Matematicko-fyzikálny sborník

Prepis

1 Matematicko-fyzikálny sborník Václav Medek Zobrazenie niektorých nelineárnych systémov kužeľosečiek Matematicko-fyzikálny sborník, Vol 1 (1951), No,3,, Persistent URL: Terms of use: Mathematical Institute of the Slovak Academy of Sciences, 1951 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use Each copy of any part of this document must contain these Terms of use This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 VACLAN MEDEK ZOBRAZENIE NIEKTORÝCH NELINEÁRNYCH SYSTÉMOV KUŽEUOSEČIEK Bodové kuželosečky roviny sa dajú jednojednoznačne zobraziť na Body lineárneho páťrozmerného priestoru S 5 (aby som rozlišil body roviny kužeiosečiek od Bodov a jednorozměrných útvarov priestoru $ 5, budem tieto označovat vefkými začiatočnými písmenami) Toto zobrazenie má tieto vlastnosti (porov Bertini, Einfuhrung in die projektive Geometrie mehrdimensionaler Rdume): 1 Lineárně n-jnocné systémy kužeiosečiek sa zobrazujú na lineárně w-rozmerné priestory S n priestoru $ 5 Přitom vzťah medzi kuželosečkami svazku a medzi Bodmi Priamky, ktorá je obrazom tohoto svazku, je projektívny Degenerované kuželosečky sa zobrazujú na Body nadplochy 3 stupňa M^3, pričom kuželosečky degenerujúce v dvojnásobné počítánu priamku sa zobrazujú na Body Veroneseho plochy F % ktorá je dvojnásobným útvarom nadplochy M á z 3 3 Nadplocha M á obsahuje dva druhy rovin Body rovin 1 druhu sú obrazy kužeiosečiek degenerujúcich vo dve priamky, z ktorých jedna je všetkým spoločná Body rovin druhu sú obrazy kužeiosečiek, ktoré degenerujú vo dve priamky o spoločnom priesečníku Lineárny trojmocný systém kužeiosečiek definovaný polom a polárou, ktorá ním neprechádza, je reprezentovaný lineárnym trojrozměrným priestorom 1 druhu /S 3, ktorý je charakterizovaný tým, že má s plochou F,^ spoločnú Kuželosečku a ešte jeden Bod, ktorý na nej neleží Kuželosečky dotýkajúce sa danej priamky v pevnom bode zobrazujú sa na lineárny á trojrozměrný priestor druhu, ktorý má s plochou F spoločnú Kuželosečku Podobné vzťah lineárneho ^-rozměrného priestoru S n k ploché F^ charakterizuje vlastnosti w-mocného lineárneho systému kužeiosečiek ním reprezentovaného 59

3 Účelom tejto práce je odvodiť niektoré vety o zobrazení nelineárnych systómov kužerosečiek Veta 1 Všetky kuželosečky, pre ktoré priamky tť sú párom konjugovaných polár } sa zobramjú na Body nadplochy stupňa T ktorú tvoria priestory S s prechádzajúce jednou Priamkou Nadplocha T± obsahuje plochu F * Dokaž: Každý svázok kužefoseciek E 1 obsahuje dve kuželosečky, pre ktoré sú priamky tť párom konjugovaných polár Ak obsahuje viac ako dve kužefosečky vyhovujúce tejto požiadavke, potom vyhovujů všetky a jedna z priamok tť musí splývať s jednou stranou spoločného polárného trojuholníka všetkých kužefoseciek svazku Nech teraz všetky kuželosečky majúce pár priamok tť za pár konjugovaných polár zobrazia sa na istú množinu Bodov M Keďže svazky kužefoseciek sa zobrazujú na Priamky, vyplývá z predchádzajúceho, že množina M musí byť nadplochou stupňa V Obraz každej kužefosečky degenerujúcej v dvojnásobné počítánu priamku musí ležať na nadploche T, pretože každý pár priamok tvoří pár konjugovaných polár vzhtadom na každú kuželosečku degenerujúcu v dvojnásobné počítaná priamku Nadplocha T± obsahuje teda plochu F^ Označme 3 i systém kužeibsečiek určených párom konjugovaných polár tť Všetky kužefosečky systému S á dostaneme tak, že volíme napr na priamke t rad bodov X T Každý bod X T a