Snímek 1

Prepis

1 História matematiky Úvod História matematiky Ingrid Semanišinová

2 Táto prezentácia bola použitá na seminári z predmetu História matematiky. Obsahuje len čiastočné informácie, ktoré boli dopĺňané komentármi, príkladmi a úlohami. Slúži len pre potreby študentov, ktorí uvedený predmet navštevujú.

3 Literatúra 1. Burton, D. M.: The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill, Čižmár, J.: Dejiny matematiky (Od najstarších čias po takmer súčasnosť). Perfekt, Devlin, K.: Jazyk matematiky. Dokořán, Mareš, M.: Příběhy matematiky. Pistorius, 2011

4 Podmienky na hodnotenie Povinná účasť na seminároch. (Povolené sú 2 neospravedlnené neúčasti.) Hlasovanie, resp. domáca úloha - max. 6 bodov Poster z histórie matematiky n x 20 bodov, kde n je počet členov skupiny. Maximálny počet členov v jednej skupine je 2. Počet bodov sa rozdelí rovnakým dielom medzi členov skupiny. Poster má mať informačnú hodnotu a musí obsahovať aj nejakú výzvu k aktivite. V 7. týždni semestra konzultácia témy a grafického spracovania (29. marec) Na poster uveďte autorov a použitú literatúru (malým písmom niekde na okraji). Rozmery: A0 Prezentácia bude posteru v 14. týždni semestra (17. máj).

5 Témy posterov 1. Matematika v starovekom Egypte a Mezopotámii 2. Arabská, indická, čínska a indiánska matematika 3. Grécka matematika 4. Matematika v stredovekej Európe 5. Matematika v 17. a 18. storočí 6. Matematika v 19. a 20. storočí

6 Podmienky na hodnotenie Hodnotenie viac ako 54 bodov A B C D E

7 Program seminára Úvod do histórie matematiky Egyptská matematika Babylonská matematika Počiatky gréckej matematiky Grécko helenistické obdobie Rímska matematika Matematika v Číne a Indii Matematika v stredoveku a v období renesancie Matematika v 17. a 18. storočí Matematika v 19. a 20. storočí História najznámejších matematických konštánt Významní matematici Zaujímavosti z histórie matematiky

8 Matematika v najstarších civilizáciách Zhodnotenie a porovnanie úrovne a prínosu na základe nasledujúcich obsahových zložiek: Číselná sústava Druh číselnej sústavy Základné číselné znaky Spôsob zápisu čísel

9 Matematika v najstarších civilizáciách Zhodnotenie a porovnanie úrovne a prínosu na základe nasledujúcich obsahových zložiek: Aritmetika Aritmetické operácie s prirodzenými číslami (kladné) zlomky a aritmetické operácie s nimi Záporné čísla a aritmetické operácie s nimi Iracionálne čísla

10 Matematika v najstarších civilizáciách Zhodnotenie a porovnanie úrovne a prínosu na základe nasledujúcich obsahových zložiek: Algebra Typy rovníc a metódy ich riešenia Geometria Špeciálne znalosti

11 História matematiky Zameriame sa predovšetkým na odpovede na dve otázky: Ako sa menila predstava o matematike? Prečo je užitočné študovať históriu matematiku?

12 Vývoj matematiky Prehistória Egypt, Babylon Grécko Rím Stredoveká Európa Čína, India, Arabský svet

13 Čo je matematika?

14 4 etapy vývoja matematiky 1. Obdobie tvorby elementárnych poznatkov (do 6. storočia pred n.l) matematika je veda o číslach 2. Obdobie matematiky konštantných veličín a) Obdobie tvorenia matematiky ako vedy v Grécku (6 až 4. storočie pred n. l.) b) Obdobie elementárnej matematiky v stredoveku (v Európe do konca 16. storočia) Matematika je veda o číslach a tvaroch 3. Obdobie premenných veličín (17. zač. 19. storočia) Matematika je veda o číslach, tvaroch, o pohybe, zmene, o priestore, o matematických postupoch 4. Obdobie matematiky zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov (od polovice 19. storočia) Matematika je veda o štruktúrach

