PARAMETRE RHO A VEGA PRE FORWARD-START OPCIE Marek Ďurica ÚVOD Nakoľko časový vývoj cien aktív je nestály a sú možné aj prudké poklesov cien aktív, je snahou investorov minimalizovať možné straty, ktoré by mohli z týchto poklesov plynúť. Efektívnym nástrojom na zabezpečenie sa proti tomuto riziku je použitie zaisťovacích nástrojov, ktorými sú rôzne druhy derivátov aktív. Investor môže svoje portfólio aktív zaistiť nákupom istého počtu derivátov týchto aktív v takom množstve, aby bolo toto portfólio odolné voči zmenám v cene aktív a ďalším meniacim sa parametrom, ktoré cenu aktív ovplyvňujú. Jedným z derivátov, ktoré môžu byť použité na zaistenie hodnoty portfólia aktív, sú forward-start opcie, t.j. opcie, ktorých životnosť začne plynúť až po nejakom, vopred špecifikovanom, čase. Preto budeme skúmať zmeny v cenách týchto opcií v závislosti od meniacich sa parametrov a to konkrétne od bezrizikovej úrokovej miery a volatility ceny akcie. 1 ZÁKLADNÉ POJMY Finančným derivátom je finančný nástroj, ktorého hodnota závisí na hodnote iného, tzv. podkladového aktíva, napr. akcie. Štandardná (európska opcia je finančný derivát, ktorý dáva vlastníkovi tejto opcie právo, nie však povinnosť, kúpiť (call opcia resp. predať (put opcia dané podkladové aktívum v pevne stanovenom čase T za vopred dohodnutú realizačnú cenu X. Vyrovnanie opcie teda nie je povinné, opcia môže vypršať bez uplatnenia. Vnútorná hodnota opcie v čase t je ( v prípade call opcie a ( v prípade put opcie. [6] Podľa toho, či by okamžité uplatnenie opcie viedlo k zisku alebo strate, môžeme hovoriť o nasledovnom rozdelení opcií. Opcia sa nachádza v oblasti ATM (at-the-money, ak jej vnútorná hodnota je v podstate nulová, v oblasti ITM (in-the-money, ak má vnútornú hodnotu a v oblasti OTM (out-of-the-money, ak je bez vnútornej hodnoty. Exotické opcie je súhrnné pomenovanie pre derivátové nástroje s omnoho komplexnejšími podmienkami ako štandardné call a put opcie. Hlavnou motiváciou pre obchodovanie exotických opcií je to, že umožňujú oveľa komplexnejší pohľad na budúci vývoj trhu ako klasické opcie. Tieto opcie sú zvyčajne obchodované na mimoburzovom trhu. Majú takmer neobmedzené možnosti vo variabilite ich podmienok a môžu byť prispôsobené špecifickým potrebám každého investora. Tieto opcie zohrávajú významnú úlohu zaisťovacích nástrojov, pretože spĺňajú potreby zaisťovateľov nielen čo sa týka zaistenia portfólia, ale aj pomerne nízkych nákladov. Exotické opcie sú totiž zvyčajne lacnejšie a efektívnejšie ako štandardné opcie a môžu byť použité ako atraktívne investičné a obchodné nástroje. [10] Jedným typom exotických opcií sú aj forward-start opcie. Princíp forward-start opcií je taký istý ako pri klasických call a put opciách s jediným rozdielom; ich životnosť začína až po nejakom, vopred špecifikovanom, čase. Nákup forward-start opcie teda znamená, že kupujúci zaplatí za túto opciu dnes, avšak život tejto opcie začne až po nejakom čase. Tieto opcie sú navrhnuté tak, aby sa v budúcnosť nachádzali v oblasti ATM. [10] Za forward-start opcie môžu byť považované zamestnanecké opcie. Je tomu tak preto, že zamestnanec garantuje, že zamestnanecké opcie budú v oblasti ATM v budúcnosti. [6] V kontexte tohto typu opcií je nutné spomenúť ďalší typ exotických opcií. Ratchet opcie, alebo tiež cliquet opcie, sú vlastne postupnosťou