Microsoft Word - 21_I_1_Snajder.doc

Prepis

1 35 VYKONÁVATELE (PROCESORY) ALGORTMOV Ľuomír Šnajder Univerzita P.J. Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta, Ústav informatiky Anotácia: Výuče algoritmizácie sa v súčasnej školskej informatike venuje čoraz menšia pozornosť. Ozvlášť kritická situácia je pri jednoročných kurzoch informatiky na niektorých stredných odorných školách a stredných odorných učilištiach, kde vo výuče informatiky nenájdeme žiadnu zmienku o algoritmizácii. Jednou z možností nenásilného zaradenia algoritmizácie do výučy informatiky je využitie tzv. vykonávateľov (procesorov) algoritmov. Pomocou nich vieme žiakom ozrejmiť ďalšie pojmy - algoritmus, jazyk, chyy a krokovanie algoritmov atď. Riešením prolémov pomocou vyraných vykonávateľov algoritmov môžeme prispieť k propedeutike zavedenia ďalších informatických pojmov a metód riešenia algoritmických prolémov. Kľúčové slová: výuča programovania, vykonávatele algoritmov, procesory algoritmov, jazyk vykonávateľa, krokovanie algoritmu, druhy chý, procedúra Úvod Nahliadnutím do osnov predmetu informatika [1] zistíme, že výuča prolematiky algoritmov a algoritmizácie je povinná na gymnáziách a voliteľná na stredných odorných školách a stredných odorných učilištiach. Ak chceme zaradiť prolematiku algoritmov a algoritmizácie do výučy, máme niekoľko možností. Pri veľkých časových dotáciách (rádovo hodín) môžeme vyučovať algoritmizáciu a programovanie pomocou nejakého programovacieho jazyka (napr. Pascal, C), pri menších dotáciách (rádovo hodín) môžeme prerať niektorý z detských programovacích jazykov (Logo, Baltík, Karel). Ak algoritmizácii mienime vo výuče informatiky venovať len zopár hodín, jedným z riešení sú práve vykonávatele algoritmov. Poďme sa pozrieť na zadania troch úloh, ktoré môžeme často nájsť medzi úlohami z rekreačnej matematiky. Úloha o prievozníkovi Na jednom z dvoch rehov rieky stoja vlk, koza a kapusta. Úlohou prievozníka je pomocou člna previezť vlka, kozu a kapustu na druhý reh rieky. Do člna sa okrem prievozníka zmestí len jeden pasažier (vlk, koza aleo kapusta). Vymyslite návod, podľa ktorého y sa mal riadiť prievozník, ay splnil svoju úlohu. Pri tvore návodu pre prievozníka musíme rať do úvahy skutočnosť, že nemôžeme ez dozoru nechať na rehu rieky vlka s kozou, a tiež kozu s kapustou, leo y sa zožrali a prievozník y svoju úlohu nesplnil. Úloha so štyrmi mincami Or.1: Počiatočný a konečný stav mincí v úlohe o 4 minciach Na mieste A sú na see položené 4 mince s nominálnou hodnotou 1 Sk, 2 Sk, 5 Sk a 10 Sk. Minca s menšou nominálnou hodnotou pritom leží na minci s väčšou nominálnou hodnotou. Vymyslite postup na premiestnenie týchto 4 mincí z miesta A na miesto C za pomoci miesta B. Pri presunoch musíte dodržať nasledovné pravidlá - v každom kroku môžete premiestniť len jednu mincu, a to len vrchnú mincu z ľuovoľného miesta (A, B, C) na iné miesto (A, B, C). Ďalej nesmiete položiť mincu s väčšou nominálnou hodnotou na mincu s menšou nominálnou hodnotou. Zapíšte postup riešenia tejto úlohy čo najpresnejšie. Úloha o trojtlačidlovej kalkulačke Majme kalkulačku s trojmiestnym displejom a s troma tlačidlami: N - nuluj vymaže na displeji číslo a namiesto neho napíše číslo 0, P - pričítaj jedna k zorazenému číslu na displeji pričíta 1, Z - vynáso dvomi zorazené číslo na displeji vynásoi dvoma. Navrhnite čo najkratšie postupy na zorazenie čísel 11, 16, 31. Pokúste sa navrhnúť postup