15 Matematika náuka o číslach Sumer, Babylon, Egypt (najmä územie Úrodný polmesiac) do 500 pr.n.l Rozvoj matematiky podmienili praktické potreby dominuje aritmetika podobala sa kuchárskym knihám ( Vezmi trojku, pridaj k nej päťku a dostaneš osmičku. ) Úrodný polmesiac Fertile Crescent

16 Matematika náuka o číslach Egypt matematika je posvätná, je to výsada kňazov Babylon matematikou sa zaoberajú úradníci vychovávaní v školách, formulujú prvé problémy na riešenie, ktoré nevyplynuli z potrieb praxe

17 Matematika je náuka o číslach a tvaroch Prvá etapa: Grécko - matematika je deduktívne budovaná teória, objavujú sa myšlienky infinitezimálnych úvah, limitných prechodov, integrálnych súčtov. Dominuje geometria čísla sú prostriedok, pomocou ktorého sa dá zmerať ľubovoľná vzdialenosť (problém zmerať uhlopriečku štvorca so stranou 1). Grécka matematika nie je len zbierka návodov pre meranie, počítanie, účtovanie, ale samostatná oblasť štúdia. Matematiku chápali ako intelektuálne hľadanie, ktoré má estetické a náboženské prvky (vhodné podmienky demokracia, moreplavba).

18 Matematika je náuka o číslach a tvaroch Druhá etapa: Orient rozpracovanie elementárnej matematiky, indicko-arabský pozičný systém, aritmetické algoritmy, riešenie rovníc, záporné čísla Tretia etapa: Európa prijíma a prehlbuje poznatky z Grécka a Orientu zdokonalenie symboliky, algoritmov riešenia rovníc

19 Matematika študuje pohyb, zmenu, priestor 17. až 19. storočie podnety rozvoj mechaniky, námorníctva, astronómie túžba vysvetliť fyzikálne javy skúmanie pohybu, zmeny, nielen statické počítanie, meranie, popisovanie tvarov koncepcia diferenciálneho a integrálneho počtu Kepler zákony o pohybe planét Galileo voľný pád Newton gravitácia, príťažlivosť telies Vznik klasickej matematickej analýzy Newton, Leibniz... Vznik matematických inštitúcií, časopisov o matematike

20 Matematika veda o štruktúrach 20. storočie dramatický rozvoj matematiky nové odvetvia matematiky vznik aj na základe podnetov zvnútra matematiky Aritmetika a numerika štruktúra čísel a počítania Geometria štruktúra tvarov Diferenciálny a integrálny počet pohyb a zmena Logika princípy uvažovania Teória pravdepodobnosti náhodné javy Topológia vzájomná poloha a podobnosť

21 3 krízy v matematike 1. kríza nekonečno: pytagorejský objav nesúmerateľnosti úsečiek Zenónove apórie (odmietanie aktuálneho nekonečna hustota, rozloženie) 2. kríza nekonečne malé veličiny Newtona a Leibniza 3. kríza paradoxy teórie množín

22 Úloha Na ľavom brehu rieky stoja traja kanibali a traja misionári. Rieka je príliš hlboká a príliš široká takže sa neodvážia ju preplávať. Všetci sa potrebujú dostať na pravý breh. K dispozícii majú loďku, do ktorej sa zmestia maximálne dvaja ľudia. Poraďte im, ako to majú urobiť, ak viete, že počet kanibalov na niektorom z brehov nesmie prevýšiť počet misionárov.

23 Úloha riešenie

24 Vzťah fylogenézy a ontogenézy Fylogenéza Jazyk matematiky zárezy na palici, kôpka kameňov jazyk receptov jazyk geometrie jazyk algebraických výrazov, jazyk premennej veličiny jazyk analytickej geometrie jazyk množín Matematická symbolika dve určujúce tendencie: ekonomizácia a štrukturalizácia Matematická terminológia proces diferenciácie, precizácie, abstrakcie Pre učiteľa matematiky má význam skúmať vzťah: predstavy a myšlienky ich jazykové a písomné vyjadrenie

