Sablona

92 PRÍPRAVA BUDÚCICH UČITEĽOV MATEMATIKY PRE PRAX PREPARING PRE-SERVICE MATHEMATICS TEACHERS FOR CLASSROOM PRACTICE Veronika Hubeňáková Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta, UPJŠ v Košiciach Ingrid Semanišinová Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta, UPJŠ v Košiciach Abstract: Shulman (1986) proposed model of teacher knowledge, known as Pedagogical Content Knowledge. This model describes different areas in which should a good teacher systematically grow and achieve a certain standard. Hill et al. (2008) elaborated Shulman s definition and suggested model of PCK for mathematics. During the last years, we have empirically observed gaps in the pedagogical content knowledge (PCK) of our pre-service teachers. This stimulated us to adjust our course of Didactics of Mathematics. Our new approach is mainly focused on the assessment of the lesson plans presented by the pre-service teachers. PCK level is conceptualized via five rubrics, which are used during the course to assess the students lesson plans. The research sample consists of 34 pre-service teachers. We performed qualitative analysis of pre-service teachers lesson plans, their presentation during the course and the questions students posed to the lesson plan before its presentation. We have partially verified the reliability of the rubrics. Based on qualitative analysis, we have identified components of PCK where pre-service teachers progress was observed as conceptualized via proposed rubrics. Key words: pedagogical content knowledge, pre-service teacher, rubrics, lesson plan Úvod Oblasti poznania, v ktorých by mal dobrý učiteľ matematiky systematicky rásť a dosahovať určitý štandard, sú pomenované už niekoľko desaťročí. Ako tí, ktorí nesú zodpovednosť za vzdelávanie učiteľov matematiky, potrebujeme hľadať efektívne spôsoby, ktoré študentom učiteľstva umožnia čo najviac zlepšiť ich predmetovú didaktickú prípravu. Na predmete Didaktika matematiky II, ktorý sa realizuje v predposlednom semestri štúdia budúcich učiteľov matematiky, sme pozorovali pretrvávajúce nedostatky v didaktickom poznaní obsahu predmetu matematika. To nás viedlo k zavedeniu nových spôsobov výučby a hodnotenia v spomenutom predmete. Bližšie ich opisujeme v časti metodológia výskumu. Tu spomenieme len kľúčový bod pre tento príspevok, a totiž že študenti v rámci tohto predmetu vytvárajú prípravy na vyučovacie jednotky, pričom dopredu vedia, ako bude táto príprava hodnotená. Ostatní študenti vopred formulujú a zasielajú vyučujúcemu otázky k zverejneným prípravám. Jedným z cieľov tohto kroku bolo zabezpečiť, aby si ostatní študenti prezentovanú

93 prípravu prečítali s porozumením ešte pred konaním seminára. Začali sme však vnímať aj ďalšie benefity, ktoré súviseli s poznaním, ktoré má mať učiteľ matematiky. Teoretické východiská Najprv podrobnejšie objasníme, čo rozumieme pod poznaním, ktoré má mať učiteľ matematiky. Model tohto poznania ako prvý sformuloval Shulman (1986), je známy ako Pedagogical content knowledge (PCK). Model zahŕňa porozumenie tomu, čo robí učenie konkrétnych tém jednoduché alebo náročné. Učitelia potrebujú poznať stratégie, ktoré s najväčšou pravdepodobnosťou pomôžu žiakom porozumieť učivu, pretože títo žiaci sa pravdepodobne pred nimi objavia už s nejakými vytvorenými predstavami (s. 9). Shulman (1986) zdôraznil tiež význam poznania osnov a štandardov predmetu, učebníc a ďalších