57. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 5/6 Kategória C domáce kolo Riešenie úlo. Loptička na scodoc a) Doba voľnéo pádu t a doba výstupu g. g t t t t ( ), g g g p pre dané odnoty t,86 s. Ak označíme p = / =,8, je výška po ntom odraze n = (p ) n = p, odkiaľ máme p = (p ) n a teda ln p n, pre dané odnoty n. b ln p Po ntom odraze dosiane loptička výšku n = (p ) n. Čas letu. Pre dané odnoty veličín t n,3 s. b g g n n tn p b) Pri pravidelnom skákaní sa loptička odrazí od prvéo scodu do výšky p ( +a), ktorá musí byť rovná výške p ( a ), odkiaľ máme pre dané odnoty 6 cm. p a, p c) Loptička stúpa po odraze od scodu do výšky a potom padá do ĺbky + a. Potrebný čas a T, g g g pre dané odnoty T,74 s. a p p Za tento čas musí loptička prekonať vo vodorovnom smere dĺžku scodu b v, pre dané odnoty v 34 cms. b T d) Pre začiatočnú výšku vystúpi loptička nad prvý scod do výšky = p ( + a). Rozdiel výšky = p a (p ). Pre p a je >,,5b p b
pre p a je <.,5b p Ak je menšie ako v prípade pravidelnéo poybu, má výška po odraze tendenciu narastať, pre väčšie ako v prípade pravidelnéo poybu má výška po odraze tendenciu klesať. Dej sa preto stabilizuje smerom k pravidelnému poybu. Vzľadom na zmenený čas T po niekoľkýc odrazoc loptičky však môže loptička dopadnúť na nesprávny scod. b. Hmotnosť Mliečnej dráy a) Jednotka yr tropický rok, zodpovedá strednej dobe medzi dvomi po sebe nasledujúcimi precodmi Slnka jarným bodom a trvá 365,49 dňa (podľa súčasnéo gregoriánskeo kalendára). V sústave SI je definovaná dĺžka dňa 43 6 s = 86 4 s. yr = 365,4986 4 s = 3,557 7 s. Pozn. V astronómii sa používa dĺžka roka 365,5 dňa podľa juliánskeo kalendára. Jednotka ly (ligt year svetelný rok) je vzdialenosť, ktorú prejde svetlo vo vákuu za jeden rok. Rýclosť šírenia svetla v sústave SI je definovaná c = 99 79 458 ms. ly = (99 79 458 ms )(3,557 7 s) 9,465 5 m. b b) Po Veľkom tresku expandovala mota vo forme žiarenia a látkovýc častíc, prevažne vodíka a élia. V dôsledku neomogenity expandujúceo plynu sa začali gravitáciou vytvárať obrovské oblaky plynu, protogalaxie, ktoré sa postupne zlukovali okolo gravitačnýc centier do priestorovo oraničenýc útvarov galaxií. Vzľadom na miernu anizotropiu plynu mala protogalaxia určitý moment ybnosti, pričom pri obrovskýc rozmeroc nebola rotácia badateľná. Pri gravitačnom zmršťovaní sa moment ybnosti zacováva. Ak uvážime vzťa pre moment ybnosti L = I, kde I m r, pri zmenšovaní polomeru plynovéo oblaku sa kvadraticky zmenšuje moment zotrvačnosti I, a preto rastie ulová rýclosť. Pri rotácii protogalaxie pôsobí kolmo na os rotácie zotrvačná sila, ktorá bráni gravitačnému zmršťovaniu, zatiaľ čo v smere osi gravitačnému pôsobeniu nebráni žiadna sila. Gravitačný kolaps v smere osi rotácie je preto rýclejší ako v rovníkovej rovine kolmej na os. Tak sa vytvára diskový tvar Galaxie. V dôsledku zložitej dynamiky kolapsu vznikajú v disku špirálové ramená, ako to vidno na obr. C3. 3b c) Ak uvážime, že podstatná časť motnosti Galaxie je sústredená v jej jadre, možno približne predpokladať, že na Slnečnú sústavu pôsobí centrálne gravitačné pole s intenzitou E = G M/r, kde G je gravitačná konštanta, M motnosť Galaxie. Pri poybe Slnečnej sústavy po kružnicovej trajektórii okolo osi Galaxie je gravitačná sila v rovnováe so zotrvačnou silou M m 4 G m r, r T odkiaľ máme 3 4 M r. G T
