Kedy sa predné koleso motorky zdvihne?

Kedy sa predné koleso motorky zdvihne? Samuel Kováčik Commenius University samuel.kovacik@gmail.com 4. septembra 2013 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 1 / 23

Bojový plán Čo budeme chcieť dosiahnuť Budeme chcieť vedieť povedať (po zadaní parametrov ako hmotnosť motorky, poloha ťažiska atď...) či sa motorka pri danom momente sily od motoru zdvihne, začne prešmykovať, alebo normálne vyštartuje. Čo budeme potrebovať? 1 Fyzikálny model opisujúci motorku. 2 Vedieť ako z tohoto modelu zistiť čo sa bude s motorkou diať. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 2 / 23

Fyzikálny model motorky Prvá otázka, ktorá stojí pred nami : ako presný model potrebujeme? Preč sa vôbec uskromňovať? Čím je model presnejší, tým sa ťažšie zostavuje a horšie sa s ním pracuje. Nie úplne presné, ale pre naše potreby dostatočné riešenie dokážeme získať aj z jednoduchšieho modelu. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 3 / 23

Aký presný model zvoliť Vrelo odporúčný postup 1 Skonštruuj najprimitívnejší model. 2 Opisuje žiadané javy? a 3 Ak áno, tak sa teš, ak nie, rozšír svoj model a vráť sa na krok 2. a Niekedy sa to dá vidieť, niekedy to treba spočítať. Na čo je to dobré? Nebudeme mať zbytočne komplikovaný model. Ľahšie sa to naučíme na niečom jednoduchšiom a lepšie pohochopíme čo tam zohráva akú úlohu. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 4 / 23

Fyzikálny model moterky Na základe V.O.P., aký presný model potrebujeme? Asi takýto Model Motorka je tvorená z troch tuhých telies Dve voľne otáčajúce sa kolesá pripevnenú na trup Zadné koleso je roztáčané momentom sily M m (t) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 5 / 23

Fyzikálny model moterky Pohyb motorky opisujeme klasickou mechanikou, treba zadať sily, momenty síl a pomocou nich zistíme, ako sa motorka pohybuje. Aké sily teda na motorku pôsobia? 1 1 Sila je trojrozmerný vektor F. Ak si ale uvedomíme, že tretí smer je pre nás nepodstatný môževe uvažovať len o horizontálnej a vertikálnej zložke síl. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 6 / 23

Fyzikálny model motorky Q : A čo teraz? A : Teraz treba napísať rovnice opisujúce daný model. Q : No dobre, koľko? A : Koľko treba. x + y = 1 x y = 1 x + y + z = 1 x y + 2z = 1 x + y = 1 x y = 1 x 2y = 0 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 7 / 23

Fyzikálny model motorky Neznáme Sily : Vertikálne N 1 (t), N 2 (t), horizontálne F 1 (t), F 2 (t), F (t) a momenty síl roztáčajúce kolesá M 1 (t), M 2 (t). Ak poznáme tieto sily, tak poznáme zrýchlenie (F = ma) a vieme opísať ako sa motorka hýbe. Rovnako zo síl vieme vyčítať, či sa nezačne prešmykovať, alebo sa nezdvihne dáke koleso. Dokopy chceme teda určiť 7 veličín a potrebujeme tak 7 rovníc. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 8 / 23

Fyzikálny model motorky Prvá je jednoduchá : F (t) = F 1 (t) + F 2 (t) (1) Teda slovne : celková sila zrýchlujúca motorku je súčet sily pôsobiacej na predné a na zadné koleso. Druhá je tiež jednoduchá, motorka nezrýchluje vo vertikálnom smere a normálové sily musia byť v rovnováhe s tiažovou silou. mg = N 1 (t) + N 2 (t) (2) (note : len jedna strana rovnice závisí od času, je to v poriadku?) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 9 / 23

Fyzikálny model motorky Čo prispieva do momentu síl, ktoré roztáčajú každé koleso? Vertikálna sila pôsobiaca v bode dotyku kolesa a zeme M = F r +... Normálová sila má pri tuhom kolese nulový moment. Ak sa ale koleso deformuje, normálová sila je mierne posunutá a má nenulový moment M = F r + N ε +... Na zadné koleso ešte pôsobí moment sily od motoru M m M 1 (t) = F 1 (t)r 1 + N 1 (t)ε, M 2 (t) = F 2 (t)r 2 M m (t) + N 2 (t)ε (3) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 10 / 23

