Prezentácia programu PowerPoint

Prepis

1 Úvod do teórie hromadnej obsluhy (THO) s praktickými príkladmi Prednáška Ing. Marek Kvet, PhD.

2 Použité zdroje & užitočné odkazy Knihy, učebnice: K. Janková, S. Kilianová, P. Brunovský, P. Bokes: Markovove reťazce a ich aplikácie. epos, 2014, ISBN J. Jablonský: Operační výzkum: Kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. Profesional Publishing, Praha 2002, ISBN Skriptá a učebné texty dostupné online: Všetky uvedené zdroje môžu byť chápané aj ako doporučená literatúra k štúdiu teórie hromadnej obsluhy.

3 Úvod do teórie hromadnej obsluhy (THO) Teória hromadnej obsluhy (THO) = matematická disciplína, ktorá analyzuje a rieši procesy, v ktorých toky požiadaviek prechádzajú určitými zariadeniami, od ktorých vyžadujú obsluhu. Priekopníkom THO bol dánsky inžinier Agner K. Erlang, ktorý pracoval v kodanskej telefónnej ústredni a potreboval vymyslieť postup, ako v jednom okamihu umožniť hovor čo najväčšiemu počtu účastníkov. Na začiatku 20. storočia odvodil unikátne vzorce pre pravdepodobnosti stavov stabilizovaného Markovovho systému so stratami. Ďalšími významnými osobnosťami, ktoré prispeli k rozvoju teórie hromadnej obsluhy, boli: A.J. Chinčin, A.N. Kolmogorov, D.G. Kendall, C. Palm a ďalší.

4 Využitie teórie hromadnej obsluhy v praxi Teória hromadnej obsluhy má veľké uplatnenie v rôznych odvetviach: - navrhovanie železničných staníc, koľajísk - riadenie systémov križovatiek ciest a iných dopravných uzlov - určovanie kapacity letísk, navrhovanie pristávacích plôch - dimenzovanie obslužných kapacít pôšt, bánk, úradov - navrhovanie zariadení prístavov, čerpacích staníc - navrhovanie počítačových sietí - telekomunikácie - mnohé ďalšie aplikácie

5 Ciele teórie hromadnej obsluhy Základná myšlienka: - ak nie je možné okamžité uspokojenie požiadavky (t.j. obsluha), požiadavka buď odchádza zo systému ako nevybavená alebo čaká v rade na obsluhu. Nie je možné vytvoriť toľko zdrojov obsluhy, koľko sa vygeneruje požiadaviek... Dve protichodné požiadavky: 1. Aby sa nevytvárali pred obslužnými linkami príliš dlhé rady 2. Aby boli obslužné linky (zariadenia, personál) dostatočne využité Úlohy teórie hromadnej obsluhy: 1. Analýza existujúcich systémov hromadnej obsluhy 2. Návrh a optimalizácia systémov hromadnej obsluhy Teória hromadnej obsluhy využíva najčastejšie tieto nástroje: - teóriu pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, náhodné funkcie

6 Systémy hromadnej obsluhy Systémy hromadnej obsluhy (SHO) = predstavujú systémy (fyzické, spoločenské) slúžiace na uspokojenie potrieb jedincov, zákazníkov, požiadaviek vstupujúcich do systému práve za účelom ich uspokojenia = všetko, čo je medzi príchodom požiadavky do systému a jej odchodom zo systému

7 Štruktúra systémov hromadnej obsluhy Do systému, v ktorom sa nachádzajú linky obsluhy (obslužné kanály), prichádza vstupný tok zákazníkov požadujúci obsluhu svojich požiadaviek. Obsluha zákazníka trvá istý čas, počas ktorého je linka obsluhy blokovaná (nemôže poskytnúť obsluhu inému zákazníkovi). Zákazníci po ukončení obsluhy uvoľňujú linku a vytvárajú výstupný tok zákazníkov. Ak v okamihu príchodu zákazníka nie je voľná žiadna linka obsluhy, zákazník môže (nemusí) čakať v rade (na ukončenie obsluhy niektorej linky obsluhy), ktorý nazývame front.

