Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky, ostatné sú telesové. Hranol mnohosten, ktorého 2 steny sú navzájom zhodné mnohouholníky s rovnobežnými odpovedajúcimi hranami a so všetkými navzájom zostávajúcimi hranami navzájom rovnobežnými, sa nazýva hranol. Kolmý a pravidelný hranol ak je podstavou hranola pravidelný n uholník a hranol ja kolmý, hovoríme o pravidelnom hranole. Kváder hranol, ktorého všetky steny sú pravouholníky, sa nazýva kváder. Rovnobežnosten hranol, ktorého všetky steny sú rovnobežníky. Ihlan je mnohosten, ktorého jedna stena základňa je n uholník a všetky ostatné steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom. Kocka je hranol, ktoré všetky steny sú pravidelné pravouholníky. Má stien. Kužeľ ak je v priestore daná rovina ρ s kruhom k = ( S, r) a bod V nepatrí ρ. Množina bodov všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom V a niektorým z bodov kruhu k, sa nazýva kužeľový priestor. Priamky, ktoré prechádzajú hraničnou kružnicou, tvoria kružnicovú kužeľovú plochu a nazývajú sa jej tvoriace priamky. Bod V sa nazýva vrchol kužeľového priestoru. Kruhový priestor (plášť) a kružnicová kužeľová plocha (podstava) tvoria kužeľ. Štvorsten má štyri steny a každá z nich utína všetky 3 osi v rovnakej konečnej vzdialenosti. Pravidelný štvorsten ktorého stenami sú rovnostranné trojuholníky. Valec časť priestoru, ktorá je ohraničená kružnicovou valcovou plochou a dvoma rovinami, ktoré sú navzájom rovnobežné a kolmé na všetky priamky prechádzajúcou kružnicovou valcovou plochou. Guľa je množina bodov v priestore, ktorých vzdialenosť od pevne zvoleného bodu S ( stredu gule), je menšia alebo rovná r, kladne zvolenému číslu. (r = polomer gule) Vrchol je priesečníkom hrán v mnohouholníku (označuje sa veľkými tlačenými písmenami napr. A,B) Hrana je to priamka, ktorá je priesečnicou 2 stien a je ohraničená 2 bodmi vrcholmi Stena plošný útvar, ktorý ohraničuje jednotlivé telesá Podstava je to n- hranný alebo zakrivený plošný útvar, ktorého bodmi prechádzajú všetky priamky, ktoré tvoria teleso. Je to časť telesa, jeho stena, na ktorej stojí. Sieť kocky je to plošný útvar, obsahujúci pravidelné pravouholníky (štvorce), ktoré sú stenami kocky a je ich. Sieť je plocha ohraničujúca teleso, ktorá je rozvinutá do jednej roviny. Výšky v štvorstene výška v stene štvorstena ( v jednom trojuholníku) je to kolmá vzdialenosť od vrcholu na protiľahlú stranu. Telesová výška je kolmá vzdialenosť spustená od vrcholu, na protiľahlú stenu (podstavu) Objem telesa kladná hodnota, ktorá sa priraďuje telesám v priestore. Je to priestor, ktorý ohraničujú steny telesa. Označuje sa V. Povrch telesa obsah plochy, ktorá teleso ohraničuje, jej povrch. Označuje sa S. KOCKA
V=a 3 S=.a 2 U=a. 3 u=a. 2 : U= 3. a=? V=? S=? : V= a 3 S=.a 2 U= a. 3 V= (3. 2) 3 S=.(3. 2) 2 U= 3. => a. 3 = 3. V= 3 3.( 2) 3 S=.3 2. 2. 2 a 2.3 = 3 2. V= 27. 2. 2. 2 S=.18 a 2.3 = 3 2. V= 27.2. 2 S= 108 a 2.3 = 9. V= 54. 2 a 2 = 9./3 = 18 = 3. 2 KVÁDER u 1 = (a 2 + b 2 ) u 2 = (a 2 + c 2 ) u 3 = (b 2 + c 2 ) U = (a 2 + b 2 + c 2 ) V = a.b.c
