Fzikálna olpiáda 5. očník školský ok 009/00 Kategóia A iešenie úloh doáceho kola ( alšie infoácie na http://fp.uniza.sk/fo alebo www.olpiad.sk) V áci pípa iešite o FO odpoú ae sú asne ieši a úloh nižších kategóií a Fzikáln koešponden ný seiná FKS www.fks.sk Odpoú ae sledoa študiné ateiál FO http://fo.cuni.cz/ - achí http://pdf.uhk.cz/kfi/olpid/olp/ateial/inde.ht
. Dolet s podpoou eta iešenie: a) Bez uažoania odpou zduchu ide o ideáln šiký h s paabolickou taektóiou a doleto 0 d 0 sin α. g Pe ednotlié pípad dostanee hodnot d 0 55,, d 0 63,7, d 03 55,. bod iešenie etódou kone ných píastko: V u ito okaihu pohbu á lopti ka zložk ýchlosti a zh ado na ze. Ke že sa zduch pohbue ýchlos ou see osi, e odooná zložka ýchlosti pohbu lopti k zh ado na zduch. elatína ýchlos pohbu lopti k zh ado na zduch á e kos ( ) a se daný uhlo β zh ado na oinu ihiska, pe ktoý platí tg β. Vodooná zložka sil, ktoá pôsobí na lopti ku, e F k cos β k [( ) ] ( ) k a zislá zložka F ( ) ( ) g k sin β g k [( ) ] ( ) g k ( ) Zložk zýchlenia zh ado na ihisko sú k a ( ) ( ) k ( ) a g. Z hodnot zložiek ýchlosti ase t u íe hodnot ase t t (t t) (t) a (t) t (t t) (t) a (t) t, pi o ýchodiskoé po iato né hodnot sú (0) 0 cos a (0) 0 sin. Podobne u íe súadnice (t t) (t) (t) t (t t) (t) (t) t, pi o po iato né hodnot sú (0) 0 a (0) 0. Algoitus ýpo tu ožno napogaoa o hodno pogae. Pe zooý ýpo et bol použitý tabu koý poceso EXCE 007. Výsledk nueických ýpo to: b) Dolet lopti k s odpoo zduchu ale bez eta (s. bez odpou zduchu)
Ulol hu [ ] 30 45 60 Dolet d [] 4,8 (55,) 46,5 (63,7) 39,5 (55,) Z ýsledko idno, že odpo zduchu ýazne zníži dolet lopti k (pe 45 pokles o 7 %). ale idno, že skátenie doletu sa ýaznešie peaí pi ä šo uhle. bod c) Dolet lopti k s podpoou eta Ulol hu [ ] 30 45 60 Dolet d 3 [] 46,4 5,8 45, Z ýsledko idno, že podpoa eta (ide o poene slabý ieto (8 k/h)) sa dano pípade peaí ýznane pe 45 ped ženie o % opoti bezetiu. bod d) Dolet lopti k poti etu Ulol hu [ ] 30 45 60 Dolet d 4 [] 38,7 40,5 3,7 Vidíe podobne, že ieto sa peaí pi uhle hu 45 skátení doletu o 3 %. Je zeé, že pl eta sa iac peaí pi ä ších uhloch hu ako pi enších, lebo pi e kých uhloch e lopti ka dlhší as staená pôsobeniu postedia. bod e) Posúdenie pesnosti ýsledku asoý kok pod a a) nueick t [s] 0 0 40 00 00 Dolet d [] 63,7 63,9 64, 64,4 65,5 67, Z ýsledku e zeé, že pesnos nueického ýpo tu ýznane záisí od o b d žk asoého koku t. Pi analticko iešení pod a a) sa uažuú spoité záislosti eli ín, tzn. t 0. Výsledok ožno poažoa za pesný áci pesnosti stupných eli ín. Z ýsledko idno, že pi koku 0 s e odchýlka ýsledku 0,3 %, o ožno poažoa za e i pesný ýsledok. Pi t 0, s e odchýlka,8 %, o e už dos nepesný ýsledok. V pípade koku 00 s 5,5 %, o ožno poažoa za oienta ný ýsledok. Pi t 0 s e po iato ne fáze delenie dáh s 5 c, pi t 00 s e s 5. Je zeé, že delenie dáh zhuba po 5, o e pibližne 0 % doletu, e z h adiska pesnosti nedostato né. bod Pozn.: Z ýsledku e zeé, že pi zenšoaní koku t e ýsledok pesneší. Na duhe stane to kladie ä šie náok na ýpo toé kapacit (iac koko ýpo tu a tý a ýpo toý as). Naše pi náo neších úlohách teba sledoa a stabilitu ýpo tu, lebo u itých pípadoch ôže chba ýpo tu pi náaste po tu koko naasta a ies k diegentný ýsledko (e i zdialený od spáneho ýsledku).
