O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
Obsah 1 Úvod 2 Potenciálna energia vonkajších síl 3 Potenciálna energia vnútorných síl 4 Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Voľba konečného rovinného elementu 5 Záver
Obsah 1 Úvod 2 Potenciálna energia vonkajších síl 3 Potenciálna energia vnútorných síl 4 Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Voľba konečného rovinného elementu 5 Záver
Obsah 1 Úvod 2 Potenciálna energia vonkajších síl 3 Potenciálna energia vnútorných síl 4 Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Voľba konečného rovinného elementu 5 Záver
Obsah 1 Úvod 2 Potenciálna energia vonkajších síl 3 Potenciálna energia vnútorných síl 4 Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Voľba konečného rovinného elementu 5 Záver
Obsah 1 Úvod 2 Potenciálna energia vonkajších síl 3 Potenciálna energia vnútorných síl 4 Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Voľba konečného rovinného elementu 5 Záver
Úvod Rozoznávame dva druhy síl: 1 sily vonkajšie - deformáciu vyvolávajú. Tie môžeme rozdeliť na: sily objemové (tiaž Zeme, zotrvačné sily apod.). Tieto sily sú funkciou hmotnosti a sú uzavreté v určitom geometrickom tvare, sily povrchové (zaťaženie, reakcia apod.). Sú to najmä sily, ktoré vznikajú pri kontakte jedného telesa (prvku) s iným. 2 sily vnútorné - spôsobujú deformáciu. Vznikajú pôsobením vonkajších síl, napr. pôsobením napätia apod.
Potenciálna energia vonkajších síl Vychádzajme z vyjadrenia d Alambertovho princípu virtuálnej práce: ( ) F m 2 u t 2 δu = 0 (1) a s uvážením ľubovoľnej hodnoty objemu V deformovaného telesa môžeme pre celé teleso definovať rovnicu: S a ds + ρ b dv V V Táto rovnica je tzv. bilančnou rovnicou a obsahuje: ρ 2 u dv = 0. (2) t2
Potenciálna energia vonkajších síl S... povrch skúmaného telesa, a... je vektor vonkajšieho povrchového zaťaženia, b... je vektor vonkajšieho objemového zaťaženia, ρ... je hustota deformovanej hmoty, üüü... je okamžité zrýchlenie bodu telesa. V prípade statického prípadu, kedy üüü = 0 môžeme predchádzajúci integrál prepísať do tvaru: div(a) + ρb = 0. (3) Vychádzame z predpokladu, že rovnica 2, ktorá platí pre teleso ako celok, musí platiť aj pre každú jeho časť.
Potenciálna energia vonkajších síl V konečnom výsledku teda po definovaní virtuálneho posunutia δu a doplnením do rovnice 2 odvodíme vyjadrenie vonkajšej potenciálnej energie: W vo = S a u ds + ρ b u dv (4) V
Potenciálna energia vnútorných síl Predpokladajme: [ ] 1 div(σ)δu = div(σ) 2 (δu δut ) = div(σ)δε. V prípade lineárnej elasticity vyjadríme vzájomný vzťah medzi tenzorom napätia σ a tenzorom pretvorenia ς: σ = D ε, Pričom matica D sa nazýva modul pružnosti a v prípade maticového zápisu platí:
Potenciálna energia vnútorných síl D = E (1 + μ)(1 2μ) 1 μ μ μ 0 0 0 μ 1 μ μ 0 0 0 μ μ 1 μ 0 0 0 1 2μ 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2μ 2 0 1 2μ 2, pričom E je Youngov modul pružnosti μ je Poissonové číslo.
