FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE PÍSOMNÁ ČASŤ DIZERTAČNEJ SKÚŠKY Bratislava 2004
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Využitie informačných technológií vo vyučovaní goniometrie na stredných školách Vedný odbor: 11-17-9 Teória vyučovania matematiky Autor: Mgr. Ingrida Kraslanová Školiteľ: doc. RNDr. Helena Bereková, CSc.
Ďakujem doc. RNDr. Helene Berekovej, CSc. za cenné rady a pripomienky k mojej práci.
Obsah 1. Úvod...4 2. Historický vývoj trigonometrie...6 3. Koncepcia vyučovania trigonometrie a goniometrie...12 4. Počítače v škole...13 4.1 Vplyv počítačov na výučbu a učenie žiakov...15 4.2 Prístupy učiteľov k výučbe...16 4.3 Informačné technológie vo vyučovaní matematiky...18 4.4 O programe Derive...23 5. Príprava a realizácia experimentu...25 5.1 Prvá fáza experimentu...25 5.2 Druhá fáza experimentu...27 5.2.1 Opis vzorky...28 5.2.2 Priebeh vyučovacích hodín klasické vyučovanie...29 6. Analýza a priori...45 7. Analýza a posteriori...56 8. Záver...60 9. Projekt dizertačnej práce (Návrh koncepcie dizertačnej práce)...61 10. Zoznam použitej literatúry...63 11. Prílohy...64 3
1. Úvod Stali sme sa súčasťou akejsi informačnej spoločnosti, ktorej fungovanie je bez informačných systémov priam nemožné. Počítače sú všade okolo nás, počítačové technológie sa v dnešnej dobe používajú v najrôznejších oblastiach ľudských činností. Mnohé profesie by už bez nich ani nemohli existovať. Počítače však nevyužívajú iba dospelí, ale aj deti, žiaci, študenti. Počítačové technológie im umožňujú objavovať nové poznatky, prispievajú k ich myšlienkovým a tvorivým aktivitám, uľahčujú a zdokonaľujú vyučovanie v školách, vďaka čomu i školy lepšie dokážu splniť svoje poslanie. [1] Vo vyspelých krajinách (Holandsku, Veľkej Británii, Nemecku, USA a pod.) je používanie informačno-komunikačných technológií (IKT) úplne prirodzenou súčasťou každého predmetu. Vlády týchto krajín venujú zavádzaniu IKT do vzdelávania veľkú pozornosť a túto otázku považujú za jednu z najvýznamnejších pre rozvoj spoločnosti. Vo väčšine vyučovacích predmetov sa uplatňuje široké spektrum výučbových programov, didaktických hier a elektronických encyklopédií. [12] Už aj na slovenských školách sa možno stretnúť s využívaním počítačov vo vyučovacom procese. Rozmachu zavádzania počítačov do výučby prispel predovšetkým projekt Infovek, do ktorého sa pripája čoraz viac škôl. Konkrétnym cieľom Projektu Infovek Slovensko je celoplošné napojenie základných a stredných škôl v Slovenskej republike na Internet, spojené s využitím tohto média v pedagogickom procese. Takto sa školy stávajú centrami, ktoré šíria po celom Slovensku proces informatizácie spoločnosti od žiakov, študentov, pedagógov až po rodičov. Projekt sa opiera o tri piliere: hardvérový, edukačný a obsahový. Charakteristickou črtou projektu je, že integruje v sebe rozvoj troch aspektov premeny školy: budovanie hardvérovej infraštruktúry, prípravu učiteľov i tvorbu edukačného obsahu. [16] Aj my sme sa rozhodli využívať počítače na hodinách matematiky. Naším cieľom bude: zistiť, či vyučovanie pomocou počítačov skutočne prispieva k lepšiemu pochopeniu prebratého učiva; po overení stanovených hypotéz navrhnúť pracovné listy a ukázať, ako možno využiť počítače pri vyučovaní konkrétneho tematického celku. Predložený projekt dizertačnej práce sa skladá z dvoch častí: 1. Prvá časť pozostáva z kapitol 2 až 8, pričom: v druhej kapitole sa venujeme historickému vývoju trigonometrie, spomenutí sú tu aspoň niektorí významní vedci, ktorí sa pričinili o rozvoj trigonometrických poznatkov, 4
autori prvých učebníc trigonometrie ako i najdôležitejšie diela zaoberajúce sa danou problematikou; obsahom tretej kapitoly je koncepcia vyučovania trigonometrie a goniometrie na stredných školách; v štvrtej kapitole sa zaoberáme témou Počítače v škole; vymenované sú tu základné roly, v akých počítače na školách vystupujú, prístupy učiteľov, s ktorými sa môžeme stretnúť a taktiež opisujeme, ako vplývajú počítače na kvalitu výučby i na učenie sa študentov; čitateľ tu nájde stručný prehľad rôznych matematických programov a ich vlastností a v závere kapitoly trocha podrobnejší popis programu Derive, jeho funkcie a využitie v stredoškolskej matematike; piata kapitola pojednáva o príprave a samotnej realizácii experimentu, vymedzujeme v nej ciele a hypotézy práce, opisujeme vzorku respondentov i priebeh vyučovacích hodín; predpokladané riešenia experimentálnej písomnej previerky i očakávané chyby, ktorých sa mohli študenti pri riešení dopustiť, uvádzame v kapitole nazvanej Analýza a priori; analýza a posteriori nám poskytne informácie o výsledkoch písomnej previerky i o metódach použitých pri jej riešení; v ôsmej kapitole je na základe výsledkov experimentu vyvodený záver. 2. Druhú časť tvorí deviata kapitola, ktorá obsahuje návrh koncepcie dizertačnej práce. 5
2. Historický vývoj trigonometrie V slovenskej a českej matematickej terminológii sa používajú názvy trigonometria a goniometria diferencovane v zmysle gréckeho originálu: gónia = uhol, trigónom = trojuholník, metréo = meriam. Na rozdiel od anglickej, francúzskej, nemeckej i ruskej terminológie, ktorá výlučne používa termín trigonometria, my hovoríme o goniometrickej funkcii, rovnici,..., pričom goniometriu chápeme ako súčasť trigonometrie. Názov trigonometria, v preklade z gréčtiny znamenjúci meranie trojuholníkov, sa prvýkrát v tlači objavil v roku 1595 u Bartolomea Pitisca. Trigonometria vznikla neskôr ako Euklidova geometria roviny a priestoru a je prvou geometriou, ktorá sa od nej odlišuje. Euklidovská geometria pôvodne vznikla ako aparát na meranie plôch pozemkov, objemov nádob a sýpok, z potrieb staviteľstva. Stimulom pre vznik a rozvoj trigonometrie, ktorá má s Euklidovou geometriou ten istý reálny základ, bola nutnosť zostaviť mapy hviezdneho neba, pretože nebeské telesá boli jedinými majákmi na cestách po pevnine i po mori. Práve preto sa najskôr vyvinula geometria a trigonometria na guľovej ploche a až potom trigonometria rovinná. Záznamy o poznatkoch z trigonometrie nachádzame už na starovekých pamiatkach. Napríklad z egyptských papyrusov je zrejmé, že už pred 4 000 rokmi existovali termíny pre pojem uhla a pre pomer dĺžok hrán pyramíd. Geometrické a špeciálne trigonometrické poznatky Číňanov boli v 1. tisícročí pred n. l. taktiež na vysokej úrovni. Dozvedáme sa však o nich