Kartografické list, 00, 10. Kartografická spoločosť SR a Geografický ústav SAV Jozef KRCHO, Aleadra BENOVÁ GEOMETRICKÁ ŠTRUKTÚRA GEORELIÉFU A JEJ KARTOGRAFICKÉ VYJADRENIE VO VZŤAHU K ELEMENTÁRNYM FORMÁM GEORELIÉFU Krcho J., Beová A.: Geometrical Structure of Georelief ad its Cartographic Epressio i Relatio to Elemetar Ladforms. Kartografické list, 00, 10, 15 figs., refs. Abstract: The article deals with some problems of accurac of cartographical epressio of the mutual relatio of geometrical forms of georelief, geetic forms of georelief ad elemetar ladforms. Cosiderig good geetic iterpretatio of elemetar ladforms are athless i the work earmarked elemetar ladforms i relatio to its geometrical structure. Georelief was outlied from the geeral sstems theor poit of view ad we set the coditios for modellig of geometrical structure of georelief, which is modellig b Digital Georelief Model (DGM) without time parameter T. Kewords: geeral sstems theor, morphometric parameters, geometrical structure, geometrical forms, geetic forms of georelief, elemetar ladforms, Dupi idicatri. Náčrt problému V práci z hľadiska teórie sstémov struče ačrtávame iektoré problém presosti kartografického vjadreia vzájomého vzťahu geometrických a geetických foriem georliéfu pomocou digitálch modelov. Pretože geetické form georeliéfu sú viazaé a proces v geografickej sfére, o georeliéfe (RF) ajprv uvažujeme ako o osobitom damickom subsstéme S RF (P, T) fzickogeografickej (FG) sfér uvažovaej ako priestorovo orgaizovaý sstém S FG (P, T) (Krcho 1968, 1986, 1990), kde P poloha a T čas. V zmsle práce (Krcho 1990) struče uvedieme podmiek, za ktorých možo vo zvoleej mierke 1:M i a jej rozlišovacej úrovi U i parameter času T a určitý časový úsek vechať a georeliéf pre teto časový úsek vjadriť ako statický sstém. Tieto podmiek umožňujú potom vo zvoleej mierke 1:M i a jej rozlišovacej úrovi U i korekte staoviť kritériá pre modelovaie georeliéfu pomocou digitálch modelov bez parametra času T, ako aj kritéria pre dĺžku časovej a priestorovej platosti takéhoto modelovaia. Fzickogeografickú sféru ako sstém S FG (P, T) a georeliéf ako jej subsstém S RF (P, T) vjadrujeme ajprv vzhľadom a reál priestor geografickej sfér vjadreý vzhľadom a referečú plochu Zeme v súradicovej sústave O, h. Výslede však georeliéf po operácii zobrazeia vjadríme v abstraktom kartografickom zobrazovacom D, resp. 3D priestore uvažovaom v karteziáskej súradicovej sústave O,, z. Geometrickú štruktúru georeliéfu vo vzťahu k jeho geetickým formám modelujeme teda v mierke 1:M i pomocou kompleého digitáleho modelu georeliéfu (KDMG) bez parametra času T. Modelová oblasť: Malé Karpat, úsek Rača Malý a Veľký Javorík. Teto problém bol už čiastoče z tej istej oblasti ačrtutý v práci (Beová, Moravčík 1999). Prof. RNDr. Jozef KRCHO, DrSc., Mgr. Aleadra BENOVÁ, Katedra kartografie, geoiformatik a diaľkového prieskumu Zeme, Prírodovedecká fakulta Uiverzit Komeského, Mlská dolia 1, 84 15 Bratislava, e-mail: beova@fs.uiba.sk 19
Fzickogeografická sféra ako priestorovo orgaizovaý sstém S FG (P, T) a georeliéf ako jej zvlášt subsstém S RF (P, T). Georeliéf je osobitou súčasťou FG-sfér, v ktorej má zvlášte postaveie. FG-sféra je celoplaetár priestorovo orgaizovaý látkovo eergetický komple, tvoriaci damický celok. Celoplaetáre je vmedzeý oblasťou vzájomého prieiku piatich základých geosfér: atmosfér, hdrosfér, litosfér, pedosfér a biosfér, ktoré sú v iterakcii. Sú zároveň základými zložkami FG-sfér. Iterakcia týchto zložiek vvoláva v priestore FG-sfér špecifické proces spojeé s obehom látok a eergie. Výsledkom týchto procesov je aj georeliéf s jeho geetickými formami a charakteristickou geometriou týchto foriem. FG-sféru vrátae georeliéfu možo študovať z rôzch hľadísk. Z rôzch hľadísk bola vrátae georeliéfu študovaá aj aparátom teórie sstémov. Jedým z hľadísk bola formulácia FG-sfér ako geosstému ajvššieho rádu, ktorý je vútore diferecovaý do jedotlivých rôzch subsstémov ižších rádov tvoriacich priestorové jedotk (Sočava 1978, Armad 1966, 1975, Haase 1980, Richter 1968 atď.). Podobe bol z rôzch hľadísk študovaý aj georeliéf ako zvlášt geosstém (Chorle a Keed 1971, Demek 1974 atď.). Pozámka 1. Teória sstémov umožňuje každý ľubovoľý objekt alebo možiu objektov širšie študovať ako celok z rôzch hľadísk. Na každý ľubovoľý objekt možo tak zaviesť práve