px II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
|
|
- Lenka Králová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019
2 Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku? # 3 Čo sa naučím? A kam smerujeme?
3 Prečo funkcia viac premenných?... LEBO jedna premenná veľakrát nestačí... A: Fyzika (Problém pohybu vibračnej struny (18. storočie) 1 ) The influence of physics in stimulating the creation of such mathematical entities as quaternions, Grassmann s hypernumbers, and vectors should be noted. These creations became part of mathematics. M. Kline, 1972 Nech u je funkcia popisujúca pohyb struny, konkrétne kolmú výchylku od rovnovážnej polohy u (x, t). Zrejme táto funkcia závisí od dvoch veličín: x pozícia bodu na strune t čas od začiatku vibrácie 1 Problém vibrácie struny bol študovaný J. R. d Alembertom, L. Eulerom, D. Bernoullim, J.-L. Lagrangeom a ďalšími. Popísanie tohoto pohybu výrazne prispelo k rozvoju akustiky a popísaniu mnoho ďalších javov, objektov ako gravitačné, zvukové, svetelné vlny, pozri brilliant.org.
4 Prečo funkcia viac premenných? B: Ekonómia (optimalizovanie nákladov na výrobu napr. materiálu, pracovnej sily, kapitálových výdavkov,...) Výnos firmy Apple v prepočte na jednu akciu ( ) bol modelovaný funkciou f : R R R f(x, y) = 0.379x 0.135y 3.45, kde x - predaj, y - vlastný kapitál. Obr.: Apple company, 1976, Silicon Valley Funkcia viac premenných pre 2... problém maximalizovať zisk Napr. Ak náklady na výrobu závisia od materiálov, ktoré pri výrobe používame, ceny práce a výdavkov spojených s prevádzkou, pričom cena každého je známa. Potom sa môžeme pýtať ako tieto vstupy nastaviť, aby sme maximalizovali zisk. popis produkcie firmy, ekonomiky (Cobb-Douglas production function, pozri Zaujímavosti). 2 Správne nastavenie modelu, funkcie viac premenných môže pomôcť predpovedať výnosnosť firmy, vývoj ekonomiky v najbližších rokoch, vieme prispôbiť resp. zmeniť stratégiu firmy (nakúpiť viac materiálu, prepustiť zamestnancov, )
5 C: Architektúra (hyperbolický paraboloid) Funkcia dvoch premenných f : R R R daná predpisom je hyperbolický paraboloid. f(x, y) = x2 a 2 y2 b 2 Obr.: Areál oceánografie vo Valencii, Španielsko Obr.: Železničná zastávka vo Varšave, Poľsko
6 Čo by som mal vedieť predtým ako sa pustím do tejto kapitoly?... pracovať s funkciou 1 premennej je NUTNÉ ovládať definíciu, základné vlastnosti funkcie 1 premennej, pojem limity, spojitosti, derivácie funkcie je dobré si pamätať známe výsledky ako Weierstrassova veta, Lagrangeova veta, atď.... je dobré mať priestorovú predstavivosť (3D modely funkcií dvoch premenných)... pracovať s parametrom f(x) = ax 2, a R f(x, a) = ax 2... poznať predpisy a grafy elementárnych funkcií a elementárnych kriviek (stačia kužeľosečky :))
7 Pripomeňme si 3... Obr.: Rovnice známych kužeľosečiek, pozri http... 3 Pomocou kužeľosečiek budeme vytvárať ich 3D verzie, tzv. kvadratické plochy. Pre viac informácii pozri zaujímavosti v závere prezentácie.
8 Čo sa naučím? A kam smerujeme?... pracovať s predpisom a grafom funkcie viac premenných... pracovať s konvergenciou a spojitosťou funkcie viac premenných... smerujeme k riešeniu optimalizačných úloh, diferenciálnemu počtu funkcie viac premenných J. Kuben a kol: Diferenciální počet funkcí více proměnných, Brno a Ostrava, L. Kluvánek, I. Mišík, M. Švec: Matematika I, II, SVTL, Bratislava, I. Mojsej: Príklady ku predmetu Matematická analýza 2 pre informatikov a fyzikov, Košice, (str. 18,19/13-15).
9 ... ZAČNIME!!!
10 Obr.: Funkcia ako priradenie vľavo, grafy niektorých funkcií dvoch premenných vpravo Definícia 2.1 (Reálna funkcia viac premenných) Nech množina M E n. Ak každému x M, x = (x 1, x 2,..., x n) je priradené práve jedno reálne číslo y E 1, tak hovoríme, že na množine M máme danú reálnu funkciu n reálnych premenných a zapisujeme y = f(x), x M. Množinu M nazývame definičný obor funkcie f (ozn. D f ).
