Tematický celok Iné číselné sústavy sa preberá obyčajne v rámci
|
|
- Bohumila Urbanová
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Iné číselné sústvy Mgr. Ján Gunčg ABSTRACT: This pper indictes, how other numertion systems cn be tught together with interesting problems. The pper mentions ncient numertion systems, deciml numbers nd tests for divisibility in other numertion systems. KEYWORDS: egyptská, bbylonská, rímsk, gréck číselná sústv, čísl Myov, zápis destinného čísl v inej číselnej sústve, znky deliteľnosti v inej číselnej sústve. Iné číselné sústvy s preberjú obyčjne v rámci predmetu Elementárn ritmetik je možné v tejto čsti mtemtiky nájsť mnohé zujímvé motivčné úlohy. V nsledujúcom článku spomenieme spoň niektoré z nich. ) egyptské čísl (hieroglyfické) 1. Historické číselné sústvy N písnie číslic používli Egypťni hieroglyfické symboly už okolo roku 3500 pr. Kr. V podstte používli desitkovú sústvu. Špeciálne symboly používli pre jednotky, desitky, stovky,... Niektoré z nich boli tieto: Egypťni zpisovli čísl zľv doprv hodnotu čísl predstvovl súčet hodnôt symbolov, ktoré zoskupovli nsledovne: b) čísl Myov Myovi n rozdiel od Egypťnov používli pre čísl väčšie ko 19 pozičnú dvdsitkovú sústvu, pričom čísl od 1 do 19 zpisovli v nepozičnej päťkovej sústve. Pozície boli zhor ndol, existovli v nich určité neprvidelnosti, čo ukzuje nsledovný príkld:
2 c) bbylonská číselná sústv Bbylončni po roku 3500 pr. Kr. používli pozičnú šesťdesitkovú sústvu. Mli ib dv symboly pre 10 pre 1. Číslo by zpísli tkto: d) rímske čísl Predstvujú prechod od nepozičnej číselnej sústvy k pozičnej. Rímske čísl sú pomerne známe, preto ich uvedieme pre zopkovnie: I...1 V...5 X...10 L...5 C D M Symboly boli zpisovné od njväčšieho po njmenšie zľv doprv. Hodnot čísl bol súčtom hodnôt všetkých symbolov. Keď Rimni zpisovli čísl 4, 9, 40, 90, 400 lebo 900 používli systém odčitovni: IV = 5 4 = 1 IX = 10 1 = 9 XL = = 40 XC = = 90 CD = = 400 CM = = 900 Symboly boli zpisovné od njväčšieho po njmenšie, zľv doprv. Hodnot čísl bol súčtom hodnôt všetkých symbolov. Príkldy: VII... 7 DXLIV MCCCXXVIII e) grécky prínos Vgréckej mtemtike pozoruhodný prínos v oblsti pojmu vlstností prirodzených čísel nchádzme v pytgorejskej škole, ktorá rozdeľovl prirodzené čísl n mužské - nepárne 3, 5. 7,..., ženské - párne 2, 4, 6,... párno-nepárnu jednotku. Z hľdisk zápisu prirodzených čísel odvodzovni ich niektorých ritmetických operácií je zujímvá "ritmetik figurálnych čísel", ktorú je možné zrdiť do učiv predmetu Elementárn ritmetik v príprve budúcich učiteľov I. stupň ZŠ. Úlohy n precvičenie: 1. Nájdite hodnotu nsledovných ntických čísel 2. Zpíšte čísl 532, 64 ) egyptskými číslmi b) číslmi Myov c) bbylonskými číslmi d) rímskymi číslmi 2. Dvojková, päťková iné číselné sústvy ) zápis kldných destinných čísel v iných číselných sústvách
