II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Cesta k pravděpodobnostnímu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí 21.3.2001 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01410-3 83 PREMENNÉ A OPAKOVANÉ NAMÁHANIE OHÝBANÉHO DIELCA V OBLASTI PRUŽNOPLASTICKÉHO PÔSOBENIA Ján Hudák Abstract The cantilever beam made from rolled profile is loaded from alternate and variable loading of force situated on the end of beam. Tension of section beam is in the elasticplastic region of effect. It is necessary to determinate the greatness and number of plastic reversion with probability of fracture from point of view light cycle fatigue. 1. Úvod Pri projektovaní oceľových konštrukcií v podmienkach, kde sa predpokladá možnosť účinkov premenného opakovaného namáhania v nepružnej oblasti pôsobenia je potrebné aplikovať okrem pevnostných podmienok spoľahlivosti naviac aj podmienky z hľadiska prispôsobenia a nízkocyklickej únavy. Vzhľadom na variabilitu charakteristík, ktoré vstupujú do podmienok spoľahlivosti z hľadiska účinkov zaťaženia ako aj z hľadiska odolnosti konštrukcie javí sa adekvátnou aplikácia pravdepodobnostného prístupu v zmysle [1]. Pre názornosť danej problematiky uvažujeme prípad oceľovej konzoly na obrázku 1, zhotovenej z valcovaného profilu IPE 300 a ocele S235, ktorá je na konci zaťažená premenným zaťažením od sily F. Vyloženie konzoly uvažujeme hodnotou L = 3000 mm. Extrémne hodnoty premenného opakovaného zaťaženia sú popísané spektrom zaťaženia pre charakteristický blok (pozri tab. 1). Charakteristiky materiálu ocele sú vyjadrené prostredníctvom pracovného diagramu, ktorý možno popísať rovnicou Ramberg- Osgood, znázornenej na obrázku 2. Obr.1: Konzolový nosník s priebehom pomerných pretvorení a nelineárnym napätím 2. Určenie pružnoplastického účinku Pre zadané geometrické charakteristiky konzolového nosníka, plastických vlastnosti materiálu, vyjadrených pracovným diagramom podľa rovnice Ramberg-Osgooda a zaťažovacích údajov vyjadrených zaťažovacím blokom určíme podľa týchto údajov krajné Ján Hudák, Doc., Ing., CSc., Stavebná fakulta Technickej univerzity Košice, Slovensko.
84 Obr.2: Pracovný diagram ocele popísaný funkciou Ramberg-Osgood Tab.1: Charakteristiky zaťaženia a pružnoplastického účinku Čís. F [kn] M = F L [kn m] σ [MPa] ε / 1000 1 44.560 133.680 240 3.5097 2-43.631-130.895-235 -8.6500 3 46.416 139.250 250 6.6773 4-40.846-122.540-220 -4.1604 5 45.488 136.465 245 5.5068 6-43.631-130.895-235 -8.1434 7 44.560 133.680 240 4.0164 8-40.846-122.540-220 -4.6164 9 46.416 139.250 250 6.2213 10-42.703-128.110-230 -7.4289 11 47.345 142.035 255 7.8985 12-41.775-125.325-225 -5.7517 13 48.273 144.820 260 9.5756 14-42.703-128.110-230 -7.6356 15 45.488 136.465 245 4.5242 16-41.775-125.325-225 -6.3136 17 48.273 144.820 260 9.0138 18-43.631-130.895-235 -10.3099 19 44.56 133.68 240 1.8499 20-40.846-122.540-220 -6.7829 hodnoty extrémov napätí a pomerných pretvorení v mieste votknutia. S uvážením nelineárnej závislosti napätí pri opakovanom namáhaní so zohľadnením Bauschingerovho efektu možno určiť hysteréznu slučku pre každý zaťažovací cyklus v diagrame závislosti pretvorení a napätí. Pri každom polcykle možno vyjadriť plastické pretvorenie nosníka, ktoré je charakterizované šírkou hysteréznej slučky v diagrame pretvorení a napätí. Pružnoplastický účinok je potom vyjadrený hodnotami plastických reverzií, ktoré sú charakterizované veľkosťou plastických pretvorení a počtom cyklov pri predpokladanej životnosti konštrukcie. Pre časový priebeh zaťaženia s opakovaným a stochasticky premenným charakterom pri určitom zjednodušení transformačného modelu obdržíme časový diagram napätí a v ďalšom postupe časový priebeh pružnoplastických pretvorení. Na určenie spektra pružnoplastických pretvorení bola použitá triediaca metóda Range Count (pozri obrázky 4 a 5).