11 Poznámky: Zápis y = f(x), x M je ekvivalentný zápisu po zložkách y = f(x 1, x 2,..., x n), (x 1, x 2,..., x n) M Reálne číslo f(x) nazývame funkčnou hodnotou funkcie f v bode x D f Funkcia f je jednoznačne určená svojim D f a predpisom. Ak D f nie je uvedený, rozumie sa ním množina všetkých bodov x E n, pre ktoré má predpis zmysel. Ako by to mohlo vyzerať v 4D? Obr.: Funkcia dvoch premenných (vľavo) a troch premenných (vpravo)
12 Príklad funkcie viac premenných č.1 (Funkcia, ktorá je daná tabuľkou) Example: In regions with severe winter weather, the wind-chill index is often used to describe the apparent severity of the cold. This index W is a subjective temperature that depends on the actual temperature T and the wind speed v. So W is a function of T and v, and we can write W = f(t, v). Table 1 records values of W compiled by the NOAA National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada. Z tabuľky vieme napríklad odčítať, že ak je teplota 5řC a rýchlosť vetra je 50km/h, tak subjektívna teplota 4, ktorú pociťuje pozorovateľ je 15řC v bezvetrí, t.j. f( 5, 50) = 15 4 A new wind-chill index was introduced in November of 2001 and is more accurate than the old index at measuring how cold it feels when it s windy. The new index is based on a model of how fast a human face loses heat. It was developed through clinical trials in which volunteers were exposed to a variety of temperatures and wind speeds in a refrigerated wind tunnel.
13 Príklad funkcie viac premenných č. 2 V teórii kódovania je Leeova 5 vzdialenosť ρ L (x, y) := n min( x i y i, q x i y i ). i=1 medzi dvoma textovými reťazcami x 1x 2... x n a y 1y 2... y n nad q-árnou abecedou, q 2, vlastne funkcia 2n premenných. Úloha: Určte definičný obor nasledujúcej funkcie ( ) f(x, y) = x 2 (y 2)2 + 1 (x 2 + y 2 6x). 4 Časť riešenia: Obr.: Definičný obor a graf funkcie f 5 Pre q = 2 sa zhoduje s Hammingovou vzdialenosťou.
14 Obr.: A scalar field such as temperature or pressure, where intensity is represented by different hues of color Obr.: Vrstevnice: World mean sea-level temperatures in January in C Obr.: Vrstevnice: Topographic maps of mountainous regions Definícia 2.2 Grafom funkcie f definovanej na množine M E n nazývame množinu G f = {(x 1, x 2,..., x n, x n+1) E n+1 ; (x 1, x 2,..., x n) M, x n+1 = f(x 1, x 2,..., x n)}. Poznámky: Pri načrtávaní grafu funkcie 2 (viac) premenných si pomáhame: rezmi grafu príslušnej funkcie rovinami x = 0 (rovina ρ yz), y = 0 (rovina ρ xz), z = 0 (rovina ρ xy) a rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami, tzv. vrstevnicami funkcie f na úrovni c, c R, t.j. V c = {(x, y) E 2 : f(x, y) = c}. ak chápeme graf funkcie dvoch premenných ako reliéf krajiny, potom vrstevnica funkcie na úrovni c je množina všetkých bodov s nadmorskou výškou rovnou číslu c, vo vyšších rozmeroch sa tento geografický význam stráca.
15 Úloha: Načrtnite graf nasledujúcej funkcie 6 g(x, y) = 9 x 2 y 2. Riešenie: Úloha: Použitím vhodného kalkulátora vykreslite graf a vrstevnice Cobb-Douglas produkcie, ktorá sa riadi nasledujúcim vzťahom Riešenie: P(L, K) = 1.01L 0.75 K
16 Obr.: Eliptický paraboloid a hyperbolický paraboloid Ďalšie známe príklady funkcie viac premenných: (i) Funkcia f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2 je reálnou funkciou dvoch reálnych premenných s D(f) = R 2, H(f) = [0, ) a jej graf predstavuje eliptický paraboloid. (ii) Funkcia g(x, y) = x 2 y 2, (x, y) R 2 je reálnou funkciou dvoch reálnych premenných s D(f) = R 2, H(f) = R a jej graf predstavuje hyperbolický paraboloid 7. 7 Ďalšie príklady kvadratických útvarov, presnejšie kvadratických plôch, pozri zaujímavosti v závere prezentácie. Pozor, nie každá z nich funkciou.
17 Základné vlastnosti funkcie viac premenných Základné pojmy, ako operácie s funkciami, ohraničenosť funkcie (ohraničenosť zdola, zhora), maximum, minimum funkcie na množine sú definované ako u funkcie jednej reálnej premennej: Definícia 2.3 (operácie s funkciami) Nech f, g sú funkcie, ktorých definičné obory sú D f, D g. Potom ( x D f ) f (x) = f(x) Absolútna hodnota ( x D f D g) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x). Súčet(rozdiel) ( x D f D g) (f g)(x) = f(x) g(x). Súčin ( ( x D f {x D g : g(x) 0}) f f(x) (x) = g(x). Podiel Definícia 2.4 (ohraničenosť funkcie) Funkcia f sa nazýva ohraničená zhora (zdola) na množine M D f, ak množina jej funkčných hodnôt na množine M je ohraničená zhora (zdola), t.j. ak ( h R)( x M) f(x) h ( ( d R)( x M) f(x) d). Funkcia f sa nazýva ohraničená na množine M D f, ak je ohraničená zdola aj zhora na množine M. Funkcia f sa nazýva neohraničená na množine M D f, ak nie je ohraničená na M.