3 Zápis prirodzených čísel v iných číselných sústvách je obvyklá súčsť učiv predmetu Elementárn ritmetik. Preto zápis destinných čísel v iných číselných sústvách možno povžovť z rozširujúce učivo. Spomenieme si len dve z vicerých možností, ko zpisovť destinné čísl v iných číselných sústvch. Budeme uvžovť len destinné čísl menšie ko 1, lebo kždé kldné destinné číslo možno zpísť ko súčet prirodzeného čísl destinného čísl menšieho ko 1. Tieto čísl budeme v lgoritmoch používť v tvre zlomku. Jeden z možných spôsobov je, že čitteľ menovteľ zlomku prepíšeme do inej číselnej sústvy potom čitteľ vydelíme menovteľom v tejto sústve. Ukážeme si to n nsledovnom príklde prepise čísl 0, 09 do dvojkovej sústvy: 1 0,09 1: 1 2 :102 0, Ďlší spôsob môže byť nsledovný: / Pre kždé prirodzené číslo i pltí, že i 0 lebo 1. Preto , Potom.... Terz znov vynásobíme celú rovnicu niektorým z 16 menovťeľov nekonečného rdu zlomkov tk, by sme dostli číslo väčšie ko 1. Aby sme postup urýchlili, rovnicu vynásobíme číslom 16 dostneme Ted , Ďlej pltí:... / , 10 1 dostli sme Vidíme, že sme s znov dostli k číslu , tk periód čísl s skldá z desitich cifier. Preto 0, b) znky deliteľnosti v iných číselných sústvách Njjednoduchšie je vziť si jednu konkrétnu číselnú sústvu v nej hľdť znky deliteľnosti. My si ko príkld vezmime dvnástkovú číselnú sústvu. Njlepšie znky deliteľnosti vidieť z jej multipliktívnej tbuľky: A B A B A A A B
4 B A A A A B B 1A A1 Npríkld číslo zpísné v dvnástkovej sústve je deliteľné číslom 2 (3, 4, 6), k posledná cifr tohto čísl je deliteľná číslom 2 (3, 4, 6). Číslom 1012 je deliteľné, k posledná cifr tohoto čísl je 0. Číslom B je deliteľné, k jeho ciferný súčet v dvnástkovej sústve je deliteľný číslom B. Kedže = 8.18 = 9.16, tk číslo zpísné v dvnástkovej sústve je deliteľné číslom 8 (9) práve vtedy, keď jeho posledné dvojčíslie je deliteľné číslom 8 (9). Podobným spôsobom možno objviť znky deliteľnosti j v ďlších číselných sústvách tieto pozntky zhrnúť do viet, ktoré sú spomínné j v 3. Iný prístup k odvodzovniu znkov deliteľnosti v číselných sústvách je uvedený v 6, kde pomocou počítdl pre nedesitkovú číselnú sústvu je npríkld pre sedmičkovú číselnú sustvu vyslovené tvrdenie. "Číslo je deliteľné 2, 3, 6 práve vtedy, keď jeho ciferný súčet je deliteľný 2, 3 6." Úlohy n precvičenie: 1. Nájdite spoň dve rôzne číselné sústvy, v ktorých destinné číslo 0, 3 nemá periodický rozvoj zpíšte ho v nich. 2. Nájdite spoň dve rôzne číselné sústvy, v ktorých destinné číslo 0,2 má periodický rozvoj zpíšte ho v nich. 3. Zistite, či číslo 9A je deliteľné číslom 4,8,B. 4. Doplňte v čísle hviezdičky tk, by číslo bolo deliteľné číslom 8 j B. Litertúr: 1 Drábek, J., Križlkovič, K., Líšk, J., Viktor, V.: Zákldy elementárnej ritmetiky pre štúdium učiteľstv 1. stupň ZŠ. Brtislv, SPN Plumbíny, D. kol.: Zákldy elementárnej ritmetiky, Vysokoškolské učebné texty, VŠP v Nitre, Znám, Š.: Teóri čísel. Brtislv, Alf Hejný, M. kol.: Teóri vyučovni mtemtiky 2. Brtislv, SPN Wright, F. : Arithmetic for College Students. Toronto, D.C.Heth nd Compny Hnzel, P.: Špecifiká lgebrických operácií v nedesitkovej číselnej sústve. In:Autentické vyučovnie využitie medzipremetových vzťhov vo vyučovní mtemtiky. Bnská Bystric, PF UMB 2000.