Píklad gafu pe let lopti k s plo odpou postedia a bez podpo eta.. ezonančný obod iešenie: a) Nuloý fázoý ozdiel napätia a púdu zodpoedá eálne ipedancii, esp. aditancii, zá aže. Aditancia zá aže zdoa e ) ( ) ( ) ( C C C Y & ezonancia nastane, ak e iaginána as aditancie nuloá, z oho dostanee ezonan nú uhloú fekenciu C 00 kad s, f 5,9 khz bod. b) V stae ezonancie e aditancia zá aže C Y 6,0 0 4 S I 7, A. Pe poe púdo stae ezonancie e Q C C I I C 33. bod c) V stae ezonancie e ýkon zdoa C U Y U P 43 W bod d) Gaf feken ne chaakteistik púdu zdoa zodpoedá z ahu ) ( / ) ( / C C I I
bod Z gafu ožno u i hodnot d 4,9935, odkia d 98 54 ad/s a h 5,0065, odkia h 0 508 ad/s. Šíka pása e 994 ad/s a odtia inite kalit Q 33,4. Táto hodnota zodpoedá s dostato nou pesnos ou hodnote, ktoá plýa z hodnôt piánch paaeto. bod 3. Zobazenie šošokou iešenie: a) Pod a zákono geoeticke optik U íe z ah edzi uhlai lú o. ú niká kolo do šošok a dopadá pod uhlo dopadu (zh ado na kolicu) na zakienú plochu šošok. Na ozhaní sa lú láe pod uhlo lou, pe ktoý platí sin n sin. () Ak e zdialenos lú a od osi, e uhol dopadu daný z aho sin /. () ú pechádza cez stu skla s húbkou 0 ( cos ), (3) kde 0 e húbka šošok o chole. Poloha ohniska F e daná ohniskoou zdialenos ou f VF, pi o platí [f ( 0 )] tg, kde. (4) Ak e šošoka tenká, tzn. 0 << a teda << ad, platí pibližne sin, cos, tg at. a teda f f ( ) (5) a z () a () a n. f ( ) a odtia f 6,7 c. ( n ) Vidíe, že pi húbke zäzku d 0 a po ítane ohniskoe zdialenosti sú zednodušuúce podienk dobe splnené (pe kaný lú e tg 0,03 << ). S A 0 V f F
Optická dáha lú a od oinného ela šošok (geoetická dáha násobená indeo lou) e l opt n l n n n n 0 0 0 [ ( cosα) ] [ f ( cosα) ] 0 n ( cosα) f n( n )( cosα) f f n( n )( cosα) f sin α [ f ( cosα) ] n ( n ) ( cosα) fn ( n )( cosα) n Pi úpae sa použila pibližná onos z z pe z <<. Vidíe, že optická dáha nezáisí od súadnice lú a, a peto šetk lú e zäzku sa ohnisku stetáaú s onakou fázou a pedstauú intefeen né aiu. 3 bod b) Na štbinu dopadá oinná lna a peniká cez štbinu. Zednodušená úaha chádza z toho, že zäzok žaoaný štbinou ozdelíe na de poloice, zastúpené lú i a. Ak nás zauía žaoanie see odchýleno o uhol od osi, e optická dáha spodného lú a dlhšia od opticke dáh honého lú a o ozdiel l ( /) sin, ( /) sin kde d e šíka štbin. Ak e ozdiel optických dáh oný nepáneu násobku poloice lnoe d žk /, dochádza pi ich intefeencii záonéu potla eniu a píslušno see pozouee intefeen né iniu ( /) sin in (k ) ( /). Ak e ozdiel optických dáh násobko lnoe d žk, zniká dôsledku intefeencie aiu ( /) sin a k. Pé aiu e okolo osi (pe k 0), duhé aiu e pod uhlo a acsin ( / ). Medzi týito sei sa nachádza iniu po uhlo in acsin ( / ). Pe << d e << ad a teda sin in /. Pe uhloú šíku hlaného aia okolo osi sústa platí /. a pe uhol pého inia dostanee bod c) Zbiehaos plo spone šošok poažuee za inezný a k difakcii na otoe a použiee pe kuhoý oto ýsledk získané pe ednoozenú štbinu. Pi pieee d pôodného zäzku a ohniskoe d žke f >> d e uhol zbiehaosti lú o actg ( d / f ) d / f. Uhol ozbiehaosti hlaného aia, esp. zbiehaosti lú o, zodpoedá poeu pieeu otou, esp. stop zaostenia, a lnoe d žk / d / f. Na základe teto úah dostanee piee stop zaosteného lú a ohniskoe oine 0 f
