Prednáška Integrály na varietách (plošné integrály) Matematická analýza pre fyzikov III. Jozef Kise lák

Prepis

1 Prednáška Integrály na varietách (plošné integrály) Aby sme mohli odvodit vzorec pre plošný obsah krivej k-plochy, budeme potrebovat vyjadrenie tohto obsahu pre tzv. k-rovnobežnosteny, akési k-rozmerné rovnobežníky. Z algebry vieme, že ten je daný jedným bodom x 0 R n a k nezávislými vektormi x i R n, i = 1,..., k. Je to vlastne množina bodov k P(x 0, x 1,..., x k ) = x Rn : x = x 0 + t i x i, t i (0, 1), i = 1,..., k. Zrejme pre r = 3 je to pre k = 1, 2, úsečka resp. rovnobežník. Zrejme posun nemôže mat vplyv na objem a tak stačí uvažovat k nezávislých vektorov. Objem v jednorozmernom prípade je samozrejme dĺžka vektora x 1, teda V 1 = x 1. d alej označme h j kolmicu spustenú z konca vektora x j+1 na podpriestor lin(x 1,..., x j ), j = 1,..., k 1. Potom zrejme V 2 = V 1 h 1 a teda V k = V k 1 h k 1. Dokopy teda máme V k = x 1 h 1... h k 1. Avšak kolmicu h 1 môžeme vyjadrit ako h 1 = x 2 αx 1. Z podmienky kolmosti vektorov x 1, h 1 máme i=1 α = x 2, x 1 x 1 2. Takže platí V 2 2 = x 1 2 x 2 2 x 1, x 2 2, čo je zrejme determinant matice x 1, x 1 x 1, x 2 x 2, x 1 x 2, x 2. Podobne sa ukáže vzorec pre k-rozmerný prípad. Dostaneme tak definíciu 141

2 Definícia Nech k {1, 2,..., n}, potom pre k vektorov z R n definujeme Grammovu maticu (determinant - gramián) x 1, x 1 x 1, x 2... x 1, x k x 2, x 1 x 2, x 2... x 2, x k G(x 1,..., x k ) = x k, x 1 x k, x 2... x k, x k Poznámka Gramova matica je vlastne súčin matíc X T X a taktiež sa dá definovat pomocou zovšeobecnenia vektorového súčinu. Ak je Q ortogonálna matica (tj. Q T Q = QQ T = I Q T = Q 1 ), potom G(Qx 1,..., Qx k ) = G(x 1,..., x k ) pre všetky x 1,..., x k R n. Definícia Nech v 1,..., v n 1 sú lineárne nezávislé vektory z R n. Ich vektorovým súčinom nazývame vektor v = [v 1,..., v n 1 ] s i tou zložkou v i := ( 1) n+i det V i, kde V i je matica, ktorú dostaneme z matice (v 1,..., v n 1 ) vynechaním i-teho riadku. Poznámka Platí [v 1,..., v n 1 ] = v 1 1 v v n v 1 n v 2 n... v n 1 n 1 e 1 e n. Ak n = 3, tak ide o štandardný vektorový súčin. 142