5 Adres utor: Mgr.Ján Gunčg PF KU v Ružomberku Hrbovská Ružomberok e-mil: guncg@ku.sk
(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieVýsledky, návody a poznámky π π a. 5 1 ln 2. 6 π (π + 2). Návod: urobit substitúciu x = t a použit vetu 1.2.
Výsledky, návody poznámky π 4. 3 π 3 3. 4. 5 ln. 6 π 7 8 4 (π + ). Návod: urobit substitúiu = t použit vetu.. 9 ln. 3 π Návod: vezmite do úvhy, že + 4 + = + + ( ) urobte substitúiu = t; dostnete dt t +,
Podrobnejšiegazdikova
Katolícka univerzita v Ružomberku, Pedagogická fakulta Histéria matematiky Desiatková sústava kombinácia škol. rok meno Ma Ns 2006/2007 Gazdíková S. V tejto práci sa budeme zaoberať desiatkovou sústavou,
Podrobnejšie08 Absorpcia beta ziarenia.doc
Oddělení fyzikálních prktik při Kbinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM IV Úloh č: 8 Název: Absorpci bet žireni Určenie energie bet-rozpdu merním bsorpcie emitovného žireni Vyprcovl: Viktor Bbjkstud
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
PodrobnejšiePYTAGORIÁDA
KATEGÓRIA P3 1. Miloš chcel kúpiť pre seba a svojich troch kamarátov rovnakú knihu o matematike. Zistil, že cena dvoch takých kníh je 18. Najmenej koľko eur musí mať Miloš na nákup kníh? 2. Napíšte slovom,
PodrobnejšieZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A VÝCHOVY školský rok 2013/2014 TEST MATEMATIKA POKYNY PRE PRÁCU V teste, ktorý máš vyriešiť, je 20 ú
ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A VÝCHOVY školský rok 0/04 TEST MATEMATIKA POKYNY PRE PRÁCU V teste, ktorý máš vyriešiť, je 0 úloh. N prácu je určených 0 minút. Úlohy nemusíš robiť tým
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Seminár Robotik.SK Ako nučiť robot rozpoznávť kto je kto pomocou knižnice Dlib Andrej Lúčny Ktedr plikovnej informtiky FMFI UK lucny@fmph.unib.sk http://di.fmph.unib.sk/w/andrej_lucny www.robotik.sk/seminr/2018/cviko7-fces.zip
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieVÝCH. OSNOVY 5
. Výchovné osnovy ŠKD Výchovné osnovy sú súčsťou výchovného progrmu. Sú vyprcovné njmenej v rozshu ustnovenom výchovným štndrdom ŠKD. Sú vyprcovné v jednotlivých temtických oblstich výchovy. ujú výchovno-vzdelávcí,
PodrobnejšieUčebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret
Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tretí Týždenne: 5 h ročne: 165 h 1 disponibilná hodina
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšieCitibank Europe plc, Telefon: pobočka zahraničnej banky, IČO: Dvorákovo nábrežie 8 DIC: Bratislava, SWIFT
Citibnk Europe plc, pobočk zhrničnej bnky Informácie podľ Optreni NBS č. 16/2014 o uverejňovní informácií bnkmi pobočkmi zhrničných bnk Informácie k 31. 12. 2017 Citibnk Europe plc so sídlom 1 North Wll
Podrobnejšie1)
Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite
PodrobnejšieNÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY Matematika MAREC I 2019 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce n Test obsahuje
NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY MAREC I 9 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce Test obshuje úloh. N jeho riešeie máte 9 miút čistého čsu. Kždá úloh má správu le jedu
PodrobnejšieUČEBNÉ OSNOVY
Matematika Charakteristika predmetu Predmet matematika je na primárnom stupni vzdelávania prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí vedomosti
Podrobnejšiekultmksr1001.xls
MINISTERSTVO KULTÚRY SLOVENSKEJ REPUBLIKY Registrovné ŠÚ SR č. Vk 7/0 z. 0. 2008 ROČNÝ VÝKAZ O KNIŽNICI z rok 200 Ochrn dôverných údjov je zručená zákonom č. 40/200 Z.z. o štátnej šttistike v znení neskorších
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieUčebné osnovy so vzdelávacím štandardom
Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :
PodrobnejšieDIDKATICKÉ POSTUPY UČITEĽA
DIDAKTICKÉ MYSLENIE A POSTUPY UČITEĽA OBOZNÁMENIE SA SO VŠEOBECNÝMI CIEĽMI VÝUČBY A PREDMETU UJASNENIE TÉMY V RÁMCI TEMATICKÉHO CELKU DIDAKTICKÁ ANALÝZA UČIVA KONKRETIZÁCIA CIEĽOV VO VZŤAHU MOŽNOSTIAM
PodrobnejšieDirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969
Dirichletov princíp 4. kapitola. Kódovanie In: Lev Bukovský (author); Igor Kluvánek (author): Dirichletov princíp. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 30 38. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403703
PodrobnejšieSK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,
SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.
PodrobnejšieMicrosoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
Podrobnejšie1)
Vyobrazenie platných variantov TEČ s EURO-poľom 1. Tabuľky s evidenčným číslom pridelené vozidlám kategórie M, N a pre nákladné štvorkolky a osobné štvorkolky kategórie L 7e predná aj zadná TEČ - rozmer
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
Podrobnejšieuntitled
Metodický materiál na vyhotovenie prípravy na vyučovaciu hodinu 89 Predmet Matematika Vzdelávacia oblasť Ročník Matematika a práca s informáciami štvrtý Učebnica Belic, Striežovská: Matematika pre štvrtákov,
Podrobnejšie10.priklady Lukasiewicz and Zadeh
Cvični Cvični 9.. Zostrojt hrktristiké funki risp množín, ktoré rprzntujú intrvl rálnh čísl () (, ) I ( x) = ( x R) () 0, ) ( x 0, ) ) I ( x) 0 ( x (, 0 )) (), 0 (, 0) ( x, 0 (, 0) ) I ( x) 0 x, ) 0, 0,
PodrobnejšieFakulta Edičný plán vydávania VYSOKOŠKOLSKÝCH UČEBNÍC na roky Schválený vedením fakulty dňa 15. februára 2019 Por. číslo 1 Autori diela (men
Fkult Edičný plán vydávni VYSOKOŠKOLSKÝCH UČEBNÍC n roky 2019-2020 Schválený vedením fkulty dň 15. február 2019 Por. číslo 1 Autori diel (meno, priezvisko, tituly, prcovisko, percentuálny podiel, e- mil,
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
PodrobnejšieUZMUJv14 v2.4
UZMUJv4_ Úč MÚJ ÚČTOVNÁ ZÁVIERKA mikro účtovnej jednotky zostvená k Číselné údje s zrovnávjú vprvo, osttné údje s píšu zľv. Nevyplnené ridky s ponehávjú prázdne. Údje s vypĺňjú pličkovým písmom (podľ tohto
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Aktivity k vyučovaniu fyziky na základnej škole PaedDr. Klára Velmovská, PhD. ODF FMFI UK v Bratislave PaedDr. Monika Vanyová, PhD. ZŠ Tvrdošovce Košice, 24. 11. 2015 Materiály na podporu vyučovania fyziky
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieUZMUJv14 v1.4-vzor
UZMUJ_1 Úč MÚJ V Z O R Príloh č. 1 k optreniu č. MF/15464/2013-74 ÚČTOVNÁ ZÁVIERKA mikro účtovnej jednotky zostvená k Číselné údje s zrovnávjú vprvo, osttné údje s píšu zľv. Nevyplnené ridky s ponehávjú
PodrobnejšieJozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1
Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieNÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY Matematika MÁJ I 2019 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce n Test obsahuje 3
NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY MÁJ I 09 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopkujte si ákldí iformce ke koušce Test obshuje 0 úloh. N jeho riešeie máte 90 miút čistého čsu. Kždá úloh má správu le jedu
PodrobnejšieUser reference guide
EGSAH06DA9W EGSAH10DA9W EGSAX06DA9W(G) EGSAX10DA9W(G) slovenčin Osh Osh 1 Nstveni vykonávné inštltérom: tuľky, ktoré vypĺň inštltér 2 1.1 Sprievodc konfiguráciou... 2 1.2 Ponuk nstvení... 2 2 Rýchle kroky