materiálov a nástrojov, ktoré sú dostupné na výučbu odlišných konceptov na rôznych úrovniach. PCK v oblasti matematiky zahŕňa matematické vedomosti iného druhu ako tie, ktoré sú potrebné v každodennom živote a v iných profesiách, ktoré potrebujú matematiku (Ball & Bass, 2000). Hill a kol. (2008) vychádzajúc zo Shulmana (1986) navrhli model s tromi typmi poznatkov, ktoré sa týkajú poznania obsahu matematiky a s tromi typmi poznatkov, ktoré vytvárajú didaktické poznanie obsahu (pozri Obr. 1). Obr. 1: Model poznania, ktoré má mať učiteľ matematiky (podľa Hill a kol., 2008) Poznanie obsahu matematiky (Content knowledge CK) (1) Poznanie základného obsahu matematiky (Common Content Knowledge CCK) poznatky, ktoré sa v triede používajú takým istým spôsobom ako ich používajú ostatné profesie, ktoré tiež potrebujú matematiku. Ide o schopnosť vyriešiť základné matematické úlohy. (2) Poznanie obsahu matematiky dôležitého pre učiteľa (Specialized Content Knowledge SCK) poznatky o možnostiach rôznej reprezentácie matematických poznatkov, o rôznych možnostiach vysvetlenia vzorcov, postupov, schopnosť porozumieť neštandardným spôsobom riešenia. (3) Poznanie možností matematiky (Knowledge at the mathematical horizon - HCK) poznanie histórie matematiky, aplikácií matematiky

94 a predstava o poznatkoch z vyššej matematiky, ktorá nie je súčasťou obsahu vzdelávania základných kurzov z matematiky. Zahŕňa tiež vzájomné prepojenie poznatkov z matematiky zo základnej, strednej a vysokej školy (Zazkis & Mamolo, 2011). Didaktické poznanie obsahu matematiky (Pedagogical content knowledge PCK) (1) Poznanie myslenia žiakov (Knowledge of Content and Students KCS) poznatky o tom, ako sa žiaci vo všeobecnosti učia nové pojmy, ich vlastnosti a spôsoby riešenia úloh, aké chyby a nesprávne predstavy sú u žiakov časté, zahŕňa to tiež porozumenie mysleniu žiakov a tomu, čo robí učenie niektorých častí matematiky jednoduché alebo náročné. (2) Poznanie didaktických prostriedkov (Knowledge of Content and Teaching KCT) poznatky o tom, ako rozvíjať myslenie žiakov voľbou vhodných didaktických metód, ako efektívne zaobchádzať so žiackymi chybami na vyučovacej hodine, aké pomôcky zvoliť na vyučovaciu hodinu. (3) Poznanie kurikula (Knowledge of Curriculum KC) poznanie učebných osnov a štandardov predmetu, učebníc, ďalších materiálov, nástrojov a pod. V rámci širšieho výskumu sa zaoberáme rozvíjaním tohto poznania u budúcich učiteľov matematiky v novom kurze Didaktiky matematiky. V tomto príspevku sa venujeme nasledujúcej výskumnej otázke: Na ktoré z komponentov poznania, ktoré má mať učiteľ matematiky, sa študenti vo svojich otázkach a pripomienkach zamerali? Metodológia výskumu Zmena výučby a na ňu nadväzujúci výskum prebiehal počas troch akademických rokov (2015/2016, 2016/2017 a 2017/2018) a zúčastnilo sa ho spolu 34 budúcich učiteľov matematiky. Tí už absolvovali predmet Didaktika matematiky I a vytvorili z predmetu matematika aspoň 19 príprav na vyučovaciu hodinu v rámci priebežnej a súvislej pedagogickej praxe. V prvom roku sme sa zamerali predovšetkým na vývoj a reliabilitu nástroja, ktorý sme používali pri hodnotení. V druhom a treťom roku sme už viac skúmali, či a ako sa rozvíja didaktické poznanie našich študentov. Najprv opíšeme, ako aktuálne prebieha predmet Didaktika matematiky II, ktorý pozostáva z desiatich seminárov. Každý seminár trvá 180 minút. Polovica seminárov je venovaná prezentácii a