5. ročí Fyziálej olympiáy šolom rou 9/ Úlohy omáceho ola ateórie B - riešeie (ďalšie iformácie a http://fp.uiza./fo alebo www.olympiay.). Orazeá lopta a) Vyjaríme obu letu t o orazu z pomiey rooti zialeoti amióa o mieta rhu oamihu opau lopty a jeho teu a zmey x-oej úraice lopty t t t () Dobu t letu lopty po oraze až o opau a zem yjaríme z pomiey, že pohyb o ertiálom mere je oplyeý le tiažoým poľom h h ( t t ) t t () V útae ziazaej amióom pre pružú zrážu platí, že uhol opau a roá uhlu orazu, a tea ooroá zloža rýchloti lopty pre opaom je až a zamieo roá ooroej zložy rýchloti po oraze. V útae zeme je tea eľoť ooroej. Pomiea pre zložy rýchloti orazeej lopty po oraze oraz ( ) zachyteie lopty je t ( ) t < ( t ) ch t, oiaľ po oaeí čao zíame pomieu ch h < 3,5 m. (3) Pre ueeé hooty ie je táto pomiea pleá, chlapec loptu emôže zachytiť. boy b) Pri riešeí potupujeme ao boe a). Treba brať o úahy, že a začiatu pohybu má lopta aj ertiálu zložu rýchloti. oice () až (3) majú aleoý šeobecejší tar (4) t co t
( ) ( ) i t t t t h (5) < h i i co ch 6,4 m. (6) Pre ueeé hooty je táto pomiea pleá, chlapec loptu môže zachytiť pre opaom a zem. 3 boy c) V precházajúcej čati a hootila pomiea pre aý uhol rhu. Kriticú zialeoť a praej trae roice zázoríme raficy ao fuciu uhla pre aé hooty eličí ( ) h i i co ch Očítaím z rafu iíme, že iteral uhlo rhu pre možé zachyteie lopty je o 3,5 o 74,5. Poz.: Pre aé hooty rýchlotí ch / platí pre riticú zialeoť h i i co čo možo preieť a araticú roicu pre t t t h. Jej riešeia ú ± t h 3,6 ;,6, čomu zopoeá iteral uhlo (3,5 ; 74,5 ). 3 boy A ie je pleá pomiea ch /, je riešeie roice eľmi áročé a raficá metóa je možým ýchoiom.
rčeie rozahu uhlo eobmezuje ýšu bou orazu o tey amióa. A uážime obmezeú ýšu orazu H, ycházame zo zťahu pre ýšu bou orazu i horaz h t t i h H ( ) co co Táto pomiea je pre aalyticé riešeie eľmi zložitá, preto a opäť ýhoou yužije raficé riešeie. V rafe fucie h oraz () yzačíme mezú hootu H. Z rafu možo určiť mezé uhly :,7 a 68,9 pre h oraz H. Nayše bo orazu muí byť a olým orajom tey amióa (ie je zaaá ýša), ale určite h oraz >. Tomu zopoeá uhol : 69,9. Aby ošlo orazu pri eľých uhloch rhu by a muel chlapec trafiť o rozmezia šírou, čo je ereále. Pre praticú realizáciu je preto hoé házať loptu po malým uhlom. Spojeím ýleo obioch rafo otáame iteral možých uhlo rhu o 3,5 o,7. (Teoreticy je možý iteral o 68,9 o 69,9 ). boy Poz.: Pri oštrucii rafo bol použitý proram MS EXCEL.. Guľa a lie a) Poča pohybu ule po lie a poloha ťažia útay uľa li o ooroom mere emeí, lebo zemá tiaž i reacia položy majú zilý mer. Poľa obráza začiatočé úraice ťaží ule a lia určoaé o ooroom mere zhľaom a roiu precházajúcu zilou teou hraola ú x T r iϕ, x T l coϕ () 3 Súraica ťažia útay x T zhľaom a tú itú roiu je určeá roicou ( m m ) xt m xt m xt () A ozačíme x T, x T úraice ťaží T ule a lia (určoaé zhľaom a tú itú φ/ r
