59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 07/08 Kategória E krajské kolo Texty úloh. Premiestnenie polystyrénovej kocky a) Hmotnosť kocky m = a 3 ρ. Pre ρ = 40,0 mg kg cm3 = 40,0 m3 máme m 40 kg. b) Oba spôsoby premiestňovania sú znázornené na obr. E-a, E-b b F F t F g F n a (a) d F F P P F g F n F t a O d = 9a (b) Obr. E b + b Označenie síl v obr. E (a): Na kocku pôsobí gravitačná sila F g s veľkosťou F g = mg. Smerom nahor pôsobí rovnako veľká tlaková sila podložky F n s veľkosťou F n = F g. k sa kocka šmýka, pôsobí proti smeru pohybu sila šmykového trenia F t s veľkosťou F t = f F n. Táto sila je v rovnováhe so silu F, ktorou pôsobí žiak vo vodorovnom smere na kocku. Sila F má veľkosť F = F t. Veľkosti síl pre dané hodnoty: F g = F n 39 N, F = F t N. k sa má kocka preklápať okolo hrany O, obr. E (b), je potrebné na začiatku prekonať moment gravitačnej sily vzhľadom na os O M g = F a g. Najjednoduchšie je uchopiť kocku za hranu P a dvíhať ju silou F nahor s momentom sily M = F a vzhľadom na os O. Z rovnosti momentov M = M g dostávame pre veľkosť sily b
F = F g. V osi otáčania O pôsobí na začiatku v smere nahor tlaková sila F n s veľkosťou F n = F g F = F g a sila trenia F t má nulovú veľkosť. k sa kocka nakláňa a s ňou sa mení aj smer sily F, menia sa aj veľkosti síl F n a F t tak, aby boli vodorovné zložky síl v rovnováhe a taktiež zvislé zložky síl v rovnováhe. Na začiatku dvíhania máme pre dané hodnoty: F 96 N, F g 39 N, F n 96 N, F t = 0 N. b c) Pohodlnejšie je kocku tlačiť ako ťahať. Tlakovou silou F žiak pôsobí na zadnú stenu kocky vo vodorovnom smere. Pôsobisko sily F musí byť v takej výške, aby sa kocka neprevrátila. Pri potrebnej hodnote sily F = F t = f m g, kde f < 0,5 (podľa zadania) je najväčšia hodnota momentu M = F a pri pôsobení na hornú podstavu kocky menšia ako moment gravitačnej sily M g = 0,5 m g a. Preto môže byť pôsobisko sily F v ľubovoľnej výške steny kocky. b Pri posúvaní kocky sa vykoná práca = F d = f m g d. Pre dané hodnoty 095 J. d) ko vidno z predchádzajúceho vysvetlenia, pôsobením vodorovnej sily F kocku neprevrátime, lebo sa začne šmýkať. Najjednoduchší spôsob preklápania kocky je uchopením za hranu P a dvíhať ju až do krajnej polohy (v obrázku čiarkovane), kedy sa sama preklopí. b Práca potrebná na jedno preklopenie je rovná zmene potenciálnej energie kocky pri jej dvíhaní E p = m g h, kde h je rozdiel výšky ťažiska v krajnej a začiatočnej polohe. Na začiatku je výška ťažiska h = a. V hornej krajnej polohe he výška rovná polovine dĺžky a uhlopriečky štvorca h =. Odtiaľ E p = m g a ( ). Na prekonanie vzdialenosti d je potrebných n = d preklopení. Pre dané hodnoty n = 9. a b Celková práca = n m g a ( ). Pre dané hodnoty 73 J. b e) Na preklápanie musí žiak vynaložiť síce väčšiu silu ako pri šmýkaní F > F, ale celková práca potrebná na premiestnenie kocky je menšia pri preklápaní <. Z tohto dôvodu sa javí ako výhodnejšie premiestnenie pomocou preklápania. b
. Vyhliadková jazda motoráčikom po trati Handlová Sklené a) Nákres profilu trate: Obr. E b) Dĺžka tunelov na trati H S d t 3,80 km. Mimo tunelov je dĺžka trate d 0 8,34 km. Potom p 0,33 (3,3 %), p 0,687 (68,7 %). c) Priemerné stúpanie železničnej trate H-S s = 30 m 40 m b b 000 0,7. b d) Čas prechodu vozňa ralským tunelom t = d 0,67 h = 0,0 min. v t Ostatná časť vyhliadkovej trasy mala dĺžku d 0 9,3 km, čas prechodu vozňa po tejto časti trate t 0 d 0 0,36 h =,7 min. b v 0 d e) Priemerná rýchlosť pohybu vozňa v p = c. Započítava sa iba čas, kedy sa vozeň t + t 0 pohyboval. Pre vypočítané hodnoty v p,9 km/h. b Na prejdenie železničnej trate H-S, vrátane doby čakania, potrebuje vozeň čas t c = t + t 0 + Δt 5,7 min. Cestovná rýchlosť vozňa v c d c t c 0,35 km/m =4, km/h. b f) Trať z Handlovej ku Pstruhárskemu tunelu (d P = 4,39 km) vozeň prešiel za čas t p = d p v 0 0,74 h = 0,45 min, a teda do tunela vošiel o 5:0 hodine. Do stanice emata prišiel za čas t 0,83 h = 7,00 min, a teda o 5:7 hodine. Do stanice Sklené prišiel za čas t S = t c 5,7 min, a teda o 5:5 hodine. b 3