väčšinou len sprostredkovane zo staviteľských diel tej doby, keďže boli písomné záznamy na rozkaz cisára okolo roku 200 pred n. l. spálené. Trigonometria, špeciálne sférická, bola v tom čase ešte viac rozvinutá v Babylónii. Sférická trigonometria tu bola úzko spojená s astronómiou a slúžila na štúdium zákonitostí nebeských javov, na orientáciu i na zostavovanie kalendára. Za doby Chammurappiho (1792-1750 pred n. l.) bolo zavedené delenie kružnice na stupne, minúty, sekundy i používanie šesťdesiatkovej sústavy, ktoré sa zachovalo dodnes. V období rozvoja elementárnej matematiky ako učenia o stálych veličinách (6. storočie pred n. l. až 17. storočie n. l.) sa začína formovať trigonometria ako matematická disciplína. Na začiatku tohto obdobia sa v Grécku objavujú poznatky z trigonometrie v prácach Pytagorejcov a vo 4. storočí pred n. l. vznikajú práce Euklidove. Autorom prvej systematickej učebnice sférickej geometrie, ktorá sa nám zachovala, bol 6
Menelaos z Alexandrie (1. až 2. stor. n. l.). Za završovateľa gréckej etapy rozvoja sférickej geometrie a trigonometrie sa považuje astronóm Klaudios Ptolemaios (85? - 165?). Napísal dielo Megalé syntaxis (arabský názov Al-Madžisti (Veľká), dnes používaný latinský preklad Almagest), ktorým vyvrcholili všetky práce gréckych astronómov a trigonometrov. Spomínané dielo pozostáva z 13 kníh, z ktorých sa venujú matematike práve tri. V nich sú uvedené nasledovné trigonometrické poznatky: sférická a rovinná veta Menelaova, zvláštne prípady sférickej vety sínusovej a tangensovej pre pravouhlý sférický trojuholník a tabuľky dĺžok tetív ako funkcie príslušného stredového uhla v jednotkovej kružnici. Kniha sa stala učebnicou astronómie i výbornou rukoväťou obsahujúcou podrobné tabuľky goniometrickej funkcie chordála a štyri základné vzorce na výpočet sférického trojuholníka. V 5. až 12. storočí prebrali vedúcu úlohu v trigonometrii Indovia, od nich Arabi a Zakaspické národy. Indovia sa opierali o práce helenistických autorov, ale taktiež priniesli mnoho nového. Na rozvoj astronómie v Indii mali zrejme vplyv metódy obsiahnuté v ďalšom Ptolemaiovom diele, v Analemme. Najdôležitejšou zmenou bolo nahradenie tetivy sínusom. Sama o sebe sa takáto zámena nezdá byť veľmi dôležitá, pretože tetiva oblúku φ sa rovná dvojnásobku sínusu oblúku φ/2, t.j. od sínusu sa líši iba konštantným súčiniteľom. V skutočnosti mal však prechod od tetivy k polovičnej tetive ďalekosiahly význam, pretože umožnil prirodzene zaviesť rôzne funkcie, ktoré vzájomne zväzovali strany a uhly pravouhlého trojuholníka. V Indii bol položený základ trigonometrie ako náuky o trigonometrických veličinách i napriek tomu, že sa riešeniu trojuholníkov venovala malá pozornosť. Sínus, kosínus nachádzame už v indických spisoch Siddhántas a v Árjabhattíja. Sínusoida sa nazývala arddhadžíva, arddha znamená v preklade polovica a džíva je tetiva luku alebo tetiva kružnice. Neskôr začali sínus nazývať skrátene džíva. V arabskej literatúre bol indický termín zmenený na džiba, neskôr nahradený skutočne arabským slovom džaib, t.j. výstrih, vypuklosť atď. S použitím tohto slova v uvedenom význame sa stretávame už v prvej polovici 9. storočia u al-chwárizmího a al-habaša avšak al-battání používal slovo vatar tetiva. Okolo roku 1145 použil Robert z Chesteru pri preklade z arabštiny do latinčiny slovo sínus, ktoré malo ten istý základný význam ako džaib. Trocha skôr, okolo roku 1120, preložil Platón z Tivoli slovo vatar ako chorda. Kosínus nazývali Indovia kótidžíva, t.j. sínus zbytku (doplnku do 90 ), alebo skrátene kóti, čo bolo preložené do arabštiny ako džaib al-taman alebo vatar al-taman. V 12. storočí sa stretávame v latinskom preklade Gherárda z Cremony s označením sínus residui a v preklade Platóna z Tivoli s označením chorda residui. V 15. storočí začali Peurbach a Regiomontanus používať označenie sínus complementi, t.j. sínus doplnku. 7
Pravdepodobne práve z tohto termínu vznikol zmenou poradia a skrátením pojem kosínus, s ktorým sa prvýkrát stretávame v roku 1620 u anglického astronóma E. Guntera. Premena trigonometrie na základe použitia sínusu, kosínusu, tangensu, kotangensu ako pomerov strán pravouhlého trojuholníka bola dokončená arabskými učencami v 9. storočí. Prvé vzťahy medzi trigonometrickými veličinami vyplynuli priamo z Pytagorovej vety. Okrem najjednoduchšieho vzťahu: sin 2 α + cos 2 α = 1, α 1 cosα hral dôležitú rolu vzorec pre sínus polovice uhla: sin =. 2 2 Tieto vzťahy však vyznievali veľmi komplikovane, pretože ich Indovia vyjadrovali bez symboliky slovne a a to pri polomere rôznom od jednej. Poznali ich už autori Siddhántas, ale v explicitnej forme ich nachádzame najskôr v práci Varáhamihiru. V 12. storočí používal Bháskara pravidlo pre sínus súčtu a rozdielu. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v intervale 0; π 2. V indických návodoch sú skryto zahrnuté i niektoré vety sférickej trigonometrie. Pomocou jednoduchých úprav môžeme odvodiť z niektorých predpisov Súrja Siddhántás sínusovú vetu pre pravouhlý trojuholník a dokonca aj obecnú kosínusovú vetu. Samotní Indovia však také vety, akými sú všeobecne použiteľné závislosti medzi prvkami trojuholníka, nevyslovovali. Naďalej ostávali roztrúsené v návodoch na riešenie jednotlivých problémov, a to v tvaroch úplne odlišných od ich neskoršej formy. Aj v matematike islamských zemí zaujímala trigonometria dôležité miesto. Bola článkom, ktorý spájal matematiku s hlavnou prírodnou vedou tej doby astronómiou, ďalej s gnómistikou - vedou o slnečných hodinách ako aj s problematikou výpočtu kalendára. Riešenie sférických trojuholníkov bolo nutné i pre cirkevné obrady, keďže sa Moslimovia modlia obrátení tvárou k Mekke. Smer, ktorým leží Mekka, bol vyznačený v zvláštnom výklenku každej mešity a spoločne s hodinovými ryskami bol vyznačený na všetkých verejných slnečných hodinách. Ak označíme dané mesto písmenom A, Mekku M, ich zemepisnú šírku φ 1, φ 2 a dĺžku λ 1, λ 2, severný pól P, dostávame sférický trojuholník s dvoma danými stranami AP = 90 - φ 1, MP = 90 - φ 2 a uhlom medzi nimi λ 1 -λ 2. Potrebné je nájsť uhol MAP. Z tohto trojuholníka dostaneme výpočtom dĺžku strany AM, t.j. vzdialenosť medzi A a M v stupňoch alebo, pri znalosti polomeru Zeme, v dĺžkovej miere. Skôr, ako sa arabskí matematici začali zaoberať riešením trigonometrických úloh, zoznamovali sa s prácami svojich predchodcov. Okolo roku 773 sa v Bagdade stala známou jedna z indických Siddhántas, ktorú preložil do arabštiny astronóm Abú c Abdalláh 8