analýze príprav na vyučovacie hodiny, ktoré vytvorili budúci učitelia matematiky. Priebeh výučby, ktorá je zameraná na prezentáciu príprav, je nasledovný: (1) Budúci učitelia matematiky si na prvom seminári k predmetu náhodne vylosujú jednu z tém, ktoré vopred vybral vyučujúci (druhý autor). K tejto téme vytvoria prípravu na vyučovaciu hodinu. Je určený termín, do ktorého musí byť príprava zverejnená, približne týždeň pred jej prezentovaním. Každý študent má na vytvorenie prípravy aspoň 2 týždne. Vybrané témy na prípravu sú zamerané na preberanie nového pojmu, vlastnosti pojmu alebo novej metódy riešenia úlohy. Pre prípravu na vyučovaciu hodinu je zverejnená šablóna, ktorej prvá strana je predpísaná. Táto obsahuje nasledovné body: téma vyučovacej hodiny, ročník, ciele vyučovacej hodiny, vstupné vedomosti, didaktické problémy a miskoncepcie, didaktické metódy a pomôcky. (2) Budúci učiteľ zverejní prípravu týždeň pred prezentáciou ostatným spolužiakom a učiteľovi. Každý študent si prípravu prečíta vopred a sformuluje k nej aspoň dve otázky. Tieto otázky zašle vyučujúcemu.

95 (3) Prezentujúci budúci učiteľ má približne 30 minút na prezentáciu prípravy, počas ktorej vysvetlí základné informácie a zdôrazní dôležité prepojenia medzi informáciami z titulnej stránky prípravy a zvyšnou časťou prípravy. Následne sa simuluje vyučovanie časti prípravy. (4) Ďalších 20 minút je vyhradených na diskusiu. Každý prezentujúci dostal k svojej príprave viac ako 20 otázok, pripomienok, komentárov. Vyučujúci z nich vybral tie, ktoré boli zamerané na rozvíjanie komponentov modelu. (5) Každý, kto sa zúčastnil prezentácie prípravy, hodnotí prípravu na vyučovaciu hodinu a jej prezentáciu. Z dôvodu minimalizácie subjektivizmu hodnotenia boli vytvorené rubriky (viď nasledujúca kapitola) pre hodnotenie prípravy. V tomto príspevku sme sa rozhodli analyzovať otázky a pripomienky, ktoré formulovali študenti k zverejneným prípravám (viď bod 2 na predchádzajúcej strane). Na ich kategorizáciu a analýzu sme použili rubriky, ktoré boli využívané na hodnotenie príprav (bod 5). V nasledujúcej časti tieto rubriky predstavíme. Rubriky pre hodnotenie príprav na vyučovaciu hodinu Základom pre vznik finálnej verzie rubrík boli pozorovania, realizované druhým autorom počas realizácie predmetu Didaktika matematiky II v školskom roku 2014/2015. Výučba bola realizovaná analogickým spôsobom, ale hodnotenie príprav nebolo konceptualizované. Takéto hodnotenie príprav nevytváralo dostatočný tlak na rozvoj didaktického poznania obsahu. To bol dôvod, prečo sme v nasledujúcom akademickom roku vyvinuli päť rubrík. Každá rubrika je rozdelená do troch úrovní. Vytvorené rubriky navyše slúžili ako základ pre analýzu údajov na zodpovedanie našich výskumných otázok. (1) Rubrika Ciele vyučovacej jednotky je zameraná na schopnosť formulovať a objasniť základné ciele vyučovacej jednotky a prepojiť ich so zvyšnou časťou prípravy. Prostredníctvo rubriky hodnotíme, či sú vzdelávacie aktivity na vyučovacej hodine prepojené s formulovanými cieľmi. Rubrika je spojená s komponentom PCK poznanie kurikula (KC) a poznania myslenia žiakov (KCS). Úroveň 0: Študent vysvetlí ciele vyučovacej hodiny len čiastočne. Niektoré dôležité vzdelávacie ciele neuvedie. Niektoré ciele korešpondujú len čiastočne so zvyškom prípravy, Niektoré ciele nie sú primerané vekovej kategórii, pre ktorú sú určené. Úroveň 1: Študent sformuluje a vysvetlí podstatné