niekoľkých forward-start opcií. Na konci životnosti jednej forward-start opcie začína životnosť ďalšej forward-start opcie s realizačnou cenou rovnou nejakému -násobku aktuálnej ceny podkladového aktíva. Napr. jednoročná ratchet opcia s mesačnými výplatami rovnými buď rozdielu aktuálnej ceny aktíva a realizačnej ceny alebo nule. Realizačná cena každej jednomesačnej opcie sa zvyčajne stanovuje na začiatku životnosti tejto opcie. Preto realizačná cena prvej tejto opcie je známa a rovná. Celková cena ratchet opcie je potom suma cien všetkých forward-start opcií. Rovnako je tomu v prípade put ratchet opcie. [10]
2 OCEŇOVANIE OPCIÍ 2.1 ZÁKLADNÉ METÓDY Mnoho vedeckých štúdií sa zaoberá návrhom a analýzou rôznych metód oceňovania opcií nakoľko oceňovanie opcií je veľmi komplexný problém. Najpoužívanejším modelom oceňovania opcií je Blackov-Scholesov-Mertonov model. Tento model je založený na podmienke vylúčenia arbitrážnych príležitostí na trhu a predpokladá, že vývoj ceny podkladového aktíva modeluje Geometrický Brownov pohyb. Analytické riešenie tohto modelu pre stanovenie ceny klasickej call a put opcie je v ešte aj v súčasnosti najpoužívanejší spôsob ich ocenenia. [1, 8] Metóda Monte Carlo simulácií je ďalšou možnosťou stanovenia ceny opcií. Samozrejme v tomto prípade ide o metódu numerickú. Pre ocenenie opcie je potrebné nájsť očakávanú cenu podkladového aktíva v čase exspirácie. Keďže táto cena je náhodná premenná, tak jednou z možností odhadnutia predpokladanej ceny podkladového aktíva je simulácia jej vývoja. Tento metóda môže byť použitá na stanovenie ceny takmer všetkých typov opcií. [2, 3] Ďalšou numerickou technikou na ocenenie opcií je binomický stromový model. Ide o zjednodušenie Blackovho-Scholesovho-Mertonovho prístupu v tom zmysle, že sa uvažuje vývoj ceny podkladového aktíva len v diskrétnych časových krokoch. Tento model sa zvyčajne využíva na oceňovanie európskych a amerických opcií, ale je možné ho používať aj na oceňovanie niektorých typov exotických opcií. [4] Metóda konečných diferencií je tiež jednou z numerických metód používaných na oceňovanie opcií. Základom pre túto metódu je opäť Blackov-Scholesov-Mertonov model. Táto metóda spočíva v tom, že celá množina riešení je zúžená na konečný počet bodov a v tiež v nahradení parciálnych derivácií v Blackovom-Scholesovom-Mertonovom modeli danými diferenciami. Pomocou toho dostaneme rovnicu, resp. systém rovníc, ktorých riešenie je numerický odhad ceny opcie. Túto metódu je možné použiť aj pre zložitejšie typy exotických opcií a to aj v prípade, že nie je možné oceniť tieto opcie analyticky. [5] 2.2 BLACKOV-SCHOLESOV-MERTONOV MODEL Blackov-Scholesov-Mertonov model, ako najpoužívanejší model pre oceňovanie opcií, uvažuje 5 kľúčových faktorov, ktoré ovplyvňujú výslednú cenu opcie. Týmito faktormi sú: cena podkladového aktíva, volatilita tejto ceny, bezriziková úroková miera a realizačná cena a doba exspirácie tejto opcie. Pre odvodenie Blackovho-Scholesovho-Mertonovho modelu boli pridané nasledujúce predpoklady: neuvažujú sa transakčné náklady a dane, arbitrážne príležitosti sú vylúčené, obchodovanie s cennými papiermi je spojité, cenné papiere sú ľubovoľne deliteľné, je možný predaj nakrátko, bezriziková úroková miera je konštantná a rovnaká pre všetky časy do splatnosti, cena opcie je modelovaná Geometrickým