priamka t, ako pól a polára, určuj ú systém kuželosečiek *ZJ 3 ', ktoré všetky prislúchajú systému 3± Ak vyčerpáme všetky body priamky t vyčerpáme všetky kuželosečky systému *, čo priamo vyplývá z definície konjugovaných polár Všetky systémy x Zi$ májů spoločný svázok degenerovaných kužefoseciek o spoločnom vrchole v priesečníku priamok tť Tým sú ale vyčerpané všetky možnosti kužefoseciek spoločných všetkým systémom x 7 3 ', pretože žiadna iná kuželosečka nemóže mať pre tň istú poláru ť dva od seba rózne póly -T' a *-JP\ Všetky kužefosečky systému dostaneme však aj tým spósobom, že volíme póly X T poláry t na priamke ť Dostáváme tak systémy x 3j ktoré majú spoločný ten istý svázok degenerovaných kuželosečiek ako systémy x 3 ' Dva čiarkované, alebo nečiarkované systémy nemajú okrem uvedeného svazku spoločnú žiadnu inú kuželosečku Ciarkovaný a nečiarkovaný systém majú spoločný celý systém J kužefoseciek určený polárným trojuholníkom x T x T ř T, kde T je priesečník polár tť Nadplocha T obsahuje teda dva systémy priestorov $ 3 Dva priestory tohože systému majú spoločnú iba Priamku ť /S 1? spoločnú všetkým priestorom S3 na nadploche T á Dva priestory róznych systémov majú spo- 60

4 očnů rovinu, ktorá přetíná nadplochu M± v troch Priamkach Okrem r dvoch priestorov druhu, ktoré zobrazujú systémy 7 3 a J B všetky ostatné priestory sů 1 druhu Prenik nadplochy JP s nadplochou M± okrem plochy F tvoří ešte systém kvadratických kužefov, ktorých vrcholy ležia na Priamke t S 1 a majú táto Priamku spoločnú Bod T, ktorý je obrazom kuželosečky degenerovanej vo dve priamky tť leží na nadploche JP a to V rovině, v ktorej sa pretínajú dva priestory S 3 S^ druhu Táto veta je len špeciálnym prípadom obecnejšej vety Veta Všethy hušeíosečhy, htoré sil harmonichy vpísané danej huzeíosečke h, zobrazujú sa na Body istej hvadratichej nadplochy K á, htorá obsahuje plochu F^ Bóhaz Daná je kuželosečka h a svázok kužefosečiek 1, ktorý neobsahuje kuželosečku h Každému bodu X K kuželosečky h odpovedá vzhladom na svázok 1 jeden bod x K f, harmonicky sdružený k bodu X K Body x K ř vyplnia křivku stupňa, ktorá přetíná kužefosečku h v štyroch pároch konjugovaných polov i K i K r (i =1,,3,) vzhl'adom na svázok S t Uvažujme o jednom takomto páre 1 K 1 K r Spojnici týchto dvoch bodov odpovedá vzhfadom na svázok t pólová kuželosečka 1 h, ktorá prechádza bodmi 1 K 1 K r a přetíná teda kuželosečku h ešte vo dvoch bodoch Xí K X K Polárným trojuholníkom Xi K 1 K L K r je určená jediná kužefosečka * i h svazku J L a polárným trojuholníkom *>K l K l K! ďalšia kužefosečka x *h Kuželosečky Xí h x *h sů harmonicky vpísané kužefosečke h Výsledok je nezávislý na voibe ktoréhokolvek zo štyroch párov polov i K i K r, pretože potom by musela každá ďalšia kuželosečka x *h, harmonicky vpísaná kužefosečke k mať jeden bod X K za vrchol polárného trojuholníka Ale sme zistili, že tejto podmienke vyhovujú iba dve kuželosečky, preto žiadne inó kuželosečky svazku Jj nemóžu byť už harmonicky vpísané kužefosečke h Keby existovaly tri kuželosečky Xi h Xi h x *k svazku J X harmonicky vpísané kužefosečke h, potom by pólová kužefosečka spojnice 1K 1 K r malá s kužefosečkou h páť bodov spoločných a musela by s ňou splynúť Potom musí byť kužefosečka h opísaná spoločnému polárnému trojuholníku kužefosečiek svazku Z! ± a každá kužefosečka tohto svazku je harmonicky vpísaná kužefosečke h Každému Bodu K, obrazu kužefosečky h, odpovedá teda taká množina Bodov, ktorá má s Fubovolnou Priamkou spoločné dva Body, alebo ju obsahuje celu Týmto podmienkam vyhovuje iba istá nadplocha K^* 61