18 Definícia 2.5 (extrémy funkcie) (i) Ak ( a M, M D f )( x M)f(x) f(a), tak hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode a maximum na množine M a píšeme f(a) = max f(x). x M (ii) Ak ( b M, M D f )( x M)f(x) f(b), tak hovoríme, že funkcia f nadobúda v bode b minimum na množine M a píšeme f(b) = min f(x). x M Úloha[ ]: Jednou z nutných a postačujúcich podmienok ohraničenosti funkcie jednej premenej je existencia ( K R, K > 0)( x M) f(x) K. Sformulujte analógiu tohoto tvrdenia pre funkciu viac premenných a overte jeho pravdivosť 8. 8 Funkcia f je ohraničená na M Df ( K R, K > 0)( x M) f(x) K.
19 Ako definovať skladanie funkcie viac premenných? Predtým ako zavedieme pojem zloženej funkcie viac premenných skúsme na základe definície skladania funkcie jednej premennej sami navrhnúť toto skladanie pre vyššie rozmery. Definícia 2.6 (Zložená funkcia) Nech funkcia y = f(t), kde t = (t 1, t 2,..., t m) je definovaná na množine P E m a nech t 1 = φ 1(x), t 2 = φ 2(x),..., t m = φ m(x), kde x = (x 1, x 2,..., x n), je m funkcií n -premenných, ktoré sú definované na množine M E n. Nech pre každý bod x M bod t = (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) P. Potom funkciu F(x) = f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) nazývame zloženou funkciou definovanou na množine M. Poznámky: Funkcii f hovoríme hlavná zložka a funkciám φ 1, φ 2,..., φ m vedľajšie zložky zloženej funkcie. Schematicky: x φ 1,φ 2,...,φm t = (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) f f(t) (x 1, x 2,..., x n) φ 1,φ 2,...,φm t = (φ 1(x 1, x 2,..., x n),..., φ m(x 1, x 2,..., x n)) f f(t 1, t 2,..., t m)
20
21 Pozrime sa na údaje hodnôt vybraných bodov definičného oboru funkcií, znázornených v tabuľkách. Príklad: Porovnajme správanie sa funkcií f a g na okolí bodu (0, 0), pričom f(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 a g(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2. Pozorovanie: Zrejme hodnoty funkcie f na okolí bodu (0, 0) kolíšu okolo hodnoty 1, zatiaľ čo hodnoty funkcie g sa menia v riadku, stĺpci, na diagonále.
22 Zamyslime sa: a) Ak chceme hovoriť o limite v bode (0, 0) akú vlastnosť vzhľadom na D f tento bod musí spĺňať, aby sme mohli hovoriť o limite? b) Aké výsledky lim f(x, y) a lim g(x, y) očakávate? (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) Pripomeňme si: Limita funkcie 1 reálnej premennej Topologická super definícia limity funkcie lim f(x) = b ( O(b))( O (a))( x D f )) x O (a) f(x) O(b) Vlastná limita funkcie vo vlastnom bode lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) x O δ (a) f(x) Oε(b) lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < x a < δ f(x) b < ε Obr.: Vizualizácia konvergencie funkcie jednej premenných.
23 Definícia 2.7 (Cauchyho definícia vlastnej limity funkcie vo vlastnom bode) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Hovoríme, že číslo b E 1 je limitou funkcie f v bode a, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε, čo zapisujeme lim f(x) = b. Poznámky: Prečo limita v izolovanom bode NIE? Vtedy by totiž definícii limity vyhovovalo ľubovoľné reálne číslo, a teda napríklad by neplatilao tvrdenie o jednoznačnosti limity, ktoré o chvíľu vyslovíme. Na bod a okrem toho, že má byť hromadným bodom D f nekladieme žiadne ďalšie požiadavky, napr. f nemusí byť definovaná v bode a a ak aj definovaná je, nezáleží aká je v ňom hodnota. V prípade funkcie dvoch premenných je okolie bodu a kruh, hodnoty funkcie potom musia ležať medzi dvoma rovinami ( ϵ pás v 3D ). Obr.: Vizualizácia konvergencie funkcie dvoch premenných.
24 Podobné výsledky ako pre funkciu jednej premennej stále platia 9... Obr.: Heinrich Eduard Heine ( ) Veta ( Heineho veta) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Číslo b E 1 je limitou funkcie f práve vtedy, keď pre každú postupnosť bodov {x k } k=1, x k D f konvergujúcu k a postupnosť {f(x k )} k=1 konverguje k číslu b. Poznámky: Schematicky: lim f(x) = b lim f(x k ) = b, {x k } k=1, x k D f x k a Konvergenciu postupnosti bodov {x k } k=1, x k D f E n rozumieme po zložkách Heineho vetu využívame na dokázanie toho, že limita funkcie v danom bode neexistuje (zdôvodnite prečo) Úloha: Vypočítajte nasledujúcu limitu a graf funkcie na vhodnom okolí vykreslite v softvéri lim x 0 y 0 x 2 y 2 x 2 + y 2. 9 Dôkazy týchto nečíslovaných tvrdení je možné nájsť v [2], budú predmetom malej písomky, nie však skúšky.
