EKONOMICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA HOSPODÁRSKEJ INFORMATIKY Evidenčné číslo: /B/2015/ MULTIKRITERIÁLNA ANALÝZA METÓDY S

Prepis

1 EKONOMICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA HOSPODÁRSKEJ INFORMATIKY Evidenčné číslo: 03004/B/205/ MULTIKRITERIÁLNA ANALÝZA METÓDY STANOVENIA VÁH KRITÉRIÍ ZALOŽENÉ NA ZNALOSTIACH DÔSLEDKOV VARIANTOV Bakalárska práca 205 Tomáš Lazar

2 EKONOMICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA HOSPODÁRSKEJ INFORMATIKY MULTIKRITERIÁLNA ANALÝZA METÓDY STANOVENIA VÁH KRITÉRIÍ ZALOŽENÉ NA ZNALOSTIACH DÔSLEDKOV VARIANTOV Bakalárska práca Študiný program: Hospodárska informatika Študiný odbor: 6292 Hospodárska informatika Školiace pracovisko: Katedra aplikovane informatiky Vedúci záverečne práce: doc. Ing. Peter Bednár, CSc. Bratislava 205 Tomáš Lazar

3

4 Čestné vyhlásenie Čestne vyhlasuem, že záverečnú prácu som vypracoval samostatne a že som uviedol všetku použitú literatúru. Dátum:. máa (podpis študenta)

5 Poďakovanie Touto cestoval sa chcem poďakovať vedúcemu práce doc. Ing. Petrovi Bednárovi, CSc. za užitočné rady, odbornú pomoc, pripomienky, návrhy a množstvo času, ktoré mi venoval pri písaní bakalárske práce.

6 Abstrakt LAZAR, Tomáš: Multikriteriálna analýza - metódy stanovenia váh kritérií založené na znalostiach dôsledkov variantov Ekonomická univerzita v Bratislave. Fakulta hospodárske informatiky; katedra aplikovane informatiky. Vedúci záverečne práce: doc. Ing. Peter Bednár, CSc. Bratislava: FHI EU, 205, počet strán: 57. Cieľom teto práce e komplexne opísať kompenzačnú metódu ako metódu stanovenia váh kritérií na základe znalostí dôsledkov variantov. Priblížili sme si tri postupy, na ktorých e metóda postavená. Aplikovaním týchto princípov na konkrétnom rozhodovacom probléme sme si ednotlivé postupy porovnali a rozanalyzovali. Práca e rozdelená do 5 kapitol, obsahue 2 obrázky, 2 grafov a 6 tabuliek. V prve kapitole sú charakterizované základné pomy viackriteriálne analýzy, klasifikácia metód stanovuúcich váhy kritérií, funkcia úžitku a kompenzačná metóda. V druhe časti sú zadefinované ciele teto práce. Tretia kapitola obsahue metodiku práce a metódy skúmania. V štvrte kapitole sa nachádzaú tri metódy využívané pri stanovení váh kritérií. Výsledné váhy stanovené ednotlivými metódami kompenzačného princípu sa nachádzaú v piate kapitole. V závere sú zosumarizované a porovnané výsledky riešenia. Výsledkom riešenia dane problematiky e opodstatnenie využitia troch metód kompenzačného princípu v praxi. Kľúčové slová: multikriteriálne rozhodovanie, váhy, kritéria, varianty, dôsledky, lineárna a nelineárna funkcia úžitku, kompenzačná metóda

7 Abstract LAZAR, Tomáš: Multi-criteria Decision Analysis - Methods for determining the weights of criteria based on the evaluation of particular alternatives - University of Economics in Bratislava. Faculty of Economic Informatics; Department of Applied Informatics. Thesis supervisor: doc. Ing. Peter Bednár, CSc. Bratislava: FHI EU, 205, 57 pages. The main goal of this thesis is complex description of compensation method as method for determining the weights of criteria based on the evaluation of particular alternatives. We elucidated three approaches of compensation method. By applying these principles at specific problem of decision each procedure was compared and analyzed. Thesis is divided into 5 chapters, it contains 2 pictures, 2 graphs and 6 tables. At the first chapter basic concepts of multi-criteria decision analysis, classification of methods for determining the weights of criteria, utility function and compensation method are characterized. At the second part are defined goals of the thesis. The third chapter contains methods and procedures. At fourth chapter are situated three methods used at determining the weights of criteria. Final weights that were set by each methods of compensation principle are situated at fifth chapter. At conclusion, results of solution are summarized and compared. The result of solution of this thesis is substantiation of using three methods of compensation principle in praxis. Key words: multi-criteria decision, weights, criteria, variants, consequences, linear and nonlinear utility function, compensation method

8 Obsah Abstrakt Abstract Zoznam obrázkov Zoznam grafov Zoznam tabuliek Úvod Súčasný stav riešene problematiky doma a v zahraničí Charakteristika základných pomov Rozhodovací proces Cieľ rozhodovania Subekt rozhodovania Obekt rozhodovania Kritéria rozhodovania Varianty rozhodovania Dôsledky variantov Rozhodovacia matica Preferencia kritéria Váhy kritérií Klasifikácia metód na výpočet váh kritérií Metódy nevyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Metódy vyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Funkcia úžitku Preferenčná nezávislosť kritérií Kompenzačná metóda Cieľ práce

9 3. Metodika práce a metódy skúmania Výsledky práce Prvá metóda kompenzačného princípu Druhá metóda kompenzačného princípu Tretia metóda kompenzačného princípu Prípadová štúdia a diskusia Predstavenie rozhodovacieho problému Overenie preferenčne nezávislosti medzi kritériami Stanovenie váh kritérií na základe prve metódy kompenzačného princípu Stanovenie váh kritérií na základe druhe metódy kompenzačného princípu Lineárna funkcia úžitku Nelineárna funkcia úžitku Stanovenie váh kritérií na základe trete metódy kompenzačného princípu Lineárne funkcia úžitku Nelineárna funkcia úžitku Záver Použitá literatúra

10 Zoznam obrázkov Obr. č. : Klasifikácia metód na výpočet váh kritérií Obr. č. 2: Grafy parciálnych funkcií úžitku podľa typu kritérií Zoznam grafov Graf č. : Graf parciálne funkcie úžitku i-tého kritéria Graf č. 2: Lineárny priebeh funkcie váženého súčtu Graf č. 3: Graf s výslednými váhami stanovenými prvou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu váženého súčtu Graf č. 4: Lineárny priebeh funkcie bázického variantu Graf č. 5: Graf s výslednými váhami stanovenými druhou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu bázického variantu Graf č. 6: Nelineárny priebeh funkcie úžitku kritéria Fotoaparát Graf č. 7: Graf s výslednými váhami stanovenými druhou metódou kompenzačného princípu využívaúci nelineárnu funkciu úžitku Graf. č. 8: Lineárny priebeh funkcie úžitku Graf č. 9: Graf s výslednými váhami stanovenými treťou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu úžitku Graf č.0: Grafy parciálnych nelineárnych funkcií úžitkov kritérií Graf č. : Graf s výslednými váhami stanovenými treťou metódou kompenzačného princípu využívaúci nelineárne funkcie úžitkov Graf č. 2: Komparácia výsledných váh kritérií

11 Zoznam tabuliek Tab. č. : Kritéria rozhodovacieho problému Tab. č. 2: Model rozhodovace situácie Tab. č. 3: Rozhodovacia matica s dôsledkami variantov podľa maximilizačných kritérií Tab. č. 4: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Tab. č. 5: Fiktívne varianty s dôsledkami podľa ednotlivých kritérií Tab. č. 6: Výsledné váhy získané prvou metódou kompenzačného princípu Tab. č. 7: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Tab. č. 8: Výsledné váhy získané druhou metódou kompenzačného princípu pri využití lineárne funkcie úžitku Tab. č. 9: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou nelineárne funkcii úžitku Tab. č. 0: Výsledné váhy získané druhou metódou kompenzačného princípu pri využití nelineárne funkcie úžitku Tab. č. : Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Tab. č. 2: Výsledné váhy vypočítané treťou metódou kompenzačného princípu pri lineárne funkcii úžitku. Tab. č. 3: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou parciálnych nelineárnych funkcií úžitkov Tab. č. 4: Výsledné váhy vypočítane treťou metódou kompenzačného princípu pri parciálnych nelineárnych funkciách úžitkov Tab. č. 5: Komparácia metód určuúcich váhy kritérií Tab. č. 6: Komparácia výsledkov riešenia rozhodovacieho problému

12 Úvod Každodenne e každý z nás vystavovaný rozličným rozhodovacím problémom, ktoré musíme vhodne zvoleným spôsobom vyriešiť. S takýmito problémami sa stretávaú ľudia či už v osobnom, pracovnom, ale a v školskom prostredí. Manažéri na vrcholových miestach veľkých korporácií rozhoduú o správnom investovaní, aby zabezpečili rentabilitu spoločnosti, podnikatelia a obchodníci sa taktiež snažia viesť svoe firmy takým spôsobom, aby prilákali zákazníkov a predstavovali zdravú konkurenciu ostatným podnikateľským ednotkám. V politike sa priímaú rozhodnutia, ktoré maú pomôcť v rozvoi samotne krainy alebo regiónov. Bežní ľudia môžu plánovať kúpu nového mobilného telefónu. Ak všetky tieto spomenuté subekty chcú priať z viacerých variantov riešenia to správne rozhodnutie, potrebuú určitý algoritmus, pomocou ktorého sa im to podarí. Oblasť viackriteriálne (multikriteriálne) analýzy popisue špecifické metódy pri riešení rozhodovacích problémov za predpokladu, že poznáme varianty riešenia problému a kritéria, podľa ktorých sa ednotlivé varianty hodnotia a navzáom porovnávaú. Predmetom teto bakalárske práce budú práve kritéria rozhodovania a konkrétne ich váhy. Nie každé kritérium, na základe ktorého sa rozhodueme, má rovnakú dôležitosť. Môžu existovať také kritéria, ktoré absolútne zavážia pri riešení rozhodovacieho problému, ale a také, ktoré v konečnom dôsledku sú bezvýznamné. Naším problémom e určiť dôležitosť ednotlivých kritérií. Na ich určenie sa využívaú váhy, ktoré môžeme vypočítať viacerými metódami. My sa zameriame na skupinu metód založenú na znalostiach dôsledkov variantov, konkrétne na kompenzačnú metódu a e tri možné alternatívy. - -