3 Veta (Vlastnosti vektorového súčinu). Vektorový súčin [v 1,..., v n 1 ] má tieto vlastnosti a) je lineárnou funkciou každej premennej b) zámena dvoch premenných zmení iba znamienko súčinu c) súčin je jednoznačne určený vzt ahom [v 1,..., v n 1 ] y = det (v 1... v n 1 y), y R n d) je ortogonálny ku každému z vektorov v 1,..., v n 1 e) [v 1,..., v n 1 ] 2 = det (v 1... v n 1 [v 1,..., v n 1 ]) f) [v 1,..., v n 1 ] = 0 v 1,..., v n 1 sú LZ g) jeho dĺžka je rovná plošnému obsahu rovnobežnostena, určeného vektormi v 1,..., v n 1 h) báza {v 1,..., v n 1, [v 1,..., v n 1 ]} je súhlasne orientovaná s kanonickou bázou, tj. Poznámka Takýto vektor je nenulový a teda naozaj doplňuje systém v 1,..., v n 1 na bázu v R n. Zrejme z g) platí det G(v 1,..., v n 1 ) = [v 1,..., v n 1 ] 2. Vo všeobecnosti sa pre k n 1 definuje tzv. vonkajší súčin vektorov, ktorý však v prípade k < n 1 nie je vektorom - vid teória diferenciálnych foriem. Veta Pre k-rovnobežnosten P(x 0, x 1,..., x n ) platí S k (P) = det G(x 1,..., x n ) > 0, kde pre k = n kladieme S n (P) = λ n (P). 143

4 Definícia Ak je pre k {1,..., n 1} k rozmerná varieta (s parametrizáciou F : A R k R n ), potom S k () := A det G a integrál 1. druhu cez množinu z funkcie f : R ak tieto integrály existujú. f ds := A f (F(t)) ( F,..., F ) dt, t 1 t k det G ( F,..., F ) dt, t 1 t k Pri integrovaní na varietách uvažujeme iba orietovatel né variety. Heuristický prístup pre dvojrozmerné plochy je takýto: Vezmime za 2-plochu v R 3 danú zobrazením φ : I = (0, 1) 2 R 3. Rozdel me štvorec I na nm obdĺžnikov o stranách t 1 = 1/n, t 2 = 1/m s vrcholmi t j. Potom pre dost vel ké m, n bude platit (prečo?), že ( φ S 2 () = det G, φ ) nm ( φ dt det G (t t 1 t 2 t j ), φ ) (t 1 t j ) t 1 t 2 = 2 (0,1) 2 = nm j=1 det G j=1 ( ) φ φ t 1 (t t j ), t 2 (t 1 t j ). 2 Každý sčítanec tohto súčtu je rovný plošného obsahu rovnobežníka, ktorý leží v dotykovej rovine k v bode φ(t j ). Teda kúsky plochy nahradzujeme rovnobežníkmi v dotykových rovinách k v príslušných bodoch, ktoré následne sčítame. Pre integrál z funkcie f je to rovnaké, akurát plošný obsah ešte násobíme hodnotou funkcie f v príslušnom bode φ(t j ). 144

5 Poznámka K tomu aby sme mohli počítat musíme formálne do symbolu f ds dosadit príslušné veličiny na pravej strane v definícii, tj. definičný obor A zobrazenia F, hodnoty f (F(t)) a plošný element ds = det G ( ) F t (t). Poznámka Ak k = 1 ide samozrejme o krivkový integrál 1. druhu. Ak k = 2 tento integrál nazývame plošný integrál 1. druhu. Zrejme sa základné vlastnosti viacnásobných integrálov prenášajú na integrály na varietách. Poznámka Je dobré si pamätat niektoré vyjadrenia plošného elementu ds : Ak sú F t i, F t j ortogonálne na A, potom ds = k F t i dt i, i=1 (Gramova matica je diagonálna). Pre k = 1 je ds = ds = F t dt. Pre k = 2, n = 3 je ds = EF G 2 dt 1 dt 2 (už spomínaný vzorec - geometrické aplikácie množ. integrálov, iv). Pre k = n 1 je to ds = [ F t 1 (t),..., ] F (t) dt t n 1 145