Muhammad ibn Ibráhím al-fázárí. V 9. storočí preložili Sahl at-tabarí z Tabaristánu a al-hadždžádž Ptolemaiov Almagest a Menelaovu Sfériku a taktiež tieto spisy komentovali. Tieto tri práce vytvorili základ trigonometrických znalostí, na ktorom začali arabskí matematici úspešne stavať. Tým, že zaviedli niektoré nové trigonometrické pojmy, preskúmali mnohé ich vlastnosti a vyriešili všetky prípady rovinných i sférických trojuholníkov, postupne prepracovali trigonometriu ako samostatnú oblasť matematiky. Za jedného z klasikov matematiky islamských zemí sa považuje Abú c Abdalláh Muhammad ibn Músá al-chwárizmí al-mádžúsí (780-850), slávny pracovník bagdadskej školy pôsobiaci v Dome múdrosti. Z jeho diela sa zachovalo päť čiastočne prepracovaných opisov, ktoré sú venované: aritmetike, algebre, astronómii, geografii a výpočtom kalendára. Taktiež je autorom nezachovaného traktátu o slnečných hodinách. V geometrickej časti jeho algebry sú sústredené pravidlá merania obrazcov a naznačené najjednoduchšie použitie algebry v úlohách o trojuholníku. Z rovinných útvarov si al-chwárizmí všíma trojuholníky, štvoruholníky a kruh. Používa terminológiu, ktorá je pravdepodobne indického pôvodu. Je autorom jednej z prvých prác o trigonometrii, ktorá okrem iného obsahuje tabuľky hodnôt tangensu. Tangens a kotangens sa spočiatku objavovali v gnómistike pri porovnávaní strán pravouhlého trojuholníka. Neskôr sa namiesto tg a cotg začal používať pomer hodnôt sínusu a kosínusu. Táto novinka prispela príslušnými tabuľkami k podstatnému zjednodušeniu trigonometrických výpočtov. Časom sa trigonometrické funkcie používali stále častejšie. Prepracované učenie o nich nachádzame u významného astronóma a matematika Abú c Abdalláh Muhammad ibn Džábir ibn Sinan al-battáního (858? - 929) v astronomickej práci Zdokonalenie Almagestu. Al-Battání tu systematicky používa trigonometrické funkcie, pričom uvažuje sínus v intervale od 0 do 180. Ešte systematickejšie vysvetľuje základy trigonometrie Abu l-wafá (940? - 998) v astronomickom traktáte Kniha dokonalosti, v ktorom sú všetky trigonometrické funkcie definované jednotne pomocou kružnice. Napríklad tangens sa nezavádza pomocou pravouhlého trojuholníka, ale ako úsečka na dotyčnici ku kružnici. Autor uvádza vzťah: tgα r = r cot gα a formuluje niektoré pravidlá za predpokladu, že polomer kružnice r = 1. Tiež tu nachádzame vetu o sínuse súčtu a rozdielu uhlov vyjadrenú iba pomocou sínusu. Abu r-rajhán Muhammad ibn ahmad al-bírúní napísal okrem iného učebnicu matematiky a astronómie: Kniha poučení o základoch umenia hvezdárskeho (1029-1034) 9
a Mas c údovský kánón o astronómii a hviezdach (1036). Mas c údovský kánón zaujíma veľmi dôležité miesto v histórii trigonometrie. Autor v ňom zhrnul výsledky prác mnohých svojich predchodcov i svojich vlastných pozorovaní a výpočtov. Dielo tvorí 11 kníh, tretia kniha pozostávajúca z 10 kapitol obsahuje trigonometriu. Napríklad v šiestej kapitole uvádza al-bírúní tabuľky sínusu a v siedmej kapitole ukazuje, ako ich používať. V ôsmej kapitole sa skúmajú funkcie tangens a kotangens, uvedené sú tabuľky pre tangens i príslušné pravidlá ich používania a na záver sa autor venuje dôkazu sínusovej vety rovinnej trigonometrie. Deviata a desiata kapitola pojednávajú o sférickej trigonometrii. O rozvoj trigonometrie sa taktiež veľmi zaslúžili mnohí vynikajúci matematici pôsobiaci v krajinách strednej Ázie. Thábit ibn Qurra (826-901), veľký učenec a výborný prekladateľ, objavil všeobecnú sínusovú vetu pre pravouhlý sférický trojuholník a Abu Násir (okolo roku 1 000) rovinnú sínusovú vetu. Všetky poznatky z trigonometrie vytvorili v tom čase ucelenú sústavu a prvýkrát boli spísané v 13. storočí. Keďže Európa bola pod vplyvom rímskokatolíckej cirkvi, trigonometrické poznatky sa sem dostávali len v malej obmedzenej miere. Vďaka novým ekonomicko spoločenským pomerom potrebovala rodiaca sa buržoázia matematický aparát pre obchod, kolonizáciu, moreplavectvo, vojenstvo, a tak mohla európska matematika v 15. storočí aspoň čiastočne dosiahnuť a prekonať matematiku antickú. Nové požiadavky na trigonometriu kládla aj búrlivo sa rozvíjajúca astronómia. Počiatky európskej trigonometrie prezentuje vynikajúci matematik a astronóm druhej polovice 15. storočia Johannes Müller (1436-1476), taktiež nazývaný Regiomontanus podľa latinského názvu svojho rodiska. Napísal dielo Päť kníh o trojuholníkoch rôzneho druhu, v ktorom sa zaoberá konštrukciami trojuholníkov a vysvetľuje sférickú i rovinnú trigonometriu, uvádza tu aj tabuľky hodnôt funkcie tangens po jednom stupni a funkcie sínus po jednej sekunde. Bola to prvá európska práca, v ktorej sa trigonometria chápe ako samostatná matematická disciplína. Prevažná časť obsahu Regiomontanovej trigonometrie je prevzatá z arabskej literatúry. Vychádzal z latinských prekladov prác al-battáního, al- Fargháního a ostatných učencov, taktiež študoval Ptolemaiov Almagest... Autor sa zaslúžil o skvelý výklad rozsiahleho materiálu, ktorý doplnil vlastnými výsledkami a v mnohých prípadoch i originálnymi dôkazmi. Až koncom 16. storočia uvádza francúzsky matematik François Viète (1540-1603) kosínusovú vetu v jej trigonometrickej podobe i vetu tangensovú, ktorá však bola známa už aj skôr. 10
Vynikajúce zásluhy o praktické využitie trigonometrie si získali holandskí matematici, najmä Willibord Snellius (1591-1626). Dnešnú podobu dal trigonometrii petrohradský akademik Leonhard Euler (1707-1783), ktorý zaviedol vhodnú symboliku používanú dodnes, zjednotil rozdrobené myšlienky, návody a poznatky, definičný obor goniometrických funkcií sin a cos rozšíril na celú množinu reálnych čísel. Euler taktiež objavil formuly: e ix = cos x + i. sin x 1 sin x = 2 i ix ix ( e e ) ix ix ( e + e ) 1 cos x =, 2 ktoré znamenali hlboké preniknutie k pochopeniu podstaty elementárnych funkcií a komplexných čísel. Trigonometria prispela svojimi počtovými prostriedkami ku skutočnému poznaniu rozmerov zemegule a výrazne ovplyvnila i rozšírila astronomické poznatky. Pre ontogenézu z fylogenetického rozboru trigonometrie je najdôležitejšia myšlienka troch etáp, v ktorých sa táto disciplína vyvíjala. Prvá etapa, grécka, ide v duchu Euklida a snaží sa problematiku sféry transformovať na problematiku roviny. Druhá etapa, indicko-arabská, zvýrazňuje potreby praxe a hľadá kalkulatívne postupy a vzorce. Tretia, európska etapa, systematizuje poznatky a do centra trigonometrie dáva goniometrické funkcie ako nástroj na opis periodických dejov. Z metodického hľadiska je dôležitý najmä prechod od druhej etapy k tretej. [6] Kapitola je spracovaná podľa literatúry: [5],[6]. 11