25 Tvrdenie ( ) Funkcia f má v bode a nanajvýš jednu limitu. Tvrdenie ( ) Nech bod a je hromadným bodom D f, D g E n. Ak lim f(x) = b 1 a lim g(x) = b 2, tak (i) existuje lim f(x) a platí lim f(x) = b 1 ; (ii) existuje lim (f ± g)(x) a platí lim (f ± g)(x) = b 1 ± b 2 ; (iii) existuje lim (f g)(x) a platí lim (f g)(x) = b 1 b 2 ; ) ( (x) a platí lim f g (iv) ak b 2 0, tak existuje lim ( f g Tvrdenie ( O zovretí) ) (x) = b 1 b 2. Nech bod a je hromadným bodom D f, D g, D h E n a nech existuje O (a) také, že ( x O (a) D f D g D h ) f(x) h(x) g(x). Ak lim f(x) = lim g(x) = b, tak lim h(x) = b.
26 Tvrdenie ( 0 ohraničená ) Nech bod a je hromadným bodom D f, D g E n. Ak lim f(x) = 0 a g je ohraničená na O (a), tak lim (f(x) g(x)) = 0. Úloha: Vypočítajte nasledujúcu limitu lim x 0 y 0 x 3 x 2 + y 2. Zamyslime sa: Daná je funkcia f(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2. a) Sformulujte hypotézu o hodnote lim f(x, y). x 0 y 0 b) Argumentujte predchádzajúci výpočet.
27 Ktoré situácie chceme vetou o limite zloženej funkcie obsiahnuť, ktoré nie? Chceme, aby sa limita zloženej funkcie počítala po častiach, t.j. spočítam limitu vnútornej funkcie v bode a spočítam limitu vonkajšej funkcie v hodnote limity vnútornej funkcie, a to by sme chceli, aby bola limita zloženej funkcie v bode a. Takýto výpočet nefunguje vždy!, viď. prednáška. Veta 2.8 (O limite zloženej funkcie ) Uvažujme zloženú funkciu F(x) = f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)). Nech existujú limity φ i(x) = b i, i = 1, 2,..., m a také O (a), že lim (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) = (t 1, t 2,..., t m) = t b, x O (a) D F, (1) kde b = (b 1, b 2,..., b m). Nech ďalej lim t b f(t) = c. Potom v bode a existuje limita zloženej funkcie a platí lim f(φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) = lim f(t) = c. t b Úloha: ( ) Vymyslite príklad funkcie viac premenných, na ktorom ilustrujete potrebu podmienky(1). Pre jednorozmerný prípad pozri Prednášku MANb.
28 Ako zaviesť analógiu pojmu limita funkcie f sprava (zľava)? Problém: V prípade funkcií viac premenných sa môžeme k danému limitnému bodu blížiť nekonečne veľa možnosťami cestami. Obr.: Konvergencia vzhľadom na rôzne množiny. Vpravo napr. vzhľadom na priamky a špirálu. Definícia 2.9 (Cauchyho definícia limity v bode vzhľadom na množinu) Nech množina M D f a bod a je hromadný bod množiny M. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu číslo b E 1 vzhľadom na množinu M, ak čo zapisujeme lim f(x) = b. x M ( ε > 0)( δ > 0)( x M)(0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε), Poznámka: Pre funkciu jednej premennej, napr. pojem lim f(x) predstavuje limitu funkcie v bode + a E 1 vzhľadom na množinu M = (a, + ) D f.
29 Tvrdenie 2.10 (Nutná a postačujúca podmienka existencie limity) Nech bod a je hromadným bodom definičného oboru D f E n funkcie f. Číslo b E 1 je limitou funkcie f práve vtedy, keď lim f(x) = b x M vzhľadom na každú množinu M, M D f takú, že bod a je jej hromadný bod. 10 Zamyslime sa: Aký význam má predchádzajúce tvrdenie pri výpočte limít? Komentár: Táto veta sa používa hlavne na dokazovanie neexistencie limity. Ak nájdeme dve množiny ( cesty ) M 1 D(f), M 2 D(f), pričom bod a je ich hromadným bodom a lim f(x) lim f(x), x M 1 x M 2 potom podľa predchádzajúcej vety lim f(x) neexistuje. Úloha: Vypočítajte nasledujúce limity a) lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 +y 2, b) lim (x,y) (0,0) x 2 y x 4 +y 2, c) lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 4 +y Tvrdenie vyplýva priamo z definície limity funkcie a Heineho vety.