13 . Súčasný stav riešene problematiky doma a v zahraničí V prve kapitole teto bakalárske práce charakterizueme základné pomy z viackriteriálne analýzy. Klasifikueme metódy na výpočet váh kritérií. Taktiež sa oboznámime s funkciu úžitku, ktorú budeme používať pri vybraných metódach na výpočet váh kritérií pracuúcich na základe znalostí dôsledkov variantov.. Charakteristika základných pomov.. Rozhodovací proces Rozhodovacími procesmi sa načastešie rozumeú procesy riešenia problémov s viac ako edným variantom riešenia. Rozhodovanie patrí k navýznamneším aktivitám, ktoré vykonávaú manažéri podnikov. Preto sa často považue za adro manažmentu. Pre správne rozhodnutie e potrebný výber z rozmanitých možností riešenia, ktorými sa môže vyriešiť problém, o ktorom sa rozhodue. Správny výber, t.. výber optimálneho variantu e možný len vtedy, ak sa vyhodnotia rôzne možnosti vzhľadom na vytýčený cieľ...2 Cieľ rozhodovania Cieľom rozhodovania rozumieme budúci stav okolia rozhodovateľa, vyplývaúci z nutnosti uspokoiť určité potreby. 2 Riešením rozhodovacieho problému e nadobudnutie tohto stavu...3 Subekt rozhodovania Subekt rozhodovania (rozhodovateľ) sa označue osoba alebo skupina osôb, ktorá rozhodue, t.. volí variant určený k realizácií...4 Obekt rozhodovania Určitým protipólom subektu rozhodovania e obekt rozhodovania. Tento obekt predstavue systém, v rámci ktorého bol formulovaný rozhodovací problém, stanovený cieľ riešenia, kritéria a varianty rozhodovania. FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.9. ISBN FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.0. ISBN

14 ..5 Kritéria rozhodovania Kritéria rozhodovania predstavuú hľadiská zvolené rozhodovateľom, podľa ktorých sa posudzue vhodnosť ednotlivých variantov. 3 Určiť kritéria hodnotenia, znamená stanoviť doplňuúce informácie, na základe ktorých budú varianty posudzované. Množinu m kritérií označueme ako K = {K,K 2,,K n }, pričom K,K 2,,K n vyadruú ednotlivé kritéria. Pri návrhu kritérií treba dávať pozor na to, aby kritérium malo pre výber zmysel a prínos. Musíme vedieť čo požadueme a musíme to vedieť naformulovať tak, aby sme boli schopní previesť ednoznačný výber. Pri procese akéhokoľvek rozhodovania sa môžu uplatniť štyri typy kritérií: a) Maximalizačné kritérium e také kritérium, podľa ktorého nalepšie varianty maú navyššie hodnoty. Príkladom pre také kritérium môže byť životnosť výrobku. b) Minimalizačné kritérium e opakom maximalizačného. Podľa takého kritéria nalepšie varianty maú nanižšie hodnoty. Príkladom môže byť cena. c) Kvantitatívne kritérium musí byť ednoznačne merateľné. Vieme mu prisúdiť číselnú hodnotu. Príkladom e napr. životnosť ale a cena. d) Kvalitatívne kritérium nie e priamo merateľné, vyadrue len kvalitu vlastností, ktoré sú ohodnotené slovne. Pri tomto type kritéria e nevyhnutné stanoviť spôsob merateľného ohodnotenia. Ako vhodné spôsoby predpokladáme bodovanie alebo známkovanie...6 Varianty rozhodovania Variant rozhodovania predstavue možný spôsob ednania rozhodovateľa, ktorý má viesť k riešeniu rozhodovacieho problému. 4 Variantmi rozumieme rôzne entity, ktoré môžeme navzáom porovnávať alebo môžeme uvažovať pre výber v určitom konkrétnom rozhodovaní. Súbor n variantov sa označue ako X = {x, x 2,,x n }, pričom x, x 2,...,x n predstavuú ednotlivé konkrétne varianty. Platí, že čím e súbor variantov väčší, tým viac sa dá očakávať, že nádený optimálny variant skutočne zodpovedá stanovenému cieľu rozhodovania. 3 FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.0. ISBN FOTR, J. ŠVECOVÁ, L. - KOL Manažérske rozhodování: postupy, metódy a nástroe. 2. vyd. Praha 4: Ekopress, 200, s.28. ISBN

15 Rozoznávame viacero typov variantov: a) Ideálny variant dosahue vo všetkých kritériách súčasne nalepšie hodnoty, ak takýto variant nádeme, tak proces rozhodovania končí. b) Bazálny variant dosahue vo všetkých kritériách súčasne nahoršie hodnoty, ak takýto variant nádeme, tak ho vypustíme z variantov, čím dochádza k ich redukcii. c) Dominuúci a dominovaný variant dominuúci variant e lepšie hodnotený aspoň podľa edného kritéria, pričom ostatné nie sú horšie. Variant od ktorého e dominuúci variant lepší sa nazýva dominovaný variant, ak ho nádeme, tak ho vypustíme z variantov. d) Paretovský variant nie e dominovaný žiadnym iným variantom. e) Kompromisný variant len zriedka sa podarí násť v úlohe viackriteriálneho rozhodovania ideálny variant, vtedy kompromisný variant považueme za nalepší, optimálny pre riešenie rozhodovacieho problému...7 Dôsledky variantov S variantmi rozhodovania sú spoené dôsledky. Pod týmto pomom si môžeme predstaviť hodnoty posudzovaných variantov. Dôsledky variantov sa vyadruú vždy vzhľadom k ednotlivým kritériám hodnotenia. 5 Pri kvantitatívnych kritériách maú podobu čísel, pri kvalitatívnych podobu slovných popisov...8 Rozhodovacia matica Model rozhodovace situácie vieme zapísať vo forme rozhodovace matice ak poznáme konečnú množinu variantov hodnotenú podľa ednotlivých kritérií. Prvky rozhodovace matice, resp. dôsledky variantov vzhľadom k ednotlivým kritériám označíme x i, pričom i={,2,...,n} a ={,2,...m}, potom vieme rozhodovaciu maticu zapísať v tvare: 5 FOTR, J. ŠVECOVÁ, L. - KOL Manažérske rozhodování: postupy, metódy a nástroe. 2. vyd. Praha 4: Ekopress, 200, s.29. ISBN

16 X X X 2 n K x x xn 2 K 2 x x x 2 22 n2 K m x x x m 2m nm. (.).2 Preferencia kritéria Preferencia kritéria slúži na určenie eho dôležitosti. Kritéria, ktoré sú dôležitešie, maú väčšiu preferenciu, a teda a väčší vplyv na samotné riešenie rozhodovacieho problému. Kritéria, ktoré sú mene dôležité, maú opačne menšiu preferenciu, zásadne neovplyvňuú konečné riešenie rozhodovacieho problému. Na vyadrenie preferencie kritéria existuú tri prístupy: a) Aspiračná úroveň pri aspiračne úrovni sú od používateľa vyžadované minimálne hodnoty pre ednotlivé kritéria, ktoré by mal variant dosiahnuť. Varianty, ktoré dosiahnu aspoň požadovanú aspiračnú úroveň sa nazývaú akceptovateľné varianty, ostatné varianty sú neakceptovateľné. 6 b) Ordinálna informácia táto metóda usporiada kritéria podľa dôležitosti. Kritériu, ktoré e nadôležitešie prislúcha hodnota n, pričom n e počet kritérií. Následne ďalšiemu bude pridelená hodnota n-. Analogicky určueme hodnoty pre každé kritérium, kým namene dôležitému priradíme. c) Kardinálna informácia metóda využíva pri hodnotení ednotlivých kritérií stupnicu. Nadôležitešiemu kritériu prislúcha naväčšie číslo z intervalu a postupne bodovo hodnotí a ostatné. Často sú využívané intervaly <0;0> resp. <0;00>. Táto metóda na rozdiel od predošlých dokáže a určiť o koľko e edno kritérium dôležitešie ako to druhé..3 Váhy kritérií Vyadruú informáciu o relatívne dôležitosti ednotlivých kritérií. Čím e kritérium dôležitešie, tým mu e priradená väčšia váha. Váhy kritérií označueme ako w, w 2,...,w m. V prípade, ak súčet váh nie e rovný, hovoríme o nenormovaných váhach. Pre efektívnešiu prácu a možnosť porovnávania váh navzáom e ich potrebné znormovať. Pre normovanie váh využívame vzorec: 6 JABLONSKÝ, J. FIALA, P. MAŇAS, M Viackriteriální rozhodovaní.. vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, 994, s. 33. ISBN

17 v m w k w, (.2) pričom v 0, pre {=, 2,...m} predstavue znormované váhy, ktoré nadobúdaú hodnoty z intervalu <0;> a pre ich súčet musí platiť nasledovný vzťah:.4 Klasifikácia metód na výpočet váh kritérií m v, (.3) V súčasne dobe existue väčší počet metód, pomocou ktorých sa daú stanoviť váhy ednotlivých kritérií rozhodovania. Tieto metódy sa navzáom odlišuú svoou zložitosťou, ale a náročnosťou na informačné zabezpečenie. 7 Z hľadiska informačného zabezpečenia vieme metódy stanovuúce váhy rozdeliť do dvoch skupín: a) Metódy, ktoré nevyžaduú znalosť dôsledkov variantov vzhľadom k ednotlivým kritériám rozhodovania b) Metódy predpokladaúce znalosť týchto dôsledkov.4. Metódy nevyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Túto skupinu metód môžeme rozdeliť na dve menšie podskupiny, a to na metódy priame a metódy nepriame. Obe podskupiny považueme za výlučne subektívne, keďže proces určovania váh kritérií spočíva na tíme expertov, ktorí dôverne poznaú problematiku a explicitne určuú váhy kritérií. Priame metódy sú ednoduchšie a nevyžaduú od hodnotiteľa väčšie nároky. Nepriame metódy sú zložitešie, pri stanovení váh kritérií sa využívaú preferencie dvoíc kritérií..4.2 Metódy vyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Proces výpočtu váh pomocou teto skupiny metód e zložiteší a kladie väčšie nároky na hodnotiteľa. Výpočet váh využíva rozhodovaciu maticu a znalosť dôsledkov variantov. 7 FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.22. ISBN

