VPLYV NÁKLAOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základé pojmy Lucia Švábová 1 Poisteie zabezpečuje právo a vyplateie poistej sumy v dohodutej výške v prípade astatia poistej udalosti v priebehu trvaia poisteia. Touto poistou udalosťou sa rozumie apr. úmrtie v priebehu trvaia poisteia alebo dožitie sa určitého veku. Poistá udalosť má charakter áhodej udalosti, pri poisteí osôb sa poisťujú áhodé udalosti súvisiace so životom, úmrtím a zdravím. Medzi poisteie osôb patrí apríklad životé poisteie, a to poisteie pre prípad dožitia sa určitého veku, poisteie pre prípad úmrtia, dôchodkové poisteie, úrazové poisteie. Výpočet poistého sa riadi asledujúcimi dvoma pricípmi: 1. Pricíp fiktíveho súboru Počet osôb uzatvárajúcich vo veku te istý typ poistej zmluvy je l, pričom predpokladáme, že všetci sa arodili 1. jauára a zomreli 31. decembra. 2. Pricíp ekvivalecie Pri uzatváraí súboru poistých zmlúv toho istého typu musia byť v rámci súboru všetky príjmy poisťove (plyúce z poistého) v rovováhe s jej výdavkami (očakávaé poisté pleia), keď príjmy a výdavky sa diskotujú k spoločej časovej základi (k dátumu uzatvoreia poistej zmluvy). Úmrtosté tabuľky poskytujú základé iformácie o úmrtostom správaí sa uzavretej stacioárej populácie, pričom sa predpokladá, že edochádza k migrácii obyvateľstva, v čase sa emeí veľkosť a vekové zložeie populácie. Úmrtostá tabuľka uvádza počty osôb fiktíveho súboru, ktoré sa dožili veku 15 až 85 rokov, prípade ktoré zomreli v týchto vekoch a tiež ročú mieru úmrtosti a ročú mieru dožitia, ktoré sú odvodeé z počtu zomrelých a počtu žijúcich osôb v jedotlivých vekoch. Komutačé čísla sa počítajú z úmrtostých tabuliek a ďalej sa využívajú pri výpočte poistých súm v poisteí osôb. Medzi komutačé čísla počtu žijúcich patria 1 RNr. Lucia Švábová, Katedra kvatitatívych metód a hospodárskej iformatiky, Fakulta prevádzky a ekoomiky dopravy a spojov, Žiliská uiverzita, Uiverzitá 1, 010 26 Žilia, tel.: 5133140, e mail: lucia.svabova@fpedas.uiza.sk IV/2007 36
1 = l υ, kde čle υ = sa azýva odúročiteľ (diskotý faktor), pričom i je 1 + i poisto techická úroková miera. Toto komutačé číslo reprezetuje počet žijúcich vo veku odúročeý (diskotovaý) k ich dátumu arodeia. ω N = + + 1 + K + + ω = ω S = N + N + 1 + K N + ω = N + k + k Medzi komutačé čísla počtu zomrelých patria + 1 C = d υ, toto komutačé číslo reprezetuje počet osôb zomrelých vo veku odúročeý k dátumu ich arodeia. ω M = C + C + 1 + K + C + ω = C ω + k R = M + M + 1 + K + M + ω = M + k Použitie komutačých čísel v poistej matematike zjedodušuje všetky poisto matematické výpočty. Jedorázové etto poisté je poisté bez ákladov poisťove zaplateé pri uzatvoreí poistej zmluvy. V prai sa väčšiou poisteie eplatí jedorázovo, ale v pravidelých, apr. ročých alebo štvrťročých splátkach. Prvé poisté sa zaplatí po podpise poistej zmluvy, ide teda o predlehoté plateie a ďalšie splátky sa platia podľa toho, ako je dohoduté. Tieto jedotlivé splátky azývame bežé etto poisté. Ak vezmeme do úvahy áklady, ktoré poisťovňa vyakladá pri uzatvoreí a vedeí poistej zmluvy a budeme sa zaoberať poistým, ktoré zohľadňuje aj tieto áklady poisťove, toto poisté azývame brutto poisté. Náklady, ktoré musíme zohľadiť pri výpočte brutto poistého sa delia a: Jedorázové počiatočé áklady tieto sa ozačujú