Modely a metódy lineárneho a celočíselného programovania (Tézy k prenáške č. 8) Téma prednášky Metóda vetiev a hraníc Prof. Ing. Michal Fendek, PhD. Katedra operačného výskumu a ekonmetrie Ekonomická univerzita Bratislava Dolnozemská 85 35 Bratislava
Všeobecná formulácia úlohy celočíselného programovania f() = n = c et min; ma () Pri ohraničeniach n = a i D {,,=} b =,,n i i =,,m () (3) pričom množina D môže mať napr. nasledovný tvar 0 Z 0; celo č 0,,, n D.,,, n D, 0 0 D Z,,..., k ; D R, k,..., n 0 D 0;,,..., k ; D R, k,..., n 0 D R 0 ;,,..., n Folia č.:
Oblasti ekonomických aplikačných problémov celočíselného programovania Optimalizácia voľby výrobne stratégie firmy s kusovou výrobou. - CP Dopravný problém- CP Priraďovací problém BiP Optimalizácia výberu investitčne stratégie podniku BiP Fied Charge Problem - ZmCP Úloha obchodného cestuúceho - BiP Optimalizácia inevestičného rozvoa a výrobne stratégie epanducich divízií koncernu ZmBiP Folia č.:3
6 (b) 5 4 *=(4,4;,6) (a) 3 (c) *Z D 0 0 0 3 4 5 6 Folia č.:4
Branch-and-Bound-Algoritmus pre riešenie úloh celočíselného programovania Preskúmame úlohu celočíselného programovania () v tvare T f c ma A b 0, Z () Ideová schéma metódy vetiev a hraníc I. Initializácia Riešme úlohu () bez podmienky Z - OR: *, f(*), * D 0 ={ Ab, 0} I.a) *Z Stop I.b) *Z II Folia č.:5
II. Branch-and-Bound Proces. pričom r n, n potom dostaneme: ; r n, rk ma r, i. K úlohe D 0 skonštruueme dve čiastkové úlohy D D D 0 k n k D0 k nk Týmto spôsobom proces vetvenia pokračue a dostaneme rozhodovací strom s uzlami, ktoré zodpovedaú ednotlivým čiastkovým úlohám. Folia č.:6
Rozhodovací strom D 0, 0, f( 0 ) D,, f( ) D,, f( ) D,, f( ) D,, f( ) D 3, 3, f( 3 ) Uzly D i stromu považueme za preskúmané a proces končí v príslušnom uzle v prípade ak:. Úloha D i nemá prípustné riešenie. Úloha D i má celočíselné optimálne riešenie 3. Hodnota účelove funkcie úlohy D i e horšia ako nalepšia doposiaľ registrovaná hodnota účelove funkcie úlohy s celočíslným riešením Folia č.:7
Koniec algoritmu Algoritmus končí, ak sú všetky uzly rozhodovacieho stromu zodpovedaúce príslušným čiastkovým úlohám označené ako preskúmané.. Optimálne riešenie sa realizue v tom uzle, v ktorom celočíselné optimálne riešenie dosahue etrémnu hodnotu účelove funkcie. Ak uzol s takouto vlastnosťou neeistue, tak úloha nemá celočíselne optimálne riešenie Folia č.:8
Príklad pre metódu vetiev a hraníc f (, ) 80 90 ma pri ohraničeniach 0 5 5 0, 47 43 3 0, Z Folia č.:9
Riešenie: I. Fáza - Riešenie úloh D 0 p. o. f (, ) 80 0 5 90 5 0 s s s, 47 43 3 3 0 ma Tab. (. Iterácia) f (, ) 80 90 0 0 0 B c B s s s 3 b s 0 0 5 0 0 47 s 0 5 0 0 0 43 s 3 0 0 0 0 3 r I 80 90 0 0 0 0 Folia č.:0
Tab. (. Iterácia) f (, ) 80 90 0 0 0 B c B s s s 3 b s 0 0 0 0-5 3 s 0 5 0 0-0 3 90 0 0 0 3 r 80 0 0 0 0 0 Charakteristika riešenia B f A3, A 4, A5 s s s3 0 3 3 3 0 70 80 0 0 0 90 ~ 0 r ma Folia č.:
Tab.3 (3. Iterácia) f (, ) 80 90 0 0 0 B cb s s s3 b s 0 0 0-5 6 80 0 0 /5 -,6 90 0 0 0 3 r 0 0 0-6 70 478 Charakteristika riešenia B f A3, A, A s s s3,6 3 6 0 0 478 0 0 0 6 70 ~ 0 r ma Folia č.:
Tab.4 (4. Iterácian) f (, ) 80 90 0 0 0 B cb s s s3 b s3 0 0 0 /5 -/5 0,4 80 0 /5 -/5 0 3,4 90 0 -/5 /5 0,6 r 0 0-70/5-00/5 0 478 Charakteristika riešenia A5, A, A s s s 3,4,6 0 0 0,4 506 B 3 f 0 0 0 70 /5 00 /5 0 r Stop prve etapy Neceločíselné optimálne riešenie. etapa metóda vetiev a hraníc Folia č.:3
6 (a) 5 (b) 4 *=(3,4;,6) 3 (c) *=(3; )Z f() 0 0 3 4 5 6 Folia č.:4
,6 /5s /5s /5s /5s 0,6 /5s /5s s 0, 6 4 DASM f (, ) 80 90 0 0 0 0 B c B s s s 3 s 4 b s 3 0 0 0 /5 -/5 0 6/5 80 0 /5 -/5 0 0 5/5 90 0 -/5 /5 0 0 39/5 s 4 0 0 0 /5 -/5 0-9/5 r 80 0-70/5-00/5 0 0 478 f (, ) 80 90 0 0 0 0 B c B s s s 3 s 4 b s 3 0 0 0 0 0-5/5 80 0 0 0 0 -/ 37/0 90 0 0 0 s 0 0 -/ 0-5/ 9/ r 0 0-90 0 0-50 476 Folia č.:5
Charakteristika riešenia /5s /5s s 0, 6 4 DASM A5, A, A, A4 s s s3 s 3,7 4,5 0 0 476 B 4 f 0 0 90 0 0 50 0 r f (, ) 80 90 0 0 0 0 B c B s s s 3 s 4 b s 3 0 0 0 0 0-80 0 0 0 0 -/ 3,7 90 0 0 0 s 0 0 -/ 0-5/ 4,5 r 0 0-90 0 0-50 476 Folia č.:6