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšieSVET PRÁCE PRIMÁRNE VZDELÁVANIE ISCED 2 VYUČOVACÍ JAZYK SLOVENSKÝ JAZYK VZDELÁVACIA OBLASŤ ČLOVEK A SVET PRÁCE PREDMET SVET PRÁCE SKRATKA PREDMETU SVP
SVET PRÁCE PRIMÁRNE VZDELÁVANIE ISCED 2 VYUČOVACÍ JAZYK SLOVENSKÝ JAZYK VZDELÁVACIA OBLASŤ ČLOVEK A SVET PRÁCE PREDMET SVET PRÁCE SKRATKA PREDMETU SVP ROČNÍK ÔSMY ČASOVÁ DOTÁCIA 0,5 HODINA TÝŽDENNE 16,5
PodrobnejšieStredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium)
Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) 1. Počty žiakov a tried, ktoré možno prijať do prvého ročníka študijných odborov Podľa 65 ods. 1) Zákona č. 245/2008
PodrobnejšieJán HEFTY, Erik FROHMANN
Rent GALGOOVÁ, Ján HEFTY ZOBRAZEIE POĽA DEFORMÁCIÍ ZEMSKEJ KÔRY A ZÁKLADE VÝSLEDKOV STREDOEURÓPSKEHO GEODYAMICKÉHO PROJEKTU Glgonová, R., Hefty J.: Deformtion Field of the Erth's Crust on the Bsis of Results
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieCenník výkupu použitých náplní do tlačiarní Marec 2012 ID Druh prázdnej kazety typ tlačiarne/kopírky/faxu Cena s DPH nerenovovaná kazeta T001 Brother
ID Druh prázdnej kazety typ tlačiarne/kopírky/faxu Cena s DPH nerenovovaná kazeta T001 Brother TN130, 135 color Brother HL-4040CN/4050DN/4070CW, DCP-9040CN/9045CDN, MFC-9440CN/9 0,50 T002 Brother TN-2000
PodrobnejšieZADANIE 2_Úloha 6
ZDNIE _ ÚLOH 6 PRÍKLD 6.: Hnol tiže = 00N s opie o dve dsné steny podľ oázku 6.. kú minimálnu odnotu musí mť uol, y nol ol ešte v ovnováe v dnej poloe. Rozmey nol l = 800mm, = 00mm súčiniteľ sttickéo teni
PodrobnejšiePodklady pre kvalifikačný systém STAVEBNÉ PRÁCE PODKLADY PRE KVALIFIKAČNÝ SYSTÉM KOMODITNÁ OBLASŤ: STAVEBNÉ PRÁCE OZNAČENIE MATERIÁLOVÝCH SKUPÍN V OBL
PODKLADY PRE KVALIFIKAČNÝ SYSTÉM KOMODITNÁ OBLASŤ: OZNAČENIE MATERIÁLOVÝCH SKUPÍN V OBLASTI STAVEBNÝCH PRÁC: Interný kód LC10900 LC11100 LC11800 LC20500 LC30401 LC40200 LI10100 LM40400 BUDOVY - VÝSTAVBA
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý
PodrobnejšieMicrosoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
PodrobnejšieMicrosoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e
Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,
PodrobnejšieVnútorná reprezentácia údajových typov
Základné princípy zobrazovania informácií v počítači Roman Horváth, Pedagogická fakulta, Trnavská univerzita v Trnave. roman.horvath@truni.sk Kódovanie Kód súbor znakov (vzorov) určených na zaznamenávanie
PodrobnejšieMicrosoft Word - MH_EXPO_DUBAJ_Zapisnica_vyhodnotenie_ _IU- final.docx
ZÁPISNICA ZO ZASADNUTIA POROTY NA IDENTIFIKÁCIU ÚČASTNÍKOV VEREJNEJ SÚŤAŽE NÁVRHOV ARCHITEKTONICKÝ NÁVRH SLOVENSKEJ EXPOZÍCIE NA SVETOVEJ VÝSTAVE EXPO 2020 DUBAJ v zmysle zákon č. 343/2015 Z. z. o verejnom
PodrobnejšieÚvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................