Fyzikálny model motorky Aký je vzťah medzi rýchlosťou akou sa hýbe motorka a uhlovou rýchlosťou, akou sa otáča koleso? v = ωr medzi zrýchlením motorky a uhlovým zrýchlením kolesa ω je samozrejme rovnaký vzťah a = ωr Zrýchlenie motorky je dané celkovou silou a = F m a uhlové zrýchlenie je dané celkovým momentom síl na danom kolese ω = M I, kde I je tzv. moment zotrvačnosti. Spolu teda F = mmr I Toto ale platí pre obe kolesá F (t) = mm 1(t)r 1 I 1, F (t) = mm 2(t)r 2 I 2 (4) Tieto rovnice spájajú celkovú silu s momentami síl na daných kolesách. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 11 / 23

Fyzikálny model motorky Poslednú rovnicu dostaneme z toho, že motorka sa (ako celok) neotáča (kým sa nedvihne na zadné koleso). Momenty síl, ktoré na ňu pôsobia musia byť v rovnováhe M m (t) + F z (t)h + N 1 (t)l mgd = 0 (5) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 12 / 23

Fyzikálny model motorky 7 rovníc pre 7 neznámych F (t) = F 1 (t) + F 2 (t) mg = N 1 (t) + N 2 (t) M 1 (t) = F 1 (t)r 1 + N 1 (t)ε M 2 (t) = F 2 (t)r 2 M m (t) + N 2 (t)ε F (t) = mm 1(t)r 1 I 1 F (t) = mm 2(t)r 2 I 2 mgd = M m (t) + F z (t)h + N 1 (t)l Teraz stačí zadať M m (t) a vieme spočítať všetky sily a ich momenty, ktoré na motorku pôsobia. Ako z toho vyčítame, čo sa s motorkou deje? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 13 / 23

Kedy sa začne koleso prešmykovať? Statické trenie Ak sa koleso neprešmykuje tak platí, že akou silou koleso tlačí o zem, takou silou tlačí zem o koleso Táto podmienka platí len po istú hranicu danú koeficientom šmykového trenia µ Šmykové trenie µn i F i R i = µn i F i 0, i = 1, 2 Ak sa koleso prešmykuje, tak zem pôsobí na koleso silou danou koeficientom šmykového trenia µ s. F (t) = mm i(t)r i F i = µ s N i I i Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 14 / 23

Kedy sa koleso zdvihne? Toto je jednoduché : vtedy, keď normálová sila na ňom klesne na nulu (a začala by byť záporná). Postup analýzy 1 Zvolíme počiatočné podmienky (napríklad motorka stojí) 2 Zadáme priebeh momentu sily od motora M m (t) 3 Pozeráma či sa jedno z kolies nazačne prešmykovať, alebo sa nezdvihne. 4 Ak sa koleso začalo prešmykovať, tak musíme (od daného momentu) zahodiť rovnice pre otáčajúce koleso a nahradiť ju rovnicou pre prešmykujúce koleso (ukazovali sme si ako) 5 Ak sa koleso zdvihne, tak musíme (od daného momentu) nahradiť rovnice rovnicami pre motorku idúcu na jednom kolese (neukazovali sme si ako) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 15 / 23

Ukážka analýzy pohybu Parametre dákej náhodnej motorky z internetu + priebeh momentu lineárny od času M m (t) = M 0 t (na začiatku nič, za 1 sekundu ide na maximum) Vidíme, že v čase cca t = 0.62s sa predné koleso začne prešmykovať - treba zmeniť rovnice. Ak by nezačalo, tak by sa v cca t = 0.62s zdvihlo. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 16 / 23

Ukážka analýzy pohybu Extrémny prípad na jednom kolese: extra neprešmykujúce gumy, veľmi silný motor Motorka uletela :) (kvôli odstredivej sile) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 17 / 23

