m i = inf f (x) ; M i = sup f (x) : M i x i :

Prepis

1 Urµciý inegrál Bude nás zujím sôsob urµceni lochy S vymedzenej grfom funkcie f () osou o rimkmi b. Nech je áo funkci sojiá kldná ohrniµcená n inervle [; b]. Rozde l me si inervl [; b] n n µcsí bodmi < < : : : < n b. Je zrejmé µze celkový obsh h l dnej lochy S bude rovný súµcu n ýcho elemenárnch µciskových úvrov. Nájdeme horný dolný obsh lochy S. Nech I i [ i ; i ] je i-y µciskový inervl kde i ; ; : : : ; n s lochou S i dĺµzkou i. Ke dµze f () je n [; b] ohrniµcená je ohrniµcená n kµzdom odinervle I i ed eisujú µcísl m i inf f () ; I i M i su f () : I i Poom m i i M i i sú lochy vísného oísného obdĺµznik i-eho µciskového elemenu. Je zrejmé µze lí m i i S i M i i. Po sµcíní ýcho elemnov dosávme odhd nx m i ; i S i nx M i i : De níci (Oznµcené delenie) Nech [; b] je uzvreý inervl. Oznµcené delenie inervlu [; b] je osunos i ; ; ; ; : : : ; n ; n ; n reálnych µcísel ká µze : : : n n n b: Oznµcené delenie ed moµzno chá ko rozdelenie zákldného inervlu [; b] n n odinervlov I i [ i ; i ] riµcom kµzdému z nich je rirdený nejký bod i [ i ; i ] De níci (Riemnnov súµce) Nech f () je funkci de novná n uzvreom inervle [; b] nech D ( ; ; ; ; : : : ; n ; n ; n ) e nejké oznµcené delenie oho inervlu. Riemnnov súµce funkcie f () vzh ldom k deleniu D je súµce nx f ( i ) i kde i i ; i je d lµzk inervlu [ i ; i ]. De níci (Norm deleni) Nech [; b] je uzvreý inervl D ( ; ; ; ; : : : ; n ; n ; n ) i

2 je nejké jeho oznµcené delenie. Poom norm deleni D je rovná kdk. j. d lµzke njdlhšieho inervlu deleni D. m i; i;:::;n De níci (Riemnnov inegrál) Urµciý inegrál funkcie f () n uzvreom inervle [; b] je reálne µcíslo S ké µze 8" > 9 > ké µze re kµzdé normálne delenie. j. kdk < lí Túo skuoµcnos oznµcujeme D ( ; ; ; ; : : : ; n ; n ; n ) ; nx f ( i ) i i S f () d; S < ": kde µcíslo nzývme dolná hrnic µcíslo b nzývme horná hrnic. De níci 5 (Inegrove l ná funkci) Funkci f () korá má n n uzvreom inervle [; b] urµciý inegrál nzývme ju inegrove lná. Poznámk 6 Ak je funkci f () inegrove lná n inervle [; b] oom lí f () d b f () d: Poznámk 7 Pre kµzdé µcíslo v korom je funkci f () inegrove lná lí f () d : Ve 8 (Vlsnosi urµciého inegrálu) Nech funkcie f () g () sú inegrove lné n inervle [; b] nech c R. Poom j funkcie jf ()j cf () f () g () sú inegrove lné n [; b] lí f () d jf ()j d; cf () d c (f () g ()) d f () d; f () d g () d:

3 Ve 9 Nech funkcie f () g () sú inegrove lné n inervle [; b] nech re ne v [; b] lí f () > g (). Poom lí f () d >. Výoµce urµciého inegrálu g () d: Ve (Newon-Lebnizov vzorec) Nech je funkci f() inegrove lná n inervle [; b] nech F () je jej rimiívn funkci. Poom lí kde f () d [F ()] b F (b) F () ; [F ()] b lim! F () lim F () :!b Ve (Inegrál ko funkci hornej medze) Nech je funkci f() inegrove lná n inervle [; b] v µcísle [; b] je sojiá. Poom eisuje v deriváci funkcie F () re korú lí F () f () d5 f ( ) : Príkld Vyoµcíjme lochu vymedzenú grfom funkcie f () osou o n inervle [; ] : Grf funkcie f () vydíme n obrázku. Pouµziím Newonovho-Leibnizovho vzorc re h ldný obsh dosávme S d : Príkld Vyoµcíjme lochu vymedzenú grfom funkcie f () cos osou o n inervle ; : Obsh lochy je urµcený omocou Newonovho-Leibnizovho vzorc nsledujúcim sôsobom S cos d [sin ] sin sin :

4 S cos d [sin ] sin sin Príkld Vyoµcíjme obsh lochy vymedzenej grfom funkcie f () + osou o n inervle [; ]. Dosedením do Newonovho-Leibnizovho vzorc re h ldný obsh dosávme S + d [rcn ] rcn {z } rcn {z } :