Podrobnejšie"S:' :;. I UVPOD2v09 1 VÝKAZ I I Výkaz ziskov a strát ÚČ POD ZISKOV A STRÁT I k 3 1, 1 2, 2 O O 9 (v celých eurách) I
"S:' :;. I UVPOD2v09 1 VÝKAZ I I Výkaz ziskov a strát ÚČ POD 2-01 1 ZISKOV A STRÁT I k 3 1, 1 2, 2 O O 9 (v celých eurách) I 11111111111111111111111111111 I Číselné údaje sa zarovnávajú vpravo, ostatné
Podrobnejšie1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract:
1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract: In this paper, we publish the problems of the homework
Podrobnejšiemain.dvi
Vzorové riešenia 2. kola letnej série 2014/2015 Príklad č. 1 (opravovala Gabika): Riešenie: Ako prvé zistíme, ktoré cifry sa môžu a ktoré nemôžu v kóde nachádzať. Podľa bodu dva v ňom nemôžu byť prvočísla.
PodrobnejšieB5.indd
Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieSOR_SON
MINISTERSTVO ZDRAVOTNÍCTVA SLOVENSKEJ REPUBLIKY BRATISLAVA, LIMBOVÁ 2 M E T O D I C K É P O K Y N Y na spracúvanie údajov HLÁSENIE O PACIENTOVI S DIAGNOSTIKOVANOU CHOROBOU PATOLOGICKÉHO HRÁČSTVA ZS (MZ
PodrobnejšieMicrosoft Word - 30.doc
146 TELESNÝ ROZVOJ A POHYBOVÁ VÝKONNOSŤ U ZAČÍNAJÚCICH VOLEJBALISTOV ĽUBOMÍR PAŠKA Katedra telesnej výchovy a športu FZKI SPU Nitra, Slovenská republika Kľúčové slová: mladší školský vek, telesný rozvoj,
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje
PodrobnejšieINTERNETsylabyfvsZS0506
U n i ve r z i t P. J. Š f á r i k v K o š i c i c h F i l o z o f i c k á f k u l t Kód Názov Anglický jzyk I Študijný odbor: verejná správ Grntuje: Mgr. Zuzn Horničová Obdobie štúdi predmetu: Zimný semester/prvý
PodrobnejšiePrehľad dôležitých podujatí
Ž I LI N S K Ý samosprávny kraj zriaďovateľ STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA LESNÍCKA A DREVÁRSKA Jozefa Dekreta Matejovie Hradná 534, 033 14 Liptovský Hrádok V zmysle zákona NR SR č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní
PodrobnejšieŽ I L I N S K Ý samosprávny kraj z r i a ď o v a t e ľ Stredná odborná škola elektrotechnická Komenského Žilina Centrum odborného vzdelávani
Riaditeľ Strednej odbornej školy elektrotechnickej,, v zmysle 65 zákona č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní (školský zákon) a o zmene a doplnení niektorých zákonov u r č u j e kritériá prijímacieho
PodrobnejšieZ M L U V A O P R E P R A V E
Z M L U V A O P R E P R A V E objednávteľom : zstúpená strostom : Ing. PhDr. Mrcelou Jokeľovou (ďlej objednávteľ ) číslo telefónu : 0905579443, 0903957142 bnkové spojenie : VUB Bnk.s. Čl. 1 Predmet zmluvy
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
PodrobnejšieZákladná škola kardinála Alexandra Rudnaya Považany Finančná gramotnosť Rozpracované: podľa Národného štandardu finančnej gramotnosti /verzia 1.2/ Sch
Základná škola kardinála Alexandra Rudnaya Považany Finančná gramotnosť Rozpracované: podľa Národného štandardu finančnej gramotnosti /verzia 1.2/ Schválené: Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu
PodrobnejšieSpojená škola, Scota Viatora 8, Ružomberok Prijímacie konanie pre školský rok 2019/2020 Počty prijímaných žiakov a kritériá prijatia na štúdium Stredn