f δ λ 0,6. d Opísaná optická etóda á ozlišoaciu schopnos pibližne 0. Zýšenie ozlišoace schopnosti e ožné dosiahnu použití setla s nakatšou lnoou d žkou (odé fialoé) a šošok s kátkou ohniskoou zdialenos ou. Šíka zäzku laseoého žiaenia e ä šinou daná zaiadení. V optiálno pípade sa dá dosiahnu ozlišoacia schopnos iene pod. bod d) V elektónoo ikoskope sa užíaú lnoé lastnosti elektónoého zäzku. Pod a lnoo asticoe teóie e lnoá d žka elektónu daná de Boglieho z aho h / p, kde h 6,6 0 34 J s e Planckoa konštanta a p hbnos elektónu. Ak sa elektón uýchlia elekticko poli s ozdielo potenciálo U, platí pod a zákona zachoania echanicke enegie E k E k0 e U. Ak zanedbáe alú po iato nú kinetickú enegiu E k0, dostanee hbnos uýchlených elektóno z onosti E k e U. Keb se použili klasický z ah pe kinetickú enegiu, dostali b se ýchlos elektóno eu,88 0 8 /s 0,63 c. Ke že ide o ýchlos blízku ýchlosti setla o ákuu c, e ýsledok klasického ýpo tu e i nepesný a teba použi elatiistický z ah pe kinetickú enegiu c c eu c Hbnos elektóno e poto odtia c c eu c,64 0 8 /s 0,55 c. eu p c c c Vlnoá d žka elektóno e poto h λ e 3,7 p. eu c c S použití bežne dostupného uých oacieho napätia ožno získa elektónoý zäzok s e i alou lnoou d žkou ádoo p, tzn. pod úo ou edziatóoých zdialeností látkach. Ke že teoetická ozlišoacia schopnos zaiadenia e u ená lnoou d žkou, sú elektónoé ikoskop schopné zobazoa štuktú olekulánch ozeo. 3 bod
4. Kadlo iešenie: Doba kitu fzikálneho kadla e daná z aho T I, g a kde I e oent zota nosti zh ado na os otá ania a a e zdialenos ažiska od osi otá ania. a) Ak áe iba saotnú t, I (/3) M a a /. T0,64 s. bod 3 g Zena teplot sa peaí zenou d žk t e 0 ( t). Vzh ado na alú zenu d žk a teda t << ôžee z ah pe elatínu zenu peiód adi s použití pibližného z ahu ( ) n n pe << T0 α t α t 6,0 0 5, o e 5, s/de. bod T0 b) Ak nasuniee na t záažie, zení sa oent zota nosti I (/3) M d. Zení sa a poloha ažiska. Vzdialenos ažiska od osi otá ania e M / d a. M Doba kitu e (/ 3) M d 3( / M ) ( d / ) T T0. g ( M / d) ( / M )( d / ) V gafu idno ýsledok T 0,64 s pe d 0. 3 bod
c) Údae pe iniu peiód dostanee z podienk nuloe hodnot deiácie z ahu pe peiódu. 3 ( d / ) ( / M ) ( d / ) 3( / M )( d / ) d odtia dostanee d [ ] M d 3 M 0 M M M ± (fzikáln zsel á iba znaienko ) 3 íselne (d/) in 0,30. Po dosadení do z ahu pe peiódu dostanee 3( / M ) ( d / ) in T T0,55 s. ( / M ) ( d / ) in Poonaní s gafo zistíe, že hodnot plýaúce z gafu sa zhoduú s ýsledkai ýpo tu. 3 bod 5. Vlhkosť zduchu iešenie: a) Poces paoania od sa zastaí, ke paa nádobe dosiahne sta nasýtene pa, alebo ak sa pedtý šetka oda paí. Pi teplote T 93 K e tlak nasýtene pa p N,34 kpa. S použití odelu ideálneho plnu pe nasýtenú pau, dostanee hotnos od nasýtene pae 3 3 3 pn V 3 (,34 0 Pa)(,5 0 ) N M ( 8 0 kg ol ) 43 g T (8,3 J K ol )(93K) Pi zadaných hotnostiach nastanú nasleduúce pípad:. Vznikne nasýtená paa odpaení N od a nádobe zostane 7 g neodpaene od.. Všetka oda sa paí a nádobe bude paa s elatínou lhkos ou η 58 %. 3. Všetka oda sa paí a nádobe bude paa s elatínou lhkos ou η 3 %. 3 bod b) Pi ozpínaní zduchu klesá tlak nádobe pi konštantne teplote. Ke že paciáln tlak odne pa o zduchu e alý, uažuee iba s tlako suchého zduchu. Výsledný obe zduchu po epanzii e p V V. p Hotnos od nasýtene pae noo obee a pi teplote T T e p V N N N M M 54 g. T T p p V p Vo šetkých toch pípadoch sa oda nádobe šetka paí a nádobe sa toí paa s elatínou lhkos ou η 93 %, η 46 %, η 3 8,6 %. bod