ciele vyučovacej hodiny, prezentuje ich prepojenie so zvyškom prípravy. Ciele sú primerané vekovej kategórii, pre ktorú sú určené. Študent nemá premyslenú formu kontroly naplnenia cieľov, resp. má ju premyslenú len formálne. Úroveň 2: Študent sformuluje a vysvetlí podstatné ciele vyučovacej hodiny, prezentuje ich prepojenie so zvyškom prípravy. Ciele sú primerané vekovej kategórii, pre ktorú sú určené. Študent má premyslenú formu kontroly naplnenia cieľov. (2) Rubrika Aktivizácia a motivácia žiakov ukazuje potenciál budúceho učiteľa matematiky prezentovať matematické myšlienky atraktívnym spôsobom, ktorý zaujme žiakov. Je prepojená s poznaním obsahu matematiky dôležitého pre učiteľa (SCK) a čiastočne tiež s poznaním možností matematiky (HCK)

96 Úroveň 0: V príprave nie je explicitne uvedená žiadna motivácia (hra, aktivizujúca činnosť), prípadne je uvedená len formálne (nevyvolá žiadnu aktivitu, žiadne otázky). Úroveň 1: Motivácia, resp. aktivizujúca činnosť uvedená v príprave zrejme osloví len menšiu skupinu žiakov, resp. osloví väčšinu žiakov, ale nie je prepojená s cieľmi vyučovacej hodiny. Úroveň 2: Motivácia, resp. aktivizujúca činnosť uvedená v príprave osloví väčšinu žiakov a je prepojená s cieľmi vyučovacej hodiny. Môže ísť o úlohu z každodenného života, didaktickú hru, paradox, úlohu neriešiteľnú doterajším matematickým aparátom, zjednodušenie doteraz známeho postupu, historickú poznámku a pod. (3) Tretia rubrika Korektnosť sa týka matematickej korektnosti prípravy na vyučovaciu hodinu. Je spojená s komponentami PCK poznanie základného obsahu matematiky (CCK) a poznanie obsahu matematiky dôležitého pre učiteľa (SCK) a čiastočne s poznaním myslenia žiakov (KCS). Úroveň 0: Nové učivo je zavedené nekorektne (formulácie definícií matematických pojmov, formulácie matematických viet a vybrané úlohy nie sú sformulované zrozumiteľne, korektne alebo nie sú veku primerané), nie je rešpektovaná logika a systém poznatkov, aby sa nové odvodzovalo z už známeho. Úroveň 1: Nové učivo je prezentované s nepresnosťami pri jazykovom, resp. písomnom vyjadrení. Len čiastočne je rešpektovaná logika a systém poznatkov, aby sa nové odvodzovalo z už známeho. Úroveň 2: Nové učivo je prezentované dostatočne korektne (formulácie definícií matematických pojmov, formulácie matematických viet a vybrané úlohy sú sformulované zrozumiteľne, korektne a sú veku primerané). Je rešpektovaná logika a systém poznatkov, aby sa nové odvodzovalo z už známeho. (4) Rubrika Didaktické prostriedky (metódy, stratégie riešenia úloh, formy, pomôcky) slúži na hodnotenie poznatkov budúceho učiteľa o tom, ako rozvíjať myslenie žiakov voľbou vhodných didaktických metód, ako zvoliť vybrať úlohy na vyučovaciu hodinu, aby sme predchádzali vzniku miskoncepcií, aké pomôcky zvoliť na vyučovaciu hodinu. Cieľom rubriky je zistiť úroveň poznania didaktických prostriedkov (KCT). Úroveň 0: Zvolené didaktické prostriedky jednoznačne vedú k inštruktívnemu prístupu učiteľa, chýba podnet k myšlienkovej aktivite žiaka. Úlohy sú vyberané bez ohľadu na didaktické funkcie, ktoré plnia a nerozvíjajú rôzne poznávacie funkcie žiaka. Úroveň 1: Zvolené didaktické prostriedky vedú skôr k inštruktívnemu prístupu, myšlienková aktivita žiaka je nižšia. Úlohy plnia didaktické funkcie, rozvíjajú poznávacie funkcie žiaka, ale ich riešením sa nevytvorí komplexná predstava o preberanom elemente učiva (pojem, vlastnosť pojmu, metóda riešenia).