Pre odnoty r = 6 kly, T = Myr a motnosti Slnka M S, 3 kg máme odad motnosti Galaxie M,83 4 kg 9, M S, tzn. približne mld motností Slnka. d) Obvodová rýclosť Slnečnej sústavy okolo osi Galaxie v = (/T) r. Pre dané odnoty v 3 kms. Ak získa objekt únikovú rýclosť, prekoná gravitáciu centrálneo telesa a unikne z Galaxie. Ak použijeme na odad približnú predstavu centrálneo telesa s motnosťou M, musí byť kinetická energia rovná najmenej potenciálnej energii v gravitačnom poli centrálneo telesa M m m v G. r Odtiaľ máme M v G r, pre dané odnoty v 35 kms. Podstatne vyššia udávaná odnota 55 kms súvisí s tým, že Galaxia je obklopená korónou, v ktorej sa nacádza približne 9 % motnosti Galaxie a pri úniku je potrebné prekonať aj jej gravitáciu. Tzn., že model, ktorý sme použili na riešenie úloy nezodpovedá skutočnému rozloženiu motnosti Galaxie. Pozn.: V bodovom odnotení žiackyc riešení, vzľadom na približné odnoty veličín, odporúčame prideliť plnú odnotu bodov aj v prípade, že výsledky sa budú odlišovať od vzorovéo riešenia v tretej číslici výsledku. 3. Rezistory Ak sústavou rezistorov precádza prúd I, napätie medzi bodmi A a B je dané vzťaom U AB = I R AB, () kde R AB je ľadaný odpor sústavy. Toto napätie môžeme vyjadriť aj v tvare U I I RI I I 3RI 3RI RI U U R. () AB A B Porovnaním pravýc strán výrazov () a () dostaneme I RAB R 3I 3I I. (3) A I 4 Pre napätie medzi bodmi A a platí I I I I I I I U A U U U U. A3 3 A I + I Jednotlivé napätia vyjadríme pomocou Omovo zákona 3 I B 3
I I R RI R I, z too máme 3 I I I. (4) Analogicky pre napätie medzi bodmi a B platí U U U U U. B B 4 4B I I RI I RI R I, z too máme I 4I I. (5) 3 Z rovníc (4) a (5) vyjadríme I I 5, I 5 I. Po dosadení do rovnice (3) určíme ľadaný odpor pre dané odnoty R Ab 4. U I 7 R, pre dané odnoty I,7 A. R 7 AB R 5, 5b 5b 4. Orev vody v bazéne Použité tabuľkové odnoty: doba jednéo roku T rok = (365,44,36) s, polomer Zeme R Z = 6,38 6 m polomer Zeme, =, 3 kgm 3 ustota vody, c = 4,8 3 Jkg.K, zemepisná šírka Bratislavy B = 48 8 38 s. š. a obratníku raka R = 3 7 6. a) Priemerný výkon na jednéo obyvateľa Zeme E P. Pre dané odnoty P,3 kw. b T N rok obyv b) Do atmosféry Zeme dopadá slnečné žiarenie s výkonom Pcelk k π R Z. Z too časť a P celk sa poltí v atmosfére. Energia žiarenia poltená za rok E a k π RZ Trok a ľadaný pomer E p. Pre dané odnoty p 5,8 4 (,5 o / oo ). a k π RZ Trok Pozn.: promile, značka o / oo, je jedna tisícina ( o / oo = /). c) Teplo prijaté vodou v bazéne Q P S c t t Pre dané odnoty,9 4 s = 6 6 min. S c t t, a teda. P d) Na prvý letný deň okolo obeda je uol dopadu slnečnéo žiarenia na ladinu = B R, kde R je zemepisná šírka obratníku raka (Slnko je nad obratníkom) a B zemepisná šírka Bratislavy. Odtiaľ = 48 8 3 7 = 4 4 = 4,7. b 4
e) Pri šikmom dopade na ladinu je výkon žiarenia poltenéo vodou P3 I S cos k r a)( rv S cos. Pre dané odnoty P 3 5,56 kw. Hľadaný pomer P3 k r a) ( rv S cos p. Pre dané odnoty p,463 ( 46 %). P P Prírastok teploty P3 Tod Δt. Pre dané odnoty t,53 C. V c 5. Tlak v pneumatikác a) Objem V vzducu v nezaťaženýc pneumatikác, ak vycádzame z tvaru pneumatík podľa obr. C5, je rozdiel objemu valcov d d π s π s π π d s d s V s, b kde d s = d + je stredná priemer dutiny pneumatiky. Prevod palec =,54 cm, tzn. d = 5 palcov = 38 mm Pre dané odnoty V,357 m 3 = 35,7 litra. Tlak vzducu v pneumatike je p = p + p a (kontrolný tlakomer meria rozdiel tlaku v