8 Štruktúra systému hromadnej obsluhy Zákazníci, jednotky, požiadavky subjekty vyžadujúce obsluhu (ľudia, stroje,...) Zdroj jednotiek, vstupný tok množina jednotiek prichádzajúcich do SHO, časová postupnosť vstupov Front množina jednotiek čakajúcich na obsluhu, tzv. čakací priestor Linka obsluhy zariadenie alebo osoba realizujúca obsluhu požiadavky, v systéme ich môže byť niekoľko a môžu na seba nadväzovať Výstupný tok časová postupnosť výstupov zo SHO, môže byť vstupom do iného SHO

9 Základné elementy SHO - príklady Systém obslužné linky požiadavky ambulancia lekára lekár pacienti banka úradníci klienti samoobsluha pokladne, nákupné vozíky zákazníci výrobná linka v automobilke miesta na výrobnej linke výrobky dopravný systém svetelná križovatka vozidlá čerpacia stanica čerpacie stojany vozidlá železničná stanica pokladne cestujúci poisťovňa úradníci poistné prípady telefónna centrála telefónne linky volajúci lyžiarske stredisko vleky lyžiari ÚLOHA Pokúste sa vo svojom okolí nájsť 5 príkladov SHO (z reálneho života). Presne špecifikujte, čo (kto) je zákazník, obslužná linka, obsluha a aké obmedzenia na front prichádzajú do úvahy.

10 Aké informácie o SHO potrebujeme? Na modelovanie systémov hromadnej obsluhy potrebuje tieto základné informácie: 1. popis zákonitostí vzniku a príchodu požiadaviek do systému = vstupný tok zákazníkov 2. popis správania sa zákazníkov, ktorí vstúpili do systému, v prípade, že nemôžu byť obslúžení okamžite, obmedzenia na dĺžku frontu, priority = režim frontu 3. počet obslužných liniek a popis priebehu vlastnej obsluhy = organizácia obsluhy

11 Vybrané ukazovatele efektivity práce SHO Štandardné výstupné informácie (výsledky analýzy SHO): - aký je priemerný počet zákazníkov (požiadaviek) vo fronte, resp. v systéme? - koľko času v priemere strávi zákazník čakaním na obsluhu? - aká je priemerná doba zotrvania požiadavky v systéme? - aká je pravdepodobnosť, že zákazník zostane neobslúžený? - stabilizuje sa systém alebo bude dĺžka jeho frontu narastať do nekonečna? - aký je priemerný počet obsadených (voľných) liniek obsluhy? - aká je pravdepodobnosť, že všetky obslužné linky budú obsadené (pravdepodobnosť čakania vo fronte)? - aké je optimálne množstvo liniek, ktoré má firma prevádzkovať, aby minimalizovala svoje náklady alebo maximalizovala zisk? - aká má byť efektivita (výkonnosť, rýchlosť) jednej obslužnej linky v systéme s ohraničeným frontom, aby priemerné straty z odmietnutých zákazníkov neprekročili určitú hodnotu?

12 Prístupy k modelovaniu SHO 1. Matematický aparát teórie pravdepodobnosti - zostavenie matematického modelu a jeho analytické riešenie - na základe získaných výsledkov sa potom získajú vzťahy pre výpočet charakteristík systému exaktný popis správania sa SHO matematický aparát dostupný len pre úzku skupinu úloh 2. Počítačová simulácia - vytvorenie softvérového nástroja na simuláciu skúmaného systému postup je možné aplikovať na väčšinu skúmaných systémov dajú sa zohľadniť špecifiká konkrétnej úlohy časovo náročné, vyžaduje si odborné znalosti získané výsledky sú postavené len na odhadoch a štatistickom spracovaní

13 Charakteristika základných častí SHO 1. Vstupný tok zákazníkov - postupnosť príchodov zákazníkov, ktorí nasledujú jeden po druhom v nejakých časových intervaloch - zákazníci môžu prichádzať jednotlivo alebo v skupinách - ich počet môže byť (ne)obmedzený - medzery medzi príchodmi môžu byť pravidelné alebo náhodné (vtedy vyžadujú pravdepodobnostné charakteristiky vstupného toku) Zdroje požiadaviek: - otvorené obslúžená jednotka sa nevracia do zdroja (holičstvo, krematórium) - uzavreté obslúžená jednotka sa vracia do zdroja - konečné typické pre uzavreté systémy - nekonečné - počet požiadaviek je veľký, značne prekračuje kapacitu systému