18 Obr. č. : Klasifikácia metód na výpočet váh kritérií 8 (prevzaté, modifikované a doplnené) Metódy stanovuúce váhy kritérií Metódy nevyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Metódy vyžaduúce znalosť dôsledkov variantov Priame metódy Nepriame metódy Entropická metóda Metóda klasifikácie kritérií do tried Metóda Fullerovho trouholníka Metóda využivaúca statické charakteristiky variability Metóda priradenia bodov zo zvolene stupnice Saatyho metóda Kompenzačná metóda Metóda poradia Regresná metóda Metóda hodnotiace stupnice (lineárna alebo nelineárna Metóda porovnávania významu kritérií z ich preferenčného poradia 8 FOTR, J. ŠVECOVÁ, L. - KOL Manažérske rozhodování: postupy, metódy a nástroe. 2. vyd. Praha 4: Ekopress, 200, s.64. ISBN

19 .5 Funkcia úžitku Predtým ako si popíšeme určovanie váh pomocou kompenzačne metódy, e potrebné sa oboznámiť s funkciou úžitku, ktorá e úzko spoená práve s kompenzačnou metódou. Funkcia úžitku v rámci viackriteriálneho rozhodovania sa podieľa na výbere kompromisného variantu, keďže e súčasťou metódy MAU (Multiatribute Utility Model). Táto metóda spočíva vo vyčíslovaní užitočnosti, s akou variant spĺňa kritéria. Rozhodovateľ individuálne určí pre ednotlivé kritéria vlastné parciálne funkcie úžitku. Následkom využitia týchto funkcií úžitkov sú normované hodnoty variantov podľa ednotlivých kritérií v intervale <0;>. Potom tvar: 9 n u( X ) v * u ( x ), (.4) i vyadrue zosumarizované a vážené funkcie úžitkov pre ednotlivé varianty pričom: X e variant rozhodovania, u i (x i ) e parciálna funkcia úžitku i-tého kritéria, x i e dôsledok variantu vzhľadom k i-tému kritériu, v i e váha i-tého kritéria, n e počet kritérií hodnotenia. Úžitok ednotlivých variantov e vyadrený reálnym číslom a má tú vlastnosť, že variant x i e preferovaný pred variantom x práve vtedy, ak úžitok variantu x i e väčší ako úžitok variantu x, teda platí: x i x u(x i ) > u(x ). (.5) Riešením rozhodovacieho problému e taký variant, pre ktorý platí, že eho zosumarizovaná a vážená hodnota funkcie úžitku bude naväčšia. Stanovenie kompromisného variantu podľa teto metódy e vysoko individuálny proces, pretože každý rozhodovateľ pracue s inou funkciu úžitku. Ručná technika konštrukcie funkcií úžitku spočíva v stanovení nalepšieho a nahoršieho dôsledku vzhľadom na i-té kritérium. Pričom nalepšiemu dôsledku e priradená užitočnosť a nahoršiemu 0. Potom sa stanoví dôsledok x 0,5 i, pre ktorý platí, že i i i 9 FOTR, J. ŠVECOVÁ, L. - KOL Manažérske rozhodování: postupy, metódy a nástroe. 2. vyd. Praha 4: Ekopress, 200, s.79. ISBN

20 eho funkcia úžitku dosahue hodnotu 0,5. Prírastok úžitku z dôsledku x i 0,5 k nalepšiemu dôsledku e rovnaký ako prírastok od nahoršieho práve po dôsledok x i 0,5. Rovnakým spôsobom sa stanovia a dôsledky pre x i 0,75 a x i 0,25, pričom hodnota funkcie úžitku pri prvom dôsledku e 0,75 a pri druhom e 0,25. Ak máme týchto 5 bodov stanovuúcich dôsledky parciálne funkcie úžitku, tak potom môžeme zostroiť túto funkciu graficky ich pospáaním. 0 (prevzaté, modifikované) Graf č. : Graf parciálne funkcie úžitku i-tého kritéria Výhodou funkcie úžitku e, že dokáže pracovať a s maximalizačnými (kritéria výnosového typu) ale a s minimalizačnými kritériami (kritéria nákladového typu), avšak treba mať na zreteli, že pri tvorbe grafu parciálnych funkcií úžitkov, ak pracueme s maximalizačnými kritériami, tak funkcia úžitku nadobúda rastúci charakter, pri minimalizačných kritériách e to naopak. Pri výnosovom type kritéria môže byť funkcia úžitku: lineárna predpokladá proporcionálny nárast hodnoty úžitku pri zlepšení dôsledku variantu podľa určitého kritéria konkávna vyadrue neproporcionálny vzťah medzi hodnotami dôsledkov variantov podľa kritérií a ich úžitkami. Z počiatku zvýšenie dôsledku variantu podľa istého kritéria o ednu ednotku vyvolá relatívne veľký nárast hodnoty parciálne funkcie úžitku daného kritéria, ale tempo rastu hodnoty úžitku pri zvyšovaní hodnôt dôsledkov variantov neustále klesá. Príkladom môže byť výhra 0 FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.74. ISBN

21 v lotérií. Človek disponuúci s maetkom približne , bude mať podstatne väčší úžitok z prírastku eho maetku pri teto výhre ako človek s maetkom konvexná taktiež vyadrue neproporcionálny vzťah medzi dôsledkami variantov podľa ednotlivých kritérií a ich úžitkami. Ale na rozdiel od konkávneho typu na začiatku zvýšenie hodnoty kritéria o ednu ednotku, vyvolá nepatrný prírastok hodnoty parciálne funkcie úžitku daného kritéria, pričom tempo rastu neustále rastie. Pri nákladovom type kritéria e to obdobné ako pri výnosovom. Nasleduúci obrázok poukazue na všetky možne tvary grafov funkcie úžitku. (prevzaté) Obr. č. 2: Grafy parciálnych funkcií úžitku podľa typu kritérií.6 Preferenčná nezávislosť kritérií Pri písaní teto podkapitoly sme vychádzali z literatúry (2). Tvar funkcie úžitku (.4) nazývame aditívnym tvarom funkcie úžitku. Obmedzuúcou podmienkou použitia aditívneho tvaru funkcie úžitku e vzáomná preferenčná nezávislosť kritérií. 2 Dvoica kritérií rozhodovania (K i, K ) e preferenčne nezávislá na ostatných kritériách vtedy, ak preferenčné poradie variantov rozhodovania pri meniacich sa hodnotách kritérií K i, K a pevných hodnotách ostatných kritérií nezávisí na pevne zvolených hodnotách ostatných kritérií. 3 FOTR, J. ŠVECOVÁ, L. - KOL Manažérske rozhodování: postupy, metódy a nástroe. 2. vyd. Praha 4: Ekopress, 200, s.80. ISBN JABLONSKÝ, J. FIALA, P. MAŇAS, M Viackriteriální rozhodovaní.. vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, 994, s. 47. ISBN FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s 9. ISBN

22 Postup overovania preferenčne nezávislosti dvoice kritérií od ostatných kritérií môžeme rozdeliť do dvoch krokov: V prvom kroku predpokladáme dvoicu indiferentných variantov. Variant A dosahue nalepšie hodnoty podľa kritéria Ki a nahoršie podľa ostatných kritérií a variant B, ktorý dosahue nalepšie hodnoty podľa K a nahoršie podľa ostatných. Indiferentné varianty ležia na rovnake indiferenčne krivke, čo znamená, že poskytuú subektu rozhodovania rovnakú mieru užitočnosti, preto predpokladané varianty A a B sú pre subekt rozhodovania rovnako dôležité. V druhom kroku overume, či indiferencia týchto dvoch variantov e platná a v prípade, ak variant A dosahue nalepšie hodnoty podľa všetkých kritérií okrem kritéria K a variant B taktiež nalepšie podľa všetkých kritérií okrem kritéria Ki. Po dokázaní platnosti indiferencie týchto dvoch variantov, môžeme tvrdiť, že dvoica kritérií Ki a K e preferenčne nezávislá na ostatných kritériách. Takýto postup testovania preferenčne nezávislosti opakueme pre každú dvoicu kritérií..7 Kompenzačná metóda Kompenzačná metóda patrí do skupiny metód vyčísluúcich váhy ednotlivých kritérií na základe znalostí dôsledkov variantov. Podstata teto metódy spočíva v zisťovaní zmien hodnôt dôsledkov variantov vzhľadom k dvoici kritérií rozhodovania (t.. v stanovení dvoíc indiferentných bodov). 4 Skúmaním problematiky určovania váh pomocou kompenzácií sme dospeli k záveru, že existuú tri rozdielne postupy výpočtu váh kritérií na základe kompenzačne metódy. Jednotlivé spôsoby stanoveniach váh si opíšeme vo štvrte kapitole teto bakalárske práce, a následne v prípadove štúdií ich použieme v konkrétnom rozhodovacom probléme. Pri každe metóde budeme využívať či už lineárnu, alebo a nelineárnu funkciu úžitku, ktorú sme si teoreticky priblížili v predchádzaúcich podkapitolách. Myslíme si však, že kompenzačná metóda môže pracovať a s inými funkciami a metódami, ale rozsah práce nám nedovoľue sa hlbšie venovať teto ďalše problematike. 4 FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.3. ISBN

23 2. Cieľ práce Vo všeobecnosti platí, že pri riešení rozhodovacích problémov v rámci viackriteriálne analýzy e potrebné vypočítať váhy kritérií. Obyčane pri vyčísľovaní váh kritérií sa využíva skupina metód, ktorá nevyžadue znalosť dôsledkov variantov. Napriek tomu si myslíme, že rovnako atraktívne môžu byť a metódy vyžaduúce znalosť dôsledkov variantov, konkrétne skupina metód, založených na kompenzačnom princípe, a keď náročnosť výpočtu váh e o niečo vyššia, v porovnaní s metódami, ktoré nepracuú s dôsledkami variantov. Konkrétnym cieľom bakalárske práce e analýza vybraných realizácií kompenzačne metódy. Prvý a tretí algoritmus realizácie kompenzačne metódy e vybraný z dostupne literatúry. Druhý algoritmus realizácie kompenzačne metódy e navrhnutý autorom bakalárske práce a následne e uvedený dôkaz správnosti navrhovaného algoritmu. Prezentácia a porovnanie uvedených prístupov realizácie kompenzačne metódy sú v závere práce uvedené v rámci prípadove štúdie výberu mobilného telefónu. Zosumarizovanie cieľov teto bakalárske práce: popísanie troch rozličných prístupov k realizácii kompenzačne metódy, aplikovanie postupov výpočtu váh na konkrétny rozhodovací problém s využitím lineárnych a nelineárnych funkcií úžitkov kritérií, komparácia vypočítaných váh kritérií, vyriešenie prípadove štúdie, tvorba preferenčného poradia, resp. výber kompromisného variantu, zhrnutie dosiahnutých výsledkov