ehybú roiu ao a začiatu pohybu) oamihu otyu ule položou, poľa zťahu () platí m x T m x T m xt m xt (3) a poľa obrázu ϕ x T xt l coϕ r t (4) 3 iešeím útay roíc (3) a (4) yužitím zťaho () otaeme pre eľoť pouutia lia m ϕ x T xt l coϕ r t iϕ,8 cm m m Kli a pouie a opačú trau ež uľa. boy b) Záo zachoaia eerie útay uľa li eie roici r m J m m h r (5) e r je eľoť relatíej rýchloti r treu ule zhľaom a li, J mr je momet zotračoti ule zhľaom a o precházajúcu jej treom a 5 h l i ϕ r coϕ r (6) je celoý pole ýšy ule o začiatu pohybu až o oamihu, eď a uľa ote položy. Poľa záoa zachoaia hyboti muí byť ooroá zloža celoej hyboti útay poča pohybu ule po lie uloá, preto pre ooroé zložy rýchloti ťaží ule a lia platí: m x mx (7) Z etoroého trojuholía rýchlotí yplýajú pre ooroé a zilé zložy rýchloti ťaží telie zťahy: x r coϕ, y r iϕ, x, y (8) Z roíc (7) a (8) otaeme m m x r coϕ, x r coϕ m m m m (9) Doaeím zo zťahu x y a zťaho (8) a (9) o roice (5) otaeme roicu pre eľoť relatíej rýchloti treu ule, torej riešeie je r h () 7 m co ϕ 5 m m Zo zťaho (8) () a (6) yplýa, že oamihu otyu položou rýchloti treu ule je eľoť
[ l iϕ r( coϕ ) ] m coϕ m m 7 m co ϕ 5 m m i a eľoť rýchloti lia [ l iϕ r( coϕ ) ] ϕ,7 m/ m coϕ,63 m/ boy m 7 m m co ϕ 5 m m c) Pomer ieticej eerie ule a lia oamihu otyu ule položou bue poľa zťaho (9) a () 7 m m co h m ϕ m h 5 m m 5,9 m m m m co co m ϕ ϕ r ( ) m m m m boy ) Vzťah () možo prepíať o taru r a, e h / iϕ je ráha, torú preje tre ule úraicoej útae pojeej liom o začiatu pohybu a iϕ a 7 m co ϕ 5 m m je eľoť zrýchleia treu ule zhľaom a li. Pohyb treu ule zhľaom a li je tea roomere zrýchleý a uľa a ote položy za ča 7 m ( l iϕ r coϕ r) co ϕ 5 m m t, boy a i ϕ e) Priemet hyboti útay uľa li o meru zilého bue po prechoe ule z lia a položu uloý. Priemet celoej hyboti tejto útay o meru pohybu ule bue poľa zťaho (8) a (9) m m p x m m m r coϕ i ϕ coϕ m m m m 3 Číele p x,7 m/. π Z tohto zťahu je iieť, že pre < ϕ < je p x, tea ooroá zloža celoej hyboti útay uľa li a po prechoe ule z lia a položu zmeí. Je to ôleo toho, že poča tohto prechou bue pôobiť a uľu ooroá trecia ila položy, torá zýši ooroú zložu rýchloti treu ule a hootu zopoeajúcu aliému pohybu bez prešmyoaia po polože. boy