pneumatike a atmosférickéo tlaku pretlak ). Počet molekúl vzducu v pneumatike p V p pa π ds s N n N A N A NA. R T R T Pre dané odnoty N,86 4. b) V dôsledku váy automobilu sa pneumatika pri kontakte s vozovkou deformuje a vytvorí sa kontaktná plôška s obsaom S, obr. C5 (b). Podľa Pascalovo zákona na celej plôške je rovnaký tlak p a teda tlaková sila F = p S je v rovnováe s tiažovou silou ¼ M g.. Odtiaľ máme M g S. Pre dané odnoty S,9 dm. b 4 p Ak označíme a dĺžku stopy pneumatiky, obr. C5, potom a = S / s. Namiesto oblúka sa uplatní sečnica, ktorá je kratšia. Ak označíme stredový uol podľa obr. C5 (b), dĺžka oblúka o = (D/) = D a dĺžka sečnice a = (D/) sin = D sin. a S sin. Pre dané odnoty sin,584 a odtiaľ,59 rad. D s ( d ) Relatívne skrátenie obvodu pneumatiky oproti ideálnej kružnici s obvodom D Dsin D q sin. π D π 6π Pre dané odnoty veličín q, 4 =, %. 3 Údaj tacometra je odvodený od otáčok kolies. Ak dôjde s skráteniu obvodu, zvýši sa počet otáčok na danej dráe, a tak tacometer ukáže o, % vyššiu rýclosť v porovnaní s prípadom, keď by bol obvod pneumatiky dokonalá kružnica. Ak bude v pneumatikác pretlak p = 4 kpa, bude kontaktná plôška S,98 dm a 5
sin,485. Rovnakým postupom máme odcýlku údaja tacometra q 8,4 4 =,84 %. b Z výsledku vidno, že tlak v pneumatikác má na údaj tacometra zanedbateľný vplyv. c) Pokles vozidla = (D/) (cos). Na pokles o / treba dosianuť uol, pre ktorý platí cos a M g sin. Po úprave máme pretlak M g p 4 s sd s d s D D 4 p s D. Pre dané odnoty p 59,3 kpa. d) Keďže objem pneumatiky sa nezmení, pretlak je T p p pa pa. Pre dané odnoty p 68 kpa. b T 6. Vytrnutie obrusu spod fľaše a) Označme smer otáčania (naklonenia) valca v smere poybu odinovýc ručičiek kladný, opačný smer otáčania záporný. Na valec pôsobí v zvislom smere tiažová sila F g, ktorá je v rovnováe s tlakovou silou podložky F N, pričom F g = F N. Ak obrus s valcom uvedieme do poybu v smere osi +x, obr. RC (a), pôsobí na podstavu valca trecia sila F t s veľkosťou F t = f F N, ktorá mu udelí zrýclenie a vzľadom na stôl, pričom a = f g. Rýclosť valca sa zväčšuje zo začiatočnej nulovej odnoty a vzľadom na obrus, ktorý sa poybuje od začiatku rýclosťou v, sa valec poybuje smerom k ľavému okraju (šmýka sa na obruse). Vzľadom na valec pôsobí v ťažisku zotrvačná sila F z = ma. Vzľadom na ľavý okraj podstavy valca pôsobí na valec moment sily M = F z (/) + F g r. Ak je M >, začne sa valec nakláňať dozadu vzľadom na smer poybu a môže sa prevrátiť. Ak sa valec neprevráti a posunie sa až ku koncu obrusu, pričom dosiane vzľadom na stôl rýclosť v < v, zošmykne sa na povrc stola a pokračuje v kĺzavom spomalenom poybe po stole v smere x. 6
M +M a a F z F z Fn F g F t v F t F z F n F g (a) (b) Obr. RC Ak valec skĺzne z obrusu, šmýka sa po povrcu stola, obr. RC (b). Na valec pôsobí sila trenia F t s veľkosťou F t = f mg, ktorá valcu udelí zrýclenie a smerom nazad, pričom a = f g. Rýclosť valca sa tak zmenšuje. Vzľadom na valec pôsobí v ťažisku valca zotrvačná sila F z = m a. Vzľadom na pravý okraj podstavy valca pôsobí na valec moment sily M = F z (/) F g r. Ak je M >, začne sa valec nakláňať dopredu a môže sa prevrátiť. Ak sa valec neprevráti a zastane pred dosianutím konca stola, zostane na stole stáť. 3b b) Podmienka kontaktu s podložkou na obruse r M >, a teda f a kontaktu so stolom M <, a teda r f. Pre uvedené prípady: i) r/,33, na