Matematika II. 1. Bc. SjF. Materiál pre samoštúdium na 9. týždeň semestra. Lokálne extrémy funkcie viac premenných. f x = 0, f y = 0.

Prepis

1 Matematika II. Bc. SjF Materiál pre samoštúdium na 9. týždeň semestra Domáce zadanie č. 9.0,.7,.,.30,.6,.70,.7,.75, Literatúra: Knežo, D., Andrejiová, M., Kimáková, Z.: Matematika, TUKE SjF, Košice, 00. Lokálne extrémy funkcie viac premenných Riešené príklady: V nasledujúcich úlohách vypočítajme lokálne extrémy daných funkcií. Príklad f(x, y) = 3x + xy y 3 + 5x y + 6 Riešenie: Najskôr vypočítame parciálne derivácie funkcie prvého rádu f x = 6x + y + 5, f y = x 3 y. Súradnice stacionárnych bodov dostaneme riešením sústavy rovníc Teda, f x = 0, f y = 0. 6x + y + 5 = 0 x 3 y = 0 / 3 Sústavu môžeme riešiť napríklad sčítacou metódou (po vynásobení druhej rovnice tromi rovnice sčítame) 6x + y + 5 = 0 6x y 3 = 0 čím dostaneme y + = 0, a tak y =. Súradnicu x získame dosadením hodnoty y = napríklad do prvej rovnice 6x = 0 6x = 7 x = 7 6 [ ] 7 Funkcia f(x, y) má jeden stacionárny bod SB = 6,. Ďalej overíme, či stacionárny bod je aj lokálnym extrémom funkcie. f xx = 6, f xy = f yx =, f yy = 3.

2 Zostavíme determinant druhého rádu v tvare D (SB) = f xx(sb) f xy(sb) f yx(sb) f yy(sb) = 6 = 8 = > 0 3 [ ] 7 v SB = 6, je lokálny extrém Typ lokálneho extrému určíme pomocou determinantu prvého rádu D (SB) = f xx(sb) = 6 < 0 v SB = [ ] 7 6, je LOKÁLNE MAXIMUM. Pričom hodnota funkcie v lokálnom maxime je f(sb) = 3 ( ) = = = 0. Príklad f(x, y) = 3x + 8y 3 6y 6 Riešenie: Pre paciálne derivovanie bude výhodnejšie prepísať zadanú funkciu do tvaru f(x, y) = 6 Vypočítame parciálne derivácie prvého rádu f x = (6x) = x, 6 f y = ( y 6 ) = y. 6 Riešením sústavy rovníc vypočítame stacionárne body, v ktorých by mohli byť lokálne extrémy x = 0 ( 3x + 8y 3 6y ). y = 0 y = y = ± [ Tak sme získali dva stacionárne body A = 0, ] [, B = 0, ]. f xx =, f xy = f yx = 0, f yy = 8y Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode A D (A) = ( ) = 0 0 [0, = < 0 v bode A = ] NIE JE LOKÁLNY EXTRÉM. Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode B D (B) = = 0 0 [0, = > 0 v bode B = ] je lokálny extrém [ D (B) = f xx(b) = > 0 v bode B = 0, ] je LOKÁLNE MINIMUM. f(b) = 8 ( 3 ( ) 6 ) = 3 = = Príklad 3 f(x, y) = x + y + xy Riešenie: Vypočítame parciálne derivácie prvého rádu f x = x 3 + y, f y = y + x.

3 Určíme stacionárne body riešením sústavy x 3 + y = 0 x + y = 0 y = x Dosadením získaného vyjadrenia y = x do prvej rovnice vypočítame súradnice x stacionárnych bodov x 3 x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0, x,3 = ± Ku každej súradnici x dopočítame hodnotu y dosadením do vyjadrenia y = x. Tým získame tri stacionárne body A = [0, 0], B = [, ], C = [, ]. f xx = x, f xy = f yx =, f yy = Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode A D (A) = 0 = 0 = 6 < 0 v bode A = [0, 0] NIE JE LOKÁLNY EXTRÉM. Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode B D (B) = = = 8 6 = 3 > 0 v bode B = [, ] je lokálny extrém D (B) = f xx(b) = > 0 v bode B = [, ] je LOKÁLNE MINIMUM. f(b) = + = Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode C D (C) = ( ) = = 8 6 = 3 > 0 v bode C = [, ] je lokálny extrém D (C) = f xx(c) = > 0 v bode C = [, ] je LOKÁLNE MINIMUM. f(c) = + = Príklad f(x, y) = y3 3 + x + xy + x y + 3 Riešenie: Vypočítame parciálne derivácie prvého rádu Určíme stacionárne body riešením sústavy rovníc f x = x + y +, f y = 3 3y + x = y + x. x + y + = 0 x = y y + x = 0 3