Potenciálna energia vnútorných síl Uvažujme opäť statický prípad. Rovnicu 2 môžeme potom vyjadriť v tvare: W vn = 1 εdε T dt (5) 2 Rovnica 5 vyjadruje potenciálnu energiu vnútorných síl. V
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Numerický výpočet v inžinierskom poňatí spočíva v rozložení konštrukcie, časti povrchu alebo iného študovaného predmetu na konečný počet malých častí, ktoré majú jednoduché geometrické tvary prvky. Formulujeme podmienky, ktoré nám zaručia interakciu spoločných prvkov tak, aby vytvorili spojitý celok. Z podmienok sa vypočítajú neznáme silové alebo deformačné faktory. Tvar prvku môže významne ovplyvniť presnosť numerického výpočtu.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Požadujeme, aby na jednotlivých prvkoch boli definované polynómy, ktoré aproximujú priebeh neznámych premenných. Uzly body, ktoré charakterizujú vrcholy prvkov alebo iné vhodne zvolené body. Uzlové parametre funkčné hodnoty v týchto bodoch. Konečný prvok potom definujeme ako trojicu čísel (p, P, ), p je prvok rozkladu, P je priestor polynómov definovaných na p, je množina uzlových parametrov.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí,s, je časť zemského povrchu, ktorá podlieha deformácií. Každý bod, ktorý leží v ploche S je vyjadrený v pravouhlých súradniciach. Deformačné sily: b = b(x, y, z) objemové sily, a = a(x, y, z) povrchové nepätia. Vektor posunov: u = u(x, y, z). Bilančná rovnica pre statický prípad prepísaná do tvaru: C T σ + ρb = 0. (6)
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí V rovnici 6 vystupuje parameter C, ktorý v maticovom zápise má tvar: 0 0 x 0 0 y 0 0 C = z. 0 y x 0 z y 0 z x Tenzory σ a ε. Ich zápis vo vektorovom tvare: σ = [σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ yz, τ zx ] T, (7) ε = [ε xx, ε yy, ε zz, γ xy, γ yz, γ zx ] T. (8)
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí Virtuálne zložky posunutia a deformácie môžeme po definovaní matice C vyjadriť v tvare: δu = u δr, (9) δε = C δr. (10) Doplnením predchádzajúcich rovníc do rovnice 4 a vhodnými úpravami dostaneme: Müüü + P(σ) = f, (11) pričom M = f = P(σ) = V V V ρ N T N dv, N T b dv + C T σ dv. S ρ N T a ds,
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí V rozprave sme si definovali predpis na vyjadrenie parametra D a rovnice σ = D ε. Úpravou rovnice rovnováhy do tvaru vyjadrujúci geometrické riešenie ε Cu = 0 a doplnením do rovnice pre σ a vhodnými úpravami dostaneme: P(σ) = C T D C u dv = K u, (12) pričom V K = V C T D C dv. (13)
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Riešenie pre prípad malých deformácií a napätí V predchádzajúcich vzťahoch vystupujú: M matica hmotnosti, ktorá vznikla v dôsledku diskretizácie polí podľa princípu virtuálnych posunutí. N matica tvarových funkcií. Tvoria ju zložky vektoru posunutia u. Je určená tvarom a typom bázových funkcií. K matica tuhosti prvku. V MKP sa snažíme dosiahnuť toho, aby matica tuhosti mala priaznivé vlastnosti z hľadiska numerického výpočtu príslušnej sústavy. Dosiahneme to tak, že mnoho prvkov v matici bude nulových.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Voľba konečného rovinného elementu Prvok trojuholníkový tvar: Vektor posunu v rovine: u = [ u(x, y) v(x, y) ] (14) (a) Lineárny prvok (b) MKP - troj. prvok
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Voľba konečného rovinného elementu Zložky vektoru (14), ktoré charakterizujú posun uzlu v rovine môžu byť opísané polynómom: u(x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y v(x, y) = α 4 + α 5 x + α 6 y Študujme teda posun v smere os x, y zvoleného lokálneho súradnicového systému. Rovnicou: u = M α (15) vyjadríme voľbu náhradných funkcií pre každý smer zvoleného systému.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Voľba konečného rovinného elementu Rovnica 15 musí platiť pre pohyb každého uzlového bodu v smere x, y. Pre vektor α i : α i = S 1 r p, (16) pričom pre maticu S platí: S = 1 x u 1 y u 1 0 0 0 0 0 0 1 x v 1 y v 1 1 x u 2 y u 2 0 0 0 0 0 0 1 x v 2 y v 2 1 x u 3 y u 3 0 0 0 0 0 0 1 x v 3 y v 3 Doplnením rovnice 16 do rovnice 15 dostaneme: u = M S 1 r p = N r p. (17) Táto rovnica definuje vektor posunu pomocou posunov v jednotlivých uzloch.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Voľba konečného rovinného elementu Zohľadnením definícií vektorov napätia (σ) a pretvorenia (ε) a s ohľadom na element trojuholníka platí: σ = [σ x, σ y, τ xy ] ε = [ε x, ε y, γ xy ], K predchádzajúcemu textu platí: ε = Hα. Po doplnení do rovnice 16 dostaneme: ε = HS 1 r p, pričom pre vektor r p platí: r p = [u 1, v 1, u 2, v 2, v 3, v 3 ] T.
Metóda konečných prvkov - inžiniersky prístup Voľba konečného rovinného elementu Využijúc predchádzajúce poznámky a vyjadrením matice tuhosti K možno napísať rovnicu celkovej potenciálnej energie prvku, ktorá je daná rozdielom rovníc: W vo, W vn (po úprave): (W vn W vo ) p = 1 2 rt p K p r p F p r p. (18)
Záver Špecifickým problémom počítania deformácií zemského povrchu je množstvo ďalších premenných, ktoré k celkovému výsledku prispievajú svojimi veľkosťami (vplyv atmosférického tlaku, tiažového poľa, geologické vlastnosti hornín, podzemné vody apod.). MKP by mohla, s uvážením voľby vhodných limitných elementov, správne numericky vyčísliť hodnoty deformácií zemského povrchu, aj s uvážením započítania ďalších premenných. Predmetom ďalšieho skúmania bude možnosť zahrnúť tieto sprievodné parametre do výsledného výpočtu.
Poďakovanie Ďakujem za pozornosť