Lorentzova sila a jej (zov²eobecnená") potenciálna energia Marián Fecko KTF&DF, FMFI UK, Bratislava Na predná²ke sme sa dozvedeli, ºe Lorentzova sila (pôsobiaca na bodový náboj e v danom elektrickom a magnetickom poli) nemá (oby ajnú") potenciálnu energiu, ale má zov²eobecnenú potenciálnu energiu. Tu sú detaily, ktoré sa na tej predná²ke nestihli. Obsah 1 ƒo je zov²eobecnená potenciálna energia 2 2 Lorentzova sila - najdôleºite²í príklad 3 2.1 V om spo íva úloha (ako vlastne znie otázka)............ 3 2.2 Ansatz a hlavný výpo et........................ 4 2.3 Na pomoc prichádzajú elektromagnetické potenciály........ 5 3 Väzby závislé od asu - iný príklad 6 4 Dodatky 7 A Výpo et sily pre ná² ansatz pre U 7 B ƒo sú elektromagnetické potenciály 8 e-mail: fecko@fmph.uniba.sk 1
1 ƒo je zov²eobecnená potenciálna energia Pripome me si stru ne, o to je zov²eobecnená potenciálna energia. Pracujme uº v jazyku zov²eobecnených súradníc. Pri odvodení Lagrangeovych rovníc (2.druhu") sme pri²li k ich tvaru d T dt q a T q a = Q a a = 1,..., n (1) kde T je kinetická energia sústavy, Q a je a-ta zov²eobecnená sila a n je po et stup ov vol'nosti. ƒasto sa stáva, ºe sa zov²eobecnené sily dajú vyjadrit' v tvare Q a = U(q) q a (2) Vtedy sa tie sily volajú potenciálové (alebo konzervatívne) a funkcia U(q) U(q 1,..., q n ) je (oby ajná") potenciálna energia. Ak sú na²e sily potenciálové, z Lagrangeovych rovníc (1) sa zjavne stanú rovnice d T (T U) dt q a q a = 0 a = 1,..., n (3) Ked'ºe potenciálna energia U(q) závisí len od polohy, ale nie od rýchlosti (teda od q- iek, ale nie od bodkovaných q- iek), môºeme to U(q) pokojne pridat' aj do prvého lena a dostat' d (T U) (T U) dt q a q a = 0 a = 1,..., n (4) (Do rovnice sme tým pridali nulu, takºe sme ju nezmenili.) No a ked' zavedieme Lagrangeovu funkciu (v brandºi lagranºián) ako rozdiel kinetickej a potenciálnej energie L := T U (5) dostaneme kone ný (a najznámej²í) tvar rovníc d L dt q a L = 0 a = 1,..., n (6) qa Tento tvar rovníc je zodpovedný za spústu výhod, ktoré lagranºovský formalizmus poskytuje. (Napríklad za moºnost' získavania zachovávajúcich sa veli ín cez cyklické súradnice. Nájdenie týchto veli ín býva o.i. kl'ú ové pre vyrie²enie rovníc.) Preto sme trochu smutní, ºe sa musíme obmedzit' na triedu silových polí ²truktúry (2). A to najmä po tom, o si uvedomíme, ºe sila, ktorou pôsobí na bodový náboj magnetické pole, vyzerá F = ev B eṙ B(r) F(r, ṙ) U(r) (7) 2
Posledná nerovnost' platí preto, lebo gradient funkcie polohy nemá ako získat' závislost' od rýchlosti. Preto sa zamyslíme, i by sa predsa len nedali dostat' do lagranºovského tvaru aj pohybové rovnice pre ²ir²iu triedu silových polí, ako sú polia ²truktúry (2). Zistíme, ºe dajú :-) Ak pôjdeme v na²om odvodení od konca spät', uvedomíme si, ºe rezerva sa skrýva na mieste (4). A to v tom, ºe len, ktorý sme tam pridali ako nulový, by sa tam mohol objavit' aj ako nenulový! Kedy? Keby takýto len bol pôvodne na pravej strane (samozrejme s opa ným znamienkom). ƒiºe keby mala rovnica (1) tvar d T dt q a T q a = Q a = U q a + d U dt q a a = 1,..., n (8) T.j. keby malo silové pole tvar (a nie len (2)). Funkcia Q a = U q a + d U dt q a (9) U = U(q, q) U(q 1,..., q n, q 1,..., q n ) (10) z ktorej sa silové pole Q a (q, q) po íta pomocou zloºitej²ieho vzorca (9) sa volá zov²eobecnená potenciálna energia. (Závisí teda aj od rýchlostí = bodkovaných q- iek, iná by sa (9) redukovalo