toľko sstémov, z koľkých hľadísk možo teto objekt študovať. To vo všeobecosti platí aj pre FG-sféru. (koiec pozámk 1.) FG-sféra s georeliéfom bola z hľadiska jej priestorovej orgaizácie taktiež študovaá aparátom teórie sstémov (Krcho 1968, 1974, 1986, 1990). Bola v ich všeobece ačrtutá ako priestorovo orgaizovaý látkovo eergetický damický sstém S FG (P, T) vjadreý a ajižšej rozlišovacej úrovi v tvare usporiadaej dvojice S FG (P, T) = G FG (P, T), R FG (P, T), kde G FG (P, T) = a P T usporiadaá možia priestorovo lokalizovaých prvkov a j (P,T) reprezetujúcich 5 j, j1 jedotlivé základé geosfér, R FG (P, T) - usporiadaá možia závislostí medzi prvkami a j (P,T) G FG (P, T) sstému S FG (P, T) a jedak medzi prvkami a j (P,T) G FG (P, T) a okolím g 0(FG) sstému S FG (P, T), P = (h) absolúta poloha v súradicovej sústave O, h, kde geografická šírka, geografická dĺžka, h admorská výška v smere ormál N k referečej ploche Zeme, P = (h) relatíva poloha, kde j i j i h = h j h i, T parameter času. Pozámka. Zvýšeím rozlišovacej úrove boli prvk a j (P,T) G FG (P, T) podľa (Krcho 1990) rozlíšeé ako priestorovo orgaizovaé subsstém Sa k (P, T) = Ga k (P, T), Ra k (P, T) k = 1,,..., 5, kde Sa 1 (P, T) subsstém atmosfér, Sa (P, T) subsstém hdrosfér, Sa 3 (P, T) substém povrchových častí litosfér, Sa 4 (P, T) subsstém pedosfér, Sa 5 (P, T) subsstém biosfér, ktoré sú v iterakcii. FG-sféra je potom damický sstém Sa k (P, T) tvoreý iterakciou uvedeých subsstémov Sa k (P, T), ktoré sú avzájom prepojeé väzbami. Georeliéf s jeho geometriou je výsledkom iterakcie subsstémov Sa k (P, T). (koiec pozámk.) FG-sféra sa ako damický sstém S FG (P, T) v každom časovom momete T achádza v ejakom celkovom priestorovo diferecovaom stave Z FG (P, T) = Za k (P, T) 5, kde Za k 1 k (P,T), k = 1,,...5 sú v tomto časovom momete T celkové stav jedotlivých subsstémov Sa k (P, T) 0
sstému S FG (P, T). Celkový stav každého subsstému je pritom vžd tvoreý možiou stavových veličí Z i, takže Za k (P, T) = Z i (P, T) i k 1 pre každé k = 1,,..., 5. Pod stavovými veličiami Z i sa rozumejú (Krcho 1968, 1986, 1990) fzikále, fzikálochemické, chemické a ié kvatitatíve veliči, ktorých hodot sa pohbujú v itervaloch Z i (P,T) D Z i (P,T) H v závislosti od poloh P a času T, kde Z i (P,T) D je pre každé P dolá hodota a Z i (P,T) H horá hodota príslušej stavovej veliči. Pretože subsstém Sa k (P, T) sstému S FG (P, T) sú vzájome prepojeé väzbami, pre celkové stav Za k (P,T) platí: 5 1 k 5 ki. k1 k1 5 Za k Z P, T Pre celkový stav sstému S FG (P, T) v zmsle (Krcho 1990) platí, že 5 k k1 Zki, k1 i 1 5 Z FG (P, T) = Za k (P, T) P T Sstém S FG (P, T) ako damický sstém prechádza v priebehu času T postuposťou stavov, a to od ejakého počiatočého celkového stavu Z FG (P,T V ) v čase T V k výsledému celkovému stavu Z FG (P,T C ) v čase T C. Pozámka 3. Sstém S FG (P, T) má svoju parametrickú bázu P FG = Z i i 1 tvoreú usporiadaou možiou stavových veličí Z i. Každý druh stavovej veliči Z i sa v ej vsktuje iba raz. Parametrická báza P FG tvorí tak abstraktú abecedu sstému S FG (P, T), ktorej smbolmi sú jedotlivé stavové veliči. Stavové veliči Z i P FG tvoria teda v P FG usporiadaú možiu všetkých premeých veličí figurujúcich v sstéme S FG (P, T). Tieto veliči tvoria zložk vstupých a výstupých vektorov v, i w jedotlivých prvkov a i i sstému S FG (P, T) a jeho subsstémov Sa k (P, T). Vstupujú preto ako premeé veliči jedak vo väzbových roviciach w j V ij v i opisujúcich väzb medzi jedotlivými prvkami a i, a j sstému S FG (P, T) a prvkami jeho subsstémov Sa k (P, T) a jedak vstupujú vo vzťahoch w i = T i vi opisujúcich správaie sa jedotlivých prvkov sstému S FG (P, T) a jeho subsstémov Sa k (P, T); V ij sú väzbové matice a T i je operátor trasformácie vstupého vektora v do výstupého vektora i w prvku a i i (Krcho 1990). (koiec pozámk 3.) Georeliéf ako damická plocha, uvažovaý ako damický subsstém S RF (P, T) sstému S FG (P, T) bol podrobe defiovaý (Krcho 1986, 1990) a bol vjadreý v tvare usporiadaej dvojice S RF (P, T) = G RF (P, T), R RF (P, T), kde G RF (P, T) možia prvkov charakterizujúcich georeliéf, ktorými sú damické morfometrické veliči vjadreé a základe moži stavových veličí Z i P FG, R RF (P, T) možia vzájomých relácií jedak medzi morfometrickými veličiami z G RF (P, T) a jedak medzi morfometrickými veličiami z moži G RF (P, T) a