85 Priebeh napätí Závislosť pomerných pretvorení a napätí Priebeh pomerných pružnoplastických pretvorení Obr.3: Priebeh napätí, histerézna slučka a priebeh pružnoplastických pretvorení Obr.4: Priebeh pružnoplastických pretvorení a zodpovedajúce spektrum polcyklov pretvorení
86 Obr.5: Spektrum pružnoplastických pretvorení εt / 1000. 3. Určenie pružnoplastickej odolnosti Pre určenie poškodenia z hľadiska nízkocyklickej únavy použijeme krivku Mansona [6]. Explicitné vyjadrenie počtu cyklov do porušenia je podľa vzťahu: N f = N T (R z/b + R z/c ) 1/z (1) kde N T je tranzitný počet cyklov, ktoré môžu byť vyjadrené podľa vzorca: N T = 1/2 ( E ε f / σ f ) 1/(b-c) (2) kde σ f je koeficient únavovej pevnosti, ε f - koeficient húževnatosti únavového lomu, b - exponent únavovej pevnosti, c - exponent húževnatosti únavového lomu. Premenná R vo vzorci (1) je definovaná ako R = ε t / ε T (3) kde ε t je rozkmit totálnych deformácií v spektre, ε T je rozkmit totálnych deformácií v tranzitnom počte cyklov N T : ε T = 2 ( ε f ) b/(b-c) ( σ f / E ) c/(c-b) (4) Charakteristiky krivky životnosti (prebrané z práce [6] Doc. M. Vlka): deterministické exponenty b = - 0,105; c = - 0,656, deterministická hodnota modulu pružnosti E = 200 000 MPa, koeficienty únavovej pevnosti v logaritmicko normálnom rozdelení sú dané hodnotami m[σ f ] = 902,15 MPa a s[σ f ] = 91,465 MPa, koeficienty húževnatého únavového lomu v logaritmicko normálnom rozdelení sú dané hodnotami m[ε f ] = 1,23977 a s[ε f ] = 0,1227. Hodnotu exponentu v rovnici (1) určíme podľa rovnice: z = P ( ln R) 2 + Q ( ln R) + S (5) s prislúchajúcimi komponentmi: P = - 0,001277 ( c/b ) 2 + 0,03893 ( c/b ) - 0,0927 (6) Q = - 0,004176 ( c/b ) 2-0,135 ( c/b ) + 0,2309 (7) S = ln [ -0,889 c ( c/b ) -0,36 ] (8)
87 Okrajové hodnoty tranzitných počtov cyklov budú N T,min = 1/2 [ E ( m[ε f ] - 3 s[ε f ] ) / ( m[σ f ] + 3 s[σ f ] )] 1/(b-c) (9) N T,max = 1/2 [ E ( m[ε f ] + 3 s[ε f ] ) / ( m[σ f ] - 3 s[σ f ] )] 1/(b-c) (10) Okrajové hodnoty počtu cyklov do porušenia možno vyjadriť N f,min = N T,min (R z/b + R z/c ) 1/z (11) N f,max = N T,max (R z/b + R z/c ) 1/z (12) Uvedené charakteristiky vytvárajú vstupné údaje potrebné pre generovanie histogramov. Tieto histogramy majú logaritmicko-normálne rozdelenie. Údaje sú uvedené v tabuľke 2. Tab. 2 Charakteristiky spektra odolnosti konštrukcie Poč. ε t R = ε t / ε T z N f,min N f,max cyklov / 1000 1 19.3237 6.246135 0.185554 376 3 573 2 15.3274 4.954383 0.190064 590 5 612 3 15.3274 4.954383 0.190064 590 5 612 4 13.6502 4.412250 0.193150 745 7 076 5 13.6502 4.412250 0.193150 745 7 076 6 12.1598 3.930497 0.196808 943 8 958 7 12.1598 3.930497 0.196808 943 8 958 8 10.8377 3.503146 0.201056 1 198 11 387 9 9.6672 3.124796 0.205907 1 530 14 538 10 8.6327 2.790408 0.211374 1 963 18 652 4. Vyjadrenie spoľahlivosti Funkcia rezervy spoľahlivosti je definovaná vzťahom SF = D L D (13) kde D L je charakteristika odolnosti konštrukcie (v danom prípade D L = 1 ako skalárna veličina) D - účinok zaťaženia, vyjadrený prostredníctvom histogramov. Obr.6: Histogramy počtu cyklov do porušenia (výstupy z programu M-Star )
88 Účinok zaťaženia môže byť vyjadrený potom prostredníctvom Palmgren-Minerovej hypotézy k D = n b j= 1 1 (14) N f, j kde n b je počet opakovaní blokov do porušenia konštrukcie, k - počet úrovní vo vyšetrovanom bloku (v danom prípade k = 10), N f,j - histogramy počtu cyklov do porušenia pre zadanú úroveň rozkmitu pružnoplastických pretvorení. Obr. 7 Histogram funkcie spoľahlivosti (výstup z programu M-Star ) Pre určenie pravdepodobnosti porušenia únavovým lomom bol použitý program M- Star. Pri analýze bolo aplikovaných 1 000 000 simulácií. Výsledky z programu M-Star sú ilustrované na obrázku 7. 5. Výsledky a záver Pravdepodobností počtu cyklov do porušenia sú znázornené na obrázku 6. Pravdepodobnosť porušenia (v konkrétnom prípade v dôsledku nízkocyklickej únavy, kde n b = 135 opakovaných blokov) P f [SF 0] = 0,0000670 < P d = 0,00007 pre hladinu spoľahlivosti danú v norme ČSN 731401, rovnako aj v STN 731401. Literatúra [1] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, New York, 1996. [2] MAREK, P., GUŠTAR, M., BATHON, L.: Tragwerksbemessung von determinstischen zu probabilistischen verfahren, ACADEMIA Praha, 1998. [3] MAREK, P. a kol.: Mezní stavy konstrukcí, Posudek spolehlivosti nosných soustav a jejich častí, založený na aplikaci metody Monte Carlo a moderní výpočetní techniky, Závěrečná zpráva grantové úlohy 103/94/0562. Praha 1996. [4] HUDÁK, J., MAREK, P., VIRČÍK, J.: Vybrané state z kovových konštrukcií a mostov, Únava a krehký lom oceľových dielcov, ES VŠT Košice, 1987. [5] HUDÁK, J.: K problematike posudzovania spoľahlivosti oceľových konštrukcií na únavu v STN 731401, Inžinierske stavby č. 7-8, Bratislava, 1997. [6] VLK, M.: Využití simulační metody Monte Carlo při hodnocení životnosti v oblasti vysokocyklové únavy, In.: Conference ENGNEERING MECHANICS 95, Svratka 1995.