obruse je poloa stabilná, pri precode na stôl sa valec nakloní dopredu a rozí prevrátenie b ii) r/,5, na obruse aj po precode na stôl je poloa stabilná bez naklonenia iii) r/,4, valec sa nakloní pri šmýkaní na obruse a rozí prevrátenie dozadu, pri šmýkaní na stole by bola poloa stabilná. b c) Predpokladajme, že sú splnené podmienky, pri ktorýc zostane valec na stole. Na začiatku sa valec poybuje rovnomerne zrýcleným poybom so zrýclením s veľkoosťou a = f g. Dráa x a rýclosť vzľadom na dosku stola x a t a v a t. b 7
Rýclosť v a dráa x vzľadom na dosku stola v okamiu zošmyknutia z obrusu majú veľkosť v a t x v a t v t a l d. () Pre rýclosť v okamiu zošmyknutia valca na dosku stola z () dostaneme rovnicu v v v, ktorej riešenie je l d a l d v v v a fyzikálny zmysel má, lebo v < v. () b Z () vyplýva: aby sa valec zošmykol z obrusu, musí byť splnená podmienka l d g v f. b Po zošmyknutí na dosku stola pokračuje valec rovnomerne spomaleným poybom s veľkosťou zrýclenia a = f g so začiatočnou rýclosťou v. Pre spomalený úsek trajektórie valca pre rýclosť a posunutie valca vzľadom na dosku stola máme v v a t x v t a t. Pre dobu t spomalenéo poybu až do zastavenia z týcto vzťaov vyplýva v a t x v v t a t. (3) a Celková dráa valca, ak nemá spadnúť zo stola, musí byť kratšia ako d x x d, po dosadení za úseky dráy z () a (3) v a v a d, po dosadení za rýclosť v z výrazu () máme v v a a l d a d. (4) a a Úpravou (vyjadríme druú mocninu) dostaneme d a a v l d a v v l d a. (5) a a Výraz (5) upravíme (v nerovnosti preskupíme členy, ktoré obsaujú v na jednu stranu nerovnosti, ostatné na druú stranu). Upravenú nerovnosť umocníme na druú 8
d a a d a a v l d a. (6) a a a a Zo (6) po dosadení za a a a a úprave pre rýclosť v dostaneme ľadanú podmienku, aby valec nespadol zo stola l f f f v d g d f. f f Pre dané odnoty v min,68 ms. Meranie viskozity vody experimentálna úloa Poznámky k riešeniu. Na dolnom konci otvorenej zvislej trubice je atmosférický tlak. V ĺbke (na vstupe vodorovnej trubice) je preto stály tlak p = p a + g. Na výstupe otvorenej vodorovnej trubice je tlak p = p a. Rozdiel tlakov vo vzťau () je p = g. Tento rozdiel tlakov trvá, kým ladina v nádobe neklesne na úroveň dolnéo konca zvislej trubice (kým idú z trubice bubliny).. Jednou z možností zmerať vnútorný polomer pomocou posuvnéo meradla (pomocou rotov pre meranie vnútornýc rozmerov) presnosť však nie je príliš veľká, navyše otázna je presná valcovitosť vnútornéo otvoru. Jednou z možností je odvážiť vysušenú čistú trubicu (dlší kus), potom trubicu kúskom žuvačky alebo vosku upcať a naplniť vodou a opäť zvážiť na veľmi presnýc analytickýc váac. Rozdiel motností zodpovedá vode v trubici a z nej možno určiť vnútorný polomer. 3. Výšku nastavujeme tak, aby voda vytekala plynulo ale čo najpomalšie. Je potrebné zacovať podmienky laminárneo prúdenia a to je splnené tým lepšie, čím pomalšie voda v trubici prúdi. Z rovnakéo dôvodu je lepšie voliť vodorovnú trubicu s malým vnútorným polomerom. 57. ročník Fyzikálnej olympiády Úloy domáceo kola kategórie C Autori úlo: Ľubomír Konrád ( a 3), Ivo Čáp ( a 7), Boris Lacsný (4, 5), Aba Teleki (5), Milan Grendel (6) Recenzia a úprava: Daniel Kluvanec, Ľubomír Muca Preklad textu do maďarskéo jazyka: Aba Teleki Redakcia: Ivo Čáp Slovenská komisia fyzikálnej olympiády Vydal: IUVENTA Slovenský inštitút mládeže, Bratislava 6 9