97 Úroveň 2: Zvolené didaktické prostriedky vedú k vytvoreniu tvorivého prostredia, dominuje aktivita žiakov. Úlohy vhodne plnia didaktické funkcie, rozvíjajú rôzne poznávacie funkcie žiaka. Ich riešením sa vytvorí komplexná predstava o preberanom elemente učiva (pojem, vlastnosť pojmu, metóda riešenia). (5) Posledná rubrika Didaktický problém a miskoncepcie obsahuje hodnotenie úrovne znalostí budúceho učiteľa matematiky o tom, ako žiaci uvažujú o téme, úrovne porozumenia o tom, čo robí učenie niektorých častí matematiky jednoduché alebo náročné, aké chyby a nesprávne predstavy sú časté. Rubrika je určená na určenie úrovne poznania myslenia žiakov (KCS). Úroveň 0: Študent neformuluje žiadne miskoncepcie súvisiace s témou, neuvedomuje si čo v preberanom učive môže spôsobovať ťažkosti, prípadne si uvedomuje len okrajové (všeobecné) miskoncepcie a problémy súvisiace s témou. Úroveň 1: Študent si uvedomuje niektoré miskoncepcie súvisiace s témou, formuluje ich s pomocou, uvedomuje si čiastočne čo v preberanom učive môže spôsobovať ťažkosti žiakov. Miskoncepcie a problémy v príprave na vyučovaciu hodinu rieši len formálne. Úroveň 2: Študent dokáže pomenovať niektoré kľúčové miskoncepcie, uvedomuje si čo v preberanom učive môže spôsobovať ťažkosti žiakov. Je zrejmé prepojenie medzi prípravou a študentom formulovanými miskoncepciami a problémami. Reliabilita rubrík bola overovaná v školskom roku 2015/2016 oboma autormi na desiatich prípravách. Meraniami bola potvrdená zhoda medzi pozorovateľmi (inter-rater reliability) (Hubeňáková a kol., 2017). Predbežné výsledky V tejto časti kategorizujeme zaslané otázky študentov podľa rubrík. Každej z nich tiež priradíme komponent modelu poznania učiteľa matematiky, na ktorý sa študent vo svojej otázke zameral. Rubrika: Ciele Máme skúsenosť (demonštrovanú na Obr. 2), že budúci učitelia vnímajú formuláciu cieľov ako formalitu. Často to robia bez hlbšieho zamyslenia sa nad obsahom, i keď technicky môžu byť ciele naformulované správne, chýba vhľad, ako je vyučovaná téma štruktúrovaná, čo je podstata, čo majú žiaci vedieť definovať, čo by mali len vysvetliť. Obr. 2: Ciele vyučovacej hodiny v príprave na súvislej pedagogickej praxi

98 Nasledujúce otázky a pripomienky študentov ukazujú na zvýšenú citlivosť na formulovanie cieľov. C1: V akých úlohách má žiak vedieť použiť Euklidove vety? Možno by bolo dobré konkretizovať. (KCT) C2: V cieľoch je napísané, že žiak bude vedieť definíciu parametrického vyjadrenia priamky, čo je podľa mňa niečo, čo ten žiak reálne nebude vedieť. Ja sama by som asi korektne nesformulovala definíciu parametrického vyjadrenia priamky. (KCS) C3: Cieľ Napísať rovnicu lineárnej funkcie mi asi nie je celkom jasný (Rovnicu konkrétnej funkcie alebo nejako zadanej, alebo všeobecnú rovnicu...?) (SCK) C4: Pri cieľoch v treťom bode chceme, aby žiaci ovládali dané pravidlá alebo aby na nich prišli sami? (KCT) Rubrika: Motivácia Nájsť vhodnú motivačnú úlohu učiteľovi matematiky niekedy nepomáhajú ani učebnice. Stáva sa, že úlohy, ktoré by mali byť motivačné pôsobia skôr umelo a neprirodzene. Nasledujúce otázky ukazujú, že budúci učitelia