ostatými subsstémami Sa k (P, T) sstému S FG (P, T). Ako damická plocha je georeliéf ehmotou veličiou, hmotý je iba ositeľ tejto form, t. j. povrchová vrstva litosfér ako subsstém Sa 3 (P, T) a pedosféra ako subsstém Sa 4 (P, T). V prebiehajúcich procesoch ako forma závisí od vlastostí svojho materiáleho ositeľa, t. j. od subsstému Sa 3 (P, T), Sa 4 (P, T). Tvorí teda pevé, ale damické rozhraie medzi povrchovými vrstvami litosfér a pedosfér a jedej strae a atmosfér či hdrosfér a druhej strae. Zostručeá defiícia georeliéfu ako osobitého subsstému S RF (P, T) sstému S FG (P, T) teda zie: reliéf Zeme (georeliéf) je a určitej rozlišovacej úrovi pevé, ale pritom damické rozhraie medzi litosférou Sa 3 (P, T) resp. pedosférou Sa 4 (P, T) a jedej strae a atmosférou Sa 1 (P, T) resp. hdrosférou Sa (P, T) a druhej strae, ktoré má z hľadiska jeho priestorového 1
priebehu uvažovaého vo zvoleej súradicovej sústave O,, vlastosti ploch a ktoré teda považujeme za plochu tvoreú možiou bodov RF = A i i, i, h i ii a možie ormál N i ii k referečej guľovej ploche v itervale H D, H H. Úplá defiícia georeliéfu ako subsstému S RF je v práci (Krcho 1990). V reálom priestore FG-sfér je georeliéf charakterizovaý možiou výšok h v smere ormál N k referečej ploche Zeme. Ako damická plocha (Krcho 1986, 1990) bol vzhľadom a reál priestor FG-sfér vjadreý sstémom rovíc h = f RF (Z 1, Z,..., Z ) Z 1 = Z, Z 3,..., Z ) Z i = g i (, h, T) Z = Z 1, Z 3,..., Z ) i = 1,,..., (1)... Z = Z, Z 3,..., Z 1 ), kde stavové veliči Z i P FG = Z. i i 1 Po operácii zobrazeia sstému rovíc Z i = g i (, h, T) z reáleho priestoru FG-sfér do abstraktého kartografického zobrazovacieho 3D priestoru, t. j. po zobrazeí: Z i = g i (, h, T) Z i = g i (, z, T), kde = f 1 (, ), = f (, ), z = f 3 (h), bol georeliéf vjadreý sústavou rovíc: z = f RF,E (Z 1, Z,..., Z ) Z 1 = Z, Z 3,..., Z ) Z i = g i (, z, T) Z = Z 1, Z 3,..., Z ) i = 1,,..., ()... Z = Z, Z 3,..., Z 1 ). Na vjadreie damických morfometrických veličí georeliéfu ako damickej ploch tvoriacich prvk moži G RF (P, T) je potrebé vjadriť difereciál dz, d z výšok z zo sústav rovíc (). Pre difereciál dz výšk z = f RF,E (Z 1, Z,..., Z ) v zobrazovacom priestore (Krcho 1990, 1993, 1995) výslede platí: dz = F df d + F z dz + F T dt, (3) kde: f RF, E g i j F f RF, E g i j F Z Z Z Z F z i1 i j1 f RF, E g i j Z Z z i1 i j1 i = 1,,..., j j F T i1 i j1 j f RF, E g i j (4) Z Z T i1 i j1 pre i = 1 j =, 3,..., j = 1,,..., i = j = 1, 3,...,... j i i = j = 1,,..., -1 Druhý difereciál d z vjadreý zo vzťahu (3) má tvar: d z = F d +F d F zz dz +F TT dt +, + F d d + F z d dz + F T d dt, (5) + F z d dz + F T d dt + F zt dz dt j
Parciále derivácie F F, F z, F T, F, F, F zz, F TT, F, F z, F T, F z, F T, F zt sú damickými veličiami. V zobrazovacom priestore sú v ich obsiahuté závislosti stavových veličí Z i avzájom, závislosť stavových veličí a horizotálej polohe,, a výške z ako aj a čase T (Krcho 1995). Vjadrujú zároveň geometrickú štruktúru damickej ploch georeliéfu v závislosti od prebiehajúcich procesov a ich geéz. Subsstém S RF študujeme a určitej rozlišovacej úrovi U i a vo zvoleej mierke 1:M i, pričom je fukčý vzťah medzi rozlišovacou úrovňou U i a daou mierkou (Krcho 1979). Zme georeliéfu, ktoré sú v daej mierke 1:M i pod jej rozlišovaciu úroveň U i, ie sú preto v tejto mierke vjadriteľé. Z toho plie, že mierka 1:M i má z hľadiska jej rozlišovacej úrove U i určitú dobu platosti v čase T i. Pre vhode zvoleý časový iterval T i zodpovedajúci zvoleej mierke 1:M i a jej rozlišovacej úrovi U i môžeme preto vplv procesov v sstéme S FG (P, T) a zme hodot jedotlivých morfometrických parametrov, ktoré sú pod jej rozlišovacou úrovňou U i v globále zaedbať a uvažovať iba vplv georeliéfu a jedotlivé prvk sstému S FG (P, T). To zameá, že georeliéf môžeme a dĺžku tohto časového itervalu T i matematick vjadriť bez parametra času T. Ak teda pre zjedodušeie predpokladáme závislosť stavových veličí Z i iba a horizotálej polohe, ( = f 1 (), = f ()) a vo zvoleej mierke 1:M i vzhľadom a jej rozlišovaciu úroveň U i položíme a určitú dobu T = cost, potom v sústave rovíc Z i = g i (, z, T) v () pre z a T platí, že z = cost, T = cost. V takom prípade vzťah (3) a (5) budú mať tvar dz = F df d d z = F d + F d d +F d, (6) pričom parciále derivácie F F, F, F, F sú už iba fukciou poloh,, ale ie času