Egyptská matematika

Prepis

1 Grécka matematika helenistické obdobie História matematiky Ingrid Semanišinová

2 Helenistické obdobie ( p.n.l) V období helenizmu sa grécky živel rozšíril ďaleko na východ, kde existovali v Ázii a v Egypte veľké štáty s gréckou vládnucou vrstvou a s mnohými gréckymi mestami (macedónsky panovníci Filip II. a jeho syn Alexander Veľký). Po smrti Alexandra Veľkého Ptolemaiovci, zakladateľ Sotér hlavné mesto Alexandria, založenie strediska vedy, vzdelania a umenia Múzeión. Významné obdobie antickej kultúry. V ekonomike, v sociálnom a politickom zriadení i v kultúre sa prelínali civilizačné prvky grécke s orientálnymi. Helenizmus prenikal aj do západného Stredomoria a pôsobil nielen na Grékov sicílskych a juhotalianskych, ale aj na Kartágo a Rím.

3 Stredisko vedy, vzdelania a umenia Múzeión v Alexandrii Pestovala sa tu filozofia, filológia, zemepis, prírodné vedy, medicína, astronómia a matematika. Bola tu botanická a zoologická záhrada, hvezdáreň, pitevne a chýrna knižnica. Knižnica Euklidove dielo Základy (Stoicheia) - najprekladanejšia a najvyhľadávanejšia vedecká kniha v dejinách. Dva piliere, na ktorých bolo dielo Základy založené: Platónova teória ideí Aristotelova logika

4 Platónova teória ideí Existujú dve skutočnosti: 1. Javová, premenlivá, poznávaná zmyslami. 2. Nadjavová, nemenná, poznávaná rozumom svet ideí. Svet ideí dokonalý významné miesto prislúcha geometrii napomáha duši prenikať bližšie k bytiu a odhliadať od neužitočného diania, učí dušu spomínať na svet ideí, z ktorého prišla.

5 Geometria teória vesmíru Platónske telesá pravidelné mnohosteny Štvorsten oheň Kocka zem Osemsten vzduch Dvanásťsten vesmír Dvadsaťsten voda Oheň, voda, vzduch, zem základné zložky sveta zložené z atómov, ktoré majú tvar pravidelných mnohostenov.

6 Aristotelova logika Aristoteles učiteľ Alexandra Veľkého, tvorca množstva vedeckých diel, ktoré sa pre stredovek stávajú absolútnou autoritou antickej vzdelanosti. Príčina vzniku logiky potreba čeliť morálnemu rozkladu, ktorý po Grécku šírili sofisti (učili ako chytráctvom preškriepiť protivníka, aj keď je pravda na jeho strane, napr. Sokrates je biely, biela je farba, Sokrates je farba. a pod.). Aristoteles vedeckou analýzou nachádza zákony správneho usudzovania a argumentácie.

7 Aristotelova logika Dnešná logika formalizovaná, axiomatizovaná, Aristotelova logika je ľudská spätá s psychikou človeka, s jeho predstavami, spôsobmi myslenia, s komunikáciou. Základný stavebný kameň pojem (logos), vedomie človeka si vytvára pojmy abstrakciou. Rôzni ľudia rôzna predstava o pojme potreba presného vymedzenia pojmov.

8 Aristotelova logika Treba dbať, aby vymedzenie pojmu a) používalo iba slová známe a dobre vymedzené, b) začínalo zaradením vymedzovaného pojmu do najbližšieho rodu, c) nevynechala sa žiadna z podstatných podmienok, d) neuvádzala sa žiadna nepodstatná, či dokonca rušivá podmienka. Existujú 3 úrovne poznania: 1. Zmyslové vnímanie (má ho iba živá bytosť) 2. Skúsenosť (vznikla zjednotením mnohých rovnakých vnemov uchovaných v pamäti) 3. Vedenie (pozná začiatok i dôvod veci a odlišuje človeka od zvieraťa) Skúsení ľudia vedia, že niečo je a vedúci vedia aj to, prečo to je.