6 Príklad ajme sférické súradnice v R 3. Tie sú ortogonálne, tak sa l ahko ukáže, že platí dv = ds dρ. Ale taktiež vieme, že dv = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ. Z toho hned máme ds = ρ 0 sin φ dφ dθ pri fixovanom ρ (sféra). Príklad Spočítajme integrál I = (x 2 + y 2 ) ds, kde je čast kužel ovej plochy f (x, y) = x 2 + y 2, 0 < x 2 + y 2 < 1. Ked že ide o explicitne danú varietu, dostaneme I = (x 2 + y 2 ) 1 + ( f x) 2 + ( f y) 2 d(x, y) = 2 (x 2 + y 2 ) d(x, y) = 0<x 2 +y 2 <1 0<x 2 +y 2 <1 = 2 2π ρ 3 d(ρ, φ) = π/ 2. Veta (O nezávislosti na parametrizácii). Nech je k rozmerná varieta s dvoma parametrizáciami F : A R k R n, G : B R k R n. Nech f : R, potom A f (F(t)) det G ( F,..., F ) dt = t 1 t k B f (G(τ)) det G ( G,..., G ) dτ. τ 1 τ k 146

7 Príklad ajme varietu V = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1} = S 1 R (valec). Chceme spočítat integrál I = V (x2 + y 2 + z 2 ) 1 ds. Na cvičení sme si ukázali, že táto varieta môže byt pokrytá jedným atlasom (φ, U) : φ(u, v) = (u/r, v/r, tan (r π/2)), u ( π, π), r 2 = u 2 + v 2. Avšak spočítat Gramovu maticu pre takúto parametrizáciu nie je jednoduché (môžete skúsit ). Iná parametrizácia je (ψ, W) : ψ(u, v) = (cos u, sin u, v), u ( π, π), v R, ktorá však nepokryje celý valec. Gramova matica v tomto prípade je diag(1) a teda determinant je rovný 1. Z toho hned máme I = π Prečo však môžeme použit túto paramterizáciu? π R d(u, v) 1 + v 2 = 2π2. Dôsledok Ak varieta je daná explicitne grafom funkcie x k = f (x 1, x 2,..., x k 1, x k+1,..., x n ) = f ( x), x D R n 1, potom n ( ) 2 f F ds = F(x 1, x 2,..., x k 1, f ( x), x k+1,..., x n ) 1 + d x. x i D i=1,i k H Ak varieta je daná implicitne rovnicou H(x) = 0, 0 na a je projekcia π variety do x k priestoru (x 1, x 2,..., x k 1, x k+1,..., x n ) prostá, potom F ds = π() F H H/ x k d x, kde funkcie na pravej strane sa berú v odpovedajúcich bodoch π 1 ( x). 147

8 Definícia Povieme, že R n je zovšeobecnená varieta dimenzie k {1,..., n 1}, ak je zjednotením konečného počtu disjunktných variet 1,..., s (rozklad variety ), kde i je dimenzie l i {0,..., k} a aspoň jedna z nich je dimenzie k. nožiny i nazývame komponentami rozkladu variety. Definícia Nech R n je zovšeobecnená varieta dimenzie k a 1,..., s jej rozklad. Potom definujeme plošný obsah plochy ako S () := i S ( i ) a integrál z funkcie f cez predpisom f ds := f ds, i i kde sčítame cez také i, pre ktoré je i k-varieta. Veta (O nezávislosti rozkladu). Nech R n je zovšeobecnená hladká varieta dimenzie k, 1,..., s a N 1,..., N r sú dva jej rozklady. Potom f ds = i (sčítame cez také i, j, pre ktoré sú to k-variety.) i j N j f ds Poznámka Integrál f ds existuje, ak je S () < a f je spojitá a ohraničená na, alebo je ohraničená a nezáporná na. 148