matematiky v našej výskumnej vzorke si uvedomujú náročnosť výberu motivačnej úlohy. Prejavuje sa tiež kritickosť voči ponúknutým úlohám. M1: Možno mi chýba nejaká motivačná úloha, niečo z praxe, hoci sama momentálne neviem, ako by som si s tým poradila. (HCK) M2: Existujú aj nejaké úlohy na využitie Euklidových viet s praktickým využitím? Niečo z reálneho života. (HCK) M3: Chýba mi tam aspoň jedna úloha ( či už v pracovnom liste alebo ako príklad na precvičenie), ktorá by bola prepojená s bežným životom - teda nenáročná slovná úloha z bežného života alebo motivačná. (KCT) M4: Príklad z bežného života, ktorý je použitý v motivácii mi príde taký... umelo vytvorený. (HCK) Rubrika: Korektnosť Rubrika korektnosť je vo viacerých ohľadoch špecifická. Je zrejme najjednoduchšie merateľná, pretože o tom, či niečo je alebo nie je korektné vieme v matematike rozhodnúť spoľahlivo. Navyše, korektnosť je niečo, čo učiteľ hodnotí u svojich žiakov, preto by jeho korektnosť mala byť na vysokej úrovni. Ďalší aspekt je, že do istého času sa učiteľ mohol takmer spoľahnúť na to, že učebnice, ktoré používa, sú matematicky korektné. Teraz to už neplatí a nanešťastie nie málo krát sa stretávame s nekorektnosťami v učebniciach matematiky (pozri Obr. 3). Obr. 3: Nekorektná formulácia o pojme výška trojuholníka v učebnici matematiky pre 9. ročník ZŠ schválenej ministerstvom školstva (Kolbaská, 2012, s.48) Otázky uvedené nižšie deklarujú, že budúci učitelia z našej vzorky sa dokážu kriticky pozerať na výučbové materiály.

99 K1: Vidím ťažkosť pri zovšeobecnení - v úlohe bola použitá funkcia, ktorá mala Df nezáporné čísla, no v zovšeobecnení je Df = R. Možno by som ako ilustračný príklad volila všeobecnejšiu funkciu. A mám otázku: je funkcia z úlohy 1 lineárna, ak nemá Df = R? (SCK, KCT) K2: Kde v príprave sa venoval tomu, aby boli možnosti rovnako pravdepodobné? Asi by bolo fajn zaviesť viac takých príkladov a poriadne sa im venovať. (SCK, KCT) K3: V grafoch v prvej úlohe by som doplnila aj osi, a popis osí...aby bolo jasné, že kde sa ukazuje, v ktorom prípade sa z mesiaca na mesiac vreckové zvyšuje najviac. (SCK, KCT) K4: Pri rozdelení priamok podľa polohy mi chýbala možnosť "totožné". (SCK) K5: Pri vstupných vedomostiach pri bode "žiak vie dopočítať súradnice druhého bodu, keď má daný jeden bod a vzdialenosť" nevyžadujeme ešte nejakú podmienku, lebo ináč je výsledkom kružnica (v úlohe na opakovanie tá podmienka bola, len tu nie je zapísaná). (SCK) K6: V riešení motivačnej úlohy sme dospeli k výsledku n = 4,6. Nemôže to žiakov pomýliť, keďže naše n je prirodzené číslo a zrazu sme dostali hodnotu n, ktorá je reálna? (SCK, KCS) Rubrika: Didaktické prostriedky Jedným z cieľov, ktoré máme pri vzdelávaní budúcich učiteľov matematiky, je pozitívne ovplyvniť ich presvedčenia o konštruktivistickom prístupe k vyučovaniu matematiky. Zameriavame sa najmä na bádateľsky orientované vyučovanie. Nasledujúce otázky poukazujú na to, že študenti v našej výskumnej vzorke sa zamýšľajú nad tým, ako podať učivo týmto spôsobom. DP1: Pri druhej úlohe pracovného listu (súradnice vektora geometricky) mi chýba popis ako to