2 36 na zorazenie ľuovoľného prirodzeného čísla zoraziteľného na tomto displeji. Všetky tri úlohy majú spoločné to, že v zadaní je známy výsledok. Od žiaka sa očakáva, že vymyslí postup, návod, algoritmus na vyriešenie každej úlohy. Postupy, ktoré žiak vymyslí, musia yť zapísané čo najpresnejšie, ay sa dali jednoznačne vykonať. V prvej úlohe ude realizátorom navrhnutého postupu prievozník, v druhej resp. tretej úlohe root aleo človek, ktorý presúva mince resp. stláča tlačidlá kalkulačky. Vytvorenie postupu, návodu, algoritmu na vyriešenie neznámeho prolému si vyžaduje od žiaka tvorivú prácu. Vykonanie postupu je z pohľadu jeho realizátora rutinná a netvorivá činnosť. Riešením takýchto a podoných úloh rozvíjame u žiakov schopnosti vytvárať postupy, návody, algoritmy, a tiež presnosť ich vyjadrovania sa. Predtým, než sa pustíme do riešenia týchto úloh, predstavíme si niektoré dôležité pojmy. Vymedzenie pojmov Podľa [2] pod vykonávateľom (procesorom) algoritmov (VA) rozumieme človeka, skupinu ľudí, živočícha aleo technické zariadenie, ktoré rozumie a vie presne vykonať zadávané príkazy. Podľa [3] VA nazývame adresáta, pre ktorého je určený návod, algoritmus na vyriešenie prolému. Jazykom VA rozumieme všetky príkazy a pravidlá pre ich používanie. Pri realizácii algoritmu rozlišujeme tieto druhy chý: syntaktické VA povie nerozumiem (algoritmus osahuje slovo, ktoré nie je príkazom, napr. u VA Prievozník - slovo "zapískaj"), ehové VA povie nemôžem vykonať (počas ehu algoritmu došlo k stavu, v ktorom sa nedá daný príkaz vykonať, napr. u VA Prievozník, keď sa má naložiť koza do plného člna), logické (po skončení realizácie algoritmu dostaneme nesprávny výsledok, napr. u VA Prievozník, keď dôjde k situácii, že vlk zožerie kozu). Keď si VA predstavíme, že pozostáva z dvoch častí - riadiaceho zariadenia a vykonávacieho orgánu, tak syntaktické chyy sa rozpoznajú v riadiacom zariadení, ehové chyy spozná až počas ehu vykonávací orgán. Z pohľadu spracovania informácií, VA realizáciou algoritmu prevádza vstupnú informáciu na výstupnú informáciu. VA môžeme schematicky znázorniť nasledovne: Or.2: Všeoecná schéma vykonávateľa algoritmov VA predstavuje určitý model sveta (mikrosveta), v ktorom je možné manipulovať s ojektmi daného mikrosveta dopredu dohodnutým spôsoom. Príklady VA Vyriešme úlohu s prievozníkom. Pozrime sa na neho z pohľadu uvedenej schémy VA. Názov VA: Prievozník Prostredie VA tvoria: rieka a jej dva rehy, loď s jedným voľným miestom, ojekty - vlk, koza, kapusta. Súor príkazov VA: Zoznam príkazov: nalož, vylož, plav. Spôso zadávania príkazov: zapísaním názvov príkazov na tauľu. Ako sa vykonávajú: nalož x - naloží z rehu do člna ojekt x, pričom x {vlk, koza, kapusta}, vylož x - vyloží z člna na reh ojekt x, pričom x {vlk, koza, kapusta}, plav - čln sa premiestni k opačnému rehu rieky.

3 37 Vymedzenie ehových chý: nalož x - nemôže naložiť ojekt x, ak je čln osadený iným ojektom, prípadne ojekt x nie je k dispozícii, vylož x - nemôže vyložiť z člna na reh ojekt x v prípade, že ojekt x nie je k dispozícii. Riešenie úlohy zapíšeme do tauľky: P.č. Algoritmus 1. nalož 2. plav 3. vylož 4. plav Ľavý reh rieky Rieka Pravý reh rieky Riešenie úlohy algoritmus pozostáva zo 17 príkazov. Pre lepšiu názornosť je v tauľke zachytená aj situácia (stav ojektov) po každom vykonanom príkaze. Takúto tauľku voláme ladiacou tauľkou, leo nám môže yť nápomocná pri hľadaní chý v algoritme ladení. Pri lepšom pohľade na algoritmus zistíme, že sa niektoré skupiny príkazov opakujú. Zápis algoritmu sprehľadníme, ak zavedieme nový príkaz prevez (rozšírime jazyk VA Prievozník): prevez x = nalož x plav vylož x Nový príkaz, ktorý vznikol z iných príkazov nazývame procedúra. Prepíšme uvedený algoritmus pomocou nového príkazu prevez. 1. prevez 2. plav 3. prevez 4. prevez 5. nalož 6. plav 7. vylož 8. nalož 9. plav 10. vylož 11. nalož 12. plav 13. vylož 14. plav 15. nalož 16. plav 5. prevez 6. plav 7. prevez Or.3: Upravený algoritmus riešenia úlohy o prievozníkovi s procedúrou prevez Pomocou predchádzajúcej úlohy sme precvičili so žiakmi tvoru a ladenie algoritmov, prehĺili pojmy algoritmus, príkazy, procedúra, rôzne druhy chý (syntaktická, ehová, logická). Vyriešme teraz úlohu s trojtlačidlovou kalkulačkou [4]. Opäť využijeme uvedenú schému pre VA. Názov VA: Kalkulačka Prostredie VA tvoria: trojmiestny displej, tri tlačidlá N, P, Z, ojekty čísla od 0 do vylož Súor príkazov VA: Zoznam príkazov: nuluj, pričítaj, zdvojnáso.