9 Aristotelova logika Cesta poznania princípov od jednoduchého k všeobecnému indukcia. Tieto princípy sa zdôvodňujú usudzovaním dedukcia. Ak pri zdôvodňovaní ukážeme, že nový princíp je dôsledkom už overených princípov dôkaz. Nástrojom týchto operácií je sylogizmus. Nie každé tvrdenie je dokázateľné axióma (spoločné a vlastné) Hypotéza tvrdenie, ktoré hoci nebolo dokázané je oboma diskutujúcimi uznané. Postulát tvrdenie, ktoré žiak od učiteľa prijal ako pravdivé, hoci sám nemá o ňom vedomosť, či má vedomosť inú.

10 Euklidove základy Jedna strana z prvého vydania Euklidových základov, publikovaných v latinčine v r

11 Posledné vydanie Základov (v českom jazyku) Eukleides; komentované Petrem Vopěnkou: Základy - Knihy I-IV

12 Euklidove základy 13 kníh 1. kniha: Základné vety planimetrie 2. kniha: Obsahy trojuholníkov a štvoruholníkov (zlatý rez, kosínusová veta, útvary s rovnakým obsahom) 3. kniha: Kruh a kružnica (Talesova veta, stredový a obvodový uhol, mocnosť bodu ku kružnici) 4. kniha: Konštrukcie pravidelných n-uholníkov 5. kniha: O pomeroch (pomer nie je číslo, ale kvantitatívny vzťah dvoch veličín) 6. kniha: Podobnosť a obsahy 7. kniha: Prirodzené čísla, deliteľnosť 8. kniha: Spojité úmery (v podstate ide o špeciálne konečné geometrické postupnosti) 9. kniha: Teória parity a prvočísla (napr. Prvočísel je nekonečne veľa) 10. kniha: Teória kvadratických iracionalít 11. kniha: Základné vety stereometrie 12. kniha: Objemy 13. kniha: Platónske telesá

13 Euklidove základy - pojmy Bod je to, čo nemá časti. Čiara je dĺžka bez šírky. Koncami čiary sú body. (viaže navzájom zavedené pojmy) Priama čiara je tá, ktorá je rovnaká ku svojim bodom. (priamka, ktoré je však len potencionálne, nie aktuálne, nekonečná).... Euklidove pojmy sú, z hľadiska dnešných vedomostí, dosť nepresné. Pracuje však s nimi veľmi presne a myšlienkovo čisto. Miera presnosti pojmov je závislá od stupňa vyspelosti subjektu a doby.

14 Euklidove základy postuláty (vlastné axiómy) 1. Viem od každého bodu ku každému bodu viesť priamu čiaru. 2. A ohraničenú priamku nepretržite priamo predlžovať. 3. A s každým stredom a polomerom opísať kruh. 4. A všetky pravé uhly rovnaké sú navzájom. 5. A ak na dve priamky priamka padla tak, že vnútorné uhly po jednej strane dvoch pravých menšie tvorí, tak predĺžené tie dve priamky neobmedzene, schádzajú sa na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.

15 Euklidove základy axiómy (spoločné) 1. Tomu istému rovnaké aj navzájom rovnaké sú. 2. Ak k rovnakým rovnaké sa pridajú, aj celky budú rovnaké. 3. Ak od rovnakých rovnaké sú odňaté, aj zvyšky budú rovnaké. 4. Ak k nerovnakým rovnaké sa pridajú, aj celky budú nerovnaké. 5. Toho istého dvojnásobky rovnaké sú navzájom. 6. Toho istého polovice rovnaké sú navzájom. 7. Navzájom sa kryjúce rovnaké navzájom sú. (Vyhýbal sa jej použitiu vyhýbal sa pojmu pohyb) 8. Celok je väčší ako časť. (Dve polpriamky? sú rovnaké podľa 7 alebo sa kryjú? nie je to jasné. Polpriamka nie je z pohľadu Euklida veličina (nie je konečná) axiómy 7 a 8 sa na ňu nevzťahujú.) 9. Dve priamky priestor neohraničujú. (Je to skôr postulát netýka sa veličín ale planimetrie.)

