºe J = j= G ji [tj,t j+1 ) dle denice jednoduchého procesu. Dále nech t n = t a s = t k 1. Pak ξ I L 2 J n (t) = ξ J j (W (t j ) W (t j 1 )) = j=1 n j=k ξ J j (W (t j ) W (t j 1 )) = I L 2 ξ J (t). [ ] t Pro G L 2 je E G2 (s) ξ ds c t E[ξ 2 ] <. Poºadované tvrzení nyní získáme pomocí aproximace G jednoduchými procesy a limitním p echodem 25

pro n v p edchozím výpo tu. V ta 3.18. Nech G L 2 a τ bu markovský as. Pak G I [,τ] L 2 a platí I L 2 G (τ t) = IL 2 G I [,τ] (t). Uvaºme první diskrétní aproximaci τ n z p íkladu 2.2. Body, ve kterých je aproximace nespojitá, nazveme t j, t =, t = t Kn. Nyní nech J I [,τ] J 2. Pro t > platí K I L 2 J (τ n 1 n t) = J j (W (t j+1 τ n ) W (t j τ n )) = I L 2 J I [,τ] (t). j= Nyní bu G L 2, G m G v L 2, G m J 2, pak platí A tedy I Gm (s) P I L 2 G (s), I P G mi [,τn] (s) I L 2 G mi [,τn] (s). I L 2 G (τ n t) = lim m IL 2 G m (τ n t) = lim m IL 2 G mi [,τn] (t) = I L 2 GI [,τn] (t), kde limita je podle pravd podobnosti. Nyní jiº poºadovanou rovnost získáme limitním p echodem pro n. Takto denovaný stochastický integrál stále není dosta ující, protoºe ani spojitý proces nemusí být integrandem. To pom ºe zm nit následující klí ová v ta. V ta 3.19. Lenglartova nerovnost: Nech G L 2. Bu M(t) := I L 2 G (t) a ε, δ >. Pak P max M(s) ε, s t t G 2 (s) ds < δ 4ε 2 E min δ, τ bu markovský as prvního vstupu t G2 (s) ds do δ. Pak P max M(s) ε, s t a ε 2 c = ε 2 E [τ>t] [ max s t t t G 2 (s) ds. G 2 (s) ds < δ = P [max M(s) ε, τ > t] a max M 2 (s) dp b ε 2 E s t ] ( I L 2 G (s τ)) 2 s t [ ] max M 2 (s τ) s t c = [ ] d = ε 2 E max s t (IL 2 e G I [,τ] (s)) 2 26

f = 4ε 2 E τ t e [ ] 4ε 2 E (I L 2 f= G I [,τ] (t)) 2 G 2 (s) ds 4ε 2 E min δ, t G 2 (s) ds, kde nerovnost a plyne z ƒeby²evovy nerovnosti, nerovnost b z nezápornosti M 2, rovnost c = pak z isometrie L 2 -integrálu (tvrzení 3.13. (ii)), rovnost d = z v ty 3.18., nerovnost e z druhé Doobovy nerovnosti a rovnost f = op t z tvrzení 3.13. Nyní jiº zkonstruujeme stochastický integrál, který bude spojitý vzhledem ke konvergenci podle pravd podobnosti a bude schopen integrovat v²echny spojité procesy. Nejprve roz²í íme prostor L 2 a potom zavedeme prostor integrand pro nální stochastický integrál. Denice { 3.2. Prostorem L L 2 nazveme mnoºinu proces G: L = L(F t ) = G adaptované, m itelné B(R + ) F B(R + ), } t G2 (s) ds <, t s.j.. ekneme, ºe G n konvergují v L ke G v L, pokud t (G n(s) G(s)) 2 ds P, t. Prostor v²ech jednoduchých m itelných proces nazveme J J 2. Prostor integrand pro stochastický integrál budeme zna it jako CP = CP(F t ) a budeme jej denovat jako mnoºinu spojitých F t -adaptovaných proces X s konvergencí: X n X v CP sup s t X n (s) X(s), t. Pozname- P nejme je²t, ºe v²echny t i objekty jsou lineární prostory a CP je úplný, nebo konverguje-li posloupnost spojitých (a tedy i správn m itelných) funkcí stejnom rn, pak je i limita spojitá (a správn m itelná) funkce. V ta 3.21. Mnoºina L 2 je hustá v L vzhledem ke konvergenci v L. Nech G L. Uvaºme posloupnost G n = min(max(g, n), n). Z ejm G n L 2, G n G a G n G. Dle Lebesgueovy v ty o integrovatelné majorant t (G n(s) G(s)) 2 ds s.j., nebo integrovatelnou majorantou pro výraz (G n G) 2 na [, t] je 4G 2 a dle [Lach], v ta 6.7 konvergence skoro jist implikuje konvergenci v pravd podobnosti. V ta 3.22. Nech G L a G n L 2, ºe G n G v L, to jest t (G n(s) G(s)) 2 ds P, t. Pak posloupnost I L 2 G n (t) je cauchyovská, a tedy konvergentní v CP. Nejprve si uv domme, ºe platí jednoduché lemma: Pro náhodné jevy A, B platí: P (A) P (B) + P (A B C ), kde B C zna í dopl kový jev k B. P (B) + P (A B C ) = P (B) + P (A \ B) P (A B) P (A). Nerovnosti plynou p ímo z vlastností pravd podobnosti jako kone né míry. Pro n, m N, ε > 27