14 Charakteristika základných častí SHO Podľa okamihov príchodu požiadaviek delíme vstupné toky na: - deterministické zákazníci prichádzajú k miestu obsluhy v presne stanovených a vopred známych intervaloch (napr. výrobky na automatickej linke) - náhodné príchod požiadaviek je nepravidelný okamihy príchodov predstavujú náhodné veličiny popísané niektorým pravdepodobnostným rozdelením. V THO sa najčastejšie riadi Poissonovým rozdelením, ktoré úzko súvisí s exponenciálnym rozdelením. Poissonovo rozdelenie modeluje počet udalostí v čase a exponenciálne sa používa na modelovanie doby do výskytu ďalšej udalosti. (k uvedeným rozdeleniam sa ešte vrátime) - zmiešané niektoré požiadavky prichádzajú k miestu obsluhy v pevne daných intervaloch a niektoré náhodne (napr. k lekárovi prichádzajú objednaní pacienti v presne stanovenom čase, ostatní v premenlivých intervaloch)

15 Charakteristika základných častí SHO 2. Front - miesto, kde čakajú zákazníci, ktoré nemohli byť obsluhovaní okamžite v čase ich príchodu do systému - je to teda čakací priestor medzi zdrojom zákazníkov a linkami obsluhy Z hľadiska kapacity môže byť front: - nulový - prvok, ktorý nemôže byť hneď obslúžený, je odmietnutý (v takýchto systémoch front de facto neexistuje) - nenulový a, neobmedzený prevádza systému dovoľuje čakací systém akejkoľvek dĺžky b, obmedzený ak vstúpi zákazník v čase, kedy je naplnená kapacita systému (frontu), je odmietnutý

16 Charakteristika základných častí SHO Z pohľadu frontov delíme systémy hromadnej obsluhy na: - SHO so stratami - systémy s tzv. odmietnutím, kde požiadavka musí opustiť systém alebo doň vôbec nevstúpi, t.j. systémy s obmedzenou dĺžkou frontu alebo s obmedzeným počtom zákazníkov v systéme - SHO bez strát - žiadna požiadavka nie je odmietnutá Spôsob, ktorý určuje formu prechodu čakajúcich požiadaviek z frontu do niektorej obslužnej linky, sa nazýva režim frontu. Najznámejšie formy sú: - FIFO first-in/first-out, príkladom sú pokladne v supermarkete - LIFO last in/first out, príkladom je ukladanie polotovarov na seba, výťah - SIRO selection in random order, nástup cestujúcich do autobusu MHD - PRI priority, HVF high value first, úrazy u lekára, dopravné nehody (triedenie pacientov podľa dôležitosti)

17 Charakteristika základných častí SHO Z pohľadu disciplíny delíme fronty na: - absolútne netrpezlivé zákazník do systému, v ktorom sú všetky obslužné linky obsadené, nevstúpi a rezignuje na obsluhu - bez netrpezlivosti zákazníci čakajú na obsluhu bez ohľadu na dobu čakania tak dlho, kým sa neuvoľní linka obsluhy - kombinované (čiastočne netrpezlivé) zákazníci čakajú vo fronte len určitý čas, potom rezignujú (ak sa nezačala ich obsluha) a systém opustia

18 Charakteristika základných častí SHO 3. Počet liniek obsluhy a ich usporiadanie Linka obsluhy - poskytuje obsluhu realizáciou požiadaviek zákazníkov - samotná obsluha môže byť poskytovaná jednou alebo viacerými linkami, pričom niektoré linky môžu byť špecializované - Doba obsluhy (čas trvania obsluhy) môže byť rovnaká pre všetky linky a pre všetkých zákazníkov alebo závislá od typu zákazníka, prípadne náhodná (vtedy si vyžaduje pravdepodobnostné rozdelenie). Počet liniek obsluhy: - obmedzený (pokladne v supermarkete) - neobmedzený

19 Charakteristika základných častí SHO Systémy hromadnej obsluhy podľa počtu obslužných liniek: - jednokanálový - viackanálový (sériový / paralelný) - jednofázový (iba jeden uzol obsluhy, t.j. jeden alebo niekoľko paralelných kanálov) - viacfázový niekoľko uzlov usporiadaných sériovo alebo v sieťovej štruktúre Doba obsluhy - deterministická - náhodná

20 Charakteristika základných častí SHO 4. Výstupný tok zákazníkov - postupnosť okamihov odchodov zákazníkov zo systému - vlastnosti výstupného toku sú obvykle závislé od vstupného toku, režimu frontu a doby obsluhy - výstupným tokom sa treba zaoberať najmä vtedy, ak je vstupným tokom do ďalšieho SHO.

21 Študované systémy hromadnej obsluhy Teória hromadnej obsluhy sa zaoberá predovšetkým štúdiom takých prípadov, kde jednotky (zákazníci) vstupujú do systému nepravidelne a dĺžky obsluhy jednotlivých požiadaviek nie sú rovnaké. Vo väčšine prípadov, ktorými sa budeme zaoberať aj my, spôsobuje čakanie zákazníkov vo fronte na obsluhu dodatočné náklady, resp. straty.