α a môžu byť vo výške 3 5 % z poistej sumy. Ide o áklady, ktoré súvisia s uzatvoreím poistej zmluvy (propagácia, provízia dealerovi atď.). Započítavajú sa do poistého. Ak je poisté plateé beže, musia sa jedorázové začiatočé áklady rozdeliť do jedotlivých splátok poistého. Správe áklady ozačujeme β, môžu byť vo výške 2 8 z poistej sumy. V týchto ákladoch sú započítaé dae, ájomé, áklady a prevádzku poisťove. Rozdeľujú sa a správe áklady β 1, ktoré sa vyakladajú počas celej poistej doby, správe áklady β 2, ktoré sa vyakladajú le počas doby plateia poistého. Ak doba plateia poistého je kratšia ako doba trvaia poisteia, tak bude β = β 1 + β 2. Ak doba plateia poistého je rovaká ako doba trvaia poisteia, tak správe áklady β sa erozkladajú a dve zložky. Ak je poisté plateé jedorázovo, tak správe áklady β 2 sú ulové, berieme do úvahy le áklady β 1. Ikasé áklady ozačujú sa γ a sú to áklady, ktoré súvisia s bežým plateím poistého. Môžu byť vo výške 1 10 % z brutto poistého. Pri poistom plateom jedorázovo sa ikasé áklady ezapočítavajú. IV/2007 37
Zmiešaé poisteie Majme ročú osobu, ktorá sa poistí tak, že ak zomrie do veku + rokov, bude jej dedičom (opráveým osobám) vyplateá dohodutá poistá suma (pre prípad úmrtia) a ak sa dožije veku +, bude jej vyplateá dohodutá poistá suma (pre prípad dožitia). Ozačíme A, ] jedorázové etto poisté pre prípad zmiešaého poisteia zložeého z dočasého poisteia a úmrtie a z poisteia a dožitie. Výška jedorázového etto poistého pre takýto typ poistej zmluvy s použitím komutačých čísel sa vypočíta podľa asledujúceho vzorca A, ] M M + + = +. Beže plateé etto poisté (plateé počas celej doby trvaia poistej zmluvy) je daé P ( A ), ] M M + + =. N N + + A akoiec vzorec pre výpočet beže plateého brutto poistého je asledujúci Po dosadeí komutačých čísel = 1 α B ( ] ) + + β P A,. 1 γ & a, ] 1 M M + + + B = 1 γ N N + + N N + α + β. Týmto modelom sa budeme ďalej zaoberať a budeme skúmať vplyv jedotlivých jeho parametrov a koečú výšku splátky brutto poistého. Aalýza modelu Pre jedoduchosť zvolíme jedotý vstupý vek osoby = 25 rokov. Výška poistej sumy bude 1 000 000 Sk a úmrtie aj a dožitie. oba trvaia poisteia bude = 35 rokov. (Vplyv poistej doby a výšku splátky ebudeme skúmať, akoľko je zrejmé, že pri rovakej poistej sume a dlhšom čase splácaia bude splátka brutto poistého ižšia. Podobe je to s výškou poistej sumy). Náklady poisťove α, β a γ zvolíme spočiatku v miimálej výške a postupe budeme meiť výšku jedotlivých ákladov pri ezmeeých ostatých parametroch poisteia. Nech teda a začiatok platí α = 3 % β = 2 γ = 1 % Vplyv parametra α (jedorázové počiatočé áklady) Ako už bolo spomeuté vyššie, áklady α súvisia s uzatvoreím poistej zmluvy a započítavajú sa do poistého. Keďže v ašom prípade ide o poisté plateé beže rokov, musia byť zahruté do jedotlivých splátok poistého. Výšku ákladov α sme postupe zvyšovali o desatiu až do α = 5 %. V asledujúcej tabuľke sú uvedeé výšky splátok bežého brutto poistého, ktoré sme takto dostali. IV/2007 38