uzavrieme, keď sa odpovede žiakov budú líšiť? Budem sa snažiť naviesť tých, ktorí na to neprišli? Alebo im to poviem? Napíšeme si k tomu niečo? Neviem si to predstaviť. (KCT) DP2: Celkovo by sa táto téma dala urobiť viac bádateľsky, mám pocit že všetko je tam len priamo povedané, neodvádzané samotne žiakmi. (KCT) DP3: Pri zhrnutí toho, čo sme zistili, by som možno zapojila do tohto zhrnutia žiakov, ak im len poviem nech si opíšu poznámky z tabule, nezistím či vôbec rozumejú tomu, čo píšu. Ak by som to robila takým spôsobom, možno by som im tam vynechala nejaké miesta, ktoré by mali doplniť alebo tak. Jednoducho aby sa pri tom opisovaní museli aj zamyslieť nad obsahom. (KCT, KCS) DP4: Pri aktualizácií, by som tie hody mincou naozaj so žiakmi realizovala. (KCT) DP5: Bádateľská metóda v tejto téme je spracovaná veľmi pekne, avšak nie všetci žiaci sú ňou zvyknutí pracovať a pokiaľ s ňou nemajú skúsenosti, možnože by sa v tomto trošku strácali. Ak by to nebola táto metóda, akú inú by si využila pri spracovaní tejto témy? (KCT, KCS) DP6: Aké otázky budeš klásť žiakom pri osvojovaní nového učiva? Máš ich premyslené? (KCT) Rubrika: Didaktický problém a miskoncepcie Pre učiteľa matematiky je dôležité presvedčenie, že miskoncepciám je jednoduchšie predísť ako ich neskôr riešiť. To si vyžaduje systematickú prípravu učiteľa a zamýšľanie sa nad dôsledkami zadávania konkrétnych úloh. Nasledujúce otázky naznačujú, že u študentov v našej vzorke sa toto presvedčenie buduje.

100 Záver DPM1: Neviem či pri úlohe, kde treba hľadať súradnice vektora nevzniknú miskoncepcie, že počiatočný bod vektora je vždy bod 0,0. (KCS) DPM2: Na začiatku má danú miskoncepciu - Určenie súradníc vektora bez náčrtu. Čo ak niektorá súradnica je záporná? Na túto otázku som v príprave odpoveď nenašla (teda dúfam, že som ju nejako neprehliadla), takže čo ak je niektorá zo súradníc záporná? (SCK, KCT) DPM3: V miskoncepciách si uviedla, že žiaci majú problém s kombinatorikou. Táto téma je dosť obsiahla. Nebolo by vhodné aj špecifikovať s čím konkrétne? (KCS) DPM4: V úlohe č.2 by nebolo vhodné, ak by dané trojuholníky boli aj inak otočené, aby žiaci na aktualizácií učiva neriešili ten istý prípad (iba so zmenou strán, resp. v jednom prípade s desatinnými číslami)? (Podľa mňa ide o automatickú fixáciu u žiakov, že pravouhlý trojuholník vyzerá takto, čo v prípade, že trojuholník má preponu rovnobežnú s osou x.) (KCS, KCT) DPM5: Úloha 2 - obrázky pravouhlých trojuholníkov by som otáčala do rôznych polôh - môže vzniknúť zlá predstava. (KCS, KCT) DPM6: Všetky úlohy sú zadané tak, že sú nakreslené kocky spolu s bodmi, ktorými má byť vedený rez. Možno by niektorá úloha mohla byť zadaná slovne a žiaci by si nakreslili kocku aj body samostatne. (KCT) Z uvedených pozorovaní vidíme, že rubriky spontánne nasmerovali otázky študentov učiteľstva matematiky k zamýšľaniu sa nad jednotlivými komponentmi didaktického poznania obsahu, ako ich zaviedli Hill a kol. (2008). Následná diskusia po prezentácii prípravy viedla k tomu, že celá skupina študentov diskutovala o danom komponente poznania v kontexte prezentovanej témy do väčšej hĺbky. Aj