24 3. Metodika práce a metódy skúmania Cieľom teto bakalárske práce e priblížiť, opísať a rozanalyzovať proces stanovenia váh kritérií pomocou metód založených na znalostiach dôsledkov variantov, pričom hlavná pozornosť by mala byť zameraná na kompenzačný princíp. Postupným získavaním informácií a študovaním teto problematiky sa zistilo, že existue málo dostupne literatúry, ktorá sa zaoberá touto vybranou skupinou metód. Často sa v literatúrach nachádzaú len ednoduché predstavenia a načrtnutia ako môže kompenzačný princíp fungovať, pričom nikdy nebol predostretý eho podrobneší popis. Nakoniec po získaní prístupu k literatúre () sa podarilo násť prvý ucelený postup kompenzačného princípu. V práci e tento postup uvedený ako tretia metóda. Spôsob stanovenia váh kritérií však úplne nekorešpondue s definíciou kompenzačného princípu, ktorá hovorí, že váhy sú stanovené na základe kompenzácií prírastkov a úbytkov úžitku ednotlivých variantov podľa kritérií. Tretia metóda e však postavená na určovaní dôležitosti rozdielov medzi ideálnym a bazálnym variantom pre každé kritérium. Taktiež nepracue s funkciou úžitku, dôležitosť rozdielov e určovaná subektívne rozhodovateľom. Práve preto bola táto metóda pozmenená o funkciu úžitku, ktorá spôsobue možnosť kvantitatívneho výpočtu dôležitosti rozdielov medzi ideálnym a bazálnym variantom každého kritéria. Pri pokuse zostavovania ďalše metódy, boli využívané marginálne úžitky. Marginálny úžitok predstavue nárast hodnoty úžitku pri zvýšení dôsledku variantu podľa určitého kritéria o ednu ednotku. Pri lineárnych funkciách úžitkov sa tieto marginálne úžitky vyčíslovali práve zvýšením dôsledkov variantov o ednotku, pri nelineárnych funkciách sa využívali ich prvé derivácie. Po vyčíslení marginálnych úžitkov sa ednoduchým spôsobom vypočítali ednotlivé váhy kritérií. Metóda využívaúca marginálne úžitky bola použitá v práci SVOČ, avšak po hlbše analýze sa dospelo k záveru, že takýto spôsob určovania váh nie e nasprávneší. Pri lineárne funkcii bolo nemožné dosiahnuť v každom bode lineárny prírastok úžitkov a pri nelineárnych funkciách váhy kritérií boli vyčíslované len na základe smerníc sklonu funkcií. Nepodarilo sa túto metódu pozmeniť tak, aby váhy kritérií boli korektne vypočítané, čo v konečnom dôsledku viedlo k úplnému vypusteniu možnosti práce s deriváciami funkcií a marginálnymi úžitkami

25 Pri vychádzaní zo základného vzťahu kompenzačného princípu, bolo dôležité si uvedomiť potrebu pomocného algoritmu, ktorý by vyčíslil prírastok úžitku edného porovnávaného kritéria, ak hodnota toho druhého by bola znížená. Analyzovaním viacerých možností a simulovaním určitých výpočtov s konkrétnymi číslami sa empiricky zistilo, že nepriama úmernosť e vhodný pomocný aparát. Tieto úvahy o nepriame úmernosti však neboli ničím podložené, preto bolo potrebné funkčnosť navrhovaného algoritmu dokázať. Matematicky dôkaz, ktorý potvrdzue správnosť využitia nepriame úmernosti, sa podaril až po získaní prístupu k literatúre (2), v ktore sa nachádza obdoba kompenzačne metódy. Táto metóda e v bakalárske práce uvedená ako prvá metóda. Pri vychádzaní z rovnakých predpokladov, pri pokuse stanovenia váh kritérií pomocou teto metódy sa vypočítal úplne rovnaký vektor váh kritérií ako v prípade kompenzačne metódy využívaúce aparát nepriame úmery. Pri zmene východiska výsledky boli rovnaké, čo znamenalo istú podobnosť medzi oboma postupmi. Táto podobnosť viedla k zostaveniu dôkazu, že výsledný vzťah pre výpočet neznáme váhy e rovnaký v oboch prípadoch. Tento záver, po zdĺhave analýze problematiky, navrhovaní algoritmov riešenia a uskutočňovania výpočtov váh kritérií pomocou týchto algoritmov, môžeme považovať ako vlastný prínos pri tvorbe bakalárske práce, v ktore sa zameriavame na tri metódy kompenzačného princípu

26 4. Výsledky práce 4. Prvá metóda kompenzačného princípu Pri písaní teto metódy sme vychádzali z literatúry (2). Prvá metóda kompenzačného princípu uvažue dva fiktívne varianty A a B z konečne množiny variantov X = K K,..., Km, 2 x,...,, x2 xn, pričom e stanovená konečná množina kritérií K =. Taktiež disponueme z aditívnym tvarom funkcie úžitku (.4), pričom ak u ( ) 0, tak x i e nahoršie ohodnotený variant podľa kritéria K i, naopak ak u ( ), i x i tak x i e nalepšie ohodnotený variant podľa kritéria K i. Keďže pracueme s aditívnym tvarom funkcie úžitku, tak prvým predpokladom použitia teto kompenzačne metódy na určenie váh kritérií sú navzáom preferenčne nezávislé kritéria. Ďale predpokladame, že fiktívny variant A dosahue nalepšie hodnoty podľa kritéria K i a nahoršie hodnoty podľa ostatných kritérií. Pričom rozhodovateľ považue kritérium K i za navýznamnešie. Fiktívny variant B dosahue nalepšie hodnoty podľa kritéria K, ={,...,m}, a nahoršie podľa ostatných kritérií. Z tohto predpokladu vyplýva, že pre ľubovoľné,..., m, i platí: i x i u( A) u( B). (4.) Fiktívny variant I predstavue taký variant, ktorý dosahue nahoršie hodnoty podľa všetkých kritérií okrem nadôležitešieho kritéria K i, pričom hodnota podľa nadôležitešieho kritéria K i e znížená tak, aby varianty I a B boli indiferentné, tzn. platí rovnosť: u( I) u( B). (4.2) Pomocou aditívneho tvaru funkcie úžitku vieme vyadriť čomu sa rovná celkový úžitok variantu I a variantu B: keďže u k (I) =0 pre každé k i, n u( I) v k k u ( I) v u ( I), (4.3) k i i

27 n u( B) v k k u ( B) v k u ( B), (4.4) keďže u k (B) =0 pre každé k. kde: Po dosadení do vzťahu (4.2) dostávame rovnosť dvoch funkcií úžitkov: viui ( I) v u ( B), (4.5) u i (I) e hodnota parciálne funkcie úžitku variantu I podľa nadôležitešieho kritéria K i, u (B) e hodnota parciálne funkcie úžitku variantu B podľa kritéria K, úpravou získavame následný vzťah: pričom platí, že: ' viui ( A) v u ( B), (4.6) v i e nenormovaná váha nadôležitešieho kritéria, rozhodovateľ e prideľue hodnotu v i =, ' u i ( A) e znížená hodnota úžitku variantu A podľa nadôležitešieho kritéria K i pričom platí vzťah: ' u ( A) u ( A) u ( A), (4.7) i i ( (A) e pokles hodnoty parciálneho úžitku variantu A vzhľadom k i-tému u i kritériu), v e nenormovaná váha -tého kritéria Keďže edinou neznámou vo vzťahu (4.6) e nenormovaná váha -tého kritéria, tak po e vyadrení dostávame vzťah: Hodnota parciálnych úžitkov (A) v i vi *[ ui ( A) ui ( A)]. (4.8) u ( B) u i a (B) u e taktiež ako nenormovaná váha v i rovná, úpravou potom dostávame výsledný vzťah pre výpočet nenormovane váhy v : v u ( A). (4.9) i

28 Z výsledného vzťahu usudzueme, že ak (A) predstavue pokles hodnoty parciálneho úžitku z hodnoty úžitku variantu A na hodnotu úžitku variantu I, pričom ' varianty I a B sú indiferentné, tak potom práve hodnota úžitku variantu I ( u (I) = ( A) rovná nenormovane váhe -tého kritéria. 4.2 Druhá metóda kompenzačného princípu Uvažume dvoicu kritérií K i a K, z nich každé kritérium e maximalizačného typu. Ak pokles hodnoty i-tého kritéria o vykompenzované prírastkom hodnoty druhého kritéria o nedôde k zmene celkového úžitku a musí platiť: 5 pričom: u i u i ) e xi (z pôvodne hodnoty x i ) e práve x (z pôvodne hodnoty x ), v u ( x ) v u ( x ) 0, (4.0) i i i v i e nenormovaná váha nadôležitešieho kritéria, rozhodovateľ e prideľue hodnotu v i =, v e nenormovaná váha -tého kritéria, u i ( x i ) e pokles parciálneho úžitku o xi vzhľadom k i-tému kritériu, u ( x ) e nárast parciálneho úžitku o x vzhľadom k -tému kritériu. Následnou úpravou rovnice dostávame vzťah pre výpočet váh kritérií: v v i u ( x ). (4.) u ( x ) i Keďže opäť pracueme s aditívnymi tvarmi funkcií úžitkov, taktiež ako pri prve metóde a teraz musíme overiť platnosť preferenčne nezávislosti kritérií. Rovnako to bude a pri trete metóde kompenzačného princípu. Taktiež predpokladame dva varianty A a B, kde variant A dosahue nalepšie hodnoty podľa kritéria K i. Pričom rozhodovateľ považue kritérium K i za navýznamnešie. Variant B dosahue nalepšie hodnoty podľa kritéria K, {=,...,m}. Parciálny úžitok u i (A) variantu A dosahuúci nalepšie hodnoty podľa nadôležitešieho kritéria K i e rovný, i 5 FOTR, J. PÍŠEK, M Exaktní metody ekonomického rozhodování.. Praha: Academia, 986, s.32. ISBN