5 Táto nadplocha musí obsahovat i plochu JF, pretože kužefosečka Je je harmonicky opísaná každej kuželosečke degenerujúcej v dvojnásobné počítánu priamku Je zřejmé, ak kužefosečka Je degeneruje vo dve priamky, dostáváme z vety vetu 1 ako špeciálny případ; ak kužefosečka Je degeneruje na dvojnásobné počítánu priamku, dostáváme: Veta 3 Všetky kuželosečky, Jctoré sa dotí/jcajú priamky t, zobrazujú sa na istú nadplocliu stupna T á, Jctorá má singulámu rovinu a tvoria ju priestory S$ drujiu Dokaž Všetky kužefosečky systému o spoločnej tangente t dostaneme tak, že volíme dotykové body X T na tangente t\ tangenta t s dotykovým bodom X T určuje kuželosečky systému x $, ktoré sa zobrazia na priestor X S% druhu Všetky tieto priestory určia nadplochu T Všetky systémy x 3 majú spoločný systém U degenerovaných kuželosečiek o spoločnej priamke t Všetky priestory X S% majú teda spoločnú rovinu 1 druhu Bod T, ktorý je obrazom kužefosečky degenerujúcej v dvojnásobné počítánu priamku t, leží ťiež na nadploche T Nadplochy T a M^ á majú okrem plochy F spoločný ešte systém rovin druhu, ktoré sú spoločné priestorom X S 3 a nadploche M á d Definícia 1 O trocji párocji Jconjugováných polov PP f, QQ' a RR' Jiovoríme, že tvoria sdruženu trojicu y ak všetky body sú navzájom rosné a R = (PQ'XP'Q), R ř ~(PQX P'Q') Veta Kuželosečky systému S, ktoré majú spoločné tri páry konjugovanýcji polov PP Ť, Q Q r, RR', Jctorč netvoria sdruženu trojicu a pár konjugovaných polár tť, zobrazujú sa na KužeiosečJeu, ležiacu na nadplocjie T Dokaž Všetky obrazy kužefosečiek, ktoré majú spoločný pár konjugovaných polár, ležia na nadploche T Všetky obrazy kužefosečiek o spoločných pároch konjugovaných polov PF, Q Q' a R R! ležia v istej rovině S - Prenik roviny S s nadplochou T± je Kuželosečka, ktorej Body sú obrazy kužefosečiek systému S Predpokladajme, že rovina S neleží ani v jednom z priestorov x Ss x S% tvoriacich nadplochu T± a nemá ani s jedným z nich spoločnú Priamku Tento případ by mohol nastať len vtedy, ak by sa páry konjugovaných polov PP f, QQ', RR' premietaly z priesečníka priamok tť jednou involúciou Potom móže mať rovina # s každým z priestorov X S$ spoločný iba jeden Bod X JS 0, z ktorých ani jeden neleží na Priamke,Sj Bodom X S 0 a Priamkou ^ je určená rovina, ktorou prechádza jediný priestor S$ a označme ho x Ss- Dostáváme tak jednojednoznačnú příbuznost 6

6 priestorov X S% X S^\ ktorej odpovedá jednojednoznačná príbuznosť polov x T x T r na priamkach ťt Z toho vyplývá, že poláry pólu T vzhfadom na kužefosečky systému S obafojú kuželosečku, ktorá sa dotýká priamok tť Poznámlca Zaujímavým spósobom dostaneme kuželosečky, ktoré sa zobrazujú na FubovoFnú KužeFosečku v S 5 Pretože vieme, že každou KužeFosečkou móžeme položit 1 zbortenů, ale nedegenerovanú plochu stupňa, móžeme považovat 1 Kuželosečky za řezy týchto ploch Zvolme dva mimobežné rady Bodov 1 S l S í a určime projektívny vztah medzi Bodmi Priamky L S Í a S t Spojnice odpovedajúcich si Bodov vyplnia regulus, ktorý leží v priestore S 3 určenom Mimobežkami 1 S 1 $i Priamkam 1S Í Si odpovedajú svazky L 1 J Í, v ktorých sú si kuželosečky navzájom projektivně priradené Nech kužefosečke L k m odpovedá kuželosečka Jc x Na Body regulu sa zobrazia potom kužefosečky všetkých svázkov určených vždy kužefosečkami lk x Jc x Přitom je dóležitá, že všetky takto skonštruované kužefosečky