Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok, bod, priamka,... nedefinujeme ich, ale pomocou nich definujeme ostatné pojmy, ktoré sa v teórii vyskytujú AXIÓMY niekol ko elementárnych tvrdení o vlastnostiach základných pojmov uznávame ich za pravdivé, bez d alšej argumentácie Budovat teóriu odhal ovat nové pravdivé tvrdenia o vlastnostiach základných pojmov Postup budovania teórie Sformulujeme hypotézu (PH zatial nepoznáme) a snažíme sa hypotézu dokázat DÔKAZ TVRDENIA T postupnost logických úvah, ktoré ukazujú, že platnost tvrdenia T logicky vyplýva z platnosti prijatých axióm a z tvrdení, ktoré už boli skôr dokázané. tvrdenie, ktoré chceme do teórie začlenit, musí byt najskôr dokázané - DEDUKTÍVNOSŤ 1
STRATÉGIA DOKAZOVANIA a) pokúsit sa tvrdenie T dokázat priamo b) utvorit negáciu tvrdenia T a tú sa pokúsit doviest do sporu c) utvorit obmenu tvrdenia T a tento dokázat priamo alebo sporom d) dôkaz vykonat matematickou indukciou Ak dokazujeme tvrdenie T sporom, alebo ak dokazujeme jeho obmenu, takýto dôkaz nazývame NEPRIAMY. 2 Základné metódy dôkazov 2.1 Priamy dôkaz tvrdenia T Pozostáva z konečného počtu implikácií T 1 T 2 T n T, ktorého prvý člen je axióma, alebo už dokázané tvrdenie a každé d alšie tvrdenie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, pričom posledným členom ret azca je dokazované tvrdenie T. 2.2 Nepriamy dôkaz tvrdenia T sporom Založený na zákone vylúčenia tretieho, podl a ktorého z dvojice výrokov T, T (negácia T ) musí byt práve jeden pravdivý. Ked teda dokážeme, že výrok T nie je pravdivý, vyplýva z toho pravdivost tvrdenia T. Pri dôkaze sporom postupujeme nasledovne: Predpokladáme platnost tvrdenia T a odvodzujeme z neho logické dôsledky tak dlho, až sa nám podarí odvodit tvrdenie U, o ktorom 2
vieme, že je nepravdivé (pretože jeho negácia U už bola skôr dokázaná). Vtedy hovoríme, že sme dospeli k sporu. T U, P (U) = 0. Keby sme v tej situácii pokladali T za pravdivé tvrdenie, boli by v našej teórii dokázatel né tvrdenia U aj U, a teda aj tvrdenie U U, ktoré je nepravdivé. Teória by preto bola sporná. To znamená, že predpoklad pravdivosti tvrdenia T je nesprávny, a teda T je nepravdivé tvrdenie, z čoho vyplýva, že T je tvrdenie pravdivé. Poznámka 1. Obe uvedené metódy možno použit aj v prípade, ked dokazované tvrdenie má tvar implikácie A B. 2.3 Priamy dôkaz implikácie A B Predpokladáme, že tvrdenie A platí. Nájdeme postupnost implikácií začínajúcu tvrdením A a končiacu tvrdením B, v ktorej každý člen je logickým dôsledkom predchádzajúcich tvrdení a axióm resp. skôr dokázaných tvrdení A T 1 T 2 T n B. Príklad 1. Dokážte, že pre každé dve reálne čísla a > 1, b > 1 platí: log a b + log b a 2. Dôkaz. Najskôr si urobíme rozbor. Pretože a > 1, b > 1, sú oba logaritmy kladné čísla z vlastností logaritmov vieme, že log a b = 1 log b a. Označme log a b = x. Potom stačí dokázat, že x + 1 x 2 pre každé kladné x. Postupnými úpravami dostaneme: x 2 + 1 2x x 2 2x + 1 0 (x 1) 2 0, 3
čo platí pre každé reálne x. Tým sme s rozborom hotoví a v opačnom smere môžeme vykonat priamy dôkaz (rozbor sám o sebe nie je dôkaz). Platí a postupne (log a b 1) 2 0 (log a b) 2 2 log a b + 1 0 (log a b) 2 + 1 2 log a b log a b + 1 log a b 2 log a b + log b a 2. Príklad 2. Dokážte, že funkcia f : y = 2x 2 je na intervale (, 0) rastúca. Dôkaz. Máme dokázat implikáciu x (, 0) : x 1 < x 2 2x 2 1 < 2x 2 2. Implikáciu dokážeme priamo. Nech platí x 1 < x 2 < 0 potom postupne x 1 > x 2 > 0 x 1 2 > x 2 2 x 2 1 > x 2 2 pretože x 2 0 2x 2 1 < 2x 2 2. 2.4 Nepriamy dôkaz implikácie A B sporom Predpokladáme platnost negácie dokazovanej implikácie, teda platnost tvrdenia (A B), ktoré je ekvivalentné s tvrdením A B (Dokážte!). Z toho tvrdenia postupne odvodzujeme dôsledky tak dlho, pokým dospejeme k sporu (A B) A B T 1 T 2 T n U, P (U) = 0. 4