T. Stavové veliči Z i obsiahuté v parciálch deriváciách F F, F, F, F vo vzťahoch (6) sú tak pre T = cost akob zamrzuté. Difereciál dz, d z a parciále derivácie F F, F, F, F sú v takomto prípade statickými veličiami. Nahraďme vo vzťahoch (6) takto uvažovaé parciále derivácie F F, F, F, F parciálmi deriváciami: z z, z z z z, z, z, z fukcie dvoch premeých, vjadreej vo všeobecom tvare: z = f(, ), resp. z = z(, ), (7) pre ktoré, čo ich do veľkosti a priestorového rozložeia, ech platí: z F z F z F z F z F (8) Potom vzťah (6) budú mať tvar: dz = z dz d d z = z d + z d d +z d a fukcia (7) za predpokladu platosti (8) prese opisuje tú istú statickú plochu ako sústava rovíc () pre z = cost, T = cost. Tieto parciále derivácie (8) však už eobsahujú žiadu iformáciu o stavových veličiách Z i P FG. Vzhľadom a (8) vjadrujú však vo zvoleej mierke 1:M i a jej rozlišovacej úrovi U i prese geometrickú štruktúru ploch statického georeliéfu. Stavové veliči subsstému S RF a geometrická štruktúra georeliéfu Geometrická štruktúra predstavuje geometrické vlastosti georeliéfu a je vjadreá možiou morfometrických parametrov G RF, medzi ktorými eistuje možia závislostí. Každý morfometrický parameter je síce samostatým a jedozačým kvatitatívm ukazovateľom georeliéfu, avšak ako taký ie je ezávislý, ale je s ostatými morfometrickými parametrami prepojeý (apr. z matematického hľadiska prostredíctvom parciálch derivácií prvého a druhého rádu) možiou rôzch závislostí Krcho 1990. z 3
Možia morfometrických parametrov G RF Krcho 1990, 1999 je určeá prvkami: N gradz arctg z z GRF z, z, s, N, AN,, K N, Kr, NF, Kr F, F,... t kde: z admorská výška georeliéfu, ktorá je fukciou poloh,, z relatíva výška v smere spádových kriviek, s dĺžka spádových kriviek, N sklo reliéfu v smere spádovej krivk, A N orietácia georeliéfu voči svetovým straám arctg, A arctg z z, ormálová krivosť georeliéfu v smere spádovej krivk vjadreá rovicou z z z zz z z, z z 1 z z 3 (K N ) t ormálová krivosť georeliéfu v smere dotčíc k vrsteviciam vjadreá rovicou z z z zz z z ( K N ) t, z z z z 1 K r horizotála krivosť georeliéfu vjadreá rovicou K r z z 3 z z z zz z z, pričom medzi (K N ) t a K r platí, že (K N ) t = K r.si N, kde z z si N. z z 1 N Ďalej sú to: N F ormálové form georeliéfu sú defiovaé ormálovou krivosťou ω v smere spádových kriviek, ktoré sa podľa zamieka ± ω vútore čleia a N F X (ω > 0) koveé ormálové form a a N F K (ω < 0) kokáve ormálové form avzájom sú od seba oddeleé izočiarou ω = 0 určeou rovicou z z zzz z z 0. N F X (ω > 0) vzhľadom a (/)(gradz)0 povrchový odtokový režim urýchľujú, zatiaľ čo N F K (ω < 0) vzhľadom a (/)(gradz)0 povrchový odtokový režim spomaľujú. N t F ormálové form georeliéfu defiovaé ormálovou krivosťou (K N ) t v smere dotčíc k vrsteviciam, ktoré sa podľa zamieka ± (K N ) t vútore čleia a N t F X [(K N ) t > 0] koveé ormálové form v smere dotčíc k vrsteviciam a a N t F K [(K N ) t < 0] kokáve ormálové form v smere dotčíc k vrsteviciam. Normálové form N t F X [(K N ) t > 0] sú od ormálových foriem avzájom oddeleé izočiarou ulovej ormálovej krivosti (K N ) t = 0. K r F horizotále form georeliéfu defiovaé horizotálou krivosťou K r, ktoré sa podľa zamieka ± K r vútore čleia a K r F X (K r > 0) koveé horizotále form a K r F K (K r < 0) kokáve horizotále form. Navzájom sú od seba oddeleé izočiarou K r = 0. Z rovíc pre ormálovú krivosť v smere dotčíc k vrsteviciam (K N ) t a pre horizotálu krivosť K r vplýva, že 4
izočiara ulovej ormálovej krivosti (K N ) t = 0 je idetická s izočiarou ulovej horizotálej krivosti K r = 0. Obe sú určeé spoločou rovicou z z zzz z z 0. Pretože v K r F X (K r > 0) vektor grad z divergujú, horizotále form K r F X povrchový odtokový režim rozptľujú. Naopak, pretože v K r F K (K r < 0) vektor grad z kovergujú, horizotále form K r F K povrchový odtokový režim sústreďujú. Preto sú N t F (N t F X, N t F K ) ormálové form v smere dotčíc k vrsteviciam priestorovo idetické s horizotálmi formami K r F (K r F X, K r F K ). Pre všetk bod A i ( i, i, z i ) vovútri týchto foriem, v ktorých hodota sklou v smere spádových kriviek N 0, však vzhľadom a vzťah (K N ) t = K r.si N platí, že (K N ) t K r. Vzhľadom a to, že vektorové pole grad z = z i z j leží v rovie (, ) tvoriacej v karteziáskej súradicovej sústave O,, z skaláru bázu skaláreho poľa výšok, v ktorej sa achádza vrstevicové