na (2) :-) Silové polia ²truktúry (9) sú zjavne roz²írením triedy silových polí oproti (oby- ajným") potenciálovým poliam ²truktúry (2). Pritom e²te stále nevy erpávajú v²etky silové polia závislé od rýchlosti (pozri úlohu 3b.3 v [1]). Ostáva teda dúfat', ºe sila od magnetického pol'a v tej roz²írenej triede je. Ak by to bolo tak, celý nápad so zov²eobecnením (2) na (9) by sa zmenil z ne²kodnej akademickej hra ky na dôleºitý nástroj reálnej teoretickej fyziky, ked'ºe málokto asi pochybuje o dôle- ºitosti problému silového pôsobenia (elektrického a) magnetického pol'a na náboje pre reálny svet. 2 Lorentzova sila - najdôleºite²í príklad 2.1 V om spo íva úloha (ako vlastne znie otázka) Lorentzova sila F = e(e + v B) (11) opisuje pôsobenie elektrického a magnetického pol'a (t.j. polí E a B) na bodový náboj e. Závisí od polohy r a asu t náboja (cez polia), ale aj od rýchlosti v ṙ náboja. Podrobnej²í zápis teda vyzerá F(r, t, v) = e(e(r, t) + v B(r, t)) (12) 3
Ked'ºe závisí (aj) od rýchlosti, nemôºe byt' (oby ajná") potenciálová. Ale stále je nádej, ºe je aspo zov²eobecnená potenciálová". Na to, aby takou bola, by musela existovat funkcia U(r, t, v) taká, ºe by platilo F = e(e(r, t) + v B(r, t)) = U r + d U dt v (13) Existuje taká funkcia? A ak áno, ako konkrétne vyzerá? Toto je tá otázka z nadpisu. 2.2 Ansatz a hlavný výpo et Kl'ú ovým postrehom pre rie²enie úlohy formulovanej na konci odseku 2.1 je fakt, ºe hl'adaná funkcia môºe byt' nanajvý² lineárna v rýchlosti (pozri tieº úlohu 3b.1 v [1]), t.j. ºe ak vôbec existuje, musí mat' tvar U(r, t, v) = v a(r, t) + f(r, t) (14) pre nejaké vektorové pole a(r, t) a nejaké skalárne pole (funkciu) f(r, t). Ná² ansatz je teda parametrizovaný (zatial' l'ubovol'nými) pol'ami a(r, t) a f(r, t). [Naozaj, keby výraz U/ v v (13) e²te obsahoval rýchlost' v, následné d/dt by z nej urobilo zrýchlenie a = v. Zrýchlenie ale v Lorentzovej sile nie je. (Mimochodom, keby bolo v nejakej sile aj zrýchlenie, Newtonova rovnica m zrýchlenie = sila by mala zrýchlenie na oboch stranách a bolo by to, uznajte, nanajvý² zvlá²tne.) No a na to, aby výraz U/ v uº rýchlost' neobsahoval, môºe samotné U obsahovat' rýchlost' len nanajvý² lineárne, iºe podl'a (14).] Ak je to tak, treba jednoducho vyrátat' pravú stranu v (13) pre ansatz (14) a v kútiku du²e tajne dúfat', ºe existuje taký výber polí a(r, t) a f(r, t), ktorý nám dá l'avú stranu v (13). Ked' sa do výpo tu pravej strany (13) pre ansatz (14) pustíme, dostaneme (pozri Dodatok A): F U r + d U dt v = grad f + ta v rot a (15) Toto sa rovná l'avej strane (13) práve vtedy, ked' platí iºe práve ked' A o s tým? e(e + v B) = grad f + t a v rot a (16) ee = grad f + t a (17) eb = rot a (18) 4
Keby sme mali uº za sebou predná²ku Teória elektromagnetického pol'a, vec by bola prakticky vybavená (pozri str. 27 v texte [2]). Vyslovili by sme prakticky reexívne slová skalárny a vektorový potenciál a bolo by vymal'ované". Ked'ºe ju za sebou nemáme (ved' je aº z letného semestra), dozvieme sa o tom potrebné minimum v Dodatku B. (A na vä ²ie podrobnosti, ktoré ale tu nepotrebujeme, si po káme jeden semester.) 