29 rovnako ako parciálny úžitok u (B) variantu B dosahuúci nalepšie hodnoty podľa kritéria K. Hodnoty iných parciálnych úžitkov variantu A a B podľa ostatných kritérií brať do úvahy nemusíme, čo znamená, že pri zostavovaní parciálnych funkcií úžitkov, môžeme použiť, či už lineárne alebo nelineárne funkcie, kde edinou podmienkou pri ich zostavovaní e, že maximálna hodnota úžitkov variantov podľa kritérií musí byť rovná. Zo vzťahu (4.) vyplýva, že disponueme s dvomi neznámymi premennými a s dvomi premennými, ktoré vieme určiť. Váha nadôležitešieho kritéria ako sme už písali e rovná edne a pokles parciálneho úžitku (A) variantu A podľa nadôležitešieho i- tého kritéria e určený rozhodovateľom vzhľadom k druhému porovnávanému kritériu. Keďže cieľom kompenzačne metódy e vyčísliť váhy ednotlivých kritérií, tak aby sme to mohli korektne vypočítať, potrebueme vhodným algoritmom získať druhú neznámu premennú (B). u Navrhovaný algoritmus pre výpočet prírastku hodnoty úžitku variantu B: u i Ak poznáme ako poklesne parciálny úžitok (A) variantu A podľa i-tého kritéria, e potrebné vypočítať ako narastie parciálny úžitok (B) variantu B podľa - tého kritéria. platí: Podľa východzieho predpokladu platí, že u i (A) =, rovnako ako (B) =, t.. u i u ui ( A)* u ( B). (4.2) Pokles parciálneho úžitku variantu A podmieňue nárast parciálneho úžitku variantu B, t.. po dosadení do (3.2): u (B) : [ ui ( A) ui ( A)]*[ u ( B) u ( B)]. (4.3) Z tohto vzťahu vieme ednoduchým matematickým úkonom vyadriť neznámu u ( B) u ( B). (4.4) [ u ( A) u ( A)] i i Vychádzaúc z predpokladov, ktoré sme si vyššie zadefinovali, pozmenené vyadrenie neznáme (B) vyzerá nasledovne: u u

30 u ( B). (4.5) [ u ( A)] i Jeho úpravou získavame výsledný vzťah na výpočet nárastu parciálneho úžitku u (B) variantu B podľa -tého kritéria: [ u i( A)] ui ( A) u ( B). (4.6) [ u ( A)] u ( A) i Jednoduchým dosadením do vzťahu (4.0) dostávame rovnicu pre výpočet nenormovane váhy v : i ui ( A) vi * ui ( A) v * 0. (4.7) u ( A) i Po osamostatnení neznáme, platí rovnosť: v [ ui ( A)] vi * ui ( A) *. (4.8) u ( A) i Ak vykrátime poklesy parciálneho úžitku variantu A, ktoré sa nachádzaú a v čitateli, a v menovateli, a dosadením za nenormovanú váhu v i hodnotu, tak výsledný vzťah pre výpočet nenormovane váhy v e nasledovný: v u ( A). (4.9) i Porovnaním tohto vzťahu s výsledným vzťahom (4.9) z prve metódy kompenzačného princípu zisťueme, že sa rovnaú, čo len potvrdzue správnosť navrhovaného algoritmu, ktorý využíva nepriamu úmernosť na výpočet nárastu parciálneho úžitku variantu B podľa kritéria K. 4.3 Tretia metóda kompenzačného princípu V literatúre () sa stretávame s pozmeneným popisom kompenzačne metódy ako metódy na výpočet váh kritérií na základe dôsledkov variantov. Pomocou teto metódy rozhodovateľ považue kritérium, pri ktorom medzi dôsledkami ednotlivých variantov sú približne rovnaké tzn. minimálne rozdiely za bezvýznamné. Takéto kritérium by nemalo hrať významnú úlohu pri riešení rozhodovacieho problému

31 Postup samotne metódy e nasledovný: Určia sa parciálne funkcie úžitkov pre ednotlivé kritéria (Aplikovaním týchto parciálnych funkcií na model rozhodovace situácie, rozhodovateľ získa normované hodnoty variantov vzhľadom ku kritériám pohybuúce sa v intervale <0;)). Subekt rozhodovania stanový dva hypotetické varianty, o o eden variant bude obsahovať nalepšie dôsledky na základe každého kritéria, tzn. edná sa o ideálny variant, druhým variantom bude bazálny variant, variant s nahoršími dôsledkami vzhľadom na každé kritérium. Následne kvantifikue rozdiely pre každé kritérium medzi ideálnym a bazálnym variantom. Určí kritérium, pri ktorom zmena z namene preferovane hodnoty na naviac preferovanú hodnotu e preňho nadôležitešia a priradí takému kritériu nenormovanú váhu. Za nadôležitešiu zmenu považueme zmenu naväčšiu. Analogicky určí poradie podľa dôležitosti zmien a pre ostatné kritéria. Dosadením do vzťahu sa pomocou priame úmernosti: v vi * u ( x ), (4.20) u ( x ) i i vypočítaú nenormované váhy ostávaúcich kritérií, pričom: o u i x ) e zmena hodnoty úžitku medzi ideálnym a bazálnym variantom ( i podľa nadôležitešieho kritéria K i, o u x ) e zmena hodnoty úžitku medzi ideálnym a bazálnym variantom ( podľa kritéria K,,..., m, i. Výsledné váhy sa znormuú pomocou vzťahu (.2)

32 5. Prípadová štúdia a diskusia 5. Predstavenie rozhodovacieho problému Ako bolo vyššie spomínané, cieľom teto bakalárske práce má byť stanovenie váh kritérií pomocou kompenzačne metódy troma rozličnými postupmi. V teto časti sa pokúsime vytvoriť prípadovú štúdiu, v ktore použieme tri rôzne metódy na konkrétny rozhodovací problém výberu mobilného telefónu. Ak vychádzame z dnešne reality, tak e nám známe, že na trhu e niekoľko výrobcov mobilných telefónov, ktorí sa snažia neustále svoim vývoom byť lepším ako konkurencia a zákazníkom prinášať stále krašie, výkonnešie a samozreme lepšie produkty. Tento vývo e zväčša zameraný na vlakové lode týchto spoločností, preto a v teto práci by sme sa radi zamerali na popredné produkty ednotlivých spoločností, ktoré sú aktuálne na trhu. Rozhodovacím problémom potom e voľba optimálneho mobilného telefónu zo šiestich možných variantov. Tieto varianty sú tvorené telefónmi: Samsung Galaxy S6, LG G3, Nokia Lumia 930, Sony Xperia Z3, HTC One M9 a Iphone 6. Kritéria podľa, ktorých budeme porovnávať ednotlivé varianty, tvoríme na základe požadovaného cieľa. Naším cieľom e zvoliť ideálny produkt, ktorý by mal byť cenovo dostupný širše spoločnosti, eho výkon by mal byť dostatočný na to, aby sa na zariadení dala vykonávať základná funkcionalita rôznorodých aplikácií od telefonovania, využívania mobilných dát, online bankovníctva až po hranie náročneších hier na procesor. Výdrž batérie by mala byť dostatočná a na takto frekventované využívanie mobilného zariadenia. Samozremosťou by mal byť vhodne veľký disple, na ktorom e možné si prezerať napríklad fotografie vyfotografované kvalitným fotoaparátom. Váha mobilného telefónu by nemala prekážať pri každodenne manipulácií. Po dôkladnom zvážení požadovaného cieľa, budeme varianty v nasleduúce časti porovnávať podľa šiestich kritérií, a to konkrétne podľa veľkosti displea merane v palcoch, výkonnosti procesora v gigahertzoch, kvalite rozlíšenia fotoaparátu v megapixloch, kapacity batérie v mili-ampér hodinách, celkove hmotnosti zariadenia v gramoch a ceny v eurách

33 Tab. č. : Kritéria rozhodovacieho problému Druh kritéria Veľkosť displea Procesor Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena Špecifikácia kritéria kvantitatívne a maximalizačné kvantitatívne a maximalizačné kvantitatívne a maximalizačné kvantitatívne a maximalizačné kvantitatívne a minimalizačné kvantitatívne a minimalizačné Pri bližše špecifikácií ednotlivých kritérií vidíme, že všetky z nich sú kvantitatívne, keďže sú merateľné v určitých ednotkách, avšak kritéria Veľkosť displea, Procesor, Fotoaparát a Kapacita batérie sú maximalizačného typu, na rozdiel od kritérií Váha a Cena, ktoré sú minimalizačné. Pri nasleduúcich výpočtoch budeme využívať len hodnoty s rastúcou preferenciou, tzn. že minimalizačné kritéria prevedieme na maximalizačné pomocou vzťahu: x ' i x x, (5.) max i pričom: ' x i e hodnota i-tého variantu podľa -tého maximalizačného kritéria, x max e maximálna hodnota variantu podľa -tého minimalizačného kritéria, x i e hodnota i-tého variantu podľa -tého minimalizačného kritéria. Ak poznáme varianty a kritéria rozhodovacieho problému môžeme zostaviť model rozhodovace situácie a s hodnotami dôsledkov. Pri tvorbe tohto modelu sme vychádzali z literatúry (7) (8). Tab. č. 2: Model rozhodovace situácie Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 5." 2. GHz (4 adrá) 6 Mpix 2550 mah 38 g 699 LG G3 5.5" 2.5 GHz (4 adrá) 3 Mpix 3000 mah 49 g 465 Nokia Lumia " 2.2 GHz (4 adrá) 20 Mpix 2420 mah 67 g 420 Sony Xperia Z3 5.2" 2.5 GHz (4 adrá) 20.7 Mpix 300 mah 52 g 560 HTC One M9 5.0" 2.0 GHz (4 adrá) 20.7 Mpix 2840 mah 57 g 724 Iphone 6 4.7".4 GHz (2 adrá) 8 Mpix 80 mah 29 g