3. Koncepcia vyučovania trigonometrie a goniometrie Trigonometria leží na križovatke algebry, geometrie a analýzy, teda je ovplyvnená zmenou metodickej stavby ktorejkoľvek základnej časti matematiky. Možno práve preto nachádzame v rôznych učebniciach trigonometrie viacero rôznorodých koncepcií. Väčšinou však ide iba o zvýraznenie niektorých a utlmenie iných zložiek tejto disciplíny, nie však o zásadnú zmenu poňatia trigonometrie. Ako uvádza prof. Hejný v [6], pri analýze zahraničných i slovenských učebníc sa odhalili nasledovné význačné zložky: štúdium geometrických situácií, hlavne útvarov v rovine, odvodzovanie goniometrických vzorcov a hľadanie vzájomných súvislostí medzi nimi, manipulácia so vzorcami, riešenie goniometrických rovníc a nerovníc, práca s tabuľkami goniometrických funkcií, využitie trigonometrie v zememeračstve a astronómii, štúdium goniometrických funkcií a ich využitie pri modelovaní periodických dejov vo fyzike, skúmanie štruktúry komplexných čísel využitím polárneho tvaru komplexného čísla. Ťažko však povedať, aké by bolo najvhodnejšie zastúpenie práve vymenovaných zložiek. Závisí to predovšetkým od celkovej koncepcie vyučovania matematiky. V stredoškolských učebniciach sa vyskytujú tri rôzne spôsoby zavedenia goniometrických funkcií sínus, kosínus, tangens, kotangens: 1. Pomocou pomeru dĺžok strán pravouhlého trojuholníka (napr. sínus je protiľahlá odvesna ku prepone, tangens je pomer protiľahlej odvesny ku odvesne priľahlej...). 2. Pomocou jednotkovej kružnice (podľa L. Eulera). 3. Pomocou komplexných čísel: čísla z = a + bi 0. a cos ϕ =, z sin ϕ = b z, kde φ je amplitúda komplexného Podľa prvého spôsobu sa zavádzajú funkcie sin, cos, tg, cotg už na základných školách. Ide o tradičný spôsob, ktorý je názorný i jednoduchý, ale si vyžaduje neskoršie rozširovanie, pretože zavádza vymenované funkcie iba pre ostrý uhol. Preto sa na stredných školách najčastejšie používa práve druhý spôsob. Prof. Hejný v [6] odporúča vyučovať trigonometriu v dvoch etapách, presne podľa fylogenézy. V prvej etape, propedeutickej, navrhuje zaviesť goniometrické funkcie pomocou pravouhlého trojuholníka a rozvinúť ich smerom ku geometrii v Euklidovom 12
duchu. Neskôr, v druhej etape, rozšíriť definičný obor týchto funkcií pomocou jednotkovej kružnice a zvýrazniť druhú, tretiu a najmä piatu z vymenovaných zložiek trigonometrie. Opísaný prístup bol v minulosti veľmi dôkladne rozpracovaný a pre nás stále ostáva poučný. 4. Počítače v škole Stali sme sa súčasťou akejsi informačnej spoločnosti, ktorej fungovanie je bez informačných systémov priam nemožné. Počítače sú všade okolo nás, počítačové technológie sa v dnešnej dobe používajú v najrôznejších oblastiach ľudských činností. Mnohé profesie by už bez nich ani nemohli existovať. Počítače však nevyužívajú iba dospelí, ale aj deti, žiaci, študenti. Počítačové technológie im umožňujú objavovať nové poznatky, prispievajú k ich myšlienkovým a tvorivým aktivitám, uľahčujú a zdokonaľujú vyučovanie v školách,... vďaka čomu i školy lepšie dokážu splniť svoje poslanie. Mnoho detí však chápe počítače iba ako elektronickú hračku, ako prostriedok na komunikáciu so svetom, pritom ani len netušia, čo všetko možno pomocou počítača robiť. Je na nás, učiteľoch, rodičoch, spolužiakoch, aby sme tento stav zmenili, aby sme im ukázali, ako možno počítače využívať pri učení, vyučovaní a špeciálne pri vyučovaní matematiky. Nástup mikropočítačov koncom sedemdesiatych rokov priniesol do života škôl, učiteľov i žiakov pomerne veľký zvrat. V tej dobe sa okolo počítačov pohybovala iba malá skupinka učiteľov základných a stredných škôl, a to v súvislosti s výučbou predmetov výpočtová technika a programovanie. Začalo sa diskutovať o pojme počítačová gramotnosť a definovať akási nová tvár školy. V tom čase sa zdalo, že každé školopovinné dieťa bude musieť zvládnuť základy programovania. Táto skutočnosť bola prirodzeným dôsledkom vývoja výpočtovej techniky a jej využitia. Spomínané diskusie však utíchli s nástupom osobných počítačov. Dnešný užívateľ už nemusí vedieť počítač naprogramovať. Bežným užívateľom počítačov sa tak stáva nielen odborník ale aj laik. Počítačové technológie ponúkajú nové možnosti pre vzdelávanie: využívanie počítačov nielen v programovaní, ale aj pri riadení experimentov i pri modelovaní rôznych procesov vo vyučovaní prírodovedných predmetov (fyzika, chémia, biológia), pri matematických výpočtoch, výučbe cudzích jazykov, pri spracovávaní údajov (v zemepise, dejepise, dokonca aj v slovenčine). Pomocou počítačov sa môže človek vzdelávať aj mimo školy. Stačí, ak sa z domu alebo z ktoréhokoľvek miesta na svete napojí na počítačovú sieť a môže 13
komunikovať s učiteľom, posielať vypracované úlohy... Pojem počítačová gramotnosť sa opäť skloňuje vo všetkých pádoch, no tentokrát vo vzťahu k významu vedieť komunikovať. Vďaka počítačovej sieti, Internetu, sa človek dokáže kedykoľvek spojiť s kýmkoľvek, nech už sa nachádza kdekoľvek. Komunikácia medzi ľuďmi, výmena informácií ovplyvňuje vzťahy medzi ľuďmi, myslenie človeka, život nás všetkých. Internet sa stáva výzvou pre vzdelávanie: Čo, ako a prečo učiť?! [1] Počítače vystupujú na školách v štyroch základných rolách [2] : 1. Ako pracovný prostriedok (nástroj) budúceho odborníka. Ide najmä o znalosť používania textových, databázových systémov, tabuľkových procesorov, aplikačných programov, programového vybavenia pre počítačom podporované technológie (napr. CAD automatizácia projekčnej činnosti, CAP plánovanie pomocou počítača atď.), expertných systémov a prostriedkov umelej inteligencie. 2. Ako subjekt predmet vyučovania. Cieľom je formovanie všeobecnej počítačovej kultúry žiakov počítačovej gramotnosti, ako aj príprava odborníkov pre oblasť informatiky a výpočtovej techniky. 