30 Pre nadšencov: Čo s nevlastnou limitou alebo limitou v nevlastnom bode? Všetky typy limít je možné odvodiť zo všeobecnej (topologickej) Cauchyho definície limity funkcie, t.j. Nech funkcia f je definovaná na nejakom O (a). kde a R n, b R. lim f(x) = b ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )(x O δ (a) f(x) Oε(b)), Napríklad v priestore E 2 je možné definovať limitu funkcie v nevlastných bodoch [, + ], [, ], [+, + ], [+, ] a tiež v bodoch [c, + ], [c, ], [, c], [+, c], kde c E 1. Úloha ( ): Na základe všeobecnej definície limity funkcie definujte v priestore E 2 nevlastné limity funkcie f vo vlastnom bode a vlastné limity v nevlastných bodoch. Vlastná limita v bode [, + ]. Definícia Poznámka: Ak v definíciách jednotlivých typov Matematická limít funkcie analýza v bode IVnahradíme RNDr. D f množinou Lenka Halčinová, M D f PhD., pričom bod a je jej hromadným bodom,
31 Výpočet limít pomocou polárnych súradníc Polohu bodu v rovine často charakterizujeme dvojicou čísel, súradnicami. Najčastejšie používame karteziánske súradnice ( priame vzdialenosti od odpovedajúcich na seba kolmých osí). Karteziánske súradnice nie sú jediný spôsob ako polohu bodu jednonačne popísať. Iný spôsob a ich vzťah ku karteziánskym súradniciam uvádzame nižšie, tzv. polárne súradnice. Obr.: Transformácia pomocou polárnych súradníc Definícia 2.11 Nech (x 0, y 0) E 2. Zobrazenie Φ, ktoré každej dvojici čísel (r, θ) priradí bod (x, y) podľa vzťahov x = x 0 + r cos θ, y = y 0 + r sin θ sa nazýva transformácia pomocou polárnych súradníc.
32 Veta 2.12 Predpokladajme, že funkcia f(x, y) sa dá vyjadiť v polárnych súradniciach so stredom v bode (x 0, y 0) v tvare f(x, y) = L + g(r)h(r, θ), L R, kde i) lim g(r) = 0, r 0 ii) h(r, θ) je ohraničená na obdlžníku 0, r 0 0, 2π, kde r 0 > 0. Potom lim x x0 y y 0 f(x, y) = lim + g(r)h(r, θ)) = L. r 0 +(L Úloha: Pomocou transformácie do polárnych súradníc vypoočítajte nasledujúce limity a) lim (x,y) (0,0) x 2 y x 2 +y 2, b) lim (x,y) (0,0) (x 4 +y 2 ) sin(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3. Diskutujte riešenie oboch úloh aj bez pomoci transformácie do polárnych súradníc.
33 Polárne súradnice - ponaučenie! 1. Ak výsledok limity závisí od uhla θ, t.j. limita nedáva pre všetky θ [0, 2π[ rovnaký výsledok, tak určite limita lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) neexistuje. Napr. xy prevod = r2 cos θ sin θ = cos θ sin θ. x 2 + y 2 r 2 cos 2 θ sin 2 θ 2. Opačne, ak je limita pre všetky θ rovnaká, neznamená to, že limita existuje. Napr. 3x 2 y prevod 3r cos 2 θ sin θ = x 4 + y 2 r 2 cos 4 θ + sin 2 θ 2 3r cos Zrejme, lim θ sin θ = 0, dá sa však ukázať, že po parabolách je výsledok r 0 + r 2 cos 4 θ+sin 2 θ limity vždy rôzny.
34
35 Pripomeňme si spojitosť funkcie jednej premennej: Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )( x a < δ f(x) f(a) < ε). Malým zmenám argumentu odpovedajú malé zmeny funkčných hodnôt. Predtým ako sa pustíme do nových pojmov, spomeňme si: Je postupnosť podľa tejto definície spojitá v každom bode svojho definičného oboru? Ako a kedy súvisí spojitosť s limitou? Definícia 2.13 Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f )(ρ(x, a) < δ f(x) f(a) < ε). }{{}}{{} x O δ (a) f(x) O ε(f(a)) Poznámka: Z definície vyplýva, že ak bod a je izolovaným bodom definičného oboru funkcie f, tak funkcia f je v ňom triviálne spojitá. Zdôvodnite tento fakt. Úloha: [ ] Zdôvodnite platnosť nasledujúceho tvrdenia: Nech bod a D f. Funkcia f je spojitá v bode a D f práve vtedy, keď a je izolovaným bodom D f alebo a je hromadným bodom D f a platí lim f(x) = f(a).
36 Analógia pojmu funkcia f je spojitá sprava (zľava)? Definícia 2.14 Nech bod a M, M D f. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a vzhľadom na množinu M, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x M)(ρ(x, a) < δ f(x) f(a) < ε). Poznámka: Aj tu platí analogické tvrdenie ako pri spojitosti funkcie v bode: Nech bod a M. Funkcia f je spojitá v bode vzhľadom na množinu M práve vtedy, keď a je izolovaným bodom M alebo a je hromadným bodom M a platí lim f(x) = f(a). x M Úloha: Zdôvodnite nasledujúce tvrdenie: Funkcia f je spojitá v bode a práve vtedy, keď je spojitá v bode a vzhľadom na každú množinu M D f, ktorá obsahuje bod a. Úloha: Nech funkcia f je daná predpisom { x 2 y f(x, y) = x 4 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0), Vyšetrite a) Spojitosť funkcie f v bode (0, 0), b) Spojitosť funkcie f v bode (0, 0) vzhľadom na množinu priamok y = kx, k R.