pole, ktorého krivosť je vjadreá horizotálou krivosťou K r, kvatitatívu charakteristiku celkových foriem F ďalej vjadríme krivosťami ω, K r. Celkové geometrické form georeliéfu F = (F XX, F KX, F KK, F XK ) majú asledujúci výzam: F XX (ω > 0, K r > 0) koveo-koveé form povrchový odtokový režim urýchľujú a zároveň rozptľujú, F KX (ω < 0, K r > 0) kokávo-koveé form povrchový odtokový režim spomaľujú a zároveň rozptľujú, F KK (ω < 0, K r < 0) kokávo-kokáve form povrchový odtokový režim spomaľujú a zároveň sústreďujú, F XK (ω > 0, K r < 0) koveo-koveé form povrchový odtokový režim urýchľujú a zároveň sústreďujú (Krcho 1986, 1990, Krcho a Rehák 1999, Ječo a Rehák 1990). Širšie vlastosti celkových geometrických foriem georeliéfu v okolí jeho ľubovoľého bodu A i ( i, i, z i ) geometrická štruktúra a Dupiova idikatri Širšie vlastosti celkových foriem F(F XX, F KX, F KK, F XK ) je potrebé študovať v ifiitezimálom okolí ľubovoľého bodu A i F. Vplýva to z vlastostí fukcie (7) spĺňajúcej požadovaú podmieku (8) a eisteciu (9). Fukcia (7) je tak rozviuteľá do Talorovho radu takže vlastosti ploch georeliéfu možo študovať v ifiitezimálom okolí daého bodu A i ( i, i, z i ). Daý bod A i tvorí pritom stred svojho okolia, ktoré má dve zložk: lieáru, tvoriacu lieáre okolie bodu A i ( i, i, z i ), kvadratickú, tvoriacu kvadratické okolie bodu A i ( i, i, z i ) (Šalamo 1963, Krcho 1973, 1986, 1990, 1993, 001). Určeé sú rovicami: dz = z d + z (10a) Dz = dz + 1 d z = z d + z d + 1 z d + z dd + z d. (10b) Rovica (10a) je prvým difereciálom fukcie (7) a rovica (10b) je určeá prvými dvomi člemi Talorovho rozvoja. V roviciach (10a), (10b) sú parciále derivácie z z, z, z, z v daom bode A i ( i, i, z i ) vžd koštatami a dd, dz, D z sú premeými veličiami. Lieárou rovicou (10a) je určeé lieáre okolie bodu A i ( i, i, z i ) a kvadratickou rovicou (10b) je určeé kvadratické okolie bodu A i ( i, i, z i ). 5
Lieára rovica (10a) vjadruje v dotkovej rovie ku georeliéfu v bode A i ( i, i, z i ) určeej rovicou Z-z i =(Z ) i (X- i ) + (Z ) i (Y- i ) (11) pre všetk jej X, Y, Z, pre ktoré X i d, Y i d, Z z i dz, lieáre okolie bodu A i. Kvadratická rovica (10b) je difereciálom k oskulačému paraboloidu. Vjadruje v daom bode A i ( i, i, z i ) oskulačý paraboloid, ktorého vrcholová časť je v ifiitezimálom okolí bodu A i ( i, i, z i ) totožá s plochou georeliéfu (podrobe pozri Krcho 1986, 1990, 001). Ak v (10a, b) a miesto difereciálch premeých dd, dz, D z uvažujeme o malých, ale koeče veľkých premeých,, z, adobudú tvar z = z + z (1a) D z = z + 1 z + (z + zz + z ), (1b) ktorý vjadruje malé, ale koeče veľké okolie ľubovoľého bodu A i ( i, i, z i ) ploch georeliéfu. V ňom už možo aj praktick študovať a tak isto pomocou KDMG modelovať širšie vlastosti celkových foriem F georeliéfu (Krcho 001). V celkových formách F XX, F KK F pre každý ich bod A i ( i, i, z i ) platí, že diskrimiat druhej Gaussovej difereciálej form D = z z z 0, (13) z z 1 v dôsledku čoho oskulačý paraboloid má v bode A i ( i, i, z i )F XX, F KK ) tvar eliptického paraboloidu. Preto ormálové krivosti georeliéfu (K N ) m určeé v každom bode A i ( i, i, z i ) rovicou v parametrickom tvare 1 A Bm Cm (K N ) m =, (14) K D Em Fm kde A = z, B = z, C = z, D = 1+ z, E = z z, F = 1+z a m = tg je premeý parameter defiovaý v itervaloch 0, 90, 90, 180, 180, 70, 70, 360, majú pre všetk hodot m = tg a teda aj pre hodot m = = K = tg = (z /z ), m = t = K t = tg t = (-z /z ) rovaké zamieka. Pritom pre všetk bod A i ( i, i, z i )F XX platí, že (K N ) m 0 a teda aj (K N ) m = (K N ) 0 ako aj (K N ) t =K r si N 0, takže F XX ( 0, K r 0). Pre všetk bod A i ( i, i, z i )F KK aopak platí, že (K N ) m 0 a teda aj (K N ) m = (K N ) 0, ako aj (K N ) t =K r si N 0, takže F KK ( 0, K r 0). Dupiova idikatri vjadreá v rovie (, ) parametrickými rovicami = R cos, = si (15) N m R N m kde (R N ) m = K D Em Fm, m = tg A Bm Cm má vzhľadom a to vo všetkých bodoch A i ( i, i, z i )F XX, F KK ) tvar elips. Tieto bod sa preto volajú eliptické bod. V dôsledku toho sú všetk form F XX ( 0, K r 0), F KK ( 0, K r 0) tvoreé eliptickými bodmi (Krcho 1986, 1990, 1993, 001). 6