S = 2.(a.b + a.c + b.c) a) Obsah podstavy, S p = 4cm 2 podstavou je štvorec odchýlka AG od postavy = 45 = α S =? cm 2 S p = 4 u 1 = (a 2 + b 2 ) S = 2.(a.b + b.c + c.a) S p = a 2 u 1 = ( 2.a 2 ) S = 2.(a 2 + a.c + a.c) a = 4 u 1 = a. 2 S = 2.(a 2 + 2.a.c) a = 8 u 1 = 8. 2 S = 2.(4 + 2.8.8. 2) S = 2.(4 + 128. 2).v u 1 = c S = 2. (1 + 2. 2) cm 2 b) V = 4cm 3 Podstavou je štvorec Odchýlka AG od podstavy = 45 S =? cm 3 S = 2.( a 2 + 2.a.c) S = 2.(a 2 + 2.a 2 2) S = 2. a 2 (1 + 2. 2) S = 2.( 3 (32. 2)) 2. (1 + 2) S = 2. ( 3 (32 2.2)). (1 + 2) = 2. 3 2 11. (1 + 2) S = 2. ( 3 (2 3.2 3.2 3.2 2 )). (1 + 2) = 2.2.2.2. 3 4.(1 + 2) S = 1. 3 4.(1 + 2. 2) V= ⅓.S p.v = ⅓.π.r 2.v S= S p + S pl = π.r 2 + π.r.s = π.r.(r + s) s (dĺžka strany kužeľa) = (r 2 + v 2 ) KUŽEĽ
S kužeľa = 235,5cm 2 Osový rez kužeľa je rovnostranný trojuholník V =? cm 3 v = ( s 2 r 2 ) s = 2.r S = π.r.(r + s) V = ⅓.π.r 2.v v = ((2.r) 2 r 2 ) S = π.r.(r + 2.r) V = ⅓.π.4,99.8, v = (4.r 2 r 2 ) 235,5 = π.3.r 2 V = 225,4 cm 3 v = (3.r 2 ) r = 4,99cm v = 8, cm PRAVIDELNÝ IHLAN V = ⅓.S p.v S = S p + S pl a = 3 s = S =?
v 1 = ( 3 2 1,5 2 ) S = S p + S pl v s = ( 2-1,5 2 ) v 1 = (9 9/4) S = 3. (27/4). + 3. (135/4). v s = (135/4) v 1 = (27/4) 2 2 S = 9. (27/4) + 3. (135/4) S pl = 3. (135/4) S p = 3. (27/4) S = 9. 3 + 9. 15 2 2 2 2 S = 9.(3. 3 + 1. 15) 2 2 S = 9.(3. 3 + 15) 2 PRAVIDELNÝ KOLMÝ HRANOL V = S p. V S = 2.S p + S pl a = 4 v = V =?
S =? v 1 = (4 2 2 2 ) V= S p.v S = 2.S p.v v 1 = 12 V = 2.. 12. S = 2.2.. 12 +.4. V = 3.4. 3 S = 2.24. 3 + 144 S 1 = 4. 12 V = 144. 3 S = 48.( 3 + 3) 2 S 1 = 2. 12 r = a = 4 S 1 = 4. 3 V = S p. v = π.r 2.v S = 2.S p + S pl = 2.π.r 2 + 2.π.v = 2.π.r.(r + v) VALEC Plynojem tvorí valec vysoký 1m s priemerom 28m, Ktorý je hore uzavretý guľovým vrchlíkom, stred guľovej plochy leží 4 m pod dnom valca. Aký je objem plynojemu? v = 1m r = 28m stred guľ. plochy = 4m od dna valca V =? m 3
d 2 = ( 1 + 4) + 14 2 v 2 = d ( S 2 S 1 + S 1 S ) d = 59 v 2 = 24,4-20 d = 24,4m v 2 = 4,4 m d = v 2 + S 2 S 1 + S 1 S V = Vvrchlíka + Vvalca V = π.v 2.(3.ρ 2 + v 2) + π.r 2..v V = π.4,4.(3.14 2 + 4,4 2 ) + π.14 2.1 V = 11 20m 3 GUĽA V= 4/3.π.r 3 S= 4/3π.r 2 S = S p + S pl = πρ 2 + 2.π.r.v V = π.v.(3ρ 2 + v 2 ) Guľový odsek (vrchlík)
v výška odseku ρ polomer podstavy odseku Q stred podstavy odseku S p obsah podstavy odseku S pl obsah guľového vrchlíka Guľová vrstva V = π.v. (3ρ 1 2 + ρ 2 2 + v 2 ) S = S p1 + S p2 + S pl = π.(ρ 1 2 + ρ 2 2 ) + 2.π.r.v r = 10cm v guľ. vrchlíka = cm S,V guľ. vrchlíka =?
S = 2.π.r.v S = 2.π.10. ρ 2 = (10 2 4 2 ) S = 120π cm 2 ρ 2 = 84 cm V = π.v. (3ρ 2 + v 2 ) V = π.. (3( 84) 2 + 2 ) V = π.(3.84 + 3) V = 288π cm 3 r 1 = ρ 1 = 7 cm V = π.v. (3ρ 2 1 + 3ρ 2 2 + v 2 ) r 2 = ρ 2 = 5 cm v = 2cm V =π.2.(3.7 2 + 3.5 2 + 2 2 ) V =? cm 3 V = 452.π cm 3 siete telies sú na: http//mathworld.wolfram.com/johnsonsolid.html.