16 Euklidove základy na internete ents/toc.html

17 Čo Euklidovi uniklo Euklides mlčky predpokladal pravdivosť niektorých tvrdení, napríklad: Priamka prechádzajúca stredom kruhu musí tento kruh pretínať. Priamka, ktorá pretína jednu stranu trojuholníka a pritom neprechádza žiadnym z jeho vrcholov, musí pretínať jednu z jeho ďalších strán. Ak sú dané tri rôzne body na rovnakej priamke, tak sa jeden z nich nachádza medzi zvyšnými dvoma bodmi.

18 5. postulát (postulát rovnobežnosti) Jeho história je jedna z najvzrušujúcejších častí histórie matematiky. Je použitý iba v tvrdení 29 v knihe 1. Pokusy o odvodenie postulátu z predchádzajúcich štyroch alebo sformulovať všeobecnejší, z ktorého by ho bolo možné vydedukovať. Ekvivalentné vyjadrenia: Danou priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, môžeme viesť práve jednu rovnobežku s danou priamkou. Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežiek, tak musí pretínať aj druhú. Rovnobežky sú všade rovnako vzdialené. Súčet uhlov v trojuholníku sa rovná 180 o. Plocha trojuholníka môže byť ľubovoľne veľká. Tri body ležia buď na jednej priamke alebo na kružnici.

19 5. postulát (postulát rovnobežnosti) Euklidovská geometria zachytáva spôsob, akým ľudia vnímajú svet. Trvalo 2000 rokov kým sa matematici zriekli intuície, ktorá im navrávala, že euklidovská geometria je geometriou našeho vesmíru. Vynechanie piateho postulátu vznik neeklidovských geometrií 19. storočie.

20 Archimedes Narodil sa 287 p.n.l. v Syrakúzach vo východnej Sicílii. Pochádzal zo šľachtickej, nie veľmi bohatej ale vzdelanej rodiny, jeho otec Feidias bol grécky astronóm. Študoval v Alexandrii, matematiku sa učil u nasledovníkov geometra Euklida. Po návrate do Syrakúz svoj život zasvätil výskumom a pokusom, bádal v matematike a mechanike a výsledky chcel zužitkovať v praxi, zaoberal sa objavovaním a konštruovaním mechanizmov a strojov, geometria ho uchvátila natoľko, že zabúdal na jedlo a osobnú hygienu.

21 Archimedes Meranie kruhu

22 Archimedes Meranie kruhu Pomer obsahu kruhu a štvorca priemeru je približne rovný pomeru 11 ku 14. Daný je štvorec ABCD. Do neho vpíšeme kruh, ktorého priemer je rovný strane štvorca. Veľkosť DG je dvojnásobok veľkosti CD a veľkosť GH je 1/7 z veľkosti CD. Obsah kruhu je rovný obsahu trojuholníka ACH

23 Archimedes Meranie kruhu Vzťah medzi obvodom kružnice a obsahom kruhu Obsah kruhu je rovný obsahu pravouhlého trojuholníka, v ktorom je jedna odvesna rovná polomeru a druhá je rovná obvodu kružnice.

24 Archimedes Kvadratúra paraboly Exhaustačná metóda Metóda pochádza od Eudoxa z Knidu, žiaka Platónovej akadémie

25 Archimedovské telesá

26 Archimedovské telesá

27 Výsledok: Počet zŕn piesku vo vesmíre bude menší ako Archimedes a počítanie zrniek piesku Aby Archimedes dokázal kráľovmu synovi Gelonovi, že sa dá vytvoriť ľubovoľne veľké číslo, spočítal koľko zrniek piesku by zaplnilo vesmír. Za základ číselné sústavy berie číslo Čísla do 10 8 považuje za prvé čísla. Číslo 10 8 za jednotku druhých čísel a tak až do čísla (10 8 ) Všetky tieto čísla tvorili 1. periódu, za ktorou nasledovala druhá. Archimedove predpoklady (zámerne používal horný odhad): Zem má obvod stadií = km Polomer Slnka je 30x väčší ako polomer Zeme Vzdialenosť Zem Slnko je 5 miliard stadií = km Priemer sfér stálic (hviezd) je x väčší ako vzdialenosť Zem Slnko Do zrnka maku sa vojde zrniek piesku Na šírku palca sa vojde 40 zŕn maku