37 Analógia pojmu funkcia spojitá na množine Definícia 2.15 Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M D f, ak je spojitá v každom bode x 0 M vzhľadom na množinu M. Poznámky: Ak funkcia f je spojitá v každom bode x 0 D f svojho definičného oboru vzhľadom na D f, t.j. M = D f, budeme stručne hovoriť, že funkcia f je spojitá. Spojitosť funkcie f na množine M nezávisí na hodnote funkcie f v izolovaných bodoch množiny M. Súhrne porovnajme analogické pojmy pre funkiu jednej a viac premenných 1 premenná Viac premenných spojitosť v bode spojitosť v bode sprava/zľava spojitosť na množine spojitosť v bode spojitosť v bode vzhľadom na množinu spojitosť na množine
38 Príklad: Majme funkciu { 1 x2 y f(x, y) = 2, x 2 + y 2 < 1, 1, x 2 + y 2 = 1. Zrejme f C(S 0 ) ale f C(S), kde S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Poznámky: K tomu, aby sme zdôvodnili, že predchádzajúca funkcia je spojitá na danej množine je vhodné vedieť, ktoré operácie a za akých predpokladov zachovávajú spojitosť. Tomu sa budeme venovať v článku Vlastnosti spojitej funkcie viac premenných. Podobne ako v prípade funkcie jednej premennej boli elementárne funkcie spojité v každom bode svojho definičného oboru, aj tu ak vyjdeme z elementárnych funkcií jednej premennej vzhľadom na jednotlivé premenné, tak odpovedajúce funkcie dvoch premenných budú spojité na svojom definičnom obore. Napr. nasledujúca funkcia je spojitá na svojom D f (x + y)2 f(x, y) = tg x + sin y
39 Podobné výsledky ako pre funkciu jednej premennej stále platia (Vlastnosti spojitej funkcie viac premenných na množine) Veta ( O operáciách so spojitými funkciami v bode.) Nech funkcie f, g sú spojité v bode a. Potom aj funkcie f + g, f g, f g sú spojité v bode a. Naviac, ak g(a) 0 je aj funkcia f spojitá v bode a. g Veta ( O spojitosti zloženej funkcie) Nech funkcie t i = φ i (x), i = 1, 2,..., m sú spojité v bode a = (a 1, a 2,..., a n). Označme si b = (φ 1 (a), φ 2 (a),..., φ m(a)) a nech funkcia y = f(t) = f(t 1, t 2,..., t m) je spojitá v bode b. Potom zložená funkcia je spojitá v bode a. F(x) = f(φ 1 (x), φ 2 (x),..., φ m(x)) Poznámka: Špeciálne, keď bod a je hromadným bodom D f, spojitosť v bode prepisujeme pomocou limity. Vtedy je táto veta podobná vete o limite zloženej funkcie, od tejto vety sa líši v tom, že predpoklad (φ 1(x), φ 2(x),..., φ m(x)) (b 1, b 2,..., b m) = b pre každé x O (a) D(F) je nahradený spojitosťou funkcie f v bode b (t.j. spojitosťou vonkajšej zložky zloženej funkcie v bode b). 11 Dôkazy týchto tvrdení je možné nájsť v [2], budú predmetom malej písomky, nie však skúšky.
40 Predtým ako vyslovíme Weierstrassove vety pre funkciu viac premenných si pripomeňme: Aké špeciálne vlastnosti mali spojité funkcie jednej premennej v súvislosti s ohraničenosťou, existenciou extrémov? V spojení s akými dodatočnými predpokladmi tieto vlastnosti platili? Veta ( Weierstrassova veta o ohraničenosti) Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohraničenej množine M E n. Potom je funkcia f ohraničená na množine M. Veta ( Weierstrassova veta o minime a maxime) Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohraničenej množine M E n. Potom funkcia f nadobúda svoje maximum a minimum na množine M (t.j. existujú body d, c M také, že pre všetky x M platí f(d) f(x) f(c)). Poznámka: Obidva predpoklady týchto dvoch viet, spojitosť funkcie f a uzavretosť, ohraničenosť množiny M, sú dôležité a nedajú sa vynechať. Úloha: ( ): Nestačí v predpokladoch predchádzajúcich viet len spojitosť funkcie a uzavretosť množiny? Úloha: ( ): Zdôvodnite potrebu každého predpokladu v predchádzajúcich vetách.