3. Kmity paličy mie Vyjaríme ieticú eeriu paličy, pre torú platí E m / J ω /, e je rýchloť ťažia paličy a J momet zotračoti paličy zhľaom a o precházajúcu jej treom a olmú a paliču. Zrejme rω, e r / 4, a platí J m /, ω /t, taže pre ieticú eeriu paličy otáame zťah mω E. 6 Poteciálu eeriu určíme pomocou ýšy ťažia paličy a rooážou polohou. Platí E mr co. p ( ) A uažujeme malé mity, ta co /. Záo zachoaia mechaicej eerie má potom tar mω m ot. 6 4 Derioaím tejto roice poľa čau a úpraou otaeme roicu etlmeých mito paličy: / 4. t / 6 Z ej potom určíme ruhoú freeciu latých mito ω / 4, rep. ich perióu T / 6 / 6 π. / 4 ý potup: Paliča a pohybuje ao fyziále yalo zaeeé boe a oi alca ťažiom o zialeoti r o oi otáčaia a mometom zotračoti zhľaom a o otáčaia J J m r. Paliča a pohybuje po účiom tiažoej ily a pohyboá roica má tar J ε M, e ε je uhloé zrýchleie a M - m r i je momet tiažoej ily. Po oaeí o pohyboej roice otaeme pre malé uhly ychýleia (i ) M m r / 4 ε J /m m r / 6 Týmto pôobom pricházame roaému ýleu. ω. boo
4. Eletricá ieť a) Výo zroja po pripojeí ieti je P Z / AB. Pre určeie ýou je potrebé určiť opor iete zhľaom a ory A a B. Keďže je opor rôtu a jeotu ĺžy oštatý, je opor aého eometricého útaru priamo úmerý jeho rozmerom. Opor AB iete, torá zopoeá trojuholíu A B C, zhľaom a ory A a B je / oporu AB mezi bomi A a B. Sieť možo prereliť poľa aleujúcej chémy. Pre opor AB potom platí A AB B ar ( ar AB ) ar (ar AB ) AB ar AB 4ar AB a (a/)r (a/)r AB 3arAB ( ar), ar A B oiaľ otaeme riešeie 3 9 7 3 a r a r AB ± a r 8 Ω 4 Poz.: iešeie o zamieom míu eie a záporý ýleo, a preto ezopoeá fyziálym pomieam. Výo zroja je potom PZ,6 W boy 7 3 a r b) Vzhľaom a eometricú pooboť zmešujúcich a trojuholío možo prepolaať, že hooty eličí, toré zopoeajú potupe a zmešujúcim trojuholíom ytárajú eometricé ray. Z toho yplýa, že pomer / x ezáií o iexu. Poobe AB AB /( ). Pomer určíme pre ojicu ajäčších trojuholío. Prú olou zálaňou je /(ar). Prú zálaňou A B je AB /(ar/), e AB AB. AB ar Pomer prúo je potom 7 3 x,44. 7 V roaom pomere leá prú ďalších priečach 7 3 x. 7 Pre požaoaý pomer / Z p otaeme
AB 7 3 7 3 p Z Z a r 7 p lo 7 3 7,7. boy 7 3 lo 7 Prú bue meší ao p Z prieče 8. c) Napätie a priečach bue tiež leať oštatom pomere AB 7 3 x y. 7 Napätie a tej prieče je 7 3 ( y ) (, ) 7. boy ) Tepelý ýo prílušom trojuholíu je. P AB AB 7 3 7 AB 7 3 7 P a 3 a S S i 6 Z 7 3 7 Obah trojuholía, e S 73 m. 4 Plošá hutota ýou je potom (,3) PZ P P Z 7 3 PZ (,6) S S 7, e P Z /S 9 mw/m. boy S Z ýleu io, že plošá hutota ýou leá ule pri zäčšoaí a tým zmešoaím trojuholía. e) Trojuholíoá ieť je ymetricá zhľaom a zilú o. Vzhľaom a rcholy útay možo celú ieť ahraiť trojicou rezitoro zapojeých o hiezy alebo o trojuholía. C C T A B T A B A ra/ ra ra/ B