2.3 Na pomoc prichádzajú elektromagnetické potenciály Ak vyuºijeme fakt existencie skalárneho a vektorového potenciálu (t.j. rovnice (43) a (44) z Dodatku B) pre polia E a B, z rovníc (17) a (18) sa stanú rovnice e( grad Φ t A) = grad f + t a (19) e(rot A) = rot a (20) No a odtial' uº je vyloºene t'aºké nepríst' na to, ako treba volit' a a f tak, aby to celé sedelo: a = ea (21) f = eφ (22) takºe (dosadením do (14)) U = e(φ v A) (23) alebo podrobne U(r, t, v) = e(φ(r, t) v A(r, t)) (24) Záver: Lorentzova sila má zov²eobecnenú potenciálnu energiu U a je ou výraz (24). Iná povedané, existuje funkcia U(r, t, v), ktorá vyhovuje podmienke (13) a je daná výrazom (24). Dôsledok: Lagranºián pre pohyb bodového náboja e v elektromagnetickom poli (E, B) vyzerá L(r, t, v) = 1 2 mv2 e(φ(r, t) v A(r, t)) (25) (kde (Φ, A) sú potenciály zodpovedajúce poliam (E, B) vzt'ahmi (43) a (44)) a vedie na (Lorentzovu) pohybovú rovnicu m r = e(e v B) (26) V²imnime si, ºe v rovniciach gurujú priamo polia (E, B), ale v lagranºiáne sa tie polia musia zadat' cez svoje potenciály! Ako sa dá táto (lagranºovská) technika pouºit' na nájdenie zákona zachovania v nejakom konkrétnom elektromagnetickom poli sa dá vidiet' napríklad v úlohe 3b.4 v [1]. 5
3 Väzby závislé od asu - iný príklad V úlohe 3b.5 sa dozvedáme nasledujúce pozoruhodné fakty: Ak by vyjadrenia polôh astíc cez zov²eobecnené súradnice záviseli od asu r = r(q, t) (27) (napríklad ak by záviseli od asu väzby 1, ktoré nás priviedli ku kongura nému priestoru; ϕ α ( r, t) = 0 r k (q a, t)), výpo et kinetickej energie dopadne iná, ako sme zvyknutí. Vyjde toto: kde T = 1 2 T ab(q, t) q a q b +A a (q, t) q a + ϕ(q, t) (28) T ab = A a = ϕ = 1 2 N k=1 N k=1 m k r k (q, t) q a r k(q, t) q b (29) r k (q, t) m k q a r k(q, t) t N k=1 m k r k (q, t) t r k(q, t) t ƒo je na tom zaujímavé (a prekvapujúce)? Ked' sa pozrieme na druhý a tretí len v kinetickej energii (28) a porovnáme to s výrazmi (24), (14), vidíme, ºe tieto leny majú ²truktúru (zov²eobecnenej) potenciálnej energie. ƒiºe sa dajú prihodit' k existujúcej potenciálnej energii (ak nejaká bola) a pozerat' sa to celé iná : še kinetická energia je len ten prvý len a tie dva zvy²né sú sú ast'ou potenciálnej energie, ím generujú nejakú dodato nú silu formálne analogickú Lorentzovej sile (t.j. akoby sa to hýbalo v nejakom dodato nom elektrickom a magnetickom poli"). Úloha 3b.9 explicitne potvrdzuje tento obraz (pre prípad, ked' pôvodná potenciálna energia bola nulová, iºe ked' prihodená sila je jediná). Vidíme v nej silu úmernú rýchlosti (analóg magnetickej sily) aj polohe (analóg elektrickej sily). A na záver uº len krátko spome me, ºe dodato né sily, ktoré poznáme z teórie neinerciálnych sústav (tam sa volajú ktívne"), majú tieº takýto charakter. Ak sa jedna sústava hýbe vo i druhej, vzt'ahy medzi súradnicami viazanými na tieto dve sústavy majú tieº v²eobecný charakter (27), takºe kinetická energia v novej sústave bude mat' tieº dodato né leny (²truktúry druhého a tretieho lena v (28)) oproti jej beºnému tvaru". Tieto sa tieº zvyknú prihadzovat' k (pôvodnej) potenciálnej 1 Napríklad ak by sme ²tudovali korálku pohybujúcu sa v gravita nom poli na obru i rovnomerne rotujúcej okolo z-ovej osi alebo kyvadlo s premenlivou d ºkou závesu - úlohy 3b.6 a 3b.7 v [1]. (30) (31) 6