5 Príkld 5 Vyoµcíjme urµciý inegrál + d [rcn ] rcn rcn Príkld 6 Vyoµcíjme urµciý inegrál + d : Príkld 7 Vyoµcíjme urµciý inegrál " d {z} 8 7 : + 6 : # A

6 Príkld 8 Vyoµcíje urµciý inegrál jj d jj d + + jj d + ( ) + Príkld 9 Vyoµcíje urµciý inegrál j j d ( ) d + d 9 + 5: j j ; re > < ; j j + ; re < > ; ( ) d + ( + ) d + + ( ) : Príkld Vyoµcíje urµciý inegrál j j d j j ( ) d + + ; > < ; ( ) + ; < > : ( + ) d : Príkld Vyoµcíje urµciý inegrál d d + + 8: Absolún hodno je de novná jj + > ; < : d

7 Príkld Vyoµcíjme obsh lochy vymedzenej grfom funkcie f() osou o n inervle [; e] : S e Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál d [ln ]e ln e ln : + d [ln j + j] ln ln ln ln : Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál 6 sin cos d 6 sin cos cos cos d + : 6 cos 6 sin d [ cos ] 6 + Príkld 5 Vyoµcíjme obsh lochy vymedzenej grfmi funkcií g() ; f() :! S f () d d g () d ( ) : (f () g ()) d d " # (f () g ()) d 7

8 . Subsiuµcná meód re urµciý inegrál Ve 6 (Subsiuµcná meód re urµciý inegrál) Nech F () je rimiívnou funkciou k funkcii f() n inervle (; b). Nech funkci '() má n (; b) sojiú deriváciu ' () nech 8 (; b) je j '() (; b). Poom 8 (; b) lí f (' ()) ' () d ' () d ' () d b ' () ' (b) f () d [F ()] F () F () : Príkld 7 Vyoµcíjme urµciý inegrál e e + d e e (e ) + d e e {z d } d {z} d e e e rcn e + d [rcn ]e rcn e rcn : 8

9 Príkld 8 Vyoµcíjme urµciý inegrál + d + d + ) d d + + d d + + d + d d + d + d d + d [] [rcn ] ( rcn {z A } rcn : Príkld 9 Vyoµcíjme urµciý inegrál + d rcn + d (rcn ) rcn d + d rcn rcn d + d rcn rcn rcn rcn : Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál sin cos d sin d cos d sin sin d : 9

10 Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál e d e {z} e d d d d d e d e d e e e e e: Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál sin cos + sin d sin + sin cos {z d } d sin d cos d sin sin + d + d ln + ln + (ln ln ) ln ln ln ln : Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál sin sin d q sin sin d sin cos {z d } d d d " sin cos d sin d cos d sin sin # : Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál d ( ) d ( ) d d d d 6 :

11 Príkld 5 Vyoµcíjme urµciý inegrál e ln d ln d d e ln ln e d : Príkld 6 Vyoµcíjme urµciý inegrál n d sin cos d d ( ) ln ln : Príkld 7 Vyoµcíjme urµciý inegrál cos d sin d cos cos d [ln jj] ln ln ln n cos d n d cos d n d cos d : n n Príkld 8 Vyoµcíjme urµciý inegrál e ln d e ln (ln ) d d d e ln ln e d :

12 Príkld 9 Vyoµcíjme urµciý inegrál e ln d 6 ln d d e ln ln e ln e {z} ln e d [rcsin ] rcsin 6 : rcsin Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál cos sin d cos cos sin d sin sin cos d sin d cos d sin sin " v B d r 8 8 #! v u r 6 56 d 8 5 d! 8 q ( ) + q ( ) 8 C A! r +. Meód er res re urµciý inegrál r! 6 : Ve (Meód er res re urµciý inegrál) Nech mjú funkcie u () v () n inervle (; b) sojié derivácie u () v ().

13 Poom lí u () v () d u () v () u () v () [u () v ()] b u () v () d: Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál ln e d u () v () e u () v () R e d e ln ln e ln ln e d (ln ) ln d d ) d d e ln e ln e ln z } { e ln e e A ln R e d e e ln ln e d : Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál. sin d u () u () v () sin v () cos cos cos ( ) + + [ sin ] cos d cos u () u + () v () cos v () sin sin d + sin {z} [ cos ] + (cos cos ) + ( ) :

14 Príkld Vyoµcíjme urµciý inegrál. e d u () u () v () e v () e e e d e e u () u () v () e v () e e [e ] + e d e e e + [e ] e e {z} e A e + (e ) e :