alfa 0,03 0,031 0,032 0,033 0,034 0,035 0,036 0,037 0,038 0,039 0,04 poisté 19692 19747 19802 19857 19912 19967 20021 20076 20131 20186 20241 alfa 0,041 0,042 0,043 0,044 0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,05 poisté 20296 20351 20406 20460 20515 20570 20625 20680 20735 20790 Tabuľka 1 Výška splátky bežého brutto poistého s rôzymi ákladmi α Ako vido z tabuľky, v prípade, že si poisťovňa určí počiatočé áklady vo výške 3 %, poisteý bude platiť roče brutto poisté vo výške 19 692 Sk. Ak by sa poisťovňa rozhodla staoviť počiatočé áklady vo výške 5 %, poisteý zaplatí ročé poisté 20 790 Sk, čo predstavuje približe 6 % árast poistého. Za 35 rokov plateia poistého by rozdiel medzi týmito sumami bol vo výške 38 430 Sk. Vplyv parametra β (správe áklady) Rovako ako aj v prípade ákladov α, správe áklady β sa tiež započítavajú do bežej splátky poistého. Keďže v ašom prípade je doba trvaia poisteia aj doba plateia poistého rovaká, áklady β sa erozkladajú a dve zložky β 1 a β 2. Nasledujúca tabuľka uvádza výšku splátky brutto poistého v závislosti od ákladov β s krokom 0,5. Beta [ ] 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 poisté 19327 19832 20337 20842 21347 21852 22357 22862 23367 23873 24378 24883 25388 Tabuľka 2 Výška splátky brutto poistého s rôzymi ákladmi β Ako vido z tabuľky, áklady β majú veľký vplyv a výšku splátky poistého. Pri miimálych ákladoch β je poisté vo výške 19 327 Sk roče, pri maimálych je to už 25 388 Sk, čo predstavuje rozdiel 6 061 Sk. V priebehu 35 rokov plateia poistého je rozdiel vo výške 212 135 Sk. Vplyv parametra γ (ikasé áklady) Ikasé áklady súvisia s bežým plateím poistého a počítajú sa z brutto poistého vo výške 1 10 %. V tabuľke 3 sú uvedeé poisté sumy s rôzymi ákladmi γ. gamma 0,0100 0,0150 0,0200 0,0250 0,0300 0,0350 0,0400 0,0450 0,0500 0,0550 poisté 19039 19135 19233 19332 19431 19532 19634 19736 19840 19945 gamma 0,0600 0,0650 0,0700 0,0750 0,0800 0,0850 0,0900 0,0950 0,1000 poisté 20051 20159 20267 20377 20487 20599 20712 20827 20943 Tabuľka 3 Splátka brutto poistého s rôzymi ákladmi γ V tomto prípade je rozdiel medzi miimálou a maimálou splátkou vo výške 1 904 Sk, čo za 35 rokov plateia poistého predstavuje sumu 66 640 Sk. Porovaie ákladov Nasledujúci obrázok uvádza porovaie splátok poistého v závislosti od výšky ákladov, pričom ostaté parametre poisteia ostávajú ezmeeé. Z obrázku je zrejmé aj to, čo sme zistili porovaím jedotlivých splátok poistého a to, že áklady β majú výraze ajväčší vplyv a výšku splátky. IV/2007 39
25030,00 24030,00 23030,00 22030,00 Alfa Beta Gamma 21030,00 20030,00 19030,00 Obrázok 1 Porovaie splátok brutto poistého v závislosti od rôzych ákladov poisťove Záver Staoveie ákladov poisťove, ktoré bude táto využívať pri výpočte splátok poistého pre svojich poistecov je stále aktuálou otázkou poistých matematikov. Tieto áklady musia dostatoče pokryť všetky výdavky, ktoré poisťovňa vyakladá v súvislosti s uzatvoreím a správou poistej zmluvy. Z pohľadu poisteej osoby predstavujú emalú položku v splátke poistého, ktorú bude poisteý platiť počas dohodutej doby, ako sme mohli vidieť a modelovom príklade uvedeom v tomto čláku. Literatúra [1] ŠPIRKOVÁ, J. : Predášky a cvičeia z predmetu Poistá matematika, odbor Matematická štatistika a fiačá matematika, Fakulta prírodých vied UMB, 2003 [2] ŠPITALSKÝ, V. : Predášky a cvičeia z predmetu Poistá matematika, odbor Matematická štatistika a fiačá matematika, Fakulta prírodých vied UMB, 2004 [3] SEKEROVÁ, V, BILÍKOVÁ, M..: Poistá matematika, Vydavateľstvo Ekoóm, Bratislava, 2005. 180 s. ISBN 80 225 2001 2. IV/2007 40