3. Ako prostriedok automatizácie riadenia školy evidencia žiakov a zamestnancov školy, automatizácia knižných služieb, evidencia inventáru školy, tvorba rozvrhu hodín, elektronická pošta, získavanie a výmena informácií pomocou počítačových sietí (napr. Internet) atď. 4. Ako materiálny prostriedok vyučovania (softvér učebná pomôcka, hardvér didaktická technika). Táto rola výpočtovej techniky najviac súvisí so súčasnými koncepciami vyučovania, ktoré sú založené na využití počítačov. Výpočtovú techniku možno efektívne uplatniť vo všetkých fázach vyučovacieho procesu, t.j. pri motivácii žiakov, aktualizácii už osvojeného učiva, pri osvojovaní nového učiva, jeho upevňovaní a prehlbovaní, pri preverovaní a hodnotení žiakov, pri ich domácej príprave ako aj pri spätnej väzbe. V anglosaskej literatúre, ktorá je v oblasti výpočtovej techniky najpočetnejšia, má vyučovanie pomocou počítačov rôzne názvy, z ktorých najfrekventovanejšie sú: CAI (computer aided instruction) počítačom podporované vyučovanie, pri ktorom počítač pomáha žiakom v procese učenia, napr. pri osvojovaní, precvičovaní učiva i kontrole jeho osvojenia, pri riešení problémov, učení sa objavovaním, simulácii a modelovaní procesov, riešení didaktických testov atď. 14
CMI (computer managed instruction) počítačom riadené vyučovanie, pri ktorom počítač pomáha učiteľovi riadiť vyučovací proces, a to analýzou jeho výsledkov, pomocou pri plánovaní práce, generovaní didaktických testov, programovanom vyučovaní atď. 4.1 Vplyv počítačov na výučbu a učenie žiakov Počítače vytvárajú spoľahlivé a príťažlivé prostredie pre učenie, ktoré žiakov láka a motivuje. Žiaci môžu pri práci s počítačom o danom probléme premýšľať, počítače nie sú netrpezlivé, nevysmievajú sa, a tak nemusia mať žiaci strach, že sa pred celou triedou zosmiešnia. Počítače pomáhajú aj tým, ktorí nemajú dobrú pamäť alebo dlho neudržia pozornosť, pretože im poskytujú pozitívnu spätnú väzbu a môžu im aj poradiť pri riešení úloh. Aj deti, ktoré majú problémy s krasopisom alebo s gramatikou, dokážu ľahko vytvoriť úhľadný a bezchybný dokument. Počítačové systémy rešpektujú individuálne požiadavky žiaka, jeho tempo, schopnosti, pretože môžu pracovať rýchlosťou vyhovujúcou potrebám žiaka, dovoľujú žiakovi vrátiť sa späť, začínať a končiť prácu v rôznych miestach, môžu poskytnúť okamžitú spätnú väzbu. Počítač môžu používať aj handicapovaní žiaci. Žiaci, ktorých učenie nebaví, sa vďaka počítačom môžu pre učenie nadchnúť, čo môže prispieť k ich úspechom v škole. Sledovanie informácií na monitore počítača vyvoláva u detí väčší záujem o učenie a taktiež spríjemňuje zážitky z vyučovania. Počítače dávajú žiakom príležitosť byť úspešnými aj tam, kde predtým neuspeli a kde neraz prežívali traumu. V škole sa stretávame aj s takými prípadmi, keď sa niektoré deti, ktoré doposiaľ v škole nijak nevynikali, zrazu pri práci s počítačom javia šikovnejšie ako ich vrstovníci. Počítače taktiež ponúkajú prostredie pre rozvoj myslenia žiakov. Napríklad pri práci s tabuľkovým kalkulátorom sa ľahšie objavuje závislosť medzi veličinami, vplyv parametra na priebeh závislosti, pri analýze vzťahov medzi údajmi sa žiaci nezdržujú nezáživnými numerickými výpočtami. To však neznamená, že by žiaci nemali zvládnuť základné numerické metódy a operácie s číslami. Práve naopak. Obecne platí, že tvorivé práce založené na využití počítačových technológií rozvíjajú myslenie žiaka. Pri práci s nimi totiž musí žiak neustále premýšľať, akým spôsobom uskutoční svoj zámer, ako dosiahne svoje predstavy. Pokiaľ sa mu to nedarí, musí uvažovať o tom, kde sa stala chyba, prečo sa nestalo to, čo očakával... [1] 15
Využívanie počítačov vo vyučovacom procese, najmä intenzívne a dlhodobé, má však aj určité nevýhody, a to najmä [2]: - môže dôjsť k zdravotným problémom (poruchy zraku, deformácia chrbtice, neurózy, prípadne aj k digitalizácii myslenia), - zníženie socializácie žiaka (redukcia písanej a hovorenej reči, potlačenie medziľudskej komunikácie), - absencia priameho pozorovania, - problém rozvoja žiakov v afektívnej oblasti (najmä v oblasti citovej výchovy, tvorby hodnotového systému), taktiež sa zaznamenali určité problémy s rozvojom tvorivosti žiakov, - zníženie rovnosti šancí vzdelávať sa (žiaci z chudobných rodín majú menšiu šancu získať počítače a rôzne programy ako žiaci z rodín bohatých). 4.2 Prístupy učiteľov k výučbe Počítače v našich školách už nie sú novinkou. Na školách sa stretávame s učiteľmi, ktorí už majú bohaté skúsenosti s využívaním počítačov vo výučbe a s úspechom ich využívajú v rôznych etapách vyučovacieho procesu a za rôznym účelom (pri testovaní, príprave materiálov, k spracovaniu dát, pri vyhľadávaní informácií, pri komunikácii...). K základnej príprave učiteľa na výučbu by mali patriť školenia, kurzy a semináre zamerané predovšetkým na výmenu skúseností s rôznymi programami využívanými práve v učiteľovom odbore. Neexistuje univerzálny návod, ako naučiť žiakov pracovať s počítačovým programom. Každý program je iný a takisto každý učiteľ má vlastné poňatie výučby. Úspech zvoleného postupu nesmierne závisí od motivácie žiakov, od skúseností učiteľa. Je dôležité dbať na to, aby napríklad úvod do práce žiakov nenudil a následne neodradil. V nasledujúcom prehľade sa pokúsime načrtnúť (trocha nadnesene) akúsi typológiu rôznych prístupov súčasného učiteľa k počítačom vo výučbe. I keď sú prístupy popísané na prvý pohľad trocha humorne, hlbšie pochopenie ich významu môže dopomôcť k lepšiemu pochopeniu možností počítačových technológií a prístupu učiteľa k žiakom. Zároveň podotýkame, že sa v praxi stretávame s prístupmi menej vyhranenými a nie tak extrémnymi. Učiteľ dogmatik nie je odborníkom na programovanie, žiakov učí na základe svojich dávnych skúseností s počítačmi predovšetkým príkazy operačného systému DOS, ďalej 16