34 5.2 Overenie preferenčne nezávislosti medzi kritériami Pred tým, ako stanovíme váhy pomocou kompenzačne metódy, e potrebné overiť preferenčnú nezávislosť medzi všetkými kritériami. Preferenčná nezávislosť kritérií e prvým predpokladom použitia všetkých metód kompenzačného princípu. Zoberme do úvahy kritérium Veľkosť displea označme ho K a Cena K 6. Po vytvorení dvoch fiktívnych variantov A a B, keď variant A dosahue nalepšiu hodnotu podľa kritéria K a nahoršiu hodnotu podľa kritéria K 6. Variant B práve naopak dosahue nalepšiu hodnotu podľa kritéria K 6 a nahoršiu hodnotu podľa kritéria K. Oba varianty v prípade ostatných kritérií dosahuú nahoršie hodnoty. V takýchto podmienkach si vieme predstaviť variant A ako mobilný telefón s naväčším displeom ale s nahoršími ostatnými parametrami a variant B ako nalacneší telefón taktiež s ostatnými nahoršími parametrami. Variant B si ceníme viac za takýchto predpokladov ako variant A, preto platí u(a) < u(b) z čoho vyplýva, že K K 6. Hodnotu variantu B podľa kritéria Cena zhoršíme tak, aby platilo u(a) = u(i), pričom I e znížený variant B podľa kritéria Cena. Ak rovnosť u(a) = u(i) e platná a za predpokladu, keď variant A dosahue nahoršiu hodnotu podľa kritéria K 6 a nalepšiu hodnotu a podľa kritéria K, a zvyšných kritérií a variant B dosahue nahoršiu hodnotu podľa kritéria K a nalepšie hodnoty podľa K 6 a a zvyšných kritérií, pričom variant I e znížený variant B o rovnakú čiastku ako v prvom prípade, tak kritéria Veľkosť displea a Cena sú navzáom preferenčné nezávislé kritéria. V našom prípade rovnosť platí v oboch prípadoch, čiže podmienka preferenčne nezávislosti e splnená. Rovnaký postup aplikueme na každú dvoicu kritérií. Zisťueme, že podmienka e platná pri všetkých dvoiciach, čo znamená, že naše kritéria sú preferenčne nezávisle, a tak môžeme presť k samotnému stanovaniu váh pomocou kompenzačne metódy. 5.3 Stanovenie váh kritérií na základe prve metódy kompenzačného princípu Pri každe metóde kompenzačného princípu budeme vychádzať z rovnake rozhodovace matice, ktorá bude obsahovať dôsledky hodnôt variantov iba podľa maximalizačných kritérií

35 Tab. č. 3: Rozhodovacia matica s dôsledkami variantov podľa maximilizačných kritérií Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 5, 2, 6, LG G3 5,5 2,5 3, Nokia Lumia 930 5,0 2,2 20, Sony Xperia Z3 5, 2,5 20, HTC One M9 5,0 2,0 20, Iphone 6 4,7,4 8, Ako sme v predchádzaúcich častiach písali, pri prve metóde okrem preferenčne nezávislosti musí byť splnený a druhý predpoklad, a to taký, že nalepší dôsledok podľa ednotlivých kritérií musí byť ohodnotený ednotkou, a naopak nahorší nulou. V prípade, že by tento predpoklad nebol splnený, tak rovnosť vyplývaúca zo vzťahu (4.6) by nebola pravdivá, čo by znamenalo, že váhy kritérií by sme nemohli stanoviť pomocou teto metódy. Preto musíme zvoliť takú funkciu úžitku pre všetky kritéria, aby predpoklad prisudzuúci ednotku nalepšiemu dôsledku a nulu nahoršiemu dôsledku podľa každého kritéria bol splnený. Ako vhodná funkcia úžitku sa aví funkcia váženého súčtu, ktorá sa vyznačue tým, že minimálnemu dôsledku variantu podľa určitého kritéria prislúcha normovaná hodnota 0. Maximálnemu dôsledku variantu podľa určitého kritéria naopak prislúcha. Funkcia váženého súčtu má lineárny priebeh, e funkčný predpis e nasledovný: pričom: u( x i xi min xk ), (5.2) max x min x u x ) e parciálny úžitok i-tého variantu podľa -tého kritéria, ( i k k x i e dôsledok i-tého variantu podľa -tého kritéria, min xk e minimálny dôsledok v rámci -tého kritéria prislúchaúci k-tému variantu, max xk e maximálny dôsledok v rámci -tého kritéria prislúchaúci k-tému displea. variantu. Na grafe č. 2 e vidieť priebeh funkcie váženého súčtu pre kritérium Veľkosť

36 Graf č. 2: Lineárny priebeh funkcie váženého súčtu Funkcia váženého súčtu,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 Po normovaní touto funkciou úžitku dôsledky všetkých hodnôt ednotlivých kritérií dostávame nasleduúcu rozhodovaciu maticu. Tab. č. 4: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 0,5 0, , , , , LG G3 0, , , ,85974 Nokia Lumia 930 0,375 0, , , Sony Xperia Z3 0,5 0, , HTC One M9 0,375 0, , , Iphone , Predtým ako predeme k samotnému výpočtu váh kritérií e potrebné určiť preferenčné poradie ednotlivých kritérií. Opodstatnenie preferenčného poradia e zremé zo 4. kapitoly teto práce, v ktore sme písali, že pri prve metóde kompenzačného princípu stále porovnávame dvoicu fiktívnych variantov. Jeden variant z teto porovnávane dvoice e stále taký fiktívny variant, ktorý dosahue nalepšie hodnoty podľa nadôležitešieho kritéria a nahoršie hodnoty podľa ostatných. Označueme ho symbolom A. V každom nasleduúcom kroku variant A porovnávame s iným variantom, ktorý e nalepšie ohodnotený podľa -tého kritéria a nahoršie podľa ostatných. Aby ostala zachovaná rovnosť popísaná vo vzťahu (4.6), parciálna hodnota úžitku variantu A podľa nadôležitešieho kritéria musí byť znížená o určitú čiastku. Keďže e samozreme, že kritéria v modeli rozhodovace situácie maú inú dôležitosť, tak subekt rozhodovania sa musí pri každe porovnávane fiktívne variante rozhodnúť o akú kvantifikovanú časť poklesne parciálny úžitok variantu A. Napríklad, porovname variant A naprv s variantom B a následne s variantom C. V prvom prípade, aby platil vzťah (4.6) sme znížili parciálny úžitok variantu A o hodnotu 0,2. V druhom prípade to však bolo až o hodnotu 0,4. Ak by

37 sme porovnávali varianty B a C, z predchádzaúcich porovnávaní usudzueme, že variant C nemôže byť dôležiteší ako variant B, a teda kritérium podľa, ktorého variant B dosahue nalepšie hodnoty si ceníme viac ako kritérium ovplyvňuúce variant C. Z predchádzaúcich konštatovaní si preto určíme preferenčné poradie kritérií. Za nadôležitešie kritérium pokladáme kritérium Cena. Predovšetkým pri kúpe nových vecí, mnohí z nás sa riadime namä podľa tohto parametra. V naše prípadove štúdií porovnávame nalepšie produkty popredných spoločností, funkcionalita týchto zariadení e porovnateľná, avšak ak sa pozrieme na cenu, práve v ne môžeme pozorovať naväčšie rozdiely. Ľudia v takomto prípade preferuú cenovo priateľnešie riešenie. Taktiež veľmi dôležitým kritérium e kritérium Váha. V dnešne dobe e trendom vlastniť taký mobilný telefón, ktorý neprekáža pri bežne činnosti. Vychádzaúc z tabuľky č. 2 vidíme, že medzi ednotlivými variantmi sú očividné rozdiely, preto kritérium zaraďueme na druhé miesto. Veľmi často využívanou funkciou mobilných zariadení e fotoaparát. Postupom času mobily nahrádzali digitálne fotoaparáty, keďže pomocou nich vieme v súčasnosti nafotiť podobne kvalitné fotografie. Kritériu Fotoaparát prisudzueme stredne vysokú dôležitosť a prislúcha mu tretie miesto. Podobne ako fotoaparátu a kritériu Procesor prisudzueme stredne vysokú dôležitosť, keďže podľa nášho názoru vybrané varianty disponuú s porovnateľnými výkonmi procesorov. Výrobcovia si nemôžu dovoliť priniesť na trh vlakovú loď s nevýkonným procesorom. Toto kritérium zaradíme na štvrté miesto dôležitosti. Ako mene dôležité kritéria považueme kritéria Veľkosť displea a Kapacita batérie, ktorým prislúcha piata a šiesta pozícia. Pri veľkosti displea e podobný problém ako pri procesore. Vidíme, že hodnoty kumuluú približne pri piatich palcov, myslíme si že nie e veľký rozdiel ak siahneme po telefóne, ktorý má o tri desatiny palca väčšiu obrazovku ako po telefóne s troma desatinami menším displeom. Kapacita batérie e osobitná kategória. Pri aktívnom využívaní telefónov nemôžeme očakávať, že batéria vydrží nabitá viac ako eden deň. S takýmto problémom sa stretávame pri všetkých značkách mobilných telefónov. Predchádzať pred úplným vybitím zariadenia môžeme pomocou prenosných batérií, ktoré pomocou micro-usb kábla pripoíme k telefónu a tým predĺžime eho životnosť

38 Ak máme pripravené preferenčné poradie kritérií, samozreme iný subekt rozhodovania nemusí zvoliť rovnaké poradie, tak môžeme určiť fiktívne varianty, ktoré budú dosahovať nalepšie hodnoty podľa ednotlivých kritérií v takom poradí ako sme si to určili. Tieto varianty označíme postupne symbolmi od A až po F a ich parciálne hodnoty úžitkov sú zreme na základe tabuľky č. 5. Tab. č. 5: Fiktívne varianty s dôsledkami podľa ednotlivých kritérií Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita bat. Váha Cena Variant A Variant B Variant C Variant D Variant E Variant F Podľa tabuľky vieme určiť, že napríklad, variant B dosahue nalepšiu hodnotu podľa kritéria Váha a nahoršie podľa ostatných alebo variant D podľa kritéria Procesor a tiež nahoršie podľa ostatných. Nenormované váhy ednotlivých kritérií stanovíme podľa vzťahu (4.9). Nesmieme zabúdať, že kritérium Cena e priradená nenormovaná váha s hodnotou. Stanovenie nenormovaných váh kritérií: Kritérium Váha : porovnávanie variantov A a B Kritérium Fotoaparát : porovnávanie variantov A a C v u ( 6 A) v u ( 6 A) Kritérium Procesor : porovnávanie variantov A a D Kritérium Veľkosť displea : porovnávanie variantov A a E v u ( 6 A) v u ( 6 A) Kritérium Kapacita batérie : porovnávanie variantov A a F v ( 4 u6 A) Pri porovnávaní variantov A a B, vidíme, že parciálny úžitok variantu A podľa kritéria Cena poklesol o hodnotu 0,. Z toho vyplýva, že kritérium Váha dosahue 90% dôležitosť kritéria Cena, preto kritériu Váha prisudzueme nenormovanú váhu 0,