energii (takºe na úrovni pohybových rovníc vznikajú dodato né sily). Napríklad Coriolisova sila je lineárna v rýchlosti a je tak analógom magnetickej sily. Zvy²né tri ktívne sily (zotrva ná, Eulerova a odstredivá) sú analógom elektrickej sily. Pod'akovanie akujem. 4 Dodatky A Výpo et sily pre ná² ansatz pre U V tomto odseku uvádzame detaily výpo tu, ktorý stojí za výsledkom (15). Celé to je najlep²ie robit' komponentne (cez indexy). Výraz (14) zapísaný cez indexy vyzerá takto: Potom U = v j a j + f (32) F i = U + d U = U + d x i dt v i x i dt a i (33) Ked'ºe derivovanie podl'a komponent v- ka (t.j. / v i ) sa uº skon ilo (a d'alej sa bude derivovat' len podl'a x i a t), prejdeme k obl'úbenému skrátenému ozna eniu i / x i. Ked' si e²te uvedomíme, o znamená tá úplná asová derivácia d/dt (ºe sa derivuje vo i v²etkým t- kam, teda tým explicitným, ale aj tým skrytým v x i (t)), dostaneme toto F i U + d U = ( grad f + t a) i + v j ( j a i i a j ) (34) x i dt v i Máme U x i + d dt a i = i U + ( j a i )ẋ j + t a i = i (v j a j + f) + ( j a i )v j + t a i = i f + t a i + v j ( j a i i a j ) = ( grad f + t a) i + v j ( j a i i a j ) 7
Ked' porovnáme doteraj²í výsledok (34) s tvrdením (15), vidíme, ºe prvá ast' naozaj sedí a o treba e²te overit' je to, i platí A to veru platí. ( v rot a) i = v j ( j a i i a j ) (35) Naozaj, ( v rot a) i = ϵ ijk v j (rot a) k = ϵ ijk v j ϵ klm l a m = v j ϵ ijk ϵ lmk l a m = v j (δ il δ jm δ im δ jl ) l a m = v j ( i a j j a i ) = v j ( j a i i a j ) B ƒo sú elektromagnetické potenciály Svet elektromagnetického pol'a sa riadi Maxwellovými rovnicami. (V podobnom zmysle, ako sa svet mechaniky riadi Newtonovými rovnicami.) Tie sú spolu ²tyri, ale to, o z nich potrebujeme, sa získava len z dvoch z nich. Konkrétne z rovníc Teraz si spomenieme na identity (úloha 0.12 v [1]) rot E + t B = 0 (36) div B = 0 (37) rot grad ψ = 0 pre l'ubovol'né ψ (38) div rot C = 0 pre l'ubovol'né C (39) Podl'a identity (39) je jednou z moºností, pre o platí rovnica (37) to, ºe pole B je rot nejakého vektorového pol'a. A apriori nie je jasné, i to je jediná moºnost', alebo i sa tá rovnica dá splnit' aj nejako iná. V skuto nosti sa ukazuje, ºe to je jediná moºnost'. (Za istých podmienok, diskutovaných napríklad v 9.kapitole knihy [3].) T.j. z rovnice (37) vyplýva, ºe najv²eobecnej²ím rie²ením tejto rovnice je Ak dosadíme (40) do (36), dostaneme B = rot A (40) rot (E + t A) = 0 (41) Podl'a identity (38) je opät' jednou z moºností, pre o platí rovnica (41) to, ºe pole E + t A je grad nejakého skalárneho pol'a. A opät' apriori nie je jasné, i to je jediná moºnost', alebo i sa tá rovnica dá splnit' aj nejako iná. V skuto nosti 8
sa opät' ukazuje, ºe to je jediná moºnost'. (Za istých podmienok, diskutovaných napríklad v 9.kapitole knihy [3].) T.j. z rovnice (41) vyplýva, ºe najv²eobecnej²ím rie²ením tejto rovnice je E + t A = grad Φ (42) (znamienko mínus je len konvencia). Ked' spojíme (40) a (42), dostaneme hlavný výsledok: E = grad Φ t A (43) B = rot A (44) Pole Φ sa volá skalárny potenciál a pole A sa volá vektorový potenciál. Vzorce (43) a (44) sa dajú chápat' aj tak, ºe pravé strany sú najv²eobecnej²ie rie²enia rovníc (36) a (37). Iná povedané, v²etky tie maxwellovské polia E a B, ktoré zodpovedajú realite (t.j. vyhovujú Maxwellovým rovniciam), sa dajú vyjadrit' cez potenciály. Literatúra [1] M.Fecko: Teoretická mechanika - Sylabus + príklady (41 strán) http://davinci.fmph.uniba.sk/fecko1/teormech/primech11.pdf http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/fecko/teormech/primech11.pdf [2] M.Mojºi²: TEMPO (Teória elektromagnetického pol'a) (91 strán) http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/mojzis/tempo.pdf [3] M.Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Bratislava, Iris 2004 (2.vydanie 2009, 2.opravené vydanie 2018) 9