28 Archimedov zákon Na žiadosť kráľa Hieronoma mal zistiť, či je zhotovená koruna z čistého zlata. Keďže mala množstvo lístkov a nepravidelný tvar bolo zložité zistiť objem. Pri kúpaní sa si všimol nadľahčovanie svojho tela Archimedov zákon: Teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované vztlakovou silou, ktorej veľkosť sa rovná tiaži kvapaliny s rovnakým objemom, ako je objem ponorenej časti telesa.

29 Nekonečná skrutka Videl chudobných roľníkov v Egypte pri zavlažovaní polí. Obrovská špirála v drevenom valci, pri otáčaní posúvala skrutka vodu pozdĺž svojho závitu, pričom sama vpred nepostupovala. Ako prvý ju popísal Archimedes Archimedova skrutka. Dlho však nikoho nenapadlo skrutku využiť nielen na čerpanie vody, ale aj na upevňovanie.

30 Nekonečná skrutka V 16. storočí sa začali vyrábať klince so závitom, ktoré lepšie držali Skrutky sa začali všeobecne používať na upevňovanie až na konci 18. st.

31 Archimedes ďalšie vynálezy Teória páky Dajte mi pevný bod a ja pohnem zemou! Kladkostroj Konštrukcia vojnových strojov Archimedes vraj použil na zapálenie nepriateľských lodí obrovské zrkadlá

32 Nerušte moje kruhy! ( Noli mutare circulos meos! ) Iná tradovaná varianta: Nedotýkajte sa mojich kruhov! ( Noli tangere circulos meos! ) Zabil ho rímsky vojak, ktorý nevedel, že ide o významného človeka. Na Archimedov hrob bola položená doska s rytinou predstavujúcou guľu vo valci. Objav, ktorý si najviac cenil bol vzťah medzi objemom a povrchom gule a jej opísaného valca.

33 Edouard Vimont ( ) Archimedova smrť

34 Eratostenes ( p.n.l.) Významný astronóm a matematik, priateľ Archimeda, knihovník v Alexandrii. Vytvoril základy geografie ako samostatnej vedy. Ako prvý začal používať označenie zemepisná šírka a zemepisná dĺžka. Prvý určil reálnu veľkosť Zeme. Eratostenovo sito metóda hľadania prvočísel

35 Eratostenes ( p.n.l.) Meranie obvodu Zeme

36 Apollonius z Perge: Kužeľosečky Jediná jeho zachovaná práca je kniha Conicorum Pozostáva z 8 kníh. Prvé 4 knihy - pojednávajú o základných vlastnostiach kužeľosečiek. Piata kniha - v nej Apollonius skúma normály vedené z rôznych bodov ku kužeľosečkám. Šiesta kniha - vyšetruje zhodné a podobné rezy na dvoch kolmých podobných kužeľoch. Siedma kniha - bola prípravou k stratenej ôsmej knihe.

37 Apollonius z Perge: Kužeľosečky Zaviedol názvy kužeľosečiek elipsa, parabola, hyperbola.

38 Apolloniove úlohy Nech sú dané tri predmety, z nich každý môže byt bodom, priamkou alebo kruhom. Má sa narysovať kruh, ktorý prechádza každým z týchto bodov (ak sú dané len body) a dotýka sa daných priamok alebo kruhov.

39 Apolloniove úlohy Prípad: kružnica, kružnica, kružnica

40 Domáca úloha Do kruhu s polomerom 1 sú postupne vpísané pravidelné mnohouholníky s počtom strán 12, 24, 48 a 96. Dokážte, že pre veľkosti ich strán platí: Na základe uvedeného určte približnú hodnotu čísla π.