39 Podobne len s inými hodnotami to e a pri ostatných kritériách. Z nenormovaných váh podľa vzťahu (.2) vieme ednoduchým spôsobom vypočítať normované váhy, ktorých súčet e rovný. Nenormované a normované váhy ednotlivých kritérií uvádzame v nasleduúce tabuľke. Tab. č. 6: Výsledné váhy získané prvou metódou kompenzačného princípu Kritéria Nenormované váhy Normované váhy Veľkosť displea 0,20 0, Procesor 0,30 0, Fotoaparát 0,40 0, Kapacita batérie 0,5 0, Váha 0,90 0, Cena,00 0, Graf č. 3: Graf s výslednými váhami stanovenými prvou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu váženého súčtu Prvá metóda kompenzačného princípu 0, , , , , Veľkosť displea Procesor Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena 0, Stanovenie váh kritérií pomocou prve metódy kompenzačného princípu sme si ukázali len za predpokladu lineárne funkcií úžitku. Nelineárnu funkciu úžitku sme si neuviedli z dôvodu náročnosti vytvorenia take funkcie, ktorá by prisudzovala nalepším dôsledkom ednotky a nahorším nuly. V nasleduúcich metódach však už budeme disponovať a s lineárnymi a nelineárnymi funkciami úžitkov

40 5.4 Stanovenie váh kritérií na základe druhe metódy kompenzačného princípu Prvým predpokladom druhe metódy kompenzačného princípu podobne ako pri predchádzaúce metóde e preferenčná nezávislosť, ktorú sme si overili v podkapitole 5.2. Druhým predpokladom e, že maximálne hodnoty podľa ednotlivých kritérií maú dosahovať normovanú hodnotu. Minimálne dôsledky variantov podľa kritérií brať do úvahy nemusíme, tzn. že predpoklad prisudzovania 0 nahorším dôsledkom môže byť splnený ale nie e to povinnosťou. Okrem toho sa druha metód od prve líši v tom, že pokles parciálneho úžitku edného kritéria e kompenzovaný prírastkom parciálneho úžitku druhého kritéria. Pri prvom princípe sme o prírastkoch nehovorili vôbec. V ňom sme len znižovali hodnotu parciálneho úžitku variantu A, tak aby platila rovnosť vo vzťahu (4.6). A napriek tomu, že ednotlivé metódy sú vo svoich postupoch rozdielne, výsledný vzťah na výpočet váh kritérií e rovnaký, čo bolo preukázané vo štvrte kapitole teto práce. Preto môžeme očakávať rovnaké výsledné váhy ednotlivých kritérií pri použití lineárne ale a nelineárne funkcie úžitku ako pri prve metóde. Preferenčne poradie kritérií ostáva rovnaké. A pri lineárne a nelineárne funkcii úžitku si ukážeme výpočet váhy edného kritéria na celom postupe teto metódy. Keďže vo 4. kapitole sme si odvodili výsledný vzťah na stanovanie nenormovaných váh kritérií, tak ostatné váhy vypočítame len dosadením do vzťahu (4.9) Lineárna funkcia úžitku Splnenie druhého predpokladu zabezpečíme použitím lineárne funkcie bázického variantu. Funkčný predpis teto funkcie e nasledovný: xi u( xi ), (5.3) max x pričom význam premenných e rovnaký ako pri funkcii úžitku použite v prve metóde kompenzačného princípu. Na grafe č. 4 možno pozorovať odlíšenie funkcie bázického variantu oproti funkcii váženého súčtu. V prvom prípade funkčný predpis minimálnych hodnôt bol 0, na rozdiel k

41 od druhého prípadu, keď môžeme vidieť, že minimálna hodnota pri kritériu Procesor e,4, čo s určitosťou nebude dosahovať normovanú hodnotu 0. Graf č. 4: Lineárny priebeh funkcie bázického variantu Funkcia bázického variantu,2 0,8 0,6 0,4 0, Po normovaní touto funkciou úžitku dôsledky všetkých hodnôt ednotlivých kritérií dostávame nasleduúcu rozhodovaciu maticu. Tab. č. 7: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 0, ,84 0, , , , LG G3 0, , , ,85974 Nokia Lumia 930 0, ,88 0, , Sony Xperia Z3 0, , , HTC One M9 0, ,8 0, , Iphone 6 0, ,56 0, , , Podobne ako pri prve metóde a teraz budeme porovnávať ednotlivé kritéria s nadôležiteším, čo v našom prípade e kritérium Cena. Netreba zabúdať, že pri porovnávaní dvoice kritérií pracueme s variantmi dosahuúcimi nalepšie hodnoty podľa teto dvoice. Na príklade kritéria Váha si ukážeme celý postup odvodzovania výsledne váhy tohto kritéria. Naprv do vzťahu nepriame úmernosti (4.2) si dosadíme parciálne predpisy funkcií úžitkov piateho a šiesteho kritéria. Ako subekt rozhodovania sme sa rozhodli znížiť maximálny dôsledok podľa kritéria Cena o 0% z pôvodne hodnoty 304 na hodnotu 273,6. Vyadríme si neznámu x 5 a za premennú x 6 dosadíme znížený dôsledok a vyčíslime novú hodnotu maximálneho dôsledku podľa kritéria Váha

42 x6 x5 552 * x x Nový dôsledok podľa kritéria Váha e rovný 380/9, čo predstavue približne hodnotu 42,22. Pre správnosť riešenia však musíme rátať s presnou hodnotou. Dosaďme do predpisu parciálne funkcie úžitku pre kritérium Váha túto novú hodnotu a následne odpočítame, čo predstavue maximálny normovaný úžitok tohto kritéria. Výsledná hodnota potom predstavue prírastok parciálneho úžitku podľa kritéria Váha. 380 ' 9 0 ' 0 u ( x5 ) u( x5 ) Podľa výpočtov vidíme, že ak znížime parciálnu hodnotu úžitku podľa kritéria Cena o hodnotu 0,0, tak parciálna hodnota úžitku podľa kritéria Váha narastie približne o hodnotu 0,. Tieto hodnoty vieme dosadiť do vzťahu (4.0) a následne vypočítať nenormovanú váhu kritéria Váha. Samozreme za nenormovanú váhu kritéria Cena dosadzueme hodnotu. *( 0.0) v 5 * 0 v 0.0* Overme správnosť riešenia stanovením nenormovane váhy dosadením do výsledného vzťahu (4.9). v 5 u( x6) Rovnosť platí, na konkrétnom príklade sme si ukázali odvodenie nenormovane váhy edného z kritérií podľa druhe metódy kompenzačného princípu, ktorá e založená na kompenzácií poklesu parciálneho úžitku podľa edného kritéria prírastkom podľa druhého. Dosadením do vzťahu (4.9) si vyčíslime a ostatné váhy kritérií. Stanovenie nenormovaných váh kritérií: Kritérium Fotoaparát : Kritérium Procesor : v u( x ) v u( x ) Kritérium Veľkosť displea : 2 6 Kritérium Kapacita batérie : v u( x ) v u( x )

43 Tab. č. 8: Výsledné váhy získané druhou metódou kompenzačného princípu pri využití lineárne funkcie úžitku Kritéria Nenormované váhy Normované váhy Veľkosť displea 0,20 0, Procesor 0,30 0, Fotoaparát 0,40 0, Kapacita batérie 0,5 0, Váha 0,90 0, Cena,00 0, Graf č. 5: Graf s výslednými váhami stanovenými druhou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu bázického variantu Druhá metóda kompenzačného princípu Lineárna funkcia úžitku 0, , Veľkosť displea Procesor 0, , Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena 0, , Nelineárna funkcia úžitku Keďže pracueme s kritériami maximalizačného typu, vieme, že funkcia úžitku má rastúci charakter. Ak sa pozrieme na každé kritérium zisťueme, že sú niečím špecifické. Pre každé z nich platí, že úžitok zmeny z nižše hodnoty o ednu ednotku e pre rozhodovateľa významneší ako úžitok zmeny z vyšše hodnoty práve o ednu ednotku. Napríklad, ak zoberieme do úvahy kritérium Veľkosť displea, tak pre rozhodovateľa e nárast z 3 palcov na 4 významneší ako povedzme z 5 palcov na 6. Pri kritériu Fotoaparát platí rovnaké tvrdenie, ak vlastním telefón, ktorý má fotoaparát s rozlíšením 4 megapixle a vymením ho za telefón s 8 megapixlami, úžitok teto zmeny e väčší ako úžitok zmeny z 6 megapixlov na 20. Predpokladáme, že pri všetkých kritériách má úžitok

44 zmien klesaúcu tendenciu, a preto tvar grafu funkcie úžitku nadobúda konkávny charakter. Zo znalosti matematiky vieme, že tvar kriviek logaritmických funkcií e konkávny. Túto vlastnosť radi využieme a za nelineárnu funkciu úžitku zvolíme funkciu prirodzeného logaritmu. Otázkou však e, aký funkčný predpis pre ednotlivé kritéria e potrebné zvoliť, aby bol splnený druhý predpoklad teto kompenzačne metódy? Z vlastností logaritmických funkcii e zremé: ln( x) x e. (5.4) Aby pre ednotlivé maximálne hodnoty dôsledkov variantov podľa kritérií sa funkčný predpis rovnal, tak za x e potrebné dosadiť výraz: xi x. (5.5) max x / e Po dosadení maximálne hodnoty dôsledku variantu podľa -tého kritéria do výrazu, vidíme že x i sa kráti s max x k, pričom v čitateli ostáva hodnota e. Funkčná hodnota parametra e vo funkcii prirodzeného logaritmu e rovná naoza. Preto ako funkciu úžitku si volíme takúto funkciu prirodzeného logaritmu: x i u( x i ) ln (5.6) max xk / e Krivka grafu pre parciálne funkcie úžitku ednotlivých kritérií e približne rovnaká. Na grafe č. 6 e vidieť tvar krivky pre kritérium Fotoaparát, kde môžeme pozorovať konkávny charakter funkcie. Graf č. 6: Nelineárny priebeh funkcie úžitku kritéria Fotoaparát k,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 Nelineárna funckia úžitku