25 Vzťah fylogenézy a ontogenézy Ontogenéza pojmotvorný proces 1. Synkretická etapa vyčleňuje sa skupina zážitkov, spojených s budúcim pojmom 2. Etapa predmetných predstáv viazanosť na konkrétne javy reality 3. Etapa intuitívno-abstraktných predstáv manuálne operácie sú postupne nahradzované myšlienkovými 4. Štrukturálna etapa pojem sa stáva prvkom axiomatizovanej teórie

26 Zárodky matematického myslenia Schopnosť človeka zaznamenať predstavu množstva (cca rokov späť) Mágia viera v kauzalitu Jedna udalosť vyplýva z inej udalosti totožnosť s koncepciou modernej vedy, zlá interpretácia podstaty zákonov Rituál začiatok algoritmu Zdokonaľovanie algoritmov, dôraz na presnosť ich vykonávania, harmóniu, kooperáciu.

27 Čísla Pojem čísla nie je vrodený, sú však schopnosti, ktoré majú ľudia nezávisle od kultúry a úrovne vzdelania. Párovanie vzájomne jednoznačné zobrazenie medzi prvkami dvoch množín Subitizácia schopnosť okamžite vnímať malé počty niečoho bez potreby počítania

28 Čísla jeden, dva, veľa Číslovky 1 a 2, ostatné bolo mnoho Číslo 2 malo špecifické postavenie (v slovenčine pár, v angličtine both). V niektorých jazykoch sa dodnes zachoval duál a množné číslo. Osobitné postavenie čísel 1, 2, 3 a 4 v Indoeurópskych jazykoch v slovenčine hovoríme 2, 3, 4 ruky a 5, 6,... rúk

29 Čísla jeden, dva, veľa Potreba väčších čísel: Počítanie jedna, dva, dva-jedna, dva-dva, neskôr pribúda dva-dva-jedna, dva-dva-dva. Potreba skracovania vznik slova ruka (päsť päť, fist-five,) Rôzne slová pre počítanie rôznych vecí (v ruštine: 6 duš detej, 6 štuk jablok, 6 kuska sacharu) Rozlišovanie dvoch aspektov počítania kardinálny (množstvo jeden, dva,...) a ordinálny (poradie prvý, druhý,...)

30 Čísla potreba symbolov Súbor žetónov (3000 pr.n.l), ktoré predstavujú (zhoradole, sprava-doľava) 1 ovcu, 1 mieru oleja, 1 mieru látky, 1 mieru látky iného druhu, neznámu komoditu, 1 mieru medu

31 Čísla potreba symbolov Hlinené puzdro so žetónmi Tabuľka so záznamami o zásobách obilia Žetóny boli navliekané na šnúrku, neskôr uchovávané v zapečatenej nádobe, kto chcel preskúmať obsah musel porušiť pečať - vznik symbolov na popis na povrchu nádoby

32 Čo používali ľudia na určovanie, zaznamenávanie počtu?

33 Ruky, paličky, kamienky Pôvodne k zaznamenávaniu a stanovovaniu vzájomne jednoznačného vzťahu predmetov, neskôr k zapamätaniu množstva Vytvorenie zmyslovo názorných zástupcov iných pojmov historicky prvý príklad modelovania nejakých procesov pomocou iných.

34 Aké číselné sústavy sa najčastejšie vyskytovali v rôznych oblastiach?

35 Ruky a rôzne číselné sústavy Základom počítania najčastejšie čísla 5, 10 a 20 (počty prstov), 12 (počty článkov na prstoch 3 články x 4 prsty) Desiatková sústava začala z historického pohľadu dominovať len nedávno v mnohých jazykoch v tvorbe čísel je prítomnosť iných sústav (slovo tucet pre 12, kopa pre 60, v angličtine osobitné pomenovania pre čísla od 1 do 12, vo francúzštine je 80 štyri dvadsiatky, 90 štyri dvadsiatky a desať) Dvanástková a šesťdesiatková sústava sa používa dodnes (meranie času, uhla, 12 palcov je 1 stopa...)