V celkových formách F KX, F XK )F pre diskrimiat D (13) v každom ich bode A i ( i, i, z i ) platí, že D 0. Oskulačý paraboloid má preto vo všetkých bodoch A i ( i, i, z i )F KX, F XK ) tvar hperbolického paraboloidu. Normálové krivosti (14) meia so zmeou parametra m = tg zamieka tak, že pre určité hodot m = tg adobúdajú hodot (K N ) m 0 a pre určité hodot m = tg adobúdajú hodot (K N ) m 0. Preto aj pre F KX a F XK platí, že F KX ( 0, K r 0) a F XK ( 0, K r 0). Dupiova idikatri (15) má preto v bodoch A i ( i, i, z i )F KX, F XK ) tvar dvojého súboru hperbol s asmptotami určeými v rovie (, ) rovicami z z z z z z z z =, = (16) z z Normálová krivosť v smere spádových kriviek ai horizotála krivosť K r ie sú však pritom totožé s hlavými ormálovými krivosťami vjadreými rovicami 1 AH BHG1, CG1, (K N ) E, 1, =, (17) K DH EHG FG 1, 1, kde K = z z 1, H = (CE BF), G 1, = (CD AF) CD AF HBD AE ležiacimi v osiach Dupiovej idikatri (Krcho 1986, 1990, 001). Hlavé ormálové krivosti (K N ) E, 1, zvierajú s ormálovými krivosťami a (K N ) t uhol, ktorý sa a ploche georeliéfu z miesta a miesto meí. Pozameajme, že vo zvláštch prípadoch má Dupiova idikatri tvar dvojého súboru hperbol aj v iektorých bodoch A i ( i, i, z i )F XX, F KK ) a to vted keď, K r súčase zapadú do jedého zo sektorov vmedzeých asmptotami (16) (Krcho 001). Priestorové rozložeie Dupiovch idikatri vo vzťahu ku geometrickým formám je vjadreá a obr. 1 V ich sú zároveň vjadreé aj smer hlavých ormálových krivostí (K N ) E, 1, a krivostí, K r. Na obr. je vo vbraom bode A 1 ležiacom v F XX ( 0, K r 0) detaile vjadreá Dupiova idikatri tvaru elips a a obr. 3 je vo vbraom bode A ležiacom v F XK ( 0, K r 0) vjadreá Dupiova idikatri tvaru dvojého súboru hperbol. Osobitý prípad Dupiovej idikatri, ked vo vbraom bode A 3 ležiacom v celkových formách F XX ( 0, K r 0) má Dupiova idikatri tvar hperbol, je vjadreý a obr. 4. Na obr. 5 je vjadreý prípad, keď vo vbraom bode A 4 ležiacom v celkových formách F KK ( 0, K r 0) má Dupiova idikatri tvar hperbol. V posledých dvoch prípadoch obe dotčice, t, v ktorých ležia krivosti, (K N ) t = K r.si N zapadajú do jedého sektora Dupiovej idikatri vmedzeého jej asmptotami (16). Pritom v bode A 3 a obr. 4 zapadajú do sektora, v ktorom 0, (K N ) t = K r.si N 0 a v bode A 4 a obr. 5 zapadajú do sektora, v ktorom 0, (K N ) t = K r.si N 0 (podrobe pozri Krcho 001). V tetoch pod obrázkami pre úsporu miesta Dupiovu idikatri vjadrujeme skratkou DI. Vzájomý vzťah geometrických a geetických foriem georeliéfu a iektoré problém ich kartografického vjadreia Georeliéf pozostáva z povrchových tvarov zemskej kôr, ktoré majú svoju geézu. Tieto geetické tvar sú výsledkom reliéfotvorých procesov, pričom majú zároveň svoju geometriu. Geometria vjadreá formami N F, K r F a F a základe veličí ω a K r, je z dlhodobého hľadiska a jedej strae výsledkom procesov vtvárajúcich reliéf, a druhej strae späte vplýva a priestorový priebeh procesov a georeliéfe, a tým aj a geometriu geetických foriem. Na základe tohto 7
vido, že medzi geetickými a geometrickými formami georeliéfu eistuje tesá väzba, ktorá sa prejavuje a všetkých úroviach. Tieto geetické tvar georeliéfu, tým, majú svoju geometriu kvatitatíve vjadreú možiou morfometrických parametrov georeliéfu, ktoré majú súčase matematický a fzikál výzam. Na základe toho môžeme prostredíctvom morfometrických parametrov georeliéfu opísať geometrické aj geetické form georeliéfu. Vzájomý vzťah geetických foriem, geometrických foriem a geomorfologických procesov je obsiahutý už v samotej defiícii georeliéfu. Vzhľadom a dobrú geetickú iterpretovateľosť elemetárch foriem georeliéfu v detailej aalýze sa arába s elemetármi formami georeliéfu, ktoré boli defiovaé J. Miárom (1996, 1998). Preto porovávame geometrickú štruktúru s elemetármi formami georeliéfu. Elemetáre form georeliéfu teda implicite estotožňujeme s geetickými formami, pretože sú jedozače geometrick defiovaé, pričom sú zároveň dobre geetick iterpretovateľé. Na základe predtým uvedeých podmieok (T = cost) sme a modelovom území modelovali geometrickú štruktúru georeliéfu bez parametra času T. Z ameraého vstupého pravidelého diskréteho bodového poľa admorských výšok (100 m 100 m) sme modelovali priebeh jeho vrstevicového poľa. Jeho presosť závisí od vlastostí vstupého diskréteho bodového poľa, ako aj od použitej iterpolačej fukcie. Priebeh modelovaých vrstevíc bol súčase porovaý s priebehom vektorizovaých vrstevíc topografickej map mierk 1: 10 000, ktorú sme zobrali za etaló (obr. 6). Rozdiel v priebehu vrstevíc majú vplv