4 Mechanická práca, výkon a energia Pôsobenie vonkajších síl na hmotné body (telesá), resp. sústavu hmotných bodov (telies), môže viesť k zmene ich polohy, pohybového stavu, alebo môže zapríčiniť zmenu tvaru uvažovaného telesa. Fyzikálne veličiny, ktoré kvantitatívne charakterizujú tieto zmeny sú: mechanická práca, mechanický výkon a mechanická energia. 4.1 Mechanická práca a výkon Mechanická práca W (z angl. work) je skalárna fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje mieru dráhového účinku pôsobiacej sily. Ak pôsobením sily F je hmotný bod premiestnený z miesta 1 určeného polohovým vektorom r 1 do miesta 2 určeného polohovým vektorom r 2 (Obr. 4.1), práca vykonaná silou F na úseku trajektórie medzi týmito dvoma miestami je daná krivkovým integrálom: r 2 r 2 W = F d r = F cos α dr. (4.1) r 1 r 1 Základná jednotka: joule (J = N.m = kg.m 2.s 2 ) Obr. 4.1 Z rovnice (4.1) a tiež z obr. 4.1 je zrejmé, že sila F koná mechanickú prácu len vtedy, keď jej tangenciálna zložka F τ = F cos α je nenulová (keď α 0 ). Veľkosť vykonanej mechanickej práce závisí od: veľkosti pôsobiacej sily F, odchýlky pôsobiacej sily od jej tangenciálnej zložky (α = ( F, F τ ) ), veľkosti celkového posunutia hmotného bodu ( r 12 = r 12 = r 2 r 1 ). Ak hodnota mechanickej práce závisí aj od tvaru trajektórie hmotného bodu, sily, ktoré ju konajú nazývame nekonzervatívnymi (disipatívnymi) silami. Naopak, ak vykonaná mechanická práca nezávisí na tvare trajektórie, hovoríme o konzervatívnych silách. K disipatívnym silám patria napr. trecia sila, sila valivého odporu a všetky odporové sily prostredia. Príkladom konzervatívnej sily je zase tiažová sila. Mechanická práca nie je vykonávaná: počas rovnomerného priamočiareho pohybu, počas rovnomerného pohybu po kružnici, keď pôsobením vonkajšej sily nedochádza k zmene polohy, keď je pôsobiaca sila kolmá na smer pohybu. 1
Mechanický výkon je skalárna fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje množstvo vykonanej mechanickej práce za jednotku času. Stredný (priemerný) výkon : P s = W t = W 2 W 1 t 2 t 1 (4.2) Okamžitý výkon : P = dw F = d r = F dt dt v = F v cos α (4.3) Základná jednotka: watt (W = J.s 1 = kg.m 2.s 3 ) 4.2 Mechanická energia Mechanická energia E (z angl. energy) je skalárna fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje do akej miery je hmotný bod schopný konať mechanickú prácu (pôsobiť silou na iný hmotný bod a posúvať ho po určitej dráhe). Základná jednotka: joule (J = kg.m 2.s 2 ) Čím viac mechanickej práce je hmotný bod schopný vykonať, tým väčšiu mechanickú energiu má. Platí, že mechanická práca, vykonaná výslednicou síl pri premiestnení hmotného bodu po určitej dráhe, sa kvantitatívne rovná zmene mechanickej energie hmotného bodu. Matematicky túto skutočnosť vyjadruje rovnica: W = E 2 E 1 = E. (4.4) kde E 1 je energia hmotného bodu v počiatočnej polohe a E 2 energia v konečnej polohe. Kinetická