Kam sa motorka dostane za 1 sekundu? Úloha : poznáme zrýchlenie v každej sekunde. Ako zistíme kam sa motorka (alebo auto, lietadlo, Usain Bolt,...) dostane za jednu sekundu (alebo ľubovoľný iný čas?) Note : vzťah s = 1 2 at2 + v o t platí len pre pohyb s konštantným zrýchlením. Naše zrýchlenie sa ale s časom mení. Aby sme to zistili, treba si najprv urobiť jasno v tom, čo je to okamžitá rýchlosť (resp. okamžité zrýchlenie). Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 18 / 23

Za koľko Bolt zabehne stovku? Q : Akou rýchlosťou zabehne zabehne Bolt stovku? A : v = s/t = 100m/9.58s. = 10.43ms 1 Q : Akú najvyššiu rýchlosť dosiahne Bolt na stovke? A : v max =??? Ako to zistiť? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 19 / 23

Na koľko to Bolt vytiahne na stovke? Nápad : Na každý meter trate postavíme časomerača, on nám zmeria za koľko zabehol ktorý meter. Získame tak jeho rýchlosť na každom metri v i = 1m T i a z nich vybereme tú najvyššiu rýchlosť. Čo ak chceme väčšiu presnosť? Nahráme to na film a budeme si to púštať po snímkoch. Okamžitá rýchlosť sa teda dá definovať ako v = s i x(t + t) x(t) =, t 0 T i t Z fyzikálneho pohľadu stačí, aby bolo t veľmi malé, z matematického hladiska je t nekonečne malé. Fyzikálne povieme, že hľadáme okamžitú rýchlosť bežca, matematicky povieme, že hľadáme deriváciu jeho polohy podľa času, ozn. v(t) = ẋ(t). Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 20 / 23

To isté, ale presne naopak v = x(t + t) x(t) t, t 0 Čo ak dostaneme zadanú rýchlosť v každom okamžiku v(t) a máme zistiť kam sa dostane za 10 sekúnd? Stačí obrátiť vzorec a vybrať dáky malý časový krok, napr = 0.001s Postup : x(t + t) = x(t) + t v(t) 1 Zadáme polohu v čase t = 0s a pripočítame koľko sa podľa rýchlosti v(0s) posunul za prvú tisícinu sekundy. 2 K tejto hodnote pripočítame koľko sa podľa rýchlosti v(0.001s) posunul za druhú tisícinu sekundy. 3 atď, 10 000 krát. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 21 / 23

Kam dobehne Bolt za 10 sekúnd x(0s) = 0m x(0.001s) = 0m + 0.001s 0.3ms 1 x(0.002s) = 0.003m + 0.001s 0.31ms 1... x(10s) = 101.3m + 0.001s 10.3ms 1 = 101.3103m Čo ak ale nepoznáme rýchlosť, ale zrýchlenie? Nič extra : tak ako je rýchlosť derivácia polohy, tak je zrýchlenie deriváciou rýchlosti. V každom kroku si teda najprv spočítame ako sa zmenila rýchlosť (pomocou zadaného zrýchlenia) a pomocou toho spočíme, koľko sa za daný úsek posunul bežec. v(0s) = 0ms 1, x(0s) = 0m v(0.001s) = (0 + 0.001s 5)ms 1 = 0.005ms 1 x(0.001s) = (0 + 0.005 0.001)m = 0.00005m Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 22 / 23

Pár slov na záver Okrem toho, že vieme povedať, kedy sa koleso začne prešmykovať, alebo sa zdvihne, už teraz aj vieme vypočítať (keď si najprv spočítame zrýchlenia v každom čase) kam sa motorka stihla dostať. Ako sme si povedali rýchlosť (zrýchlenie) sú prvou (druhou) deriváciou polohy podľa času. Proces, kedy sme z nich spätne reprodukovali polohu x(t) sa volá riešenie diferenciálnej rovnice. Úloha fyzika býva dvojaká : 1 Treba opísať fyzikálny systém (čo bežne znamená napísať pre neho diferenciálne rovnice + podmienky) 2 Treba z neho vytiahnuť informácie (čo často znamená nájsť riešenie týchto rovníc) Ďakujem za pozornosť Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 23 / 23