tedy platí: P t [ P +P sup s t I L 2 G n G m (s) ] ε P sup I L 2 G n G m (s) ε, s t t (G n (s) G m (s)) 2 ds ε +4ε 2 E min t (G n (s) G m (s)) 2 ds ε + (G n (s) G m (s)) 2 ds < ε t (G n (s) G m (s)) 2 ds, ε, kde první nerovnost plyne z lemmatu uvedeného na za átku d kazu a druhá z Lenglartovy nerovnosti (3.19.). Posloupnost je tedy cauchyovská a díky v t 3.3. a úplnosti CP je d kaz hotov. Denice 3.23. Za p edpoklad v p edchozí v t nazveme limitu I L 2 G n (t) stochastickým integrálem G. Tento proces budeme ozna ovat jako t G dw = G(s) dw (s). Jeho existence je zaru ena p edchozí v tou a jednozna nost platí díky stejnému argumentu jako jednozna nost L 2 -integrálu (3.11.). Nyní budeme pot ebovat pomocné tvrzení, abychom mohli zformulovat základní vlastnosti práv denovaného stochastického integrálu. Musíme totiº roz- ²í it platnost Lenglartovy nerovnosti. V ta 3.24. Nech G L a ε, δ >. Dále bu M(t) := t G(s) dw (s). Potom P sup M(s) ε, s t t G 2 (s) ds < δ 4ε 2 E min δ, t G 2 (s) ds. Bu te G n L 2 takové, ºe t (G n(s) G(s)) 2 ds P. (Existence takových G n je zaru ena podle v ty 3.21.) Ozna me M n (t) := t G n(s) dw (s). Dle Lenglartovy nerovnosti (3.19.) platí P sup M n (s) ε, s t t G 2 n(s) ds < δ 4ε 2 E min δ, Dle denice stochastického integrálu sup s t M n (s) M(s) t t (G n (s) G(s)) 2 ds P = G 2 n(s) ds t P t G 2 n(s) ds. P. Navíc platí G 2 (s) ds, protoºe pro a, b obecn platí (a + b) 2 a 2 b 2 b a. Tudíº bychom pot ebovali, aby G n G, to ale po rozd lení na kladnou a zápornou ást platí 28