energia E k je druh mechanickej energie, ktorú majú hmotné body (telesá) vykonávajúce mechanický pohyb vzhľadom na zvolenú vzťažnú sústavu. Hodnota kinetickej energie hmotného bodu závisí na hmotnosti m a tiež veľkosti okamžitej rýchlosti v hmotného bodu podľa vzťahu: E k = 1 2 mv2. (4.5) Veta o kinetickej energii: Zmena kinetickej energie pohybujúceho sa hmotného bodu je rovnaká ako mechanická práca, ktorú vykoná výslednica pôsobiacich síl pri premiestnení hmotného bodu z počiatočnej polohy do konečnej polohy. Medzi prácou, ktorú vykoná výslednica síl pôsobiacich na hmotný bod a kinetickou energiu tohto bodu platí nasledujúci vzťah: Kladná práca výslednice síl vedie k prírastku kinetickej energie hmotného bodu (W = E k > 0 [J]). Záporná práca výslednice síl vedie k úbytku kinetickej energie hmotného bodu (W = E k < 0 [J]). V tomto prípade hovoríme, že pohybujúci sa hmotný bod koná prácu na úkor pôsobiacich síl. 2
Tiažová potenciálna energia E p je druh mechanickej energie, ktorú majú hmotné body (telesá) v určitej výške vzhľadom na zvolenú referenčnú hladinu (hladinu s nulovou potenciálnou energiou). Hodnota tiažovej potenciálnej energie hmotného bodu závisí od jeho hmotnosti m a vertikálnej súradnice y vzhľadom na zvolenú referenčnú hladinu podľa vzťahu: E p = mgy. (4.6) Medzi prácou výslednice síl, ktorá premiestni hmotný bod v homogénnom tiažovom poli vo vertikálnom smere a zmenou potenciálnej tiažovej energie tohto bodu platí nasledujúca konvencia (Obr. 2.20): Práca výslednice síl, ktorá premiestni hmotný bod proti smeru pôsobenia tiažovej sily FG sa rovná prírastku potenciálnej energie hmotného bodu (W = E p2 E p1 = E p > 0 [J]). Práca výslednice síl, ktorá premiestni hmotný bod v smere pôsobenia tiažovej sily F G sa rovná úbytku potenciálnej energie hmotného bodu (W = E p2 E p1 = E p < 0 [J]). Obr. 4.2 Potenciálna energia pružnosti E pruž je druh mechanickej energie, ktorú majú pružne zdeformované telesá (natiahnuté, stlačené, ohnuté alebo skrútené telesá). Hodnota potenciálnej energie pružnosti závisí na veľkosti deformácie a parametroch pružnosti telesa. Príklad: Energia natiahnutej (resp. stlačenej) ideálnej pružiny s tuhosťou k [N.m 1 ] (Obr. 4.3): E pruž = 1 2 kx2. (4.7) Práca vykonaná silou pri natiahnutí, resp. stlačení, pružiny sa rovná potenciálnej energii, ktorú pružina získa zmenou dĺžky (W = E pruž ). Obr. 4.3 Zákon zachovania mechanickej energie: Celková mechanická energia izolovanej sústavy sa s časom nemení. Matematický zápis: E k + E p = konšt. (4.8) 3