patria systému J 3 Ak teraz určíme nějaká rubovolnú ďalšiu lineárnu podmienku pre kužefosečky systému J 3, dostáváme v každom zo svázkov určených kužefosečkami xjc x k x vždy jednu kužefosečku Všetky tieto kužefosečky sa zobrazujú na KužeFosečku v S 5 Definícia Obálke polár lubovotnéjio pólu vzmadom na všetky kuželosečky systému S budeme Jwvoriť polárná křivka tojito pólu Veta 5 Ak sa kuželosečky systému S zobrazujú na Křivku n-tého stupňa, potom polárná křivka l'ubovol'ného pólu vzjú'adom na JcužeVosečky systému S je n-tej triedy Pokaz Pól P a polára p je definovaná priestorom $ 3 1 druhu? á ktorý přetíná plochu F v Kužefosečke K± a ešte v jednom Bode Ak necháme pól P pevný a poláru p měníme, dostáváme sice rózne priestory #3 1 druhu, ale všetky majú spoločnú KužeFosečku K±* a aj celu rovinu druhu S, ktorá obsahuje KužeFosečku K x Nech teraz kužefosečky systému S sa zobrazia na Křivku L ± n Každý Bod *L na Krivke L n spolu s rovinou S určujú priestor x Ss, ktorý vlastně reprezentuje poláru x p pólu P vzhfadom na kužefosečku x l systému S- Keď sostrojíme všetky priestory X S S, vyplnia nám nadplochu K± n Že nadplocha K n je naozaj stupňa n zistíme tak, že fubovofnou Priamkou Si a rovinou S určíme nadrovinu S±, ktorá přetne Křivku L n v n Bodoch Zvofme teraz k pólu P FubovoFný konjugovaný pól P\ Sostrojme ďalej FubovoFný svázok kuželosečiek J Í, ktorý má pár bodov PP ř za pár konjugovaných polov V tomto svazku existuje n kuželosečiek, ktoré majú spoločné poláry s n, připadne s viacerými kužefosečkami systému S a bodom P ř prechádza teda n polár pólu P Pretože bod P je pevný 63

7 a bod P f rubovofne volený, prechádza každým bodom n tangent k polárnej krivke pólu P vzhladom na kuželosečky systému S n Ak Křivka K t sa rozpadá v niekofko Kriviek J5V 1 K^* Kfm, kde Wi + n -f -f n n = n, potom aj polárná křivka pólu P zrejme sa rozpadá v m kriviek tried n 1} n,, n m Poznámka Z tejto vety hněď vyplývá, že polárná křivka Fubovolného bodu vzhladom na kuželosečky systému S (PP r, QQ\ RP ř, tť), t j kuželosečky, ktoré majú spoločné páry konjugovaných polov PP\ QQ\ JRR r a pár konjugovaných polár tť, je druhej triedy? teda kuželosečka Definicí a 3 Ak: systém kuzeťoseciek S sa zobrazuje na Křivku hovoříme, ze systém S je stupňa n Ki n } Veta 6 Najobecnejší kvadratický systém kuzevosečiek je systém kuzevosečiek popísaný v poznámke k vete Dokaž priamo vyplývá z toho, že tam udaná Kuželosečka K^ bola volená v priestore S 5 celkom lubovolne V súvislosti s kvadratickými systémami kužel'osečiek móžeme uviesť tuto vetu Veta 7 Každým Bodom T na ploché F *prechádza systém KuzeVosečiek, ktoré okrem Bodu T nemajú žiadcn další Bod spoločný a vyplnia celu plochu F Dokaž: Nadplocha T, na ktorej ležia obrazy všetkých kužefosečiek dotýkajúcich se priamky t, obsahuje i plochu F Singulárna rovina nadplochy T má s plochou F^ spoločný Bod T Každý priestor X S% nadplochy T má s plochou JP spoločnú KužeFosečku X K X, ktorá prechádza Bodom T Pretože nadplochu tvoři a všetky priestory X S$, musia Kuželosečky x Kf vyplnit 1 plochu F,f Poznámka Ak namiesto uvedenej nadplochy T uvažujeme nadplochu T, na ktorú sa zobrazujú kuželosečky, ktoré majú spoločný pár konjugovaných polár tť, dostáváme podobnú vetu: Každými dvoma bodmi TT na ploché JF prechádzajú dva systémy Kuželosečiek, ktoré vyplnia celu plochu JP Dve Kuželosečky tohože systému majú spoločné iba Body TT, dve Kuželosečky róznych systémov majú okrem Bodov TT spoločný ešte jeden další Bod Veta 8 Dve nadplochy T±U± sa pretinajú vo varieté K 3, ktorú tvoří systém kvadratických zbortených ploch K Varietou K^ je obecné určená ešte jedna nadplocha V± 6