vzhledem k d kazu v ty 3.21. A tedy díky integrovatelnosti G 2, G 2 n, jednozna nosti limity a monotonii integrálu jsou implikace i celé tvrzení dokázány. Tvrzení 3.25. Vlastnosti stochastického integrálu: Nech G, G n L. Pak (i) Stochastický integrál je lineární funkcionál L CP. (ii) Pro pevné t platí zám na limity a integrálu: t (G n (s) G(s)) 2 ds P = sup s t s G n (u) dw (u) s G(u) dw (u) P. (iii) Pro G = na [, s], ξ náhodnou veli inu, která je F s -m itelná jest ξ G L a ξ t G(u) dw (u) = t ξ G(u) dw (u) pro v²echna t. (iv) Nech τ je markovský as procesu G, pak G I [,τ] L a t τ G(s) dw (s) = (v) Pro G J, G = j= G j I [tj,t j+1 ) platí t G(s) dw (s) = K 1 j= (vi) t G(s) dw (s) je lokální F t-martingal. t G(s) I [,τ] dw (s). G j (W (t j+1 ) W (t j ))+G K (W (t) W (t K )), t K t < t K+1. (i) Plyne p ímo z linearity L 2 -integrálu a konstrukce stochastického integrálu. (ii) Díky roz²í ení platnosti Lenglartovy nerovnosti je d kaz stejný jako p i konstrukci stochastického integrálu ve v t 3.22. (iii), (iv) N ch G n L 2 takové, ºe G n G v L. Daná vlastnost platí pro kaºdý G n a tedy díky vlastnostem limity i pro G. (v) Nech J n = J I J n. Pak J n J a J n J. A op t se daná vlastnost p enese limitním p echodem. (vi) Bu α n as prvního vstupu t G2 (s) ds do n. Skute nost, ºe se jedná o markovský as plyne z 2.18. Dle (iv) α n t G(s) dw (s) = t G(s) I [,αn] dw (s) a navíc E t (G(s) I [,αn]) 2 ds = E α n t G 2 (s) ds n. 29

A tedy z 3.11. a 3.12. vyplývá, ºe pro kaºdé n je t G(s) dw (s) CM 2. Nyní zbývá ukázat, ºe α n. Pro spor p edpokládejme, ºe není pravda, ºe α n pro n. Pro pevné ω Ω je α n neklesající posloupnost, a tedy má limitu, která musí být kone ná. Spo t me [ P lim α n < n ] = P t < : protoºe t G2 (s) ds je spojitý proces. t G 2 (s) ds = =, V ta 3.26. Riemannova integrace: Nech X je spojitý proces, pak X L, navíc pro t { a pro posloupnost d lení intervalu }[, t] D n = = t (n) < t (n) 1 < t (n) 2 < < t (n) K n = t takovou, ºe D n platí K n 1 k= X(t (n) k (n) ) (W t k+1 W (n) t k ) Bu X n = K n 1 k= X(t k (n) ) I [tk (n),t k+1 (n) ). Pak K n 1 k= X(t (n) k (n) ) (W t k+1 W (n) t k ) = t P t X(s) dw (s). X n (s) dw (s). Ze spojitosti X p ímo vyplývá, ºe t (X n X) 2 ds v²ude na Ω. Odtud, op t díky Lenglartov nerovnosti, plyne d kaz na²eho tvrzení. V ta 3.27. Itôova formule: Nech f je dvakrát spojit diferencovatelná reálná funkce. Pak f(w (t)) = f() + t f (W (s)) dw (s) + 1 2 t f (W (s)) ds. Zapsáno pomocí diferenciál : df(w (t)) = f (W (t)) dw (t) + 1 2 f (W (t)) dt. Nech s < t. Prove me Taylor v rozvoj v bod s: f(w (t)) f(w (s)) = f (W (s)) (W (t) W (s)) + 1 2 f (θ s,t ) (W (t) W (s)) 2 = = f (W (s)) (W (t) W (s)) + 1 2 f (W (s)) (W (t) W (s)) 2 + 3