študenti, ktorí predtým problém sformulovaný v otázke nepostrehli, boli motivovaní zamyslieť sa nad ním. Ako je vidieť z konkrétnych otázok študenti sa prioritne zamýšľali nad poznaním obsahu matematiky dôležitého pre učiteľa (SCK), nad poznaním myslenia žiakov (KCS) a nad poznaním didaktických prostriedkov (KCT). Otázky zamerané na poznanie možností matematiky súviseli takmer výhradne s rubrikou Aktivizácia a motivácia žiakov, čo sme predpokladali. Podobne otázky zamerané na poznanie kurikula (KC) boli spojené s rubrikou Ciele vyučovacej jednotky. Týchto otázok bolo menej a najčastejšie sa týkali vstupných vedomostí. Toto pozorovanie nás vedie k úvahám o intenzívnejšej práci s učebnicami a výučbovými materiálmi v rámci kurzu. Čo sa týka poznania základného obsahu matematiky (CCK), ten bol vo viacerých otázkach zachytený implicitne. Na záver môžeme povedať, že sformulované otázky a následná diskusia o nich umožnili, aby sa v rámci kurzu rozvíjalo poznanie, ktoré má mať učiteľ matematiky, predovšetkým jeho 3 komponenty: poznanie obsahu matematiky dôležitého pre učiteľa (SCK), poznanie myslenia žiakov (KCS) a poznanie didaktických prostriedkov (KCT). Poďakovanie Príspevok vznikol s podporou grantu VEGA 1/0265/17 s názvom Formatívne hodnotenie vo výučbe prírodných vied, matematiky a informatiky. Literatúra Ball, D. L., & Bass, H. (2000). Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler (Ed.), Multiple perspectives on the teaching and learning of mathematics (pp. 83 104). Westport, CT: Ablex.

101 Depaepe, F., Verschaffel, L., & Kelchtermans, G. (2013). Pedagogical content knowledge: A systematic review of the way in which the concept has pervaded mathematics educational research. Teaching and Teacher Education, 34, 12-25. Hill, H. C., Ball, D. L. & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: conceptualizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 372-400. Hubeňáková, V., Semanišinová, I. & Šveda, D. (2017). Pre-service mathematics teachers: How to make them ready to be ready. Proceedings of the Tenth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 1.-5.2.2017, Dublin, Ireland, 2908-2915. Kolbaská, V. (2012). Matematika pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom, 1.časť. Bratislava, SPN. Phillip, R. A. (2007). Mathematics teachers beliefs and affect. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 257-315). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Ross, J. A., McDougall, D. & Hogaboam-Gray, A. (2002). Research on reform in mathematics education, 1993-2000. Alberta Journal of Educational Research, 48(2), 122-138. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4 14. Zazkis, R., & Mamolo, A. (2011). Reconceptualizing knowledge at the mathematical horizon. For the Learning of Mathematics, 31(2), 8-13. Adresy autorov RNDr. Veronika Hubeňáková, PhD. Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta, UPJŠ v Košiciach Jesenná 5, 041 54 Košice veronika.hubenakova@upjs.sk RNDr. Ingrid Semanišinová, PhD. Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta, UPJŠ v Košiciach Jesenná 5, 041 54 Košice ingrid.semanisinova@upjs.sk