Spojená škola, Scota Viatora 8, Ružomberok Prijímacie konanie pre školský rok 2019/2020 Počty prijímaných žiakov a kritériá prijatia na štúdium Stredná odborná škola obchodu a služieb Scota Viatora 8,
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky x, y R platí f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + 1)f(x)
Podrobnejšieaitec offline k Vlastivede pre tretiakov Inštalačné DVD, časová licencia: školský rok 2019/2020 Obsahuje listovanie titulmi Vlastiveda pre tretiakov,
aitec offline k Vlastivede pre tretiakov Inštalačné DVD, časová licencia: školský rok 2019/2020 Obsahuje listovanie titulmi Vlastiveda pre tretiakov, pracovná učebnica Metodické komentáre k Vlastivede
PodrobnejšieM59dkZ9ri10
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal
PodrobnejšieBádateľsky orientovaná metodika Bit jednotka informácie; výpočet množstva informácie v správe 1/16 1 Základné informácie Autor(i) Recenzent(i) Verzia
Bádateľsky orientovaná metodika Bit jednotka informácie; výpočet množstva informácie v správe 1/16 1 Základné informácie Autor(i) Recenzent(i) Verzia Ľubomír Šnajder Téma Stanislav Krajči, Ján Guniš, Ľubomír
Podrobnejšie(4) V zmysle tejto vyhlášky univerzita vyberá poplatky za uskut
Určenie variabilného a špecifického symbolu k VYHLÁŠKE rektora Trnavskej univerzity v Trnave č. 7/2009 o výške školného a poplatkov spojených so štúdiom na Trnavskej univerzite v Trnave na akademický rok
PodrobnejšieNÁVRH ŠTRUKTÚRY ŠTÁTNEHO VZDELÁVACIEHO PROGRAMU
Školský vzdelávací program Tanečné konzervatórium Evy Jaczovej Vzdelávací program Tanec Stupeň vzdelania 2, 3A, 5B Dĺžka štúdia osemročná Forma štúdia denná Vyučovací jazyk slovenský Druh školy štátna
PodrobnejšieVietnam – Kambodža 2017
Metodické školenie ku Geografickej olympiáde pre stredné školy v školskom roku 2018/2019 Geografická olympiáda - SŠ Na internete www.olympiady.sk Školské kolo kat. Z: štvrtok 24. 1. 2019 od 14:30 do 16:00
Podrobnejšieuntitled
EURÓPSKA KOMISIA V Bruseli 25. 9. 2014 COM(2014) 581 finl ANNEXES 1 to 6 PRÍLOHY k Návrhu NARIADENIA EURÓPSKEHO PARLAMENTU A RADY o požidvkách n emisné limity typové schválenie spľovcích necestných pojzdných
PodrobnejšieTestForm602.fo
TYP X Rodné číslo/ Číslo povolenia na pobyt ROČNÉ ZÚČTOVANIE poistného na verejné zdravotné poistenie (ďalej len poistné ) poistenca, ktorý mal viacerých platiteľov poistného alebo došlo k zmene sadzby
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieSOU STAVEBNÉ, Markušovská cesta 4, Spišská Nová Ves
učebný odbor: 6456 H KADERNÍK 02.05.2019 Hodnotenie:priemer ZŠ+MON 1 1 6456H PK340 152 prijatý 2 2 6456H PK802 144 prijatý 3 2 6456H PK475 126 prijatý 4 1 6456H PK041 126 prijatý 5 2 6456H PK473 109 neúčasť
PodrobnejšieMicrosoft Word - Kritériá pre prijatie žiakov doc
KRITÉRIÁ PRE PRIJATIE UCHÁDZAČOV O ŠTÚDIUM V ŠKOLSKOM ROKU 2016/2017 I. VŠEOBECNÉ USTANOVENIA V školskom roku 2016/2017 sa otvárajú triedy s počtami žiakov uvedenými v tabuľke č. 1. Tabuľka 1 ŠTUDIJNÉ