základy niekoľkých málo používaných programovacích jazykov a na ostatnú látku už väčšinou neostáva čas. Tento učiteľ nemá v láske novo vyvinuté operačné systémy ani akékoľvek zmeny v počítačovej miestnosti. Učiteľ flegmatik takmer celú vyučovaciu hodinu nechá žiakov, aby sa hrali hry a robili to, čo ich baví. Deti táto hodina väčšinou baví a majú pána učiteľa radi, veď predsa aj oni potrebujú aspoň chvíľku relaxovať. Zatiaľ sa učiteľ buď sám pripravuje na výučbu alebo len tak surfuje na Internete. Učiteľ počítačový profesionál obecné i databázové programy ako aj textové editory ovláda na profesionálnej úrovni a perfektné zvládnutie tejto oblasti počítačovej gramotnosti považuje za nutný základ pre ďalšiu prácu s počítačom. Kvôli svojmu profesijnému zaťaženiu často nerešpektuje potreby žiakov a osnovy. Žiakov väčšinou zaťažuje vecami, ktoré v budúcnosti, ako bežní užívatelia, vôbec nebudú potrebovať. Monoprogramový systematik orientuje sa na dokonalé zvládnutie konkrétneho programu, systematicky preberá jednotlivé detaily konkrétnych aplikácií. Žiaci si píšu podrobné poznámky a naspamäť sa učia i menej používané príkazy. Obstojne ovládajú niekoľko aplikačných programov, ale len malá časť z nich svoje znalosti niekedy využije. Snaživý samouk sám objavuje zákonitosti počítačového sveta a snaží sa ťažko získané skúsenosti odovzdať žiakom. Sotva ale dokáže pochopiť komplexnosť počítačového sveta. Obvykle naučí po dlhotrvajúcom výklade stláčať klávesy na klávesnici a poznať najnovšie verzie programov, ktoré vraj treba mať na počítači. Improvizátor a vizionár celá jeho počítačová učebňa vrátane zapojenia a umiestnenia počítačov je jednou veľkou improvizáciou. Neustále nachádza nové a nesmierne zaujímavé aplikačné programy, priebeh hodiny si premyslí iba pár minút pred jej začiatkom a to tak, aby bola preberaná téma čo najaktuálnejšia. Počas výučby zaplavuje žiakov najnovšími novinkami z Internetu a odborných časopisov. Často ale ostáva iba pri slovách, pretože počítače z nejakého záhadného dôvodu nefungujú. Nadšenec bez počítačov aktívny človek, ktorý by pre svojich žiakov veľmi rád premenil výučbu na radostné a tvorivé pracovisko. Má rád svoju prácu, nenechá sa odradiť ani politicko-ekonomickými problémami. Bohužiaľ však nemá k dispozícii rozumné počítačové zázemie, stretáva sa s finančnými ťažkosťami a s objektívnymi problémami v systéme školy. Kreatívny a flexibilný učiteľ chápe výučbu na počítačoch predovšetkým ako efektívnu podporu ostatných predmetov. Hľadá využitie počítačov v oblastiach, kde by bola 17
práca pracnejšia a zdĺhavejšia. Pomáha žiakom tvoriť, hľadať rôzne tabuľky, mapy, informácie... Dobre pozná aplikačné programy a výučbu pre ročníky, ktoré učí, prispôsobuje stupňu počítačovej gramotnosti žiakov. Vie, čo sa žiaci učia na ostatných predmetoch. Žiaci na jeho hodinách samostatne tvoria vlastné projekty, referáty, textové súbory, čím sa učia základy ovládania jednotlivých programov. Vie, kto má doma počítač, pokúša sa nasmerovať žiakov od domáceho hrania sa hier k zmysluplnej tvorivej práci [1]. 4.3 Informačné technológie vo vyučovaní matematiky Vo výučbe matematiky sa môžu uplatniť rôzne typy informačných a komunikačných technológií, ktoré sú zdrojom modernizácie a netradičných metód vzdelávania. Riešenie problémov z reálneho života pomocou dostupných technológií môže zdokonaliť proces učenia a prispieť k rozvoju myšlienkových a tvorivých aktivít študentov. Technológie, ktoré možno využiť vo vyučovaní matematiky, možno rozdeliť do niekoľkých oblastí: Univerzálne programovacie jazyky Hlavne začiatkom deväťdesiatych rokov využívali tvorcovia výučbových aplikácií programovacie jazyky Pascal a Basic. Vo výučbe matematiky sa využívali počítače na riešenie výpočtových úloh, grafickú reprezentáciu poznatkov a testovanie žiakov. Štandardné aplikačné programy Kľúčové postavenie medzi všeobecne rozšírenými aplikačnými programami majú vo výučbe matematiky tabuľkové kalkulátory. Jeden z najrozšírenejších programov tohto typu je MS Excel. Medzi základné možnosti využitia tabuľkových kalkulátorov vo vyučovaní matematiky patrí: Riešenie výpočtových úloh úlohy na postupnosti; kombinatorické úlohy; riešenie rovníc, sústavy lineárnych rovníc; hľadanie extrémov; výpočet určitých integrálov; štatistické výpočty;... Grafická interpretácia údajov grafy funkcií; grafické riešenie rovníc; grafické určenie primitívnej funkcie;... Matematické modelovanie grafy funkcií s parametrami; iteračné výpočty; modelovanie náhodných javov;... 18
Špeciálny matematický softvér Túto skupinu programov reprezentujú predovšetkým tzv. CAS systémy (Computer algebra system = počítačový algebraický systém), ktoré disponujú bohatým aparátom matematických metód. Sú určené na numerické výpočty s veľkou presnosťou, symbolickú manipuláciu s údajmi, vizualizáciu matematických objektov a procesov, ktorá umožňuje koncentrovať modelovacie činnosti. Ich súčasťou sú aj vlastné programovacie jazyky pre programovanie vlastných aplikácií. Medzi najznámejšie profesionálne CAS systémy patria: Mathematica, Maple, Derive, MuPAD... Okrem profesionálnych CAS programov možno vo výučbe matematiky využiť aj jednoduchšie programy, ktoré umožňujú riešiť užšiu triedu úloh: - pre numerické výpočty sú určené napr.: Euler numerical software alebo program Matematika, ktorý umožňuje taktiež zobrazovať grafy funkcií a pre školy je to shareware program, - programy na vykresľovanie grafov funkcií sú napr.: Grafy funkcií, Graphmat, Equation Grapher... Dynamické geometrické systémy Tieto programy umožňujú jednoduchým spôsobom zostrojovať geometrické útvary a zmenou ich atribútov objavovať a zovšeobecňovať vzťahy medzi objektmi. Dovoľujú kombinovať algebraicky zadané miery spolu s animáciami, čo predstavuje silný nástroj pre experimentálne vyšetrovanie geometrických modelov reálnych situácií a riešenie optimalizačných úloh. Štandardné dynamické geometrické systémy (napr. Cabri geometri, The Geometer s Sketchpad) nepatria medzi voľne prístupné programy. Pre orientáciu v problematike môže poslúžiť demo verzia programu Cabri geometri. Medzi voľne prístupné geometrické programy patrí napr. School Geometry Software. Vo výučbe geometrie môžu nájsť uplatnenie aj dynamické WWW stránky s geometrickými konštrukciami, aké ponúka napríklad Oddelenie didaktiky matematiky na Univerzite v Bayreuthe. Výučbové programy Tvorbou multimediálnych výučbových programov sa zaoberajú v súčasnosti aj profesionálne softvérové firmy. Svoje produkty ponúkajú na multimediálnych CD-ROM. Vo výučbe matematiky môže učiteľ pri preberaní rôznych tematických celkov využiť 19