15 Príkld 5 Vyoµcíjme urµciý inegrál. e d e e e e u () u () v () e e e v () e e d e u () u () v () e v () e e da e e + u () u () v () e v () e e e e da e + e + e e e e e e + 8 : Príkld 6 Vyoµcíje urµciý inegrál e ln d e! e e e e u () ln v ln d () u () v () e [ ln ] e d e {z} ln e e (e ) : ln {z} [] e 5

16 Príkld 7 Vyoµcíjme urµciý inegrál. rcn d u () rcn u () + v () v () [ rcn {z } + d rcn {z A } ln + ln + ln + (ln ln ) ln ln : Príkld 8 Vyoµcíjme urµciý inegrál. e ln d u () ln v () ln e ln e {z} e e e e {z} ln u () v () d e e e d + d e : 6

17 Príkld 9 Vyoµcíjme urµciý inegrál. e ln d u () ln v () ln e ln e {z} e e e e u () ln v () e ln d u () ln ln {z} v e {z} ln e e e e 9 + e e 7 : Príkld 5 Vyoµcíje urµciý inegrál e e da {z} ln e A e 7 u () v () e sin d u () e v () sin u () e v () cos [ e cos ] + e cos {z } + e {z} + + [e sin ] + e sin e cos d cos {z} + e sin {z} u () e + u () e e sin d e sin d + e v () cos v () sin e sin d; 7

18 z ejo inegrálnej rovnosi úrvou dosávme e sin d + e e sin d + e ; odki l re h ldný výsledok lí e sin d; + e sin d e sin d + e Príkld 5 Vyoµcíjme urµciý inegrál. e cos d u () cos u () sin v () e v () e [e cos ] + e cos e cos {z} + [e sin ] + e sin {z } + e e sin d u () sin + e sin {z} C A e cos d: µcím sme oä dosli inegrálnu rovnos e cos d + e e cos d e ; : u () cos v () e v () e e cos d e cos d; e cos d + e cos d 8

19 odki l dosávme v koneµcnom dôsledku. Nevlsný inegrál e cos d e : Ak s v urµciom inegrále vyskyne neohrniµcený inervl lebo neohrniµcená funkci hovoríme o nevlsnom inegrále. Rozoznávme dv druhy nevlsných inegrálov. Nevlsný inegrál I. druhu: Ak inervl v korom inegrujeme je neohrniµcený hovoríme o nevlsnom inegrále rvého druhu. Ide o inegrály yu f () d; f () d; f () d; Nevlsný inegrál II. druhu: Ak je inegrovná funkci v inervle inegrácie [; b] neohrniµcená ( ed nesojiá) hovoríme o nevlsnom inegrále druhého druhu nr. d; má v bode bod nesojiosi. j.. lim! Príkld 5 Vyoµcíjme nevlsné inegrály rvého druhu. e d {z} e e d d d e d lim! e lim! e C A : d lim + lim [rcn! b! ]b lim 6 lim! + lim he i!! b! lim rcn b lim rcn b!! + : [rcn ] b 9

20 ( ) d d d b lim b! + : lim b! b d d lim b! b + e ln d ln d d e ln e lim ln! d lim b! b : d lim b! b b lim b! + d ( ) + d lim [rcn b! ]b : d d lim rcn b rcn b! + d Príkld 5 Vyoµcíjme lochu vymedzenú nesojiou funkciou f () n inervle [; ] omocou nevlsného inegrálu druhého druhu. d d d + q lim ( ) + lim! b! q + lim ( ) +! :$ : 6 : q ( ) b q d lim (b ) b! +

21 Príkld 5 Vyoµcíjme nevlsný inegrál. druhu + d ( )... b. nes. ( ) d ( ) ( ) d + ( ) ( ) d A ( ) ( ) + B ; / ( ) ( ) A ( ) + B ( ) ; : A ; : B ; dný inegrál diverguje. d + lim b! [ln j j ln j j]b + lim! lim ln j b! j "s lim ln j b! j s lim ln jb b! jb Príkld 55 Vyoµcíjme nevlsný inegrál. druhu e ln d ln d d e lim! " # d [ln j j ln j j] j b + lim ln j j j! j j #b "s # j + lim ln j j j! j j s j ln + ln lim ln j j ; j! j j h lim i! d d lim :!

22 Príkld 56 Vyoµcíjme nevlsný inegrál. druhu d lim lim [rcsin! b! ]b ( ) ; dný inegrál diverguje. Eercise 57 Vyoµcíje urµciý inegrál: R R R 5R ln R 5 R d ln 5 ln 5; d ++5 rcn rcn ; + d ; d ; e e e + d ; + 9d 5 ; R rcn d ; ln R cosh d ln : Eercise 58 Vyoµcíje nevlsné inegrály.... R e d ; R R R e d e ; ln d ; ln (+ ) d ;

23 R R rcn + d ; d ; R ln d ; R R cos d ; d ln : rcsin