c) Ak sa zduch ochladzue, znižue sa tlak pa nádobe a taktiež tabu koý tlak nasýtene pa. V okaihu, ke tlak pa dosiahne hodnotu tabu koého tlaku nasýtene pa, za ne oda nádobe kondenzoa. Ak tento sta nastane nad teplotou toného bodu od, zniká pi kondenzácii oda a z ne pípadne ad, ak paa dosiahne sta nasýtenia pi teplote nižše ako e toný bod od, dôde k desubliácii a kondenzát e piao tuhý (sie ). Tlak odne pa u íe s použití odelu ideálneho plnu T p T () M V V gafe e znázonená kika N nasýtene pa pod a tabu k, a piak pod a z ahu () pe ti zadané hotnosti zok. Z gafu idno, že pi izochoicko ochladzoaní za ne paa ednotliých pípadoch:. kondenzoa na odu ihne, lebo paa bola nasýtená. kondenzoa na odu od teplot pibližne C 3. kondenzoa na sie pi teplote pibližne,4 C. Pi teplote t 3 5 C už zok a obsahuú kondenzát a peto e elatína lhkos pa obidoch pípadoch 00 %. V pípade zok 3 e ešte oda plnno stae. Nasýtená paa á tlak p N3 87 Pa. Tlak pa zok 3 e pi teto teplote T p 54 Pa. M V elatína lhkos e tak p /p N3 59 %. 3 bod d) Pi teplote t 40 5 C e tlak nasýtene pa p N4 87 Pa a hustota pa s lhkos ou η 80 % e
Pozn: M p N4 ρ 40 η 5,43 g/ 3. T40 Pi teplote t 4 0 C e tlak nasýtene pa p N,34 kpa, ou zodpoedá hustota pa s elatínou lhkos ou 00 % oná ρ 0N 7,3 g/ 3. Pi izobaicko zohiatí zduchu sa zýši obe poee V 4 /V 40 T 4 /T 40 a pi zachoaní obsahu od sa tak zníži hustota pa V ρ 40 40 4 ρ 40 ρ 40 5,5 g/ 3. V4 T4 T elatína hustota zohiateho zduchu e tak η 4 dýchanie poene suchý. 30 %, o pedstaue zduch pe Vetaní sa dostáa do iestnosti lhký chladný zduch, ktoý sa šak zohiatí iestnosti stáa suchý peto pe zdaé postedie e potebné zie uelo zšoa lhkos zduchu obtných piestooch. bod Pe tlak nasýtene odne pa ozsahu teplôt -0 C až 30 C ožno adi z aho p n 7,636 t 4,9 t 6,078 0 [hpa, C] pod a: http://klud.ics.ups.sk/tuistak/download/geogafia/fzicka_geogafia/skipta_eteo/keel04_a.doc Opis lhkosti zduchu ožno nás a na adese: http://www.fp.ub.sk/~zdche/cheiatet/fzika.ht 6. Haloé a iešenie: a) Kštálik sa poažuú za paidelné šes boké hanol. Malé halo zniká tak, že lú setla niká do kštálika kolo na os hanola ednou stenou a chádza stenou, ktoá ziea s pou uhol 60. Táto hodnota pedstaue láaý uhol 60 pe alé halo. V duho pípade stupue lú do kštálika podstaou a chádza ednou z bo ných stán. Vted zniká e ké halo. áaý uhol e toto pípade 90. bod b) Študuee lo na hanole s daný láaý uhlo. Znaená to, že lú stupue do hanola stupnou stenou a stupue ýstupnou stenou, ktoá so stupnou ziea uhol. Tetia stena sa toto pípade neuažue, e dostato ne zdialená a chod lú o neopl ue. Uažue hanol s láaý uhlo, do ktoého stupue lú pod uhlo. Do hanola stúpi lú pod uhlo, pe ktoý platí sin (sin )/n.