a rozdiel v priebehu hraíc elemetárch foriem georeliéfu. Na obr. 7 sú porovaé elemetáre form georeliéfu, ktoré boli vhraičeé z topografickej map a základe teréeho výskumu s elemetármi formami vhraičeými z vrstevíc modelovaých zo 100 m siete. Na obr. 8-11 sú kartografick vjadreé kombiácie týchto elemetárch foriem a vrstevíc. Odchýlk v hraiciach, ako aj rôze včleeie foriem v iektorých prípadoch je spôsobeé pozmeeým priebehom vrstevíc modelovaých zo 100m siete. Na obr. 1-15 sú postupe zázoreé vbraé morfometrické parametre (sklo, ormálová krivosť georeliéfu v smere spádovej krivk, horizotála krivosť georeliéfu, ako aj celkové geometrické form) vpočítaé zo vstupého pravidelého diskréteho bodového poľa. Do ich sú vložeé vrstevice ako aj elemetáre form georeliéfu zo 100 m siete. Na obrázkoch môžeme vidieť vplv týchto parametrov ako hraicotvorých vzhľadom a elemetáre form georeliéfu. Záver Kartografické modelovaie georeliéfu a jeho geometrickej štruktúr bez parametra času T je vo zvoleej mierke 1:M i a jej rozlišovacej úrovi U i základom pre iterdiscipliáre aplikácie modelovaých geometrických vlastostí georeliéfu. Jedou z týchto iterdiscipliárch aplikácií sú aj dôležité aplikácie geometrickej štruktúr georeliéfu v geomorfológii. Geometrická štruktúra georeliéfu charakterizovaá možiou morfometrických parametrov v každom jeho bode je preto dôležitým podkladom pri vhraičovaí tak geetických, ako aj elemetárch foriem georeliéfu. Dôležitosť modelovaej širšej geometrickej štruktúr georeliéfu je z tohto hľadiska vjadreá a obr. 1 15. Literatúra ARMAND, A. D. (1966). Prirodje kompleks kak samoreguliruemje sistem. Izvestija AN SSSR, ser. geografičeskaja, Moskva, pp. 85-94. ARMAND, D. L. (1975). Nauka o ladšafte. Moskva (Izdateľstvo MYSĽ). BENOVÁ, A., MORAVČÍK, J. (1999). Vlastosti iterpolačých metód použitých a modelovaie georeliéfu a ich vplv a výpočet morfometrických parametrov. Kartografické list, 7, 95-108. DEMEK, J. (1974). Sstémová teorie a studium kraji. Studia geographica, 40, Bro (Geografický ústav ČSAV). 8
HASSE, G. (1980). Izučeie topičeskich i choričeskich struktur, ich diamiki i razvitia v ladšaftch sistemach. I: Struktura, diamika i rozvitjie ladšaftov. Moskva (Istitrut geografii AN SSSR). CHORLEY, R. J., KENNEDY, B. A. (1971). Phsical Geograph. A Sstems Approach. Lodo (Pretice Hall Iteratioal Ic.). KRCHO, J. (1968). Prírodá časť geosfér ako kberetický sstém a jeho vjadreie v mape. Geografický časopis, 0,, 115-139. KRCHO, J. (1974). Štruktúra a priestorová difereciácia fzickogeografickej sfér ako kberetického sstému. Geografický časopis, 6,, 133-16. KRCHO, J. (1979). Reliéf ako priestorový subsstém S RF geografickej kraji a jeho kompleý digitál model (KDMT). Geografický časopis, 31, 3, 37-6. KRCHO, J. (1986). Geometrické form georeliéfu a ich hierarchické úrove. Geografický časopis, 38, -3, 10-35. KRCHO, J. (1990). Morfometrická aalýza a digitále model georeliéfu. Bratislava (VEDA). KRCHO, J. (1993). Georelief ad its cartographic modellig b comple digital model (CDM) from geographical iformatio sstem (GIS) poit of view. Acta Facultatis Rerum Naturalium Uiversitatis Comeiaae, Geographica, 33, 3-131. KRCHO, J. (1995). Ladscape as a spatiall orgaized sstem ad the georelief as a subsstem of ladscape the ifluece of georelief o spatial differetiatio of ladscape processes. I: Gabčíkovo part of the hdroelectric power project evirometal impact review, Bratislava, pp. 33-351. KRCHO, J. (1999). Modellig of georelief usig DTM The ifluece of poit cofiguratio of iput poits field o positioal ad umeric accurac. Geografický časopis, 51, 3, 5-60. KRCHO, J. (001). Modellig of georelief ad its geometrical structure usig DTM: positioal ad umerical accurac. Bratislava (Q 111 Publishers). KRCHO, J., REHÁK, Š. (1999). Spatial ad structural aspects of agricultural ladscape. I Vedecké práce Výskumého ústravu závlahového hospodárstva, 4, Bratislava, 109-136. MINÁR, J. (1995). Niektoré teoreticko-metodologické problém geomorfológie vo väzbe a tvorbu kompleých geomorfologických máp. Acta Facultatis Rerum Naturalium Uiversitatis Comeiaae, Geographica, 36, 7-15. MINÁR, J. (1998). Georeliéf a geoekologické mapovaie vo veľkých mierkach. Habilitačá práca. Bratislava (Prírodovedecká fakulta Uiverzit Komeského). REHÁK, Š., JENČO, M. (1990). Vplv morfometrických parametrov a difereciáciu