41 Zamyslime sa: Aké bude znenie Darbouxovej vety o medzihodnote v E n? Pripomeňme si... (Darbouxova veta o medzihodnote pre funkciu 1 premennej) Nech funkcia f je spojitá na uzavretom intervale a nech na ňom nadobúda hodnoty a, b E 1. Potom f nadobúda na tomto intervale všetky hodnoty ležiace medzi hodnotami a, b. Čo bude analógiou uzavretého intervalu (v čo možno najvšeobecnejšej podobe) v E n? Definícia 2.16 Otvorenú množinu M bodov priestoru E n, ktorej každé dva body vieme spojiť spojitou krivkou 12, ktorá celá leží v množine M (t.j. množina M je súvislá) nazývame oblasť. Veta 2.17 (Darbouxova veta o medzihodnote) Nech funkcia f je spojitá na oblasti G E n a nech na nej nadobúda hodnoty a, b E 1. Potom f nadobúda na G všetky hodnoty ležiace medzi hodnotami a, b. Dôsledok 2.18 (Bolzanova veta) Nech funkcia f je spojitá na oblasti G E n a nech pre body a, b G platí f(a) f(b) < 0. Potom existuje aspoň jeden bod c G taký, že f(c) = Spojitou krivkou v E n nazývame množinu bodov {(x 1, x 2,..., xn) E n : x i = φ i (t), t a, b, i = 1, 2..., n}, kde φ i, i = 1, 2,..., n sú spojité funkcie na intervale a, b.
42 ROZŠIRUJÚCE UČIVO...
43 Dvojné versus dvojnásobné limity Vieme previesť dvojnú limitu na dvojnásobnú, t.j. lim f(x, y) = lim (x,y) (x 0,y 0 ) x x 0 ( lim f(x, y) = lim (x,y) (x 0,y 0 ) y y 0 ( lim f(x, y) y y 0 lim f(x, y) x x 0 ) ),? Otázky: Za akých predpokladov to je možné urobiť? Pozri [1, Podkapitola 1.5] Vieme uviesť príklad, kedy to nefunguje? Uvažujme nasledujúcu funkciu Potom platí f(x, y) = x2 y 2 + x 3 + y 3 x 2 + y 2 φ(x) = lim f(x, y) = 1 + x, x 0 lim φ(x) = 1 y 0 x 0 ψ(y) = lim f(x, y) = 1 y, y 0 lim ψ(y) = 1 x 0 y 0
44 ZAUJÍMAVOSTI...
45 # 1 Funkcia viacerých premenných v ekonómii Example: In 1928 Charles Cobb and Paul Douglas published a study in which they modeled the growth of the American economy during the period They considered a simplified view of the economy in which production output is determined by the amount of labor involved and the amount of capital invested. While there are many other factors affecting economic performance, their model proved to be remarkably accurate. The function they used to model production was of the form P(L, K) = 1.01L 0.75 K 0.25 Cobb and Douglas used economic data published by the government to obtain Table 2. They took the year 1899 as a baseline, and P, L, and K for 1899 were each assigned the value 100. The values for other years were expressed as percentages of the 1899 figures. The production function (1) has subsequently been used in many settings, ranging from individual firms to global economic questions. It has become known as the Cobb-Douglas production function. Tabuľka: Charles Cobb s and Paul Douglas s study
46 # 2 Kvadratické plochy
47 # 3 Iná definícia limity funkcie v bode - rozdiely Definícia 2.19 (Vlastná limita funkcie vo vlastnom bode- iný prístup) Nech funkcia f je definovaná na nejakom O δ (a). Hovoríme, že číslo b E 1 je limitou funkcie f v bode a, ak ( ε > 0)( δ > 0)( x D f ) 0 < ρ(x, a) < δ f(x) b < ε, čo zapisujeme lim f(x) = b. Úloha: Uvažujme dva hore spomenuté prístupy k pojmu limita funkcie v bode a) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu vlastná limita funkcie vo vlastnom bode. b) Ktorá definícia je všeobecnejšia, resp. umožňuje vyšetrovať limitné správanie sa pre širšiu triedu funkcií a bodov? c) Na konkrétnom príklade demonštrujte svoju predchádzajúcu odpoveď. d) Rozhodnite o pravdivosti nasledujúceho tvrdenia v zmysle oboch prístupov: d 1 ) prístupu definície limity funkcie definovanej na prstencovom okolí d 2 ) prístupu definície limity funkcie definovanej cez hromadný bod lim f(x) = b lim f(x) = lim f(x) = b. +
48 Iná definícia spojitosti funkcie v bode - rozdiely Definícia 2.20 (Spojitosť funkcie v bode- iný prístup) Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a D f, ak lim f(x) = f(a). Úloha: Uvažujme dva (vyššie spomenuté) prístupy k pojmu spojitosť funkcie v bode a) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu spojitosť funkcie v bode vzhľadom na definíciu limity za predpokladu existencie hromadného bodu. b) Porovnajte oba prístupy k definovaniu pojmu spojitosť funkcie v bode vzhľadom na definíciu limity za predpokladu, že funkcia musí byť definovaná na prstencovom okolí bodu. c) Rozhodnite o pravdivosti nasledujúceho tvrdenia v zmysle hore uvedenej definície spojitosti c 1 ) a prístupu definície limity funkcie definovanej na prstencovom okolí c 2 ) a prístupu definície limity funkcie definovanej cez hromadný bod Funkcia f je spojitá v bode a práve vtedy, keď f je spojitá vzhľadom na každú množinu M, ktorá obsahuje bod a.