Brownovým pohybom s konštantnou strednou hodnotou a smerodajnou odchýlkou. Riešenia tohto modelu pre ocenenie klasickej európskej call a put opcie sú nasledovné: ( ( (1 ( ( (2 ln( ( pričom: c cena európskej call opcie; p cena európskej put opcie; S 0 aktuálna cena podkladovej akcie; X realizačná cena; T čas do exspirácie; r bezriziková úroková miera; q dividendový výnos z akcie; σ volatilita ceny akcie; N distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia. 2.3 OCEŇOVANIE FORWARD-START OPCIÍ Ako už bolo uvedené predtým, forward-start je v podstate klasická európska opcia s realizačnou cenou X a časom do exspirácie T s výnimkou toho, že životnosť tejto opcie začína až v nejakom čase t. Teda teraz, v čase 0, je doba do exspirácie tejto opcie T a čase t, je táto doba T-t. Zvyčajne sa (3
Cena forward-start call opcie realizačná cena tejto stanovuje až v čase t ako nejaký -násobok aktuálnej ceny podkladového aktíva. Pritom, ak, tak opcia je oblasti ATM v čase t. Ak, tak call opcia je v oblasti ITM a put opcia v oblasti OTM. Naopak je tomu v prídade. Vtedy je v oblasti OTM call opcia a v oblasti ITM put opcia. [10] Ocenenie forward-start opcie bolo navrhnuté Markom Rubinsteinom v roku 1991 [9]. V rizikovoneutrálnom svete je očakávaná cena podkladového aktíva rovná ( (. (4 Očakávaná realizačná cena tejto opcie je potom ( (. Na ocenenie forward-start call opcie potom v Blackovom-Scholesovom-Mertonovom vzťahu pre cenu klasickej call opcie (1 nahradíme cenu podkladového aktíva S forwardovou cenou a realizačnú cenu X výrazom. Čas do splatnosti tejto opcie bude potom T-t. Dostávame nasledovný vzorec pre cenu call forward-start opcie ( ( ( ( (5 pričom ( ( ( Cena forward-start put opcie je ( [ ( ( ( ] [10] (7 Cena forward-start call a put opcie je teda lineárnou funkciou ceny podkladového aktíva. Táto funkcia je rastúca pre call opciu (pozri Obr. 1 a klesajúca pre put opciu. Obr. 1 ilustruje vzťah ceny forward-start call opcie v závislosti od ceny podkladového aktíva a to pre rôzne hodnoty (. Životnosť tejto jednoročnej forward-start call opcie sa začína po 6 mesiacoch. Výška bezrizikovej úrokovej miery je 5%, volatilita ceny aktíva je 29%, dividendový výnos je 4%. (6 Obr. 1: Cena forward-start call opcie pre rôzne hodnoty 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 Cena podkaldového aktíva Alpha=0,75 Alpha=0,90 Alpha=1,00 Alpha=1,10 Alpha=1,25 Zdroj: Vlastné spracovanie. 3 PARAMETER RHO PRE CENU FORWARD-START OPCIE Parameter Rho portfólia derivátov je mierou zmeny hodnoty tohto portfólia v závislosti od zmeny bezrizikovej úrokovej miery. S rastom úrokovej miery by mala rásť aj cena call opcie. Hodnotu parametra Rho forward-start call a put opcie získame zderivovaním funkcie ceny týchto opcií podľa bezrizikovej úrokovej miery r. Platí teda ( ( ( (8 pre forward-start call opciu. Pre put opciu máme ( ( ( (9 Parameter Rho teda nadobúda kladné hodnoty pre call opciu a záporné hodnoty pre put opciu tak, ako sme predpokladali. Teda nárast úrokovej miery spôsobí nárast ceny call opcie a pokles ceny put opcie. Obr. 2 znázorňuje závislosť parametra Rho od bezrizikovej úrokovej miery pre rôzne doby do času začiatku životnosti opcie (180 dní, 90 dní, 30 dní a 1 deň. Parametre tejto opcie sú rovnaké ako predtým,, t.j. opcia bude v oblasti ATM na začiatku životnosti tejto opcie.