pôdeho krtu a formovaie vodého režimu pôd. Geografický časopis, 4, 3, 80-98. RICHTER, H. (1968). Beitrag zum Modell des Geokomplees. I: Barthel, H., Ladschaftsforschug. Gotha- Leipzig (VEB Herma Haack, pp. 39-48). SOČAVA, V. B. (1978). Vvedeije v učeie o geosistemach. Moskva, Nauka, 318 pp. ŠALAMON, B. (1963). Das tpische Isoliiegrudfeld ud seie Awedug. Studia geophsica et geodetica, 7. S u m m a r Geometrical Structure of Georelief ad its Cartographic Epressio i Relatio to Elemetar Ladforms Cartographic modellig of georelief ad its geometrical structure without time parameter T is i the selected scale 1:M i ad its distictive level U i the base for iterdiscipliar applicatios modelled geometrical characteristics of georelief. Oe of these iterdiscipliar applicatios is also a importat applicatio of geometrical structure of georelief i geomorpholog. Geometrical structure of georelief characterized b the morphometric quatities set i ever poit is therefore importat base for earmarkig as geetic forms of georelief as elemetar ladforms. The importace of modelled geometrical structure of georelief i the broad sese of the word is from this viewpoit epressed i fig. 1-15. Fig. 1 Spatial distributio of forms ad directios of Dupi idicatri i relatio to idividual total geometric forms of georelief F(F XX, F KX, F KK, F XK ). Equall are epressed aes of Dupi idicatri, i which lie 9
the mai ormal curvatures (K N ) E, 1, of Dupi idicatri, as well as the taget to the slope curves ad the taget t to the cotour lies, i which lie ormal curvatures t = K r si Fig. Dupi idicatri i the selected poit A 1 ( 1, 1, z 1 ), which is lig i total form F XX (0K r 0). Dupi idicatri has i it the form of ellipse, the poit A 1 is elliptic poit. The directio of mai curvatures (K N ) E, 1, of Dupi idicatri lig i its aes is differet from the directios of ormal curvatures t = K r si which are lig i, t. Fig. 3 Dupi idicatri i the selected poit A (,, z ), which is lig i total form F XK (0K r 0). Dupi idicatri has i it the form of double set of hperbolas. The directio of mai ormal curvatures (K N ) E, 1, lig i aes of Dupi idicatri is differet from the directios of ormal curvatures t = K r si which are lig i, t. which lie i icludes ito oe sector of Dupi idicatri, meawhile t = K r si icludes ito other sector of Dupi idicatri. Fig. 4 Distictive case of Dupi idicatri, whe Dupi idicatri has i elliptic poit of forms F XX the form of hperbolla. The mai curvatures (K N ) E, 1, lies i the aies of Dupi idicatri. Both taget,, t, i which lie t = K r si athless iclude simultaeousl ito oe sector of Dupi idicatri made b the asmptotes of Dupi idicatri. Fig. 5 Distictive case of Dupi idicatri, whe Dupi idicatri has i elliptic poit of forms F KK the form of hperbolla. The mai curvatures (K N ) E, 1, lies i the aies of Dupi idicatri. Both taget,, t, i which lie t = K r si athless iclude simultaeousl ito oe sector of Dupi idicatri made b the asmptotes of Dupi idicatri. Fig. 6 Compariso of digitized cotours (full lie) with cotours calculated from 100m100m square grid (dashed lie). Fig. 7 Compariso elemetar ladforms earmarked b field research (dashed lie) with elemetar ladforms earmarked from cotours of 100m grid (full lie). Fig. 8 Elemetar ladforms earmarked b field research ad digitized cotours from map (scale 1: 10 000) (mutual course). Fig. 9 Elemetar ladforms earmarked from cotours of 100m grid ad digitized cotours (mutual compariso of course). Fig. 10 Course of elemetar ladforms earmarked b field research cosiderig the course of cotours of 100m grid. Fig. 11 Elemetar ladforms earmarked from the course of cotours of 100m grid ad the course of cotours of 100m grid (mutual compariso). Fig. 1 Course of isolies of georelief slope i the directio of the slope curves, isolies = 0 ad elemetar ladforms earmarked from 100m grid. Fig. 13 Normal forms N F of georelief i the directio of orthogoal trajectories (cocave ormal forms N F K 0 raster filled) ad elemetar ladforms earmarked from 100m grid. Fig. 14 Horizotal forms K r F of georelief (cocave horizotal forms K r F K K r 0 raster filled) ad elemetar ladforms earmarked from 100m grid. Fig. 15 Total geometric forms of georelief F ad elemetar ladforms earmarked from 100m grid. Lektorovala RNDr. Margita VAJSÁBLOVÁ, PhD., Stavebá fakulta Sloveskej techickej uiverzit, Bratislava 30