49 Súhrne: Limita cez okolie Limita cez hromadný bod limita v bode: spojitosť v bode:..
50 # 4 Polárne súradnice a parametrické vyjadrenie krivky História polárnych súradnic Polárne súradnice do matematiky zaviedol Isac Newton, avšak tento koncept bol použitý už v antickom Grécku, napr. Archimedova špirála alebo v snahách astronómov 8. storočia n.l pri popisovaní cesty a vypočítavaní smeru do Mekky. Parametrické vyjadrenie známych kriviek A: Azda najznámejšia parametricky zadaná krivka: Kružnica 13 B: Iné x = cos t y = sin t; t [0, 2π] Obr.: Rôzne parametricky zadané krivky. 13 Eliminovať parameter t sa nám podarí, ak sa pozrieme na súčet x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1.
51 Parametricky zadané krivky a ich použitie C: Ďalšia známa krivka: Cykloida Ide o cyklickú krivku, ktorú vytvorí bod kružnice točiacej sa po priamke, viď. odkaz. Obr.: Parametrické rovnice popisujúce cykloidu. Použitie parametricky zadaných kriviek Parametric equations and polar coordinates enable us to describe a great variety of new curves some practical, some beautiful, some fanciful, some strange. Stewart, J. 14 vytváranie dizajnu podporovaného počítačom najčastejšie tzv. Bézierove krivky sa požívajú pri vykresľovaní kriviek softvérom, v automobilovom priemysle, pri špecifikovaní tvarov a písmen v laserových tlačiarňach Experiment: Správnym nastavením kontrolných bodov vieme napodobniť až sa úplne priblížiť napr. písmenu C, pozri Geogebra-experiment 14 J. Stewart: Calculus: Early transcendentals, Brooks Cole (Thomson), Toronto, 2008.
Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
Podrobnejšie4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p
4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieMicrosoft Word - mpicv11.doc
1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieSlide 1
SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieTechnická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013
Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
PodrobnejšieSTRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
Podrobnejšie1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ
Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
PodrobnejšieOceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava
Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieÚlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR
Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieAplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a
Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.
PodrobnejšieSRPkapitola06_v1.docx
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné
PodrobnejšiePráca v programe Tracker Program Tracker je voľne šíriteľný a stiahnuteľný program vytvorený na platforme Open Source Physics (
Práca v programe Tracker Program Tracker je voľne šíriteľný a stiahnuteľný program vytvorený na platforme Open Source Physics (http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/). Pre správne fungovanie momentálnej
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšiePodpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
Podrobnejšie7-dvojny_integral
7 DVOJNÝ INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 7 Otázk Dfinujt pojm intgráln súčt Dfinujt pojm vojný intgrál Dfinujt pojm strná honota funkci prmnných na množin Napíšt ako transformujt vojný intgrál pomocou polárnch
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieModelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode
Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model p.1/19 Úvod Frank Bass (1926-2006) - priekopník matematických
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
PodrobnejšieDigitálne technológie v každodennom živote 3. ročník akademický rok 2019/2020 Harmonogram prednášok
Digitálne technológie v každodennom živote 3. ročník akademický rok 2019/2020 Harmonogram prednášok Zimný semester akademického roka 2019/2020 13.09.2019 o 9:00 1. Modul Grafika a Textový editor Obrázky:
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
Podrobnejšiegis7 prifuk
Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieMicrosoft Word - veronika.DOC
Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,
PodrobnejšieAutoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22
Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu
PodrobnejšieMicrosoft Word - HoreckaHrvol.doc
DLHODOBÝ CHOD VYBRANÝCH CHARAKTERISTÍK VLHKOSTI VZDUCHU V OBLASTI PODUNAJSKEJ A VÝCHODOSLOVENSKEJ NÍŽINY V. Horecká 1, J. Hrvoľ 2 1 Slovak Hydrometeorological Institute Bratislava, Slovak Republic e-mail:
PodrobnejšiePrezentace aplikace PowerPoint
Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu
PodrobnejšieMeno: Škola: Ekonomická olympiáda 2017/2018 Test krajského kola SÚŤAŽ REALIZUJE PARTNERI PROJEKTU
Meno: Škola: Ekonomická olympiáda 2017/2018 Test krajského kola SÚŤAŽ REALIZUJE PARTNERI PROJEKTU Ekonomická olympiáda Test krajského kola 2017/2018 Pokyny pre študentov: Test obsahuje štyri časti. Otázky
PodrobnejšieRelačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieViacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu
Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model
PodrobnejšieKatalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020
Podrobnejšiebakalarska prezentacia.key
Inteligentné vyhľadávanie v systéme na evidenciu skautských družinových hier Richard Dvorský Základné pojmy Generátor družinoviek Inteligentné vyhľadávanie Ako to funguje Základné pojmy Skautská družina
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieSTRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieSiete vytvorené z korelácií casových radov
Siete vytvorené z korelácií časových radov Beáta Stehlíková 2-EFM-155 Analýza sociálnych sietí Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, UK v Bratislave, 2019 Siete vytvorené z korelácií Siete vytvorené
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
Podrobnejšie