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
PodrobnejšiePríloha č
UVÁDZANIE RÁDIONUKLIDOV DO ŽIVOTNÉHO PROSTREDIA A VYNÁŠANIE PREDMETOV Z KONTROLOVANÉHO PÁSMA Oslobodzovacie úrovne, uvoľňovacie úrovne, úrovne aktivity vymedzujúce vysokoaktívny žiarič a najvyššie prípustné
PodrobnejšieNázov projektu: „Inovatívne vyučovanie vo zvolenských základných školách“ ITMS: Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/Projekt je
Názov projektu: Inovatívne vyučovanie vo zvolenských základných školách ITMS: 26110130111 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Záverečná prezentácia aktivít
PodrobnejšieSúkromná stredná odborná škola,budatínska 61,85106 Bratislava Prijímacie pohovory Kritéria na prijímacie pohovory Číselný kód školy : V súlade
Súkromná stredná odborná škola,budatínska 61,85106 Bratislava Prijímacie pohovory Kritéria na prijímacie pohovory Číselný kód školy : 613013 V súlade so zákonom NR SR č.245/2008 Z.z. o výchove a vzdelávaní/školský
PodrobnejšieMINISTERSTVO ŠKOLSTVA, VEDY, VÝSKUMU A ŠPORTU SLOVENSKEJ REPUBLIKY ŠTÁTNY INŠTITÚT ODBORNÉHO VZDELÁVANIA DODATOK č. 5 ktorým sa mení ŠTÁTNY VZDELÁVACÍ
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA, VEDY, VÝSKUMU A ŠPORTU SLOVENSKEJ REPUBLIKY ŠTÁTNY INŠTITÚT ODBORNÉHO VZDELÁVANIA DODATOK č. 5 ktorým sa mení ŠTÁTNY VZDELÁVACÍ PROGRAM pre odborné vzdelávanie a prípravu, skupinu
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšiePokrocilé programovanie II - Nelineárne iteracné schémy, chaos, fraktály
Pokročilé programovanie II Nelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-253 Letný semester 27/28 Obsah Logistická mapa - May Period doubling, podivný atraktor,
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieUčebné osnovy
Názov predmetu Časový rozsah výučby Ročník Škola (názov, adresa) Názov ŠkVP Kód a názov ŠVP Kód a názov študijného odboru Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací jazyk iné Učebné osnovy Makroekonómia
PodrobnejšieZbierka úloh KMS 1. až 5. ročník ( ) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák
Zbierka úloh KMS 1. až 5. ročník (2002 2007) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák Prvé vydanie c Trojsten, Bratislava 2010 Väčšina úloh je prevzatá z rôznych matematických súťaží po celom svete. Zadania
PodrobnejšieČo sú pojmové mapy 1 Charakterizácia pojmových máp pojmové mapy sú diagramy, ktoré vyjadrujú podstatné vzťahy medzi pojmami vo forme tvrdení. Tvrdenia
Čo sú pojmové mapy 1 Charakterizácia pojmových máp pojmové mapy sú diagramy, ktoré vyjadrujú podstatné vzťahy medzi pojmami vo forme tvrdení. Tvrdenia sú v nich reprezentované stručne charakterizovanými
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieMicrosoft Word - Oznam Bc. 2017:18deff.docx
KATOLÍCKA UNIVERZITA V RUŽOMBERKU cor et mentem formans FILOZOFICKÁ FAKULTA Hrabovská cesta 1B, 034 01 Ružomberok www.ku.sk, tel.: +421 44 43 22 708, fax: +421 44 43 32 443, e-mail: studijne.ff@ku.sk Štandardná
Podrobnejšie