8 Dokaž Uvažujme jeden systém priestorov X S B na nadploche T Každý priestor X S$ tohoto systému přetíná nadplochu U á v zbortenej kvadratickej ploché X K Keď vyčerpáme všetky priestory X S S, dostaneme všetky plochy X K/, ktoré vytvoria varietu f 3 Varieta J5T 3 musí obsahovat plochu JF/, pretože táto plocha je spoločná nadplochám T ř7 Nadplochy T U± reprezentuji! dva páry konjugovaných polár tť a uu r Obecné existuje ešte jeden pár konjugovaných polár vv, ktorý s pármi tť a uu T tvoří sdruženu trojicu párov konjugovaných polár Všetky kuželosečky, ktoré majú páry tť a uu ř za páry konjugovaných polár majú i pár v v za pár konjugovaných polár Tento je reprezentovaný nadplochou V±, ktorá tiež obsahuje plochu F a aj varietu K^ Poznámka 1 Dve nadplochy A T±*T± reprezentujúce dva systémy kužefosečiek dotýkajúcich sa tangent HH pretínajú sa vo varieté K^, ktorá obsahuje plochu F A Tuto varietu móžeme skonštruovať alebo ako pronik obidvoch nadplóch 1 T *T y alebo tiež pomocou tejto ávahy: Všetky kuželosečky dotýkajúce sa tangent ^ť*t dostaneme tiež tak, že uvažujeme o svázkoch definovaných vždy degenerovanou kuželosečkou 1 k, složenou z tangent l ťt a lubovofnou kuželosečkou degenerujúcou v dvojnásobné počítánu priamku Gize varieta ií 3 je kužei, ktorý dostaneme premietnutím plochy F^ z Bodu x "K na nadploche M± Je to vlastně len špeciálny případ zobrazenia systému kužefosečiek, dvojnásobné sa dotýkajúcich danej právej kuželosečky Vtedy Bod K leží mimo nadplochy M^ Poznámka Nadplocha T sa dá skonštruovať tiež takto: Uvažujme rovinu S, ktorá reprezentuje degenerované kuželosečky rozpadajúee vždy v tangentu t a každú inú priamku roviny V tejto rovině existuje Bod T ako obraz kuželosečky degenerujúcej v dvojnásobné počítánu priamku t Bodom T je daný v rovině S svázok Priamok X S ± Každá Priamka X S L je obrazom svazku kužefosečiek, ktoré degenerujú v priamku t a ďalšiu priamku prechádzajúcu bodom X T na priamke t Bodom T na ploché F prechádza systém Kužefosečiek Tieto Kuželosečky Ježia v rovinách X X S prechádzajúcich Priamkami S ± roviny S Každá rovina X S s rovinou S určuje priestor x Sn Všetky priestory X S S vyplňujú nadkvadriku T± Varietu K3 móžeme sostrojiť aj takto: Uvažujme nadkvadriky T XS^X T±T±'\ dostáváme tak dve singulárně roviny S S a priestory S{, určené vždy rovinami S S a x x r S S Roviny S S/ a X S XS/ majú spoločný vždy jeden Bod Preto 1'ubovol'ný priestor X S$ přetíná fubovofný ř priestor xs 3 v Priamke ktorá prechádza priesečníkom rovin S S 65

9 a preto priestor X S 5 přetíná nadkvadriku T± r v kvadratickom kuželi Pretože jeho vrchol nie je závislý na voibe priestoru - í; # 3, pretínajů sa nadplochy T± T± T v sústave kvadratických kužefov, ktoré majú spoločný vrchol v priesečníku rovin $ $/ Veta 9 Systém kužeíoseciek S (PP r, QQ<> tť,uu) sa zobrazuje na Křivku K*, ktorá leží na istej kvadraticlcej zbortenej ploché K? Dokaž Všetky kuželosečky, ktoré máju spoločné dva páry konjugovaných polár tť a uu, sa zobrazujú na varietu K<f z predchádzajúcej vety Všetky kuželosečky, ktoré májů spoločné dva páry konjugovaných polov, sa zobrazujú na istý priestor $ 3 Prenik priestoru $ 3 s varietou K^ možeme dostať týmto spósobom: Uvažujme systém priestorov X S 3 ako pri dókaze predchádzajúcej vety Priestor $ 3 má s každým z týchto