Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v Žiline, 010 26 Žilina, Slovenská republika Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 1
Aplikácia metód OR Riešenie problémov výberu liniek MHD z danej množiny liniek resp. jej tvorby z dopytu cestujúcich a dopravnej ponuky pomocou pokročilých metód operačného výskumu. Úlohy celočíselného programovania: metódy PRIVOL, CGLP. Úlohy dynamického programovania: metódy GOP (CEP-1,CEP-2), SOBL. Optimalizačné úlohy na grafoch: metódy hl adania najlacnejších ciest, metóda najlacnejšej 1-kostry. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 2
Metóda PRIVOL [Černý] V seti MHD modelovanej digrafom G treba na základe OD matice D udávajúcej počty cestujucich, ktorí chcú v uvažovanom obdobi cestovat medzi dvojicami zastávok vybrat z danej množiny liniek L jej podmnožinu L L. Známe je vedenie liniek v sieti a počty vozidiel danej kapacity. Ciel om je pokryt množinou liniek L dopyt cestujúcich pri čo najväčšom minimálnom prevyse ponuky nad dopytom na úsekoch siete. 1,3 1,3 A B 1,2,5 3,4 2,3,6 1,4,5,6 2,3,6 1,4,5,6 C 2,5,6 1,2,4 Obrázok 1: Výber liniek L = {L 1,L 4,L 6 } z L = {L 1,L 2,...,L 6 }. D Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 3
PRIVOL pre jednokapacitné busy n, K - počet liniek, počet autobusov, f i - max. osôb/hod. prepravených na linke L i, b uv - dopyt cestujúcich na hrane (u,v) digrafu G za hod., x i - počet vozidiel priradených linke L i, y - dolný odhad prevysu nad dopytom L i =(...,u,v,...) L y max, x i K, i {1,2,...n} f i x i b uv y (u,v) E(G), x i 0, celé i {1, 2,...,n}. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 4
Metóda CGLP [Bordörfer et al.] Predpoklady ako PRIVOL. Naviac sú zhora obmedzené frekvencie Λ e na hranách e E(G). Linky však treba navrhnút tak, aby celkové náklady na dobu strávenú cestujúcimi v autobuse a prevádzkové nákladu dopravnej spoločnosti boli minimálne. Treba určit aj frekvencie autobusov na navrhnutých linkách. (u,v)d uv π uv + e Λ e ψ e max, π uv µ p τ p p P uv, (u,v) D, Q K µ l ψ l λ l l L, µ 0,ψ 0, kde τ p sú náklady cestujúcich na cestu p, λ l náklady na linku l, Q počet miest v autobuse. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 5
Metóda GOP [Černý, Vašíček] Je dané vedenie linky z 0 z 1 z 2... z n. Predpokladá sa že doba jazdy X 1,X 2,...,X n medzi susednými zastávkami je náhodná premenná a má β(a i,m i,b i ) rozdelenie t.j. a i - optimistický odhad P(X i < a i ) = 0, b i - pesimistický odhad P(X i > b i ) = 0, m i - najpravdepodobnejšia hodnota (modus X i ). Pre dané t 0 treba určit cestovný poriadok na linke t.j. časy odchodov t 1,t 2,...,t n 1 s minimálnym časom príchodu t n tak, aby tolerované meškanie τ na každej zastávke bolo nanajvýš ε. X 1 X 2 X 3 X n z 0 z 1 z 2 z n Y 1 Y 2 Y n Obrázok 2: Cestovný poriadok linky tak aby P(Y i t i τ) ε. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 6
Dynamické prog. pre GOP Y i je čas od odchodu zo z 0 do pohotovosti k odchodu zo z i { Y i 1 + X i ak Y i 1 t i 1 Y i = t i 1 + X i ak Y i 1 < t i 1 t 0 +a 1 t 1 +a 2 t 2 +a 3 t 3 +a 4 t 0 +a 1 +1 t 1 +a 2 +1 t 2 +a 3 +1 t 3 +a 4 +1 t 0 t t 0 +a 1 +2 t 1 +a 2 +2 t 2 +a 3 +2 t 3 +a 4 +2 t 0 +b 1 t 1 +b 2 t 2 +b 3 t 3 +b 4 Obrázok 3: Sekvenčný graf DP pre GOP s 5-timi zastávkami. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 7
Metóda CEP-2 [Černý] Je dané vedenie linky z 0 z 1 z 2... z n. Sú dané kontingenty cestujúcich požadujúcich prepravu medzi dvojicami zastávok linky v tom istom čase. Hl adá sa pre dané t 0 taký cestovný poriadok linky t.j. odchody t 1 <... < t n, ktorý minimalizuje úhrnné straty cestujúcich W(t 0,t 1,...,t n ) = n 1 i=0 ti+1 t i w(t i,t i+1,t)f(t)dt, w(t i,t i+1,t) je odhad strednej straty cestujúceho, ktorý potrebuje cestovat v čase t ale má k dispozícii odchod pred týmto časom a po ňom t i a t i+1, f(t) je krivka záujmu cestujúcich vznikne vyhladením histogramu dopytu cestujúcich, ktorý je prepočítaný ku konečnej zastávke z 0. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 8
Metóda SOBL [Chen] Simulačný model hl adajúci cestovný poriadok na okružnej linke z 0 z 1...z n z 0 počas k období špičiek a sediel dňa, kde prichádzajúci cestujúci na zastávku z i sú modelovaní (ne)homogénnym Poissonovým procesom s parametrami λ i1,...,λ ik v období k, vystupujúci cestujúci majú binomické rozdelenie Bi(N i,p i ) s N i cestujúcimi v autobuse pred príchodom do zastávky z i s pravdepodobnost ou p i výstupu na zastávke, medzizastávkové doby majú Weibullovo rozdelenie s parametrami α i,β i. Kritériom je celkový zisk z predaja lístkov zmenšený o penalizáciu za časové straty cestujúcich. Riešením sú následné intervaly τ i autobusov na linke v jednotlivých obdobiach. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 9
Metóda najlac. 1-kostry [Peško] V sieti MHD modelovanej grafom G = (V (G),E(G)) je vybraná množina zastávok Z V (G). Pre dominantnú špičku dňa je známa OD matica dopytu cestujúcich na cestu medzi vybranými zastávkami. Hl adá sa taká okružná linka s konečnou 1 vedená niektorými z vybraných zastávok V Z, 1 V, ktorá celkovo s minimálnymi priemernými časovými stratami pokryje dopyt čo najviac cestujúcich. 1 T T 1 e Obrázok 4: Je T lacnejšia susednú 1-kostra ku T v indukovanom grafe G Z? Kružnica v 1-kostre reprezentuje vedenie okružnej linky. Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 10
Ďakujem za pozornost Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek p. 11