i jednoduchšie výučbové programy. Najkrajší a najväčší výber slovenských matematických edukačných programov možno nájsť na stránkach Katedry vyučovania informatiky FMFI UK v Bratislave. Nachádza sa tu mnoho programov, ktoré vytvorili študenti v rámci ročníkových, semestrálnych projektov alebo diplomových prác, a možno ich bezplatne stiahnuť a využívať pri výučbe rôznych predmetov (matematika, fyzika, biológia, zemepis, dejepis, hudba, výtvarná výchova...). Na hodinách matematiky možno využiť napr.: Algopretek, Aritmetika zlomkov, Podobnosti, Zhodné zobrazenia v rovine a mnohé ďalšie [4]. Multimediálne výučbové aplikácie môžu vytvárať učitelia aj bez hlbších znalostí z programovania pomocou tzv. autorských systémov alebo prezentačných programov. Široké možnosti pre tvorbu výučbových prezentácií ponúka aj štandardný prezentačný program Power Point. Didaktické hry Tieto počítačové hry so vzdelávacím obsahom motivujú študenta aktívne získavať nové vedomosti a rozvíjať zručnosti zavedením súťaživosti a možnosti víťazstva. Pre žiakov základnej školy sú určené rôzne zábavné hry s matematickým obsahom, vzdelávacie hry z algebry,... Mnoho zaujímavých didaktických hier možno nájsť v archívoch počítačových hier pre deti. Matematické projekty Komunikácia v počítačových sieťach umožňuje spolupracovať viacerým školám pri riešení matematických problémov. Školy sa môžu zapojiť do rôznych projektov (napr. Connecting Math to Our Lives,...). Dôležité miesto pri hľadaní spôsobov integrovania nových informačných a komunikačných technológií do vzdelávania zaujímajú univerzity, na ktorých sa riešia tieto úlohy v rámci rôznych projektov. Zaujímavé a podnetné výsledky prinášajú okrem iného projekty: Maths online Univerzita vo Viedni. Cieľom projektu je konštrukcia moderného matematického vyučovania prostredníctvom WWW pre stredné a vysoké školy využiteľná aj pre dištančné vzdelávanie. Informačné technológie vo výučbe matematiky Univerzita v Joensuu. Projekt je zameraný na riešenie matematických problémov v počítačovom vyučovacom prostredí s vysokou mierou interaktivity orientovanom na programový systém Maple a programovací jazyk JAVA. 20
Calculus as a Laboratory Course Duke University v Durhame. Úlohou projektu bolo vytvoriť učebný materiál umožňujúci aktívne učenie sa skúmaním problémov z reálneho života pomocou matematických programových systémov. Softvér, nielen matematický, môžeme voľne vyhľadávať na Internete, odkiaľ si môžeme legálne stiahnuť demoverzie alebo shareware programy. Medzi nimi je podstatný rozdiel: demoverzia funguje neobmedzene dlhý čas, ale nie sú funkčné všetky možnosti daného programu, shareware je softvér, ktorý funguje úplne, ale len obmedzený čas, freeware je voľne šíriteľný softvér. [12] V nasledovnej časti uvádzame zoznam niektorých profesionálnych komerčných matematických programov s odkazmi na stránky na Internete, kde môže čitateľ, v prípade záujmu, získať ďalšie zaujímavé informácie o zvolenom programe. Profesionálne komplexné programové balíky Derive: http://www.derive.com/, všestranný sharewarový program špecializovaný hlavne na matematickú analýzu a príbuzné disciplíny. K dispozícii na stiahnutie je komerčná trial verzia 5 fungujúca 30 dní. MathCad: http://www.mathsoft.com/, všestranný sharewarový program na báze CAD systémov. Aktuálna verzia je 11. Mathematica: http://www.wolfram.com/, ďalší z rady profesionálnych programov pokrývajúci všetky základné oblasti matematiky. Aktuálna verzia je 4.2. Maple: http://www.maplesoft.com/, posledný zo spomínaných profesionálnych softvérových produktov pre základné oblasti nielen školskej matematiky. Formou postwaru je možné získať 30 dňové demo aktuálnej verzie 8. Malé freewarové, postwarové a sharewarové matematické programy 3D grapher: http://www.romanlab.com/, shareware (1,2 MB) na analytické kreslenie 2D a 3D objektov, aktuálna verzia je 1.2. Na Internete si možno stiahnuť plne funkčnú trial verziu, s ktorou možno pracovať 30 dní. Ide o rýchly a ľahko použiteľný softvér vhodný pre študentov, inžinierov, pre každého, kto potrebuje pracovať s 2D a 3D grafmi. 21
Advanced Grapher: http://www.serpik.com/, malý (1,2 MB) sharewarový nástroj na riešenie bežných problémov matematickej analýzy a numerickej matematiky v rovine. Je to silný, no jednoducho použiteľný softvér na kreslenie rôznych grafov a ich analyzovanie. Jeho výpočtové možnosti sú: regresná analýza, výpočet nulových bodov, extrémov funkcie, priesečníkov, derivácií,... Program podporuje niekoľko jazykov a môžeme si pridať vlastné jazykové prostredie. Aktuálna verzia je 2.07, voľne stiahnuteľný trial funguje 30 dní. Equation Grapher: http://www.mfsoft.com/equationgrapher, freeware od firmy MFSoft International. Program možno využiť na kreslenie a analyzovanie grafov funkcií, grafické riešenie rovníc a nerovníc rôzneho typu ako aj na štatistickú analýzu. Umožní nám naraz nakresliť až 12 grafov, vie hľadať korene, maximum a minimum funkcie na zadanom intervale, priesečníky so súradnicovými osami či s grafom inej funkcie, vypočíta funkčné hodnoty v danom bode... Súčasťou programu je aj Regression Analyzer - program na štatistickú analýzu, ktorému zadáme hodnoty štatistického súboru a získame požadovanú regresnú priamku (krivku) a príslušné rovnice. Euler: http://mathsrv.ku-eichstaett.de/mgf/homes/grothmann, freeware na kreslenie grafov funkcií, kriviek v rovine a plôch v priestore formou programovej syntaxe. Na stránke je možné zadarmo stiahnuť aktuálnu verziu 1.68 aj so zdrojovými kódmi. Euklides: http://www.euklides.hu/, vyspelý interaktívny shareware na riešenie problémov syntetickej euklidovskej geometrie v rovine. Na stránke je k dispozícii na stiahnutie demo aktuálnej verzie 2.4 v angličtine a v maďarčine. Grapher: http://www.ugrad.cs.jhu.edu/~russell/classes/grapher/. Jednoduchý kreslič funkcií. Ponúka niekoľko typov funkcií: lineárne, kvadratické, exponenciálne, logaritmické, goniometrické, cyklometrické,... Po zvolení funkcie zadáme jednotlivé parametre funkcie a následne sa nám vykreslí graf. Myšou môžeme presúvať stred súradnicovej sústavy, pričom graf zostáva na mieste a prispôsobujú sa koeficienty funkcie. Obsahuje návod na ovládanie a stručný prehľad (teóriu) ponúkaných funkcií. Tento applet bol vyvinutý, aby umožnil stredoškolákom vidieť, ako vyzerajú grafy rôznych funkcií. Graphic Calc: http://www.home.foni.net/~wkurz/graphical/graphical.htm, shareware (1,5 MB) na kreslenie grafov funkcií a kriviek v rovine s prímesou ďalších schopností. Programovateľné prostredie s možnosťou tvorby AVI animácií. Aktuálna verzia je 1.8.1, trial funguje 30 dní. GraphMatica: http://www8.pair.com/ksoft, jednoduchý freeware (0,4 MB) s numerickými a výpočtovými vlastnosťami na kreslenie grafov funkcií a kriviek v rovine, 22