Príklad 3. Dokážte, že prvočísel je nekonečne vel a. Dôkaz. Vykonáme ho sporom. Predpokladajme, že prvočísel je konečný počet. Označme ich p 1, p 2,..., p k, kde k N. Označme a = p 1 p 2... p k + 1. Číslo a N nie je prvočíslo, lebo je väčšie, ako každé z čísel p 1, p 2,..., p k. Číslo a nie je ani zložené číslo, pretože nie je delitel né žiadnym z prvočísel p 1, p 2,..., p k. Po delení čísla a l ubovol ným prvočíslom dostaneme zvyšok vždy 1. To znamená a = 1, čo je spor s vol bou čísla a. Číslo 1 je jediné prirodzené číslo, ktoré nie je ani zložené číslo, ani prvočíslo. Teda predpoklad o konečnom počte prvočísel je nepravdivý. Platí, že prvočísel je nekonečný počet. 2.5 Nepriamy dôkaz implikácie A B pomocou obmeny Zakladá sa na skutočnosti, že implikácia A B a jej obmena B A sú ekvivalentné. To znamená, že namiesto A B môžeme dokázat B A, ak je to výhodnejšie. B T 1 T 2 T n A. Príklad 4. Dokážte, že ak nemožno pravítkom a kružidlom zostrojit uhol s vel kost ou 1, nemožno zostrojit ani uhol s vel kost ou 19. Dôkaz. Tvrdenie dokážeme nepriamo. Namiesto implikácie A B dokážeme jej obmenu. B A, v našom prípade tvrdenie: Ak možno zostrojit uhol s vel kost ou 19, možno zostrojit aj uhol s vel kost ou 1. Predpokladajme teda, že vieme zostrojit uhol s vel kost ou 19. Potom vieme zostrojit aj uhol s vel kost ou 19.19 = 361, a teda ja uhol s vel kost ou 1. 2.6 Dôkaz pomocou matematickej indukcie Táto metóda sa vo svojej základnej podobe používa na dôkaz tvrdení tvaru: Pre každé prirodzené číslo n platí T (n). Dôkaz pozostáva z dvoch krokov: 5
1. Dokážeme platnost tvrdenia T (1), kde T (1) je tvrdenie, ktoré vznikne dosadením hodnoty n = 1 do výrokovej formuly T (n). Na dôkaz T (1) môžeme použit l ubovol nú z metód dokazovania. 2. Nazýva sa tiež indukčný krok. Dokážeme tvrdenie: n N : T (n) T (n + 1). Čiže, z platnosti tvrdenie T (n) vyplýva platnost tvrdenia T (n + 1). Tým je dokázaná platnost tvrdenia T (n) pre každé n N. Poznámka 2. Treba si uvedomit, že na základe 1. kroku tvrdenie T (n) platí pre n = 1, potom na základe 2. kroku platí pre n = 2, potom opät na základe 2. kroku pre n = 3 atd. pre každé prirodzené číslo n. Príklad 5. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n je číslo 11 n+1 + 12 2n 1 delitel né číslo 133. Dôkaz. Vykonáme ho matematickou indukciou. 1. krok: Tvrdenie dokážeme pre n = 1. Pre n = 1 tvrdenie platí. 11 1+1 + 12 2.1 1 = 121 + 12 = 133. 2. krok: Indukčný predpoklad je, že 11 n+1 + 12 2n 1 je delitel né číslo 133. Chceme dokázat, že tvrdenie platí aj pre n + 1, teda, že platí 11 (n+1)+1 + 12 2(n+1) 1 = 11 n+2 + 12 2n+1 je delitel né číslo 133. Upravíme 11 n+2 + 12 2n+1 = 11 1 11 n+1 + 12 2 12 2n 1 = 11.11 n+1 + 144.12 2n 1 = 11.11 n+1 + 11.12 2n 1 + 133.12 2n 1 = 11(11 n+1 + 12 2n 1 ) + 133.12 2n 1. Prvý člen je delitel ný číslom 133 podl a indukčného predpokladu, druhý člen je násobkom 133, teda celý výraz je delitel ný číslom 133. Tým sa dôkaz 2. kroku skončil. Záver: Tvrdenie platí pre n = 1 podl a 1. kroku. Potom podl a 2. kroku platí pre n = 2, opät podl a 2. kroku pre n = 3 atd. pre všetky prirodzené čísla n. 6