36 Počítame po francúzsky pozostatky dvadsiatkovej sústavy 0 zéro 25 vingt-cinq 50 cinquante 75 soixante-quinze 1 un, une 26 vingt-six 51 cinquante et un 76 soixante-seize 2 deux 27 vingt-sept 52 cinquante-deux 77 soixante-dix-sept 3 trois 28 vingt-huit 53 cinquante-trois 78 soixante-dix-huit 4 quatre 29 vingt-neuf 54 cinquante-quatre 79 soixante-dix-neuf 5 cinq 30 trente 55 cinquante-cinq 80 quatre-vingts 6 six 31 trente et un 56 cinquante-six 81 quatre-vingts-un 7 sept 32 trente-deux 57 cinquante-sept 82 quatre-vingts-deux 8 huit 33 trente-trois 58 cinquante-huit 83 quatre-vingts-trois 9 neuf 34 trente-quatre 59 cinquanteneuf 84 quatre-vingts-quatre 10 dix 35 trente-cinq 60 soixante 85 quatre-vingts-cinq 11 onze 36 trente-six 61 soixante et un 86 quatre-vingts-six 12 douze 37 trente-sept 62 soixante-deux 87 quatre-vingts-sept 13 treize 38 trente-huit 63 soixante-trois 88 quatre-vingts-huit 14 quatorze 39 trente-neuf 64 soixante-quatre 89 quatre-vingts-neuf 15 quinze 40 quarante 65 soixante-cinq 90 quatre-vingts-dix 16 seize 41 quarante et un 66 soixante-six 91 quatre-vingts-onze 17 dix-sept 42 quarante-deux 67 soixante-sept 92 quatre-vingts-douze 18 dix-huit 43 quarante-trois 68 soixante-huit 93 quatre-vingts-treize 19 dix-neuf 44 quarante-quatre 69 soixante-neuf 94 quatre-vingts-quatorze 20 vingt 45 quarante-cinq 70 soixante-dix 95 quatre-vingts-quinze 21 vingt et un 46 quarante-six 71 soixante et onze 96 quatre-vingts-seize 22 vingt-deux 47 quarante-sept 72 soixante-douze 97 quatre-vingts-dix-sept 23 vingt-trois 48 quarante-huit 73 soixante-treize 98 quatre-vingts-dix-huit 24 vingt-quatre 49 quarante-neuf 74 soixante-quatorze 99 quatre-vingts-dix-neuf

37 Počítanie pomocou rúk V súčasnosti používajú ruky na počítanie zvyčajne len malé deti V stredoveku sa počítanie na prstoch učilo na univerzitách Ukážeme si spôsoby násobenia niektorých prirodzených čísel na prstoch. Návod na počítanie na prstoch zo spisu nemeckého teológa a spisovateľa Rabana Maura ( )

38 Ruky násobenie 9 3 x 9 = 27 Dva prsty naľavo od ohnutého prsta = 20 Sedem prstov napravo od ohnutého prsta = = 27

39 Ruky násobenie 9 7 x 9 = 63 Počet prstov naľavo od ohnutého prsta vynásobíme 10, t.j. 6 x 10 = 60 Spočítame prsty napravo od ohnutého prsta, t.j = 63

40 Ruky od 6 x 6 do 10 x 10 9 x 8 = 72 Počet neohnutých prstov vynásobíme 10, t.j. 7 x 10 = 70 Počet ohnutých prstov na ľavej ruke vynásobíme počtom ohnutých prstov na pravej ruke, t.j. 1 x 2 = = 72

41 Ruky od 11 x 11 do 15 x x 12 = 156 Počet neohnutých prstov vynásobíme 10, t.j. 5 x 10 = 50 Počet neohnutých prstov na ľavej ruke vynásobíme počtom neohnutých prstov na pravej ruke, t.j. 2 x 3 = 6 Pripočítame = 156

42 Ruky od 16 x 16 do 20 x x 19 = 304 Počet neohnutých prstov vynásobíme 20, t.j. 5 x 20 = 100 Počet ohnutých prstov na ľavej ruke vynásobíme počtom ohnutých prstov na pravej ruke, t.j. 4 x 1 = 4 Pripočítame = 304

43 Vyskúšajte si počítanie na prstoch 9 x 5 = 11 x 13 = 16 x 17 = 7 x 6 = 14 x 12 = 18 x 16 = 8 x 7 = 15 x 15 = 17 x 19 =