9 (a) Plošný element pre plošný integrál 1 druhu. (b) Plošný element pre plošný integrál 2 druhu. Obr. 13.1: Plošné elementy. Príklad Spočítajme integrál I = K xyz ds, kde K je povrch kocky [0, 1]3. Kocku je možné rozdelit na 6 stien, 12 hrán a 8 vrcholov. Samozrejme výpočet ovplyvnia iba 2-rozmerné komponenty (steny). Na 3 z nich je integrovaná funkcia nulová. Na zvyšných 3 je integrál rovnaký a tak stačí zrátat integrál iba cez 1 z nich. Zoberme 3 = {(x, y, z) : x (0, 1), y (0, 1), z = 1}, ktorá je daná explicitne pomocou f (x, y) = 1. Z rovnosti ds = 1 + ( f x) 2 + ( f y) 2 d(x, y) = d(x, y) máme I/3 = (0,1) 2 xy d(x, y) = 1 4. otiváciou pre definíciu plošného integrálu vektorového pol a bola rada problémov v prírodných vedách - predovšetkým v teórii pol a a prúdenia. Tento integrál je variáciou plošného integrálu zo skalárnej funkcie a predstavuje istú analógiu ku krivkovému integrálu vektorového pol a. 149

10 Definícia Ak je n 1rozmerná orientovaná varieta (s parametrizáciou F : A R n 1 R n ) a f : R n, potom definujeme integrál 2. druhu cez možinu z pol a f ako f ds := A f(f(t)) [ F t 1,..., F t n 1 ] dt. Poznámka Tento integrál je možné zapísat aj pomocou diferenciálov (teória diferenciálnych foriem). Napr. pre n = 2 je krivkou a f ds = f 1 (x 1, x 2 ) dx 2 f 2 (x 1, x 2 ) dx 1. (Pozor na zámenu s integrálom f dr = f 1(x 1, x 2 ) dx 1 + f 2 (x 1, x 2 ) dx 2 ). Pre dimenziu n = 3 je to zasa f ds = f 1 (x 1, x 2, x 3 ) d(x 2, x 3 ) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 3 ) + f 3 (x 1, x 2, x 3 ) d(x 1, x 2 ), resp. f ds = f 1 (x, y, z) d(y, z) + f 2 (x, y, z) d(z, x) + f 3 (x, y, z) d(x, y), kde však ide v našom prípade skôr o symbolický zápis, ked že nepoznáme teóriu diferenciálnych foriem a tzv. vonkajší súčin. Definícia integrálu vektorového pol a je ekvivalentná s definíciou, pre ktorú potrebujeme pojem normálového pol a na danej variete. Každá štandardná varieta má práve dve jednotkové normálové polia s navzájom opačnou orientáciou. Konkrétnou vol bou jednotkového normálového pol a vlastne volíme jednu z dvoch možných strán elementárnej plochy. Hovoríme preto, že jednotkové normálové pole určuje jej orientáciu. 150

11 Veta (Vzt ah medzi integrálom prvého a druhého druhu). Nech je k rozmerná varieta s parametrizáciou F : A R k vzhl adom k (spojitému) normálovému pol u k variete, N(x) = [ ] F F,..., t 1 t n 1 [ ] F F,..., t 1 t n 1 R n kladne orientovanou a f : R m je vektorové pole (g : R je skalárne pole). Potom f ds = f N ds ( g ds = ) g N ds, ak aspoň jeden z integrálov má zmysel. Dôsledok Ak varieta je daná explicitne grafom funkcie x 3 = f (x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) U R 2, potom kde znamienko určuje orientácia [ F ds = ± F 1 f f F 2 f f ] + F 3 f d(x 1, x 2 ), U x 1 x 2 Ak varieta je daná implicitne rovnicou H(x 1, x 2, x 3 ) = 0, variety do priestoru (x 1, x 2 ) prostá, potom F ds = π() H x 3 [ ] H/ x 1 H/ x 2 F 1 + F 2 + F 3 d(x 1, x 2 ), H/ x 3 H/ x 3 kde funkcie na pravej strane sa berú v odpovedajúcich bodoch π 1 (x 1, x 2 ). 0 na a je projekcia π 151

12 Obr. 13.2: Tok cez plošný element ds. Vl avo: Všetok tok vychádza von. Vpravo: Redukcia toku prechádzajúceho povrchom môže byt zobrazená redukciou F alebo ds. 152