priestorov spoločnú Priamku x Si a na nej dva Body X S X 0 SJ v priesečníkoch s kvadrikou X K/ Priamky X S 1 vytvoria regulus v priestore # 3 a Body X S X 0 SJ Křivku K^ na tomto regulu Keď nadplocha T* obsahuje druhý systém priestorov X S%, vytvoria Priamky x Si druhý systém Priamok na kvadriko K% Veta 10 U systému S (P, Q, t, u) rozpadá sa Křivka Kuželosečky K t é vo dve Dokaž Najdeme také dve Priamky Xí S X, L -Si, na ktorých existuje vždy len jeden Bod Xí S a 0 ' S 0 Priestory x S< d reprezentujú kuželosečky dotýkajúce sa priamky t v bode X T Uvažujme bod x *T^(t u) KužeFosečka systému S prechádzajúca bodom Xi T musí degenerovat, lebo má v tom bode dve rózne tangenty t, u Dalej musí prechádzať bodmi PQ Taká je len jedna Z toho vyplývá, že na Priamke Xi Si existuje len jeden Bod Xi S 0 Ďalej uvažujme Bod X T, v ktorom přetíná spojnica PQ tangentu f Týmto bodom móže prechádzať tiež len degenerovaná kuželosečka systému S, lebo spojnica P Q přetíná tuto kuželosečku v troch bodoch X *TPQ A zas existuje taká len jedna Čiže i na Priamke x S x existuje len jeden Bod X *S 0 Z toho ale vyplývá, že Křivka K± na kvadrike K* má dva dvojné Body Xl S ox 'S 0, teda sa rozpadá vo dve Kuželosečky 1 K 1 ' Ki A Potom systém S (P, Q, t, u) sa rozpadá vo dva kvadratické systémy kuželbsečiek Veta 11 Tri nadplochy T±U± V± pretínajů sa v ploché K/, ktorá sa rozpadá v plochu F^ a plochu K^ Obecné existuje celý systém ploch Z W, ktoré prechádzajú plochou K/ Dohiz: Nadplochy T±U±* sa pretínajů vo varieté K 3á Nadplocha L> F přetíná varietu K^ v ploché K/, ktorá musí obsahovat plochu P - Preto sa musí rozpadnut v plochu P a v plochu K% Podlá 8 vety 66

10 k nadplochám T ř7 existuje obecné ešte jedna nadplocha 1 TV a, ktorá má spoločný prenik s nadplochami T L7 Róznymi kombináciami nadplóch T±TJ± V± X W± a nadplóch takto vzniklých dostáváme systém nadplóch *-W±, ktoré všetky majú spoločnú plochu K% Priamym dosledkom tejto vety je, že systém ku/el'osečiek S (PPy tť, uu f, vv f ) je, odhliadnuc od kuželosečiek degenerujúcich v dvojnásobné počítané priamky prechádznjúce bodmi PP f y stupňa Polárná křivka libovolného bodu sa rozpadá vo dva svazky priamok o vrcholoch v bodoch PP r a v křivku stupňa Bertini E, Einführung Wien 19 ' LITERATURA Dur eil C V-, Projective Geometry, London 195 in die projektive Geometrie mehrdimensionaler Räume, Dingeldey, Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme (Encyklopädie der math Wissenschaften, III,, 1) ВЫВОДЫ В статье рассматривается отображение конических сечений данной плоскости на точках пятимерного пространства Сначала приведены основные свойства этого отображения Затем рассматривается отображение четырёхпараметрической квадратической системы конических сечений В качестве примера приведено отображение сыстемы конических сечений определенной треми парами сопряженных полюсов и одной парой сопряженных поляр Главным результатом является 5 положение: Если конические сечения системы /? изображаются на точках кривой гс-ого порядка, то полярная кривая любой точки в отношении к коническим сечениям системы $ является кривой п-ого класса На основании этого положения составлена общая однопараметрическая квадратическая система конических сечений Из остальных систем рассматриваются системы, принадлежащие ДВУМ или трем квадратическим четырехпараметрическим системам и удовлетворяют еще некоторым линейным условиям Приведено также несколько конструкций многообразий, на которых ети системы отображаются 67