22 Klasifikácia SHO súhrn Podľa možností vytvorenia frontu - s odmietnutím - bez čakania zákazníka v rade - s konečným frontom - s obmedzeným počtom miest v rade - s nekonečným frontom - s obmedzeným čakaním Podľa typu modelov - Markovove - nezávislé exponenciálne medzery medzi príchodmi a odchodmi zákazníkov - semimarkovove - s Erlangovými medzerami prichádzajúcich zákazníkov - nemarkovove - so všeobecným vstupným tokom zákazníkov a ich dobou obsluhy

23 Klasifikácia SHO súhrn Podľa zdroja vstupného toku zákazníkov - otvorené systémy - s neobmedzeným počtom zákazníkov - uzavreté systémy - s konečným počtom cirkulujúcich zákazníkov - zmiešané systémy - kombinácia otvorených a uzavretých - siete - zložené z viacerých prepojených elementárnych systémov hromadnej obsluhy, pričom výstupný tok z jedného systému môže byť vstupným tokom druhého systému. Poznámka: Uvedené delenie systémov nie je úplné. Špecifickými kritériami sú napr. usporiadanie liniek v obsluhe - sériové systémy alebo rôzne druhy priorít liniek alebo zákazníkov - prioritné systémy.

24 Kendallova klasifikácia SHO Vzhľadom k rozmanitosti systémov hromadnej obsluhy bola vypracovaná Kendallova úsporná notácia (systém zápisu), ktorá kompaktne zachytáva a klasifikuje štandardné typy modelov hromadnej obsluhy. Spravidla obsahuje tri znaky, v rozšírenej verzii 5 alebo 6. Kendallova klasifikácia: A / B / N A typ pravdepodobnostného rozdelenia popisujúci intervaly medzi príchodmi zákazníkov (arrivals) do systému B typ pravdepodobnostného rozdelenia popisujúci dobu trvania obsluhy N počet liniek obsluhy Rozšírená Kendallova klasifikácia: A / B / N / K / (S) / Y K maximálny počet požiadaviek v systéme (obmedzenie dĺžky frontu), obvykle S počet zdrojov požiadaviek (obmedzenie vstupného toku) Y režim frontu (FIFO, LIFO, SIRO, PRI), ak sa tento člen vynechá, myslí sa FIFO

25 Kendallova klasifikácia SHO Typ vstupu určuje pravdepodobnostné rozdelenie doby medzi príchodmi dvoch po sebe nasledujúcich zákazníkov. Typ obsluhy určuje rozdelenie pre trvanie obsluhy. D Deterministický vstup alebo obsluha (konštantný interval) M Exponenciálne rozdelenie (my ho budeme najčastejšie používať) E k Erlangovo rozdelenie k-teho rádu N Normálne rozdelenie U Rovnomerné rozdelenie G Všeobecné rozdelenie popísané strednou hodnotou, smerodajnou odchýlkou,... Príklady: M / D / 1 / 0 = systém s exponenciálnym rozdelením intervalov medzi príchodmi, konštantnou dobou obsluhy, jednou linkou bez frontu (počet čakajúcich je 0) M / M / 1 = najjednoduchší elementárny systém s Poissonovým vstupným tokom

26 JEDNOKANÁLOVÝ SYSTÉM HROMADNEJ OBSLUHY M / M / 1

27 Elementárne SHO s Poissonovým tokom Matematické okienko Najčastejšie využívaným spôsobom matematického popisu vstupného toku je zadanie distribučnej funkcie pravdepodobnostného rozdelenia. Najčastejšie využívaným typom vstupného toku je tzv. Poissonov vstupný tok, v ktorom má interval medzi príchodmi požiadaviek do systému exponenciálne rozdelenie.