+ 1 2 (f (θ s,t ) f (W (s))) (W (t) W (s)) 2, kde θ s,t { [W (s), W (t)] (respektive [W (t), W } (s)]). Uvaºme posloupnost d lení D n = = t (n) < t (n) 1 < t (n) 2 < < t (n) K n = t takovou, ºe D n a pro kaºdé n N platí D n (W (t (n) j ) (t (n) j 1 ))+ 1 2 f (W (t (n) j 1 ))) (W (t(n) j D n+1. Ozna me f n (W (t)) := f() + K n j=1 f (W (t (n) j 1 )) Kn j=1 f (W (t (n) j 1 )) (W (t(n) j ) W (t (n) j 1 ))2 + 1 Kn 2 j=1 (f (θ (n) j ) ) W (t (n) ), W (t (n) j 1 ))2, kde θ (n) j [W (t (n) j [W (t (n) j 1 ), W (t(n) j )]. Kn j=1 f (W (t (n) j 1 )) (W (t(n) j ) (t (n) j 1 )) pak 1 K n (f (θ (n) j ) f (W (t (n) j 1 ))) (W (t(n) j ) W (t (n) 2 j=1 max f u,v: u, v [,max s t W (s) ] u v max 1 j Kn W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ) j 1 )], respektive P t f (W (s)) dw (s) díky v t 3.24. Dále K n (u) f (v) j=1 j 1 ))2 (W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ))2. Tento výraz ale pro n konverguje k nule díky kone né kvadratické variaci Wienerova procesu a stejnom rné spojitosti f a W na [, t]. Nyní zbývá ukázat, ºe 1 2 K n j=1 f (W (t (n) j 1 To ale plyne p ímo z toho, ºe 1 2 K n j=1 )) (W (t(n) j ) W (t (n) j 1 ))2 (W (t (n) j ) W (t (n) j 1 ))2 jak bylo ukázáno ve v t 3.16. Nyní tedy f n P f n f() + t f (W (s)) dw (s) + 1 2 je tedy d kaz hotov. P 1 t f (W (s)) ds. 2 P t (n) j t (n) j 1, P f a zárove t f (W (s)) ds. Díky jednozna nosti limity P edchozí v ta dává praktický návod, jak po ítat r zné p íklady. Nyní pro ukázku uvedeme n které z nich. P íklady 3.28. Nech f : R R, f C 2 (R). Spo t me pomocí p edchozí v ty, kolik je W 2 (t), W 3 (t), sin(w (t)) a e W (t). e²ení: W 2 (t) = t 2W (s) dw (s) + 1 2 t 2 ds = t 2W (s) dw (s) + t. Díky zkonstruovanému stochastickému integrálu víme, ºe je v²e dob e denováno (spojitost). Díky postupu v d kazu jednozna nosti ve v t 3.11. navíc víme, jak jej libovoln p esn numericky aproximovat. Poznamenejme je²t, ºe výsledek je 31

stejný jako ve v t 3.16. t t W 3 (t) = 3W 2 (s) dw (s) + 1 6W (s) ds. 2 Poznamenejme, ºe t W (s) ds je gaussovský proces s nulovou st ední hodnotou a rozptylem E = E t 2 W (s) ds = E t t t W (s 1 ) W (s 2 ) ds 1 ds 2 = W (s 1 ) ds 1 t t t W (s 2 ) ds 2 = E [W (s 1 ) W (s 2 )] ds 1 ds 2 = t t t s 1 = min(s 1, s 2 ) ds 1 ds 2 = 2 s 2 ds 2 ds 1 = t3 3. K výpo tu byla pouºita Fubiniova v ta a Lebesgueova v ta o integrovatelné majorant. t t e W (t) = e W (s) dw (s) + e W (s) ds. t t sin(w (t)) = cos(w (s)) dw (s) sin(w (s)) ds. Z t chto výpo t vyplývá, jak se projevuje nekone ná variace Wienerova procesu. Oproti klasické analýze se objevuje drift. 32

Seznam pouºité literatury [Lach] P. Lachout: Teorie pravd podobnosti. Karolinum, Praha, 24. [TPMZ] J. t pán: Teorie pravd podobnosti: matematické základy. Academia, Praha, 1987. [DHS] J. Dupa ová, J. Hurt and J. t pán: Stochastic Modeling in Economics and Finance. Kluwer Academic Publishers, Dodrecht, Boston, London, 22. [Chung] K.L. Chung and R.J. Williams: Introduction to Stochastic Integration. Birkhauser, Boston, Stuttgart, 1984. 33