4 38 Spôso zadávania príkazov: stlačením tlačidiel N (nuluj), P (pričítaj), Z (zdvojnáso). Ako sa vykonávajú: nuluj - vynuluje osah displeja, pričítaj - pripočíta 1 k číslu zorazenom na displeji, zdvojnáso - zdvojnásoi číslo zorazené na displeji, Vymedzenie ehových chý: pričítaj - ak je na displeji zorazené číslo 999, zdvojnáso - ak je na displeji zorazené číslo väčšie aleo rovné ako 500. Pozrime sa na niekoľko spôsoov vytvorenia čísla 11. Každý zo spôsoov začína vynulovaním displeja a pričítaním čísla 1. Prvý spôso je založený na postupnom pričítavaní čísla 1. Spolu potreujeme použiť 12 príkazov. N P P P P P P P P P P P x Or.4: VA Kalkulačka tvora čísla 11 použitím 12 príkazov V druhom spôsoe sa snažíme násoiť pokiaľ je to možné a potom ia pripočítavame 1. Použijeme ia 8 príkazov. N P Z Z Z P P P x Or.5: VA Kalkulačka tvora čísla 11 použitím 8 príkazov Pri treťom spôsoe sa snažíme uvažovať nasledovne. Aký mohol yť posledný príkaz, pomocou ktorého sme dostali číslo 11? Vzhľadom na nepárnosť čísla 11 to musel yť príkaz J. Predchádzajúce číslo je 10. To môžeme dostať pričítaním 1 k číslu 9 aleo zdvojnásoením čísla 5. Druhý spôso vedie rýchlejšie k cieľu, k číslu 1. V tomto prípade sme potreovali len 7 príkazov N P Z Z P Z P x Or.6: VA Kalkulačka tvora čísla 11 použitím 7 príkazov Posledne uvedeným spôsoom vyroíme číslo 16 nasledovne: N P Z Z Z Z x Or.7: VA Kalkulačka tvora čísla 16 použitím 6 príkazov Po ďalšom uvažovaní nájdeme súvis medzi použitými príkazmi a zápisom daného čísla v dvojkovej sústave: Číslo 11 Použitá postupnosť 7 príkazov NP Z ZP ZP ( ( (1) ) ) = = Číslo 16 Použitá postupnosť 6 príkazov NP Z Z Z Z ( ( ( (1) ) ) ) = = Týmto spôsoom môžeme precvičiť so žiakmi prevod čísel do dvojkovej sústavy, uvedomiť si jednoznačnosť tohto prevodu. Touto úlohou môžeme uviesť žiakov tiež do prolematiky použitia Hornerovej schémy. Napokon tento jednoduchý VA y mal yť nápomocný pri tvore optimálneho algoritmu na výpočet mocniny. Pozrime si tradičný a optimálny spôso výpočtu mocniny. function mocni1(x,n:longint):longint; var j,y:longint; egin y:=1; for j:=1 to n do y:=y*x; mocni1:=y; end; Or.8: Funkcia počítajúca mocninu tradičná verzia function mocni2(x,n:longint):longint; egin if n>1 then if odd(n) else end; then mocni2:=mocni2(x,n-1)*x else mocni2:=sqr(mocni2(x,n div 2)) mocni2:=x; Or.9: Funkcia počítajúca mocninu vylepšená verzia

5 39 Funkcia mocni1 pri výpočte mocniny x n vykoná n priraďovacích príkazov, čo sa podoá na prvý spôso vypísania čísla 11, postupným pripočítavaním čísla 1. Funkcia mocni2 počíta mocninu x n oveľa efektívnejšie s počtom priraďovacích príkazov log 2 n + s(n), kde s(n) je počet jednotiek v dvojkovom zápise čísla n. Pre lepšiu predstavivosť zoerme n= , mocni1 potreuje na svoj výpočet priradení a mocni2 ia 21 priradení. Ďalším príkladom VA je Kreslič. Tentokrát môžeme prenechať žiakom oveľa väčšiu iniciatívu. O Kresličovi povieme, že je to veľmi jednoduchý VA, ktorý vie kresliť na papieri. Postupne predkladáme žiakom útvary, ktoré y mal vedieť nakresliť VA Kreslič. Oni y mali postupne rozširovať príkazy VA tak, ay vedel nakresliť požadované útvary. Týmto žiaci sami udujú VA, pričom y si mali uvedomiť, že čím má VA ohatší repertoár príkazov, tým dokáže vyriešiť väčšiu triedu prolémov. 