4.3 Neriešené úlohy Úloha 4.3.1. Vypočítajte prácu, ktorú musí vykonať robotník, aby konštantnou rýchlosťou odtlačil po vodorovnej podlahe debnu s hmotnosťou 50 kg do vzdialenosti 20 metrov: a) bez trenia, b) ak koeficient trenia medzi debnou a podlahou je 0,05. [a) W = 0 J; b) W = 490,5 J] Úloha 4.3.2. Auto s hmotnosťou 1,2 t sa po priamej ceste pohybuje s konštantným zrýchlením 15 m.s 2. Vypočítajte prácu, ktorú vykoná motor auta na vzdialenosti 600 m, ak: a) trenie medzi povrchom vozovky a kolesami auta zanedbáme, b) koeficient trenia medzi povrchom vozovky a kolesami auta je 0,05. [a) W = 10,08 MJ; b) W = 11,01 MJ] Úloha 4.3.3. Nákladné auto s hmotnosťou 3,5 t vychádza z parkoviska a za 10 sekúnd rovnomerne zrýchleného pohybu po vodorovnej vozovke dosiahlo rýchlosť 36 km.h 1. Akú veľkú prácu vykoná ťažná sila motora auta, keď koeficient valivého odporu medzi povrchom vozovky a jeho kolesami s vonkajším priemerom 634,5 mm je 0,01 m? [W = 54 113,48 J] Úloha 4.3.4. Vlak sa pohybuje po priamej trati rýchlosťou 54 km.h 1. Bolo prepočítané, že jeho brzdy počas rovnomerného brzdenia so spomalením 0,05 m.s 2 vyvíjajú silu 60 kn. Akú prácu musia brzdy vykonať, aby sa vlak zastavil? [W = 135 MJ] Úloha 4.3.5. Chlapec ťahal 10 minút po rovnej ceste vozík silou 250 N. Rúčku vozíka držal po celý čas pod uhlom 60 vzhľadom na povrch cesty. Akú veľkú prácu chlapec vykonal, ak: a) kráčal konštantnou rýchlosťou 0,5 m.s 1, b) vykročil z pokoja so zrýchlením 0,02 m.s 2? [a) W = 37,5 kj; b) W = 450 kj] Úloha 4.3.6. Aby robotníci pri sťahovaní bedne s hmotnosťou 80 kg prekonali výškový rozdiel 1 meter, použili rampu dlhú 10 metrov. Akú veľkú prácu robotníci vykonali, ak debnu po rampe tlačili konštantnou rýchlosťou a koeficient trenia medzi debnou a povrchom rampy bol 0,06? [W = 1 255,68 J] Úloha 4.3.7. Aká je tuhosť nárazníkovej pružiny vagóna vlaku, ak pri jej stlačení o o 5 cm je potebné vykonať prácu 3,75 J? [ k = 3 000 N.m 1 ] 4
Úloha 4.3.8. Oceľová špirála dlhá 80 cm sa predĺži o 5 cm silou 20 N. Akú veľkú prácu musíme vykonať, keď chceme špirálu predĺžiť na dvojnásobok pôvodnej dĺžky za predpokladu, že jej predĺženie je priamo úmerné pôsobiacej sile? [W = 512 J] Úloha 4.3.9. Veľkosť ťažnej sily motora auta idúceho po priamej vozovke sa so vzdialenosťou mení podľa vzťahu F = 5 + 0,25s [N] (vo vyjadrení sily je vzdialenosť s uvažovaná v metroch). Aký je výkon motora auta, ak auto prejde rovnomerným pohybom 1 kilometer za 20 sekúnd? [P = 6 500 W] Úloha 4.3.10. Turista ide zo Štrbského plesa (1346 m n.m.) na Gerlachovský štít (2654 m n.m.). Hmotnosť turistu je 68 kg a batoh ktorý nesie má hmotnosť 12 kg. Aký bol výkon turistu, ak jeho výstup pri konštantnej rýchlosti trval presne 5 hodín? [P = 57,03 W] Úloha 4.3.11. Aký výkon má zdvižná plošina, ktorá rovnomerným pohybom zodvihne do výšky 5 metrov náklad s hmotnosťou 750 kg za 30 sekúnd? [P = 1 226,25 kw] Úloha 4.3.12. Za aký minimálny čas zodvihne žeriav bremeno s hmotnosťou 8 t rovnomerným pohybom do výšky 10 metrov, ak maximálny výkon elektromotora žeriava je 7,2 kw? [t = 109 s] Úloha 4.3.13. Traktor vyštartoval z pokoja a 5 minút ťahal za sebou po poli pluh so zrýchlením 0,01 m.s 2. Aký odpor kládla pôda pluhu, ak priemerný výkon motora traktora bol 24 kw? [F = 8 kn] Úloha 4.3.14. Športové auto hmotnosti 800 