V chéme a obrázu je použitá áhraa hiezou ymetricou zhľaom a zilú o. Keďže šety rozmery trojuholíu A B C ú poloičé poroaí ABC, ú aj hooty áhraých rezitoro poloičé, / a /. Opory mezi rcholmi trojuholía poľa prej chémy ú AC a AB. Opor AB a určil čati a), AB /. V chéme a ruhom obrázu otaeme ( ar / )( 3ar / ) AC. ar Po oaeí ( ar)( 3ar) 4 ( ar) a otiaľ ( ar)( 3ar) AC. ( ar) Po oaeí za otaeme po úprae 7 AC ar,64 ar. 8 Výo zroja po pripojeí a ory A a C je 8 P Z 8 W. boy a r 7 AC 5. Koezátory a) A ú oamihu zaputia apacitory ybité, je a ich uloé apätie. Mezi uzlami A a B (ie o cetu ADCB) je uloé apätie a rezitorom ta tomto oamihu precháza prú Zm /. Precházajúcim prúom a začíajú apacitory abíjať a apätie AB aratá. Prú zroja A C 3 Z ( AB )/ ta potupe leá až uloej hoote utáleom tae (cez apacitor emôže C precházať utáleý oštatý prú). boy b) Po abití apacitoro a ýleé apätie ebue C oboom (a tea aj rezitormi) precházať prú. Napätia a rezitoroch ú potom uloé. Keďže AC, platí pre abité apacitory C C3. S Poobe BD a tea C3 C. V oečom tae ú tea apätia a apacitoroch roaé a roé apätiu zroja C C3 C. Na oezátoroch buú preto áboje Q C, Q C a Q 3 C 3. Zroj ta oá o obou celoý áboj Q Q Q Q 3 (C C C 3 ). Zroj útorým apätím yoá prácu C C C3 D C B
W Z Q (C C C 3 ). 3 boy c) Eeria eletricého poľa abitého apacitora je E C (/) C. Sútaa abitých apacitoro má po abití celoú eeriu E C (/) C (/) C (/) C 3 (/) (C C C 3 ). Teplo uoľeé poča abíjaia je roé rozielu práce yoaej zrojom a eeriou útay abitých apacitoro Q T W Z E C (/) (C C C 3 ). 3 boy ) Z ueeých ýleom je zrejmé, že účioť abíjaia útay je η 5 %. boy 6. Neharmoicé mity yala a) Pohyboá roica pre mity fyziáleho yala má tar J ε M, e M m a iφ a ε ω/t je uhloá rýchloť. Pre malé ýchyly približe platí iϕ ϕ a pohyboá roica zía tar m a ε ϕ ω ϕ, J čo je roica harmoicých (íuoá čaoá záiloť) mito perióou π J T π boy ω m a b) Poľa záoa zachoaia mechaicej eerie yjaríme zťah uhlu ychýleia o počiatočej ýchyly m a ( coϕ) J ω m a ( coϕ), a otiaľ m a π ω (coϕ coϕ ) (coϕ coϕ ). 3 boy J T c) Výpočet uutočíme pomocou metóy oečých prírato pomocou aloritmu π ϕ ϕ ϕ ϕ ω t ϕ (coϕ coϕ ) t, T e je poraie rou ýpočtu. Sta je ýchoioý pre aleujúci ro, torom a ypočíta hoota tau. Výpočet a začía a hoote φ a očí a, eď φ oiahe (preročí) zaaú hootu φ. Celoý počet roo rát ĺža rou t zopoeá čau T/4. Výley ú tabuľe hol φ [ ] 5 45 9 5 7 75 79 79,5 T/T,998,9984,,56,38,78,37,76,4368,875 3,898 4,339 T/T [%],,6,56 3,8 7,8 37, 76, 43 88 9 334 Z ýleo io, že pri požaoaej preoti,5 % možo poažoať mity maximálou ýchylou o za harmoicé. Pri požiaae preoti, % ýchyla emá preračoať 5. Záporé hooty pre íze hooty φ ú ôleom epreoti umericej metóy (pri preom ýpočte by mali byť laé).
V aleujúcom rafe je záiloť relatíej perióy T/T o maximálej ýchyly φ. Je zrejmé, že pre φ π ra ratie pomer T/T (zopoeá ratej rooážej polohe) c) Pri opaoaí ýpočtu pre φ pri rôzych ĺžach rou t otaeme 3 boy t [],,5,, T /T,998,999,9996,9998 Z ýleo io, že pri zížeí t o jee rá a aj relatía chyba zíži o jee rá. boy