Parameter Vega Parameter Rho Obr. 2: Priebeh parametra Rho 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 Bezriziková úroková miera 180 dní 90 dní 30 dní 1 deň Zdroj: Vlastné spracovanie. 4 PARAMETER VEGA PRE CENU FORWARD-START OPCIE Parameter Vega (v literatúre aj Kappa, Lambda alebo Sigma portfólia derivátov je miera zmeny hodnoty tohto portfólia v závislosti od zmeny volatility ceny podkladového aktíva. Ak je Vega veľké, tak hodnota portfólia je veľmi citlivá na malé zmeny volatility. Naopak, ak je Vega malé, tak zmeny volatility majú relatívne malý vplyv na hodnotu portfólia. Ak je hodnota parametra Vega nejakého portfólia a je hodnota parametra Vega nejakej obchodovanej opcie, tak nákupom opcií vytvoríme Vega-neutrálne portfólio. Avšak Veganeutrálne portfólio nie je Gamma-neutrálne a naopak. Ak investor chce vytvoriť portfólio, ktoré bude Gamma aj Vega-neutrálne, tak musí použiť aspoň dva finančné deriváty. Ak má podkladové aktívum vyššiu volatilitu, tak má teda vyššie riziko zmeny ceny tohto aktíva. S rastom volatility preto rastie aj cena forward-start call a put opcie. Zmenu ceny forward-start opcie pri zmene volatility, teda hodnotu parametra Vega, určíme ako prvú parciálnu deriváciu funkcie ceny opcie podľa parametra σ, t.j. ( ( (10 Tak ako sme predpokladali, parameter Vega nadobúda kladné hodnoty a teda nárast volatility miery spôsobí rovnaký nárast ceny call a put opcie. Obr. 3 znázorňuje závislosť parametra Vega od volatility pre rôzne doby do času začiatku životnosti opcie (180 dní, 90 dní, 30 dní a 1 deň. Parametre tejto opcie sú rovnaké ako predtým,, t.j. opcia bude v oblasti ATM na začiatku životnosti tejto opcie. Obr. 3: Priebeh parametra Vega 0,31 0,29 0,27 0,25 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0 0,2 0,4 0,6 Volatilita 180 dní 90 dní 30 dní 1 deň Zdroj: Vlastné spracovanie.
ZÁVER Z uvedených analýz vyplýva pomerne malá citlivosť ceny forward-start call opcie na zmeny bezrizikovej úrokovej miery a volatility ceny podkladového aktíva. Táto citlivosť je viacmenej rovnaká pre rôzne časy do začiatku životnosti tejto opcie. Ak teda investor zostaví svoje portfólio tak, aby bolo Rho-neutrálne, t.j. aby bolo malé zmeny bezrizikovej úrokovej miery nemali vplyv na hodnotu jeho portfólia, tak nemusí často prehodnocovať svoje portfólio; iba v prípade veľkých zmeny úrokovej miery. Rovnako je tomu aj v prípade odolnosti hodnoty portfólia voči zmenám vo volatilite ceny podkladového aktíva. Zároveň je nutné poznamenať, že význam týchto parametrov môže byť značne skreslený, nakoľko v predpokladoch Blackovho-Scholesovho-Mertonovho modelu, ktorý je základom našich analýz, sa predpokladá konštantná bezriziková úroková miera a tiež volatilita, čo však v praxi nie je splnené. Projektová podpora: Tento článok bol vytvorený s podporou projektu spolufinancovaného EÚ s názvom "Kvalita vzdelávania a rozvoja ľudských zdrojov ako piliere vedomostnej spoločnosti na Fakulte PEDaS, ITMS 26110230083". LITERATÚRA [1] BLACK, F., SCHOLES, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 1973, vol. 81, issue 3, pp. 637-654. [2] BOYLE, P.P. Options: A Monte Carlo Approach. Journal of Financial Economics, 1977, vol. 4, pp. 323 338. [3] BOYLE, P.P., BROADIE, M., GLASSERMAN, P. Monte Carlo Methods for Security Pricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 1997, vol. 21, pp. 1267 1322. [4] COX, J.C, ROSS, S.A., RUBINSTEIN, M. Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979, vol. 7, pp. 229 264. [5] HULL, J.C., WHITE, A. Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1990, vol. 25, pp. 87 100. [6] HULL, J.C. Options, Futures, And Other Derivatives. 8th ed. England: Pearson Education, 2012. [7] JARROW, R.A., RUDD, A. Option pricing. USA: Richard D. Irwin, INC, 1983. [8] MERTON, R.C. Theory of Rational Option Pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, 1973, vol. 4, issue 1, pp. 141-183. [9] RUBINSTEIN, M., REINER, E. Exotic Options. Finance Working Paper, vol. 220, 1992. [10] WHALEY, R.E. Derivatives, Markets, Valuation and Risk Management. New Jersey: John Wiley & Sons, 2006. Adresa autora: RNDr. Marek Ďurica, PhD. Žilinská univerzita v Žiline, Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov, Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky marek.durica@fpedas.uniza.sk
PARAMETER RHO AND VEGA FOR FORWARD-START OPTIONS Abstract The paper deals with analysis of some parameters of the option pricing model for forward-start options. It is necessary to check values of these parameters to make portfolio immune to changes in the risk-free interest rate a in the volatility of the underlying asset. Typical patterns for the variation of these parameters with time to maturity for out-of-the-money, at-the-money, and in-the-money futures options is shown in this paper, too. Key words Forward-start option, parameter Rho, parameter Vega. JEL Classification C00, G13, G23