kg sa rozbieha z pokoja s konštantným zrýchlením. Jeho pohyb brzdí odporová sila, ktorá tvorí 45% tiaže auta. Aký je výkon motora auta, ak auto je schopné dosiahnuť rýchlosť 216 km.h 1 na dráhe 500 m? [P = 384 696 W] Úloha 4.3.15. Rotujúca remenica elektromotora s priemerom 80 mm napína remeň silou 160 N. Aký je výkon elektromotora, ak sa remenica za 1 minútu otočí 1 440-krát? [P = 964,61 W] Úloha 4.3.16. Motor s výkonom 210 W poháňa sústruh, na ktorom je upevnený valec s priemerom 10 cm otáčajúci sa s frekvenciou 12 Hz. Akou silou pôsobí nôž sústruhu na valec, ak sa pri sústružení využije len 60% výkonu motora? [F = 33,44 W] 5
Úloha 4.3.17. Cyklista vychádza na kopec konštantnou rýchlosťou. Jeho priemerný výkon pri výstupe je 178 W. Dĺžka kľuky pedála bicykla je 25 cm a doba jednej otáčky pedála je 1,5 s. Aká je priemerná sila, ktorou cyklista pôsobí na kľuku pedála bicykla? [F = 1 709,06 N] Úloha 4.3.18. Na teleso s hmotnosťou 15 kg v pokoji začala v istom momente pôsobiť v horizontálnom smere sila 3,5 N. Vypočítajte kinetickú energiu telesa v šiestej sekunde jeho pohybu. Odpor vzduchu a trenie medzi telesom a podložkou zanedbajte. [E k = 14,7 J] Úloha 4.3.19. Na stole vysokom 0,8 m leží kniha s hmotnosťou 0,35 kg. Vypočítajte potenciálnu energiu knihy vzhľadom na: a) podlahu miestnosti, b) stolček pod stolom, ktorého výška je 45 cm, c) strop miestnosti (štandardná výška obytnej miestnosti je 2,6 m). [a) E p = 2,75 J, b) E p = 1,2 J, c) E p = 6,18 J] Úloha 4.3.20. Z veže vysokej 30 m padá kameň s hmotnosťou 0,5 kg. Určite kinetickú a potenciálnu energiu kameňa na konci druhej sekundy jeho voľného pádu. Odpor vzduchu zanedbajte. [E k = 96,24 J, E p = 50,91 J] Úloha 4.3.21. Teleso s hmotnosťou 2,5 kg, pohybujúce sa priamočiaro rýchlosťou 1 m.s 1, začne v istom momente zrýchľovať v dôsledku pôsobenia: a) konštantnej sily 3 N, b) sily, ktorej veľkosť s časom lineárne narastá podľa vzťahu F = 1+1,6t [N] (čas t je uvažovaný v sekundách). Ako sa zmení kinetická energia telesa po piatich sekundách od začiatku pôsobenia sily? [a) E k = 43,75 J, b) E k = 123,75 J] Úloha 4.3.22. Loptička s hmotnosťou 250 g, ktorú vyhodil chlapec zvisle nahor, spadla späť na zem za päť sekúnd. Aká bola kinetická energia loptičky v okamihu jej dopadu? Odpor vzduchu pri výpočte zanedbajte. [E k = 75,18 J] Úloha 4.3.23. Strechu chaty poškodil kameň s hmotnosťou 30 kg, ktorý pôvodne visel nad chatou vo výške 20 metrov. Akou rýchlosťou dopadol kameň na strechu chaty? Odpor vzduchu pri výpočte zanedbajte. [ v = 19,81 m.s 1 ] 6
Úloha 4.3.24. Guľôčka sa kýva na niti dlhej 60 cm, upevnenej v strope vo výške 2,6 m. Akú maximálnu výšku dosiahne guľôčka pri vychýlení, ak pri prechode najnižšou polohou má rýchlosť 2,5 m.s 1? [h max = 2,32 m] Úloha 4.3.25. Akou rýchlosťou treba odraziť guľu smerom nahor po naklonenej rovine so sklonom 25, aby sa gúľala po naklonenej rovine 4 metre? [ v = 5,76 m.s 1 ] 7