Na duhú stenu dopadne lú pod uhlo 90 (80 (90 )). Z hanola stupue lú pod uhlo, pe ktoý platí sin n sin Uhol edzi stupuúci a stupuúco lú o e ( ). Hani ný uhol pe ýstup lú a z hanola e 90. Medzný uhol dopadu lú a na poch hanola e 90. Pe uedené podienk platí acsin(/n) a acsin(/n). Pe edzný láaý uhol hanola dostanee acsin(/n) 99. Z ýsledku idno, pe obida pípad láaých uhlo 60 i 90 eistuú lú e, ktoé pechádzaú cez kštálik. Ke že sú kštálik adu o zduchu náhodne nato ené, žd budú eistoa lú e, ktoé spl uú podienku pechodu cez kštál pe uažoané geoetické uspoiadanie. Tieto lú e táaú alé halo a e ké halo. Pe n > e pá podienka niku lú a do hanola splnená žd, nie každý lú šak sp a podienku duhú pe dané hodnot láaého uhola hanola. Pe podienku ýstupu z hanola acsin(/n) dostanee edzný uhol 50, pe ktoý dostanee pe obida pípad a hani né uhl 0 a 40 a uhl dopadu > acsin(n sin ) 3 pe pý pípad a > 57 pe duhý pípad. Z toho plýa, že a elkého halo e slabší ako a alého halo. bod c) Z pedchádzaúcich z aho dostanee záislos edzi uhlo dopadu lú o na hanol a uhlo ich odchýlenia od pôodného seu šíenia. Nako ko pedpokladáe e i zdialený bodoý zdo setla, zodpoedá uhol poloici choloého uhlu kuže oe ploch, ktoá pedstaue lú e s píslušnou odchýlkou. acsin(n sin{ acsin[(sin )/n]}) () Ke že ide o poene zložitý z ah, e naednoduchšie záislos adi gafick (nap. s použití pogau EXCE) pe ednotlié láaé uhl a. Gaf pe 60
d) Z gafu idno, že na zniku au sa podie aú lú e dopadaúce na hanol pod uhlo (3 ; 90 ). Naä šia intenzita pozooaného au bude pi iniálno uhle, ktoý pedstaue iniu záislosti. K blízkeu okoliu uhla pispieaú lú e z e kého ozsahu uhla (peto nútoný oka setelného pásu bude naasneší). Pozooaný pás alého halo bude postupne slabnú až k hani néu uhlu a 44. Fotogafia pozooaného au alé halo e na po obázku. bod Fotogafia alého halo okolo Slnka d a 5..006 (Auto Miosla Neubeg). Zdo http://ukaz.asto.cz/galeie-halo.php Gaf pe 90 Z duhého gafu idno, že nútoný uhol pásu e ké e kého halo á uhol 46. V okolí teto hanice e pás naasneší a eho intenzita postupne klesá až hani ne hodnote a 58. bod e) Z pedchádzaúcich ýsledko teda idno, že alé halo táaú lú e, ktoé dopadaú na píslušnú stenu hanola pod uhlo dopadu (3 ; 90 ), ou zodpoedá uhloá šíka setelného pásu ( ; 44 ). Pás e kého halo táaú lú e, ktoé dopadaú na píslušnú stenu hanola pod uhlo dopadu (58 ; 90 ), ou zodpoedá uhloá šíka setelného pásu (46 ; 58 ). Pi detailno pozooaní duhého obázku ožno tuši a honé hanice páso alého alé halo Velké halo spolu s ýazný alý hale na sníke z. 4. 007. (Auto Matin Popek). Zdo http://ukaz.asto.cz/galeie-46halo.php a e kého halo. ôzne uhl dopadu sú dané náhodnou oientáciou kštálika o zduchu a ke že ide o onobežné lú e (zo zdialeného bodoého zdoa), sú pozooané kuhoé pás. bod 7. Epeientálna úloha 0 bodo