28 Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti - Patrí medzi diskrétne náhodné premenné - Pravdepodobnostné rozdelenie je definované jedným parametrom λ > 0, ktorý udáva stredný počet udalostí za jednotku času. - Poissonova náhodná premenná môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2,... predstavovať počet zákazníkov prichádzajúcich do systému za jednotku času - Pravdepodobnostná funkcia je definovaná nasledovne: pre λ > 0, k = 0, 1, 2,... Inak Stredná hodnota a rozptyl E(X) = D(X) = λ

29 Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti

30 Exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti - Patrí medzi spojité náhodné premenné - Pravdepodobnostné rozdelenie je definované jedným parametrom λ > 0 - Exponenciálna náhodná premenná predstavuje obvykle dobu trvania činnosti (napríklad obsluhy zákazníka v SHO), prípadne dobu medzi udalosťami (príchodmi zákazníka). - Ak sa počet prichádzajúcich zákazníkov za jednotku času riadi Poissonovým rozdelením, potom dĺžky medzier medzi príchodmi zákazníkov sa riadia exponenciálnym rozdelením. - Pre hustotu pravdepodobnosti platí: Stredná hodnota f(x) = λe -λx pre λ > 0, x > 0 E(X) = 1 / λ f(x) = 0 inak - Pre distribučnú funkciu platí: Rozptyl F(x) = 1 - e -λx pre λ > 0, x > 0 D(X) = 1 / λ 2 F(x) = 0 inak

31 Exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti Hustota pravdepodobnosti Distribučná funkcia

32 Homogénny Poissonov proces Homogénnym Poissonovým procesom s parametrom λ, λ > 0, rozumieme homogénny Markovov proces s množinou stavov S = {0, 1, 2,...} s počiatočným rozdelením p(0) = (1; 0; 0;...) a s nasledujúcim prechodovým grafom Ďalej budeme v názve vynechávať slovo homogénny a skracovať len na Poissonov proces. So všeobecnejšími nehomogénnymi Poissonovými procesmi sa nebudeme zaoberať. Pre Poissonov proces s parametrom λ, λ > 0, a množinu stavov S = {0, 1, 2,...} platí

33 Homogénny Poissonov proces - vlastnosti Pre Poissonov proces s parametrom λ, λ > 0, a množinu stavov S = {0, 1, 2,...} platí Parameter λ možno interpretovať ako stredný počet udalostí (zmien stavu) za jednotku času a nazvať intenzitou Poissonovho procesu.

34 Elementárny vstupný tok v SHO Elementárny vstupný tok je taký tok, ktorý spĺňa tieto 3 základné vlastnosti: 1. Stacionárnosť - nemennosť stochastického režimu: Počet zákazníkov, ktorí prichádzajú do SHO za čas t, závisí jedine na dĺžke tohto časového intervalu a nezávisí na jeho polohe na časovej osi. 2. Beznáslednosť - neexistencia následných účinkov: Počet zákazníkov, ktorí prichádzajú do SHO za čas t, nezávisí na počte zákazníkov, ktorí do SHO prišli pred začiatkom tohto časového intervalu. 3. Ordinárnosť - Zákazníci prichádzajú do SHO jednotlivo. Pre elementárny vstupný tok platí: Pravdepodobnosť p j (t), teda že za čas t príde práve j zákazníkov, je rovná:

35 Elementárny vstupný tok v SHO Elementárny vstupný tok udalostí so stredným počtom udalostí za jednotku času λ je Poissonovým procesom s parametrom λ. Ak z pozorovania nejakého toku udalostí zistíme, že je stacionárny, beznásledný a ordinárny, vieme, že sa jedná o Poissonov proces.

36 Intenzity prechodov v SHO Za krátky časový okamih Δt 0 sú prípustné len tieto prechody: 1. Príchod jedného zákazníka nastane s intenzitou prechodu λ (intenzita príchodov zákazníkov nezávisí od počtu zákazníkov nachádzajúcich sa v systéme). 2. Odchod jedného z k obsluhovaných zákazníkov, kde k = 1, 2,..., n nastane s intenzitou kμ (intenzita odchodu zákazníka závisí na počte zákazníkov, ktorí sú v obsluhe).

37 Jednoduchý príklad Majiteľ potravín zistil, že v rannej špičke prichádza do potravín priemerne 20 zákazníkov za 5 minút. Majiteľova manželka sa domnieva, že v priebehu 10 minút môžu očakávať príchod 30 zákazníkov. Optimistický majiteľ však v priebehu 10 minút očakáva 40 zákazníkov. Kto z manželov má presnejší odhad? Riešenie: Budeme predpokladať, že príchody zákazníkov sú náhodné udalosti a tok zákazníkov je elementárny tok. Zodpovedajúci Poissonov proces má intenzitu λ = 20 / 5 = 4 zák. / min. Pravdepodobnosť j = 30-tich príchodov za t = 10 minút je rovná Pravdepodobnosť j = 40-tich príchodov za t = 10 minút je rovná Manžel má presnejší odhad.

38 ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ! priestor pre Vaše otázky viac na cvičení