1. Kreslič na začiatku pozná len príkazy dopredu, vľavo, vpravo. Vie kresliť len súvislé pravouhlé čiary s pevnou dĺžkou úsečiek. 4. Pridaním príkazov hrúka x, šikmo vľavo a šikmo vpravo, Kreslič zvládne kresy s rôznou hrúkou čiary, ktorá môže osahovať aj úsečky, ktoré nezvierajú pravý uhol. 5. Rozšírením príkazov dopredu, vľavo a vpravo o parametre t.j. dopredu x, vľavo x, vpravo x, vie Kreslič zorazovať aj útvary, ktoré osahujú úsečky s rôznou dĺžkou, zvierajúce ľuovoľný uhol. Keďže príkazy šikmo vľavo a šikmo vpravo sú špeciálnym prípadom týchto príkazov, môžeme ich zrušiť zo skupiny príkazov Kresliča. 2. Po pridaní príkazu fara x, vie Kreslič kresliť čiary aj inej fary ako čierna. 6. Po doplnení príkazu olúk s niekoľkými parametrami ude Kreslič zvládať aj takéto časti ornamentov. 3. Ak doplníme príkazy pero hore a pero dole, Kreslič vie kresliť aj nesúvislé útvary. 7. Príkazom štýl čiary rozšírime možnosti Kresliča o kreslenie útvarov s rozličným štýlom čiary (súvislé, odkované, čiarkované, atď.)

6 40 Okrem uvedených VA, vieme zostaviť aj ďalšie, ktoré môžu, ale nemusia yť implementované v elektronickej podoe. Spočiatku predstavíme VA ako človeka-roota, prípadne skupinu ľudírootov. Detičky v materských školách poznajú hru Kuo velí, ktorá vyžaduje od dieťaťa, ktoré zadáva príkaz inému dieťaťu vykonávateľovi, ay sa vyjadrovalo presne podľa dohody, inak sa príkaz nevykoná. Staršie deti poznajú kolektívnu hru Schôdza, oma, potopa, ktorá spočíva v tom, že niektorý z členov skupiny vysloví nahlas niektorý z uvedených troch príkazov a ostatní členovia skupiny musia tento príkaz splniť ( schôdza tlieskajú, oma ľahnú si na zem, potopa zaujmú polohu na vyvýšenom mieste). Ďalšie príklady ľudských VA y mohli súvisieť napr. s nonverálnou komunikáciou dohodneme si navzájom posunky, gestá, dotyky, zvuky, ktorými udeme štartovať vykonávanie dohodnutých príkazov. Aktívny prístup a tvorivosť žiakov rozvíjame otázkami typu: Akými príkazmi y ste vyavili rootaregulovčíka na križovatke, roota-skladníka?. Tieto ľudské VA napomáhajú rozvoju exaktného myslenia, vyjadrovania sa v presných termínoch. Ďalšie VA vieme zostaviť zo známych úloh z rekreačnej matematiky. Podone ako úloha o prievozníkovi, ktorý mal previezť vlka, kozu a kapustu na opačný reh rieky, je známa úloha o dvoch vojakoch a dvoch chlapcoch. Cieľom je napísať postup, pomocou ktorého sa prepravia dvaja vojaci (každý s hmotnosťou 100 kg) na opačný reh rieky, pričom nosnosť člna je 100 kg a hmotnosť každého z chlapcov je 50 kg. Cieľom ďalšej známej úlohy je pomocou veľkého rezervoára s vodou a dvoch nádo s ojemom napr. 3 litre a 5 litrov vyroiť 4 litre vody. Podonou úlohou je vymyslieť postup ako odmerať určený časový interval pomocou dvoch rôznych presýpacích hodín. Stav na začiatku pred vykonaním návodu Stav na konci po vykonaní návodu Or.10: Prostredie VA Rušňovodič VA Rušňovodič pracuje s lokomotívou a troma vagónmi v prostredí dvoch koľají s výhykou. Or.11: VA Zásoník výpočet výrazu 36- ulož 