45 Po normovaní touto funkciou úžitku dôsledky všetkých hodnôt ednotlivých kritérií dostávame nasleduúcu rozhodovaciu maticu. Tab. č. 9: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou nelineárne funkcii úžitku Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 0, , , , , LG G3 0, , , ,8398 Nokia Lumia 930 0, , , , Sony Xperia Z3 0, , , HTC One M9 0, , , Iphone 6 0, , , , Postup odvodenia hodnoty váhy kritéria Fotoaparát : Postupueme rovnako ako v prípade lineárne funkcie úžitku. Do vzťahu (4.2) dosadíme predpisy parciálnych funkcií úžitkov kritéria Cena a Fotoaparát. Rozhodovateľ usúdil, že maximálny dôsledok podľa kritéria Cena zníži z hodnoty 304 o 60% na približne hodnotu 66,84. Následne si vyadríme neznámu x 3 a vypočítame e novú hodnotu. x6 ln 304 / e x3 *ln 20.7 / e x / e * e x6 ln 304/ e 20.7 / e * e ln 304/ e Nový dôsledok podľa kritéria Fotoaparát e rovný približne hodnote 92,77, po e dosadení do parciálneho predpisu funkcie úžitku, dostávame funkčnú hodnotu. Po odpočítaní, vyčíslime nárast parciálne hodnoty úžitku kritéria Fotoaparát v prípade, ak pokles porovnávaného kritéria Cena bol 0,6. u ' ' 5 x ln x / e 2 Nárast parciálneho úžitku kritéria Fotoaparát e,5. Ak túto hodnotu dosadíme spoločne s poklesom úžitku kritéria Cena do vzťahu (4.0), vieme vypočítať nenormovanú váhu kritéria Fotoaparát. 3 *( 0.6) v 3 *.5 0 v 0.6/ Na príklade sme si odvodili nenormovaná váhu kritéria Fotoaparát. Správnosť riešenia môžeme overiť stanovením nenormovane váhy dosadením do výsledného vzťahu (4.9)

46 v 3 u( x6) Dosadením do vzťahu (4.9) vyčíslime a ostatné váhy kritérií. Stanovenie nenormovaných váh kritérií: Kritérium Váha : Kritérium Procesor : v u( x ) v u( x ) Kritérium Veľkosť displea : 2 6 Kritérium Kapacita batérie : v u( x ) v u( x ) Tab. č. 0: Výsledné váhy získané druhou metódou kompenzačného princípu pri využití nelineárne funkcie úžitku Kritéria Nenormovaná váha Normovaná váha Veľkosť displea 0,20 0, Procesor 0,30 0, Fotoaparát 0,40 0, Kapacita batérie 0,5 0, Váha 0,90 0, Cena,00 0, Graf č. 7: Graf s výslednými váhami stanovenými druhým princípom kompenzačne metódy využívaúci nelineárnu funkciu úžitku Druhá metóda kompenzačého princípu Nelineárna funkcia úžitku 0, , , , , Veľkosť displea Procesor Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena 0,

47 5.5 Stanovenie váh kritérií na základe trete metódy kompenzačného princípu Výpočet váh kritérií pomocou trete metódy e realizovaný postupne po krokoch opísaných vo 4. kapitole teto práce. Pri výpočte využieme lineárnu ale a nelineárnu funkciu úžitku Lineárne funkcia úžitku Tvar lineárne funkcie úžitku využívane v trete metóde e nasledovný: xi u ( x i ) n. (5.7) x i Pri teto kompenzačne metóde porovnávame veľkostí rozdielov medzi ideálnym a bazálnym variantom podľa kritérií. Pre korektné kvantifikovanie rozdielov musíme pracovať s takými údami, ktoré sa budú nachádzať v intervale <0,). Prisúdenie normovane hodnoty dôsledkom variantov s nalepšími hodnotami podľa kritérií nie e nasprávnešie riešenie, keďže následné rozdiely pri niektorých kritériách by mohli byť rovné, čo by znamenalo, že im prisudzueme rovnakú dôležitosť. Aby sme predišli takýmto výsledkom, za funkciu úžitku sme zvolili práve predpis (5.7), ktorý zaručue, že žiadna hodnota nebude nadobúdať normovanú hodnotu. Nenormovanú hodnotu 0 nahoršie dôsledky variantov podľa ednotlivých kritérií môžu dosahovať, povinnosťou to ale nie e. Na základe grafu č. 8 e zremý lineárny priebeh funkcie úžitku, pričom nalepšia hodnota podľa kritéria nedosahue normovanú hodnotu. Príklad e uvedený pre kritérium Procesor. i

48 Graf. č. 8: Lineárny priebeh funkcie úžitku 0,25 Lineárna funkcia úžitku 0,2 0,5 0, 0, ,5,5 2 2,5 3 Po normovaní touto funkciou úžitku dôsledky všetkých hodnôt ednotlivých kritérií dostávame nasleduúcu rozhodovaciu maticu. Tab. č. : Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou lineárne funkcii úžitku Mobilné telefóny Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 0, , , , , ,03234 LG G3 0, , , , , , Nokia Lumia 930 0, , , , , Sony Xperia Z3 0, , , , , , HTC One M9 0, , , , , Iphone 6 0, , , , , ,03349 Ak máme rozhodovaciu maticu s normovanými hodnotami, tak vytvoríme ideálny a bazálny variant, následne urobíme ich rozdiel. Keďže pracueme s rovnorodými údami za nadôležitešie kritérium zvolíme to, pri ktorom e rozdiel ideálne a bazálne varianty navyšší. Podmieňue to fakt, že rozhodovateľ pokladá za dôležitešie kritérium to, ktoré má väčšiu diverzifikáciu medzi hodnotami, ako kritérium s hodnotami blízko seba. Zvolenému nadôležitešiemu kritériu prislúcha nenormovaná váha. Podľa vzťahu (4.20) vypočítame zvyšné váhy kritérií. Po vypočítaní nenormovaných váh ednoduchým spôsobom podľa vzťahu (.2) ich znormueme, čím dostaneme výsledné váhy, ktoré uvádzame v tabuľke č

49 Tab. č. 2: Výsledné váhy vypočítané treťou metódou kompenzačného princípu pri lineárne funkcii úžitku. Kritéria Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Ideálny variant 0, , , , , , Bazálny variant 0, , , , Rozdiel 0, , , , , , Poradie Nenormované v. 0, , , , , Normované váhy 0, , ,2730 0, , , Graf č. 9: Graf s výslednými váhami stanovenými treťou metódou kompenzačného princípu využívaúci lineárnu funkciu úžitku Tretia metóda kompenzačného princípu Lineárna funkcia úžitku 0, , , , , Veľkosť displea Procesor 0, Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena Nelineárna funkcia úžitku V tomto prípade si stanovíme šesť parciálnych funkcií úžitkov ednotlivých kritérií. Spoločným znakom týchto funkcií e, že predstavuú funkcie prirodzených logaritmov, čo nám zabezpečí konkávny charakter kriviek funkcií. Parciálne funkcie sa navzáom odlišuú v sklone, v parametroch a v ednom prípade máme zaznamenaný a posun grafu funkcie. Ako pri lineárne funkcie a pri týchto parciálnych funkciách e zabezpečený predpoklad práce s hodnotami z intervalu <0,)

50 Predpisy parciálnych nelineárnych funkcií úžitkov kritérií: Veľkosť displea: u( x i ) *ln( xi ), 2 (5.8) Procesor: u( x i ) *ln( xi ), 2 (5.9) Fotoaparát: u ( x i ) *ln( xi ), 2 (5.0) Kapacita batérie: u( x i ) *ln( xi ), 9 (5.) Váha zariadenia: u ( x i ) *ln( xi 4 ), (5.2) Cena: u ( x i ) *ln( xi 6 ). (5.3) Graf č.0: Grafy parciálnych nelineárnych funkcií úžitkov kritérií Veľkosť displea Procesor,2 0,8 0,6 0,4 0, ,2 0,8 0,6 0,4 0, Fotoaparát Kapacita batérie,2 0,8 0,6 0,4 0, ,9 0,88 0,86 0,84 0,

51 Váha zariadenia Cena,2,2 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0, Dosadaním do predpisov parciálnych nelineárnych funkcií pôvodné údae, získame normované hodnoty rozhodovace matice, ktoré sú zremé z tabuľky č. 3. Tab. č. 3: Znormované hodnoty dôsledkov variantov pomocou parciálnych nelineárnych funkcií úžitkov Mobilné telefóny Veľkosť d. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Samsung Galaxy S6 0, , , , , ,54306 LG G3 0, , , , , , Nokia Lumia 930 0, , , , , Sony Xperia Z3 0,8462 0, , , , , HTC One M9 0, , , , , Iphone 6 0, , , , , , Rovnakým spôsobom ako pri lineárne funkcií úžitku vieme pomocou rozdielov hodnôt ideálneho a bazálneho variantu pre všetky kritéria a následnou priamou úmerou vyčísliť výsledné váhy kritérií. Tab. č. 4: Výsledné váhy vypočítane treťou metódou kompenzačného princípu pri parciálnych nelineárnych funkciách úžitkov Mobilné telefóny Veľkosť d. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena Ideálny variant 0, , , , , , Bazálny variant 0, , , , Rozdiel 0, , , , , , Poradie Nenormovaná v. 0, , , , , Normovaná váha 0, , ,7425 0, , ,

52 Graf č. : Graf s výslednými váhami stanovenými treťou metódou kompenzačného princípu využívaúci nelineárne funkcie úžitkov Tretia metóda kompenzačného princípu Nelineárne parciálne funkcie úžitkov 0, , , , Veľkosť displea Procesor Fotoaparát Kapacita batérie Váha Cena 0, ,

53 Záver V teto bakalárske práci sme sa zamerali na výpočet váh kritérií pomocou kompenzačne metódy, ktorá patrí do skupiny metód určuúce váhy na základe dôsledkov variantov. Samotný výpočet váh sme realizovali na konkrétnom rozhodovacom probléme výberu mobilného telefónu troma rôznymi postupmi kompenzačne metódy, pričom pri druhom a treťom sme využívali okrem lineárne funkcie úžitku a nelineárne funkcie. V prvom prípade to bolo len lineárna funkcia úžitku. Celkovo sme dostali päť vektorov váh, ktoré sú zhrnuté v nasleduúce tabuľke, podľa ktore e zremé a poradie kritérií. Tab. č. 5: Komparácia metód určuúcich váhy kritérií Kritérium Veľkosť dis. Procesor Fotoaparát Kapacita b. Váha Cena.metóda 0, ,07 0, , , ,33898 Poradie kritérií metóda lin. f(u) 0, ,07 0, , , ,33898 Poradie kritérií metóda nelin. f(u) 0, ,07 0, , , ,33898 Poradie kritérií metóda lin. f(u) 0, ,0869 0,273 0, , ,36854 Poradie kritérií metóda nelin. f(u) 0, ,0455 0,743 0,0256 0,3303 0,34382 Poradie kritérií Graf č. 2: Komparácia výsledných váh kritérií 0,4 Komparácia výsledných váh kritérií 0,3 0,2 0, Prvá metóda kom. p. Druhá metóda kom. p. lin. f(u) Druhá metóda kom. p. nelin. f(u) Tretia metóda kom. p. lin. f(u) Tretia metóda kom. p. nelin. f(u)