3. Hydraulické a pneumatické zariadenia a) Pascalov zákon: Tlak v kvapaline, ktorý vznikne pôsobením vonkajšej sily na povrch kvapaliny v uzavretej nádobe, je v každom mieste kvapaliny rovnaký. b b) Schéma hydraulického lisu, obr. E 3: vrátane opisu b P i F F e Ovládací piest s Pracovný piest S t S y s ú F p p F p v Obr. E 3 rovnováhe, preto výslednice síl pôsobiacich na piesty sú nulové. Vonkajšie sily F na ovládací a F na pracovný piest pôsobia kolmo na povrch piestov. Kvapalina pôsobí na piesty v opačnom smere tlakovými silami s veľkosťami F p = F a F p = F. Tlakové sily majú veľkosť F p = p S a F p = p S, pričom tlak p je v celom objeme rovnaký, ak je rozdiel výšky piestov približne rovnaký (ak p << h ρ g, je vplyv hydrostatického tlaku zanedbateľný). Potom máme F F p S S, a teda S r r F F F F. b S r r c) Pascalov zákon platí aj pre plyny uzavreté medzi ovládacím a pracovným piestom rovnako ako pre kvapaliny. ozdiel je v tom, že na rozdiel od plynov kvapaliny sú málo stlačiteľné. Kvapaliny aj plyny sa skladajú z voľných molekúl, ktoré sa ľahko pohybujú a prenášajú tlak spôsobený vonkajšími silami. b d) k sa tiaž F bremena rozloží pomocou pevnej dosky rovnomerne na pracovnú plochu S vankúša, je tlak p b bremena na pracovnú plochu vankúša je p b = F S, kde F = m g, F 400 N a S = a b, S 95 cm, potom tlak p b,05 N/cm =,05 0 4 N/m =,05 0 4 Pa. Na pracovnú plochu vankúša pôsobí aj vonkajší atmosféricky tlak vzduchu p a,0 0 5 Pa. Tlak vzduchu uzavretého vo vnútri vankúša p = p b + p a, pre dané hodnoty p, 0 5 Pa =, bar. b tmosférický vzduch pôsobí na pracovnú plochu vankúša tlakom p a,0 0 5 Pa. k pre tlak p b bremena platí p b» p a môžeme vo výpočte atmosférický tlak vzduchu zanedbať. V ostatných prípadoch je potrebné vo výpočte tlaku vzduchu vo vankúši brať do úvahy oba tlaky p b i p a. b Tlak bremena sa s veľkou pravdepodobnosťou rozloží rovnomerne a na väčšiu plochu. Zabránime tým napr. pôsobeniu veľkej sily na malej ploche pracovnej plochy vankúša, ktorá môže spôsobiť pretrhnutie jeho steny. b Výhody pneumatických zdvihákov na princípe vankúša: nepotrebujú špeciálne upravené podložie, sú šetrné k dvíhanému telesu (napr. k podvozku automobilu), sú ľahké (malá hmotnosť), jednoducho manipulovateľné, lacné. b 4
4. Kombinácia rezistorov a) Tri rezistory s odporom = 30 zapojíme navzájom paralelne (vedľa seba). = + + = 3. b Z toho máme = 3, = 0. Pri napätí U = 4,0 V príkon všetkých troch rezistorov je rovnaký P = U, P 0,53 W. ezistory nie sú príkonom preťažené. b b) Dva rezistory s odporom = 30 zapojíme navzájom paralelne (vedľa seba). - = + =. b Z toho máme =, = 5. Pri napätí U = 7, V príkon každého rezistora je P = U, P,73 W. Obidva rezistory sú príkonom preťažené. b c) Dva rezistory s odporom = 30 zapojíme navzájom do série (za sebou) a k ním paralelne (vedľa seba) jeden rezistor s odporom = 30. 3 = + = 3. Z toho máme 3 =, 3 3 = 0. Pri napätí U = 5,8 V príkon každého rezistora v sériovej vetve je P = U príkon tretieho rezistora P = U, P, W. ni jeden z rezistorov nie je príkonom preťažený. 4 b, P 0,8 W, d) Jeden rezistor s odporom = 30 zapojíme do série (za sebou) s dvoma rezistormi s odporom = 30 spojenými navzájom paralelne (vedľa seba). b 5
4 = + = 3. b Z toho máme 4 = 45. Pri napätí U = V je príkon každého rezistora v paralelnom zapojení P = U, P 0,53 W, príkon tretieho rezistora P = 4U, P,3 9 9 W. Paralelne zapojené rezistory nie sú príkonom preťažené. Tretí rezistor je výkonovo preťažený. b e) Dva rezistory s odporom = 30 sú zapojené do série (za sebou) b 5 =, 5 = 60. Pri napätí U = 3 V je príkon oboch rezistorov rovnaký P = U, P,4 W. Obidva rezistory sú príkonom preťažené. b 4 59. ročník Fyzikálnej olympiády Úlohy krajského kola kategórie E utori návrhov úloh: Daniel Kluvanec (, ), ba Teleki (3), oris Lacsný (4) ecenzia a úprava úloh a riešení: Ivo Čáp Preklad textu úloh do maďarského jazyka: ba Teleki edakcia: Daniel Kluvanec Slovenská komisia fyzikálnej olympiády Vydal: IUVENT Slovenský inštitút mládeže, ratislava 08 6