36 ulož 4 ulož 7 vynáso odpočítaj ulož 18 sčítaj x Cieľom je premiestniť vagóny z jednej koľaje na druhú v stanovenom poradí. Rušňovodič pozná príkazy, dopredu, dozadu, prehoď výhyku, pripoj, odpoj. Veľmi známou úlohou, ktorú môžeme chápať ako VA, je prolém Hanojských veží. Jej zjednodušená verzia úloha so štyrmi mincami je uvedená v prvej časti príspevku. Oe úlohy o rušňovodičovi aj o Hanojských vežiach sú výornou propedeutikou ku pochopeniu údajovej štruktúry zásoník, s ktorým sa žiaci hlšie ooznámia už pri ďalšom VA Zásoník [4]. Prostredie VA tvorí zásoník s hĺkou 3 (t.j. pamäť, ktorá môže uchovať 3 čísla) a aritmetická jednotka s 2 vstupmi (registrami) na realizáciu aritmetických výpočtov. VA Zásoník pozná 6 príkazov - vyčisti, ulož x, sčítaj, odčítaj, vynáso, vydeľ. Pre ilustráciu uvedieme postup na výpočet výrazu

7 41 o ulož 36 o ulož 4 o ulož 7 o vynáso o odpočítaj o ulož 12 o sčítaj Typickým matematickým vykonávateľom je VA Zlomky. VA pracuje so zlomkami a pozná tri príkazy sčítaj, odčítaj, vymeň. Príkaz sčítaj prevedie zlomok a na zlomok odčítaj prevedie zlomok a a + na, príkaz zlomok a a a príkaz vymeň prevedie zlomok na zlomok. Pomocou VA Zlomky môžeme a prilížiť Euklidov algoritmus na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, a tiež poukázať na uzavretosť párnych čísel na sčítanie a odčítanie (nemožnosť vytvorenia 1 2 zlomku zo zlomku ). 2 4 Záver Pri manipulácii s VA y mali žiaci získať predstavu o tvore algoritmov, stave umelých jazykov, rozlíšovať autora algoritmu od jeho vykonávateľa, rozlišovať rôzne druhy chý. Pri realizácii vytvoreného algoritmu odporúčame používať ladiaciu tauľku. Rovnako môžeme uroiť propedeutiku časovej a priestorovej zložitosti algoritmov (koľko zaerie VA prostriedkov, priestoru resp. času, peňazí, energie ). Veľmi nenásilne vieme žiakom predstaviť procedúry (aj s parametrami - VA Prievozník), a tiež uroiť propedeutiku k údajovej štruktúre zásoník. Jeho metodický význam spočíva v tom, že umožňuje induktívnym spôsoom vyudovať programovací jazyk ako súor vykonávateľov. Verím, že sa podarilo týmto príspevkom osloviť a inšpirovať učiteľov k výuče algoritmizácie zaujímavým spôsoom. Literatúra [1] Projekt nfovek: Učené osnovy a štandardy pre predmet informatika ( [2] Golcman M. a kol.: Procesory, nformatika i orazovanije č. 4 /1990, Pedagogika, Moskva 1990, str.17-25, [3] Kalaš. a kol: nformatika pre stredné školy učenica, Mediatrade, spol. s r.o. SPN, Bratislava, 2002, str. 47, [4] Golcman M. a kol.: Aritmetické vykonávatele, nformatika i orazovanije č. 6 /1990, Pedagogika, Moskva 1990, str Adresa autora: RNDr. Ľuomír Šnajder, PhD. Ústav informatiky Prírodovedecká fakulta Univerzita P.J. Šafárika v Košiciach Jesenná Košice snajder@upjs.sk Ľuomír Šnajder (1965) Pracuje ako odorný asistent na Prírodovedeckej fakulte na Ústave informatiky (od roku 1990). Odorne je zameraný na prolematiku využívania multimédii a internetu vo výuče a v príprave učiteľov. Je spoluautorom dvoch tematických zošitov z informatiky (Práca s nternetom, Práca s tauľkami). Organizuje kluy učiteľov informatiky a koordinuje dva multimediálne teleprojekty.