44 Ruky od 21 x 21 do 25 x 25? Ruky od 26 x 26 do 30 x 30?...

45 Palice, paličky Najstarší nález paleolitická, 8 cm dlhá lýtková kosť mladého vlka s 55 zárezmi (zoskupené približne po 5) 25. zárez je dvojnásobnej dĺžky, nájdená pri Dolných Věstoniciach na Morave (K. Absolon)

46 Paličky zaznamenávanie počtu Európa, Zimbabwe, Austrália, Severná Amerika, aj v súčasnosti Čína, Japonsko, Kórea Južná Amerika Argentína, Brazília, Čile, v súčasnosti niektoré kartové hry, napr. Truco

47 Rímske číslice Základné symboly: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 V a X Pôvod v ľudskej ruke rímska číslica V je vyjadrením dlane s piatimi prstami - V tvorí tvar medzi palcom a prstami. Rímska číslica X sú dve dlane pri sebe. L a C Po latinsky je sto centum. Odtiaľ C. Päťdesiat je polovica zo stovky. L teda vzniklo vodorovným rozpolením znaku pre 100 (C). D a M Tisíc je po latinsky mille (odtiaľ M pre 1000). Znak D pre 500 vznikol znova grafickým rozpolením znaku M, tento raz zvislo. Vznikol tak znak podobný písmenu D.

48 Rímske čísla pravidlá tvorby Rímske čísla sa zapisujú kombináciou znakov: I, V, X, L, C, D, M. Rímske čísla sa zapisujú od znakov pre najvyššie hodnoty k najnižším (MDL = 1550). Väčšinou sa kombinujú nanajvýš 3, niekedy 4 rovnaké rímske číslice (napr. IIII = 4 bolo bežné na starých slnečných hodinách). Menšie rímske číslice pred väčšími znamenajú odčítanie (IV = 4). Takto sa odčítava len jediná rímska číslica. Pre odčítanie podľa bodu 3 sa používajú iba rímske číslice I, X, C; v matematickom kontexte výnimočne tiež M. Nikdy neboli používané rímske číslice V, L, D (správny zápis: XC = LXXXX = 90, MCM = 1900; nesprávny zápis: VC = 95). Číslice I sa pre odčítanie väčšinou používa len pred V, X. Nie je teda správne MIM pre 1999 ale MCMXCVIIII nebo MCMXCIX).

49 Paličkové číslice (rod numerals) Paličky na počítanie boli používané v Číne, Japonsku, Kórei, Vietname. Neskôr ich vytlačil abakus.

50 Paličkové číslice Yang Hui (Pascalov) trojuholník, znázornený Zhu Shijie v roku Sú v ňom použité paličkové číslice (rod numerals).

51 Kamienky Namiesto prstov a paličiek kamienky (calculus v latinčine znamená malé kamienky) Ukladanie kamienkov na kôpky Potreba redukovať počet musím mať sto kamienkov ak chcem evidovať počet 100?

52 Používanie kamienkov viedlo k vytvoreniu nástroja na počítanie. Akého?

53 Kamienky

54 Abakus Japonský abakus - soroban

55 Abakus Čínsky abakus Suan Pan

56 Abakus Ruský abakus Sčoty

57 Abakus Detský abakus počítadlo

58 Digicus (Abakus + digitálna kalkulačka)

59 Abakus Ako sa sčítava na japonskom Abakuse Použitie abakusu v japonskej škole Použitie ruského počítadla v obchode

60 Úlohy: 6. Bé-banka vydáva bankomatové karty so štvormiestnym PIN kódom, ktorý neobsahuje číslicu 0. Pán Skleróza sa bál, že zabudne PIN kód svojej karty, preto si ho napísal priamo na kartu. Aby to však prípadný zlodej nemal také ľahké, napísal si ho tam rímskymi číslicami: IIIVIIIXIV. Svoj nápad prezradil najlepšiemu priateľovi, pánovi Odkukalovi. Tomu sa nápad tak zapáčil, že spravil so svojím PIN kódom to isté a na kartu si správne zapísal: IVIIIVI. Na svoje veľké prekvapenie však z rímskeho zápisu nevedel svoj PIN kód presne určiť! a) Aký PIN kód má karta pána Sklerózu? b) Aký PIN kód môže mať karta pána Odkukala?