implementované sú základné prvky integrálneho a diferenciálneho počtu. Funkcie môžeme zadávať v explicitnom aj implicitnom tvare v kartézskych i v polárnych súradniciach, môžeme si dať vykresliť graf krivky, ktorá je určená parametricky. Vie vykresliť deriváciu funkcie, obyčajné diferenciálne rovnice. Dá sa nakresliť súčasne viac funkcií, ktoré sa líšia iba parametrom. Naraz môže byť na výkrese až 25 grafov. Ponúka niekoľko ukážkových súborov. Obrázky grafov môžeme uložiť vo formáte bmp, wmf a emf. Program neprešiel dlhšiu dobu z aktuálnej verzie 1.60e na novšiu. MathCurve: http://mathcurve.cjb.net/, freeware funkčne aj veľkosťou podobný GraphMatice (0,45 MB) s možnosťou kreslenia grafov funkcií a kriviek v rovine, základy infinitezimálneho počtu a regresie. Už dlhšie je aktuálna verzia 1.0. Matematika: http://www.volny.cz/jankratochvil, český freewarový program (2,3 MB) na kreslenie grafov parametrických kriviek, vyhodnocovanie číselných výrazov (kalkulačka) a regresiu. Posledná verzia je 1.2.1. (autor zrušil svoju stránku). WinFeed: http://math.exeter.edu/rparris, veľmi zaujímavý freewarový program (1,0 MB) na kreslenie fraktálov (Mandelbrotova množina, Juliove množiny, bifurkačné diagramy atď.) a množstvo ďalších objektov. Možnosť kreslenia výsekov a animácia. Číslovanie verzií dátumom poslednej kompilácie. WinGeom: http://math.exeter.edu/rparris, vyspelý freewarový semi-interaktívny program (1,5 MB) na kreslenie 2D a 3D objektov a riešenie geometrických problémov s množstvom ďalších možností, animácia, rotácia. Číslovanie verzií dátumom poslednej kompilácie. WinPlot: http://math.exeter.edu/rparris, vyspelý freewarový semi-interaktívny program (1,3 MB) na analytické kreslenie najrôznejších druhov 2D grafov funkcií a kriviek, 3D plôch, infinitezimálny počet, animácia, rotácia, základy numerickej analýzy. Dostupná je aj slovenská mutácia programu. Kapitola je spracovaná podľa: [4], [12], [14], [15]. 4.4 O programe Derive Derive je matematický počítačový program, produkt firmy Texas Instruments. Je to skvelý nástroj na používanie matematiky, dokumentovanie matematickej práce, vyučovanie a učenie sa matematiky. Možno ho využiť predovšetkým vo vyučovaní stredoškolskej a vysokoškolskej matematiky pri preberaní rôznych tematických celkov. Ako pre učiteľa, tak aj pre študenta je vhodný na podporu vyučovania matematiky a učenia sa. Keďže spája 23
numerické, algebraické a grafické možnosti matematiky, umožňuje nový prístup k učeniu a pochopeniu matematiky. Mnohé témy je možné prebrať oveľa efektívnejšie a s väčším úspechom ako pri použití tradičných metód. Veľa zadaní, ktoré si vyžadujú náročné a pracné precvičovanie v škole, možno riešiť úplne jednoducho pomocou Derive, vďaka ktorému nie je nutné vykonávať dlhé matematické výpočty. Študenti sa tak môžu sústrediť na matematický význam pojmov pokým Derive berie na seba bremeno vykonávania mechanických/algoritmických častí riešenia problému. Ukázalo sa, že tento program veľmi dobre podporuje rozvoj chápania náročných matematických pojmov [3]. (Školy zapojené do projektu Infovek obdržali program Derive ako súčasť edukačného balíka.) Funkcie programu: Hlavná sila DERIVE je v symbolickej algebre a výkonnej grafike. Dokáže pracovať s algebraickými premennými výrazmi, rovnicami, funkciami, vektormi a maticami tak ľahko, ako vie kalkulačka pracovať s desatinnými číslami. Vie vykonať číselné aj symbolické výpočty, algebru, trigonometriu a tiež kresliť dvojrozmerné aj trojrozmerné grafy. Ideálny nástroj na efektívny prístup k mnohým matematickým operáciám a funkciám a tiež pomáha rôznymi spôsobmi vizualizovať problémové úlohy a ich riešenia. Možno v ňom vytvárať, upravovať, ukladať i tlačiť matematické pracovné listy. Neúnavný, schopný a múdry matematický asistent, ktorý sa ľahko používa. Využitie programu v stredoškolskej matematike: Číselné a algebraické výrazy a ich úpravy. Rovnice a nerovnice: grafické riešenie rovníc a nerovníc; algebraické riešenie rovníc a nerovníc; riešenie sústav lineárnych i nelineárnych rovníc; algebraické riešenie aj v množine komplexných čísel. Funkcie: grafy funkcií (2D aj 3D); vlastnosti funkcií; lokálne extrémy; funkčné hodnoty; vplyv parametra na graf a vlastnosti funkcie. Analytická geometria: priestorové znázornenie vektorov, rovín, útvarov...; vzájomné polohy lineárnych útvarov v priestore; skalárny a vektorový súčin. Komplexné čísla. Pravdepodobnosť. Infinitezimálny počet: derivácia, integrál. 24
5. Príprava a realizácia experimentu Experiment sa uskutočnil v dvoch fázach: Prvá fáza sa realizovala v Taliansku, na strednej škole Liceo Socio pedagogico Camillo Finocchiaro Aprile, v Palerme, kde sme v rámci projektu SOCRATES COMENIUS v spolupráci s PaedDr. Luciou Rumanovou vypracovali didaktický projekt: Grafy goniometrickej funkcie y = a. sin( b. x + c) + d. Druhá fáza experimentu prebiehala na strednej škole v Bratislave, kde autorka učí matematiku v dvoch prospechovo porovnateľných triedach, v 2.A a v 2.B. Plánovali sme odučiť tematický celok: Goniometrické funkcie, a to v triede 2.A klasickým spôsobom a v triede 2.B učivo: Grafy zložených goniometrických funkcií y = a. sin( b. x + c) + d, y = a. cos( b. x + c) + d využitím počítačov a matematického softvéru Derive. Priebeh vyučovacích hodín v 2.A opíšeme v kapitole 5.2. Čo sa týka triedy 2.B, žiaľ z časovo organizačných dôvodov experiment zatiaľ nebolo možné zrealizovať, museli sme ho presunúť na december 2004. Výsledky tohto experimentu budú opísané v dizertačnej práci ako aj porovnanie výsledkov študentov jednotlivých tried. 5.1 Prvá fáza experimentu V rámci nášho projektu sme si vytýčili nasledovné ciele: 1. Pozorovať, aké didaktické pomôcky sa používajú na talianskych stredných školách a pri preberaní ktorých tematických celkov. 2. Oboznámiť sa so spôsobom matematického vzdelávania v Taliansku. 3. Naučiť študentov rozoznávať vplyv parametrov a, b, c, d na graf zloženej funkcie y = a. sin( b. x + c) + d. 4. Naučiť sa, ako vyhodnotiť a analyzovať výsledky didaktického experimentu pomocou štatistického softvéru CHIC. Dosiahnuť stanovené ciele sme sa pokúsili na spomínanej strednej škole, kde sme pracovali so sedemnásťročnými študentmi. Naša vzájomná komunikácia prebiehala v angličtine. V triede sme hospitovali 2 vyučovacie hodiny, na ktorých sme mali možnosť zoznámiť sa s našimi budúcimi študentmi, ale predovšetkým pozorovať, ako prebieha výučba matematiky na zahraničnej strednej škole. Nasledovné štyri vyučovacie hodiny sme si pripravili aj odučili v spolupráci s ďalšími dvomi talianskymi vysokoškoláčkami, 25