4 Dosadením získaného vyjadrenia x = y do druhej rovnice vypočítame súradnice y stacionárnych bodov y + ( y ) = 0 y y 3 = 0 (y + )(y 3) = 0 y + = 0 y 3 = 0 y =, y = 3 Ku každej súradnici y dopočítame súradnicu x dosadením do vyjadrenia x = y. Tým získame dva stacionárne body A = [0, ], B = [, 3]. f xx =, f xy = f yx =, f yy = y Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode A D (A) = ( ) = = = 8 < 0 v bode A = [0, ] NIE JE LOKÁLNY EXTRÉM. Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode B D (B) = 3 = 6 = = 8 > 0 v bode B = [, 3] je lokálny extrém D (B) = f xx(b) = > 0 v bode B = [, 3] je LOKÁLNE MINIMUM. f(b) = ( ) + ( )3 + ( ) = = 7 Príklad 5 f(x, y) = 3x x y + y 8x + 8, y 0 Riešenie: Zadanú funkciu prepíšeme do tvaru f(x, y) = 3x xy + y 8x + 8 a vypočítame jej parciálne derivácie prvého rádu Určíme stacionárne body riešením sústavy rovníc 6x y 8 = 0 f x = 6x y 8 = 6x y 8, f y = x y + = x y +. x y + = 0 / y x + y = 0 x = y Dosadením získaného vyjadrenia x = y do prvej rovnice vypočítame súradnicu y stacionárneho bodu 6 y y = 8 y = 8 y = Dopočítame súradnicu x dosadením hodnoty y = do vyjadrenia x = y. Tým získame stacionárny bod A = [, ]. f xx = 6, f xy = f yx = y = ( ), f y yy = x y 3 = x y 3 y =

5 Overíme postačujúcu podmienku pre stacionárny bod A 6 D (A) = = 6 = 3 = > v bode A = [, ] je lokálny extrém D (A) = f xx(a) = 6 > 0 v bode A = [, ] je LOKÁLNE MINIMUM. f(a) = = = 0 Príklad 6 f(x, y) = 8 x + x + y, x 0, y 0 y Riešenie: Zapíšeme si zadanú funkciu v tvare f(x, y) = 8x + xy + y a vypočítame jej parciálne derivácie prvého rádu f x = 8 ( )x + y = 8 x + y, f y = x ( )y + = x y +. Úpravou rovníc sústavy 8 x + y = 0 x y + = 0 / x y / y získame 8y + x = 0 x + y = 0 x = y Dosadením získaného vyjadrenia x = y do prvej rovnice vypočítame súradnice y stacionárnych bodov 8y + (y ) = 0 8y + y = 0 y( 8 + y 3 ) = 0 y = 0, y = Keďže hodnota y = 0 nevyhovuje podmienke v zadaní y 0, získame iba jeden stacionárny bod A = [, ]. f xx = 8 ( )x 3 = 6 x, f 3 xy = f yx = y = y, f yy = x ( y 3 ) = x y 3 Overíme postačujúcu podmienku pre lokálny extrém v bode A D (A) = = = 6 = = 3 > 0 v bode A = [, ] je lokálny extrém 6 6 D (A) = f xx(a) = > 0 v bode A = [, ] je LOKÁLNE MINIMUM. f(a) = = + + = 6 Ďalšie úlohy na precvičenie: Vypočítajte lokálne extrémy funkcií (označenie: Lm - lokálne minimum, LM - lokálne maximum): 5

6 . f(x, y) = x xy + y + 9x 6y + 0 [ [, ] Lm ]. f(x, y) = 3x + 6y xy x y [[0; 3] LM] 3. f(x, y) = x y 3x + 5y [ [ 3, 5 ] nemá extrém ]. f(x, y) = 3 y3 + x + xy + x y + 3 [ [, 3] Lm, [0, ]nemá extrém ] 5. f(x, y) = x 3 xy + 5x + y [[0; 0] Lm, [; ] nemá extrém, [; ] nemá extrém, [ 5 ; 0] nemá extrém] 3 6. f(x, y) = x 3 6xy + y 3 [[; ] Lm, [0; 0] nemá extrém] 7. f(x, y) = x + y + xy 8. f(x, y) = 00 xy 50 x 0 y 9. f(x, y) = y x y x + 6y [[; ] Lm] [ [5, ] LM ] [[, ] LM] 0. f(x, y) = x y x + x y + [ [ 8 3, 6 9 ] LM ]. f(x, y) = e y x (5 + x y) [[, ] nemá extrém] Dotyková rovina a normála k ploche Pripomeňme si z prednášky: A) Plocha v explicitnom tvare z = f(x, y) Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f(x, y) a bod A = [x 0, y 0 ]. Nech existujú parciálne derivácie f x(a), f y(a). Potom rovnica dotykovej roviny ku grafu funkcie f(x) v bode A je f x(a)(x x 0 ) + f y(a)(y y 0 ) (z f(a)) = 0. Normálový vektor dotykovej roviny ku ploche je n = ( f x(a), f y(a), ). Parametrické rovnice normálovej priamky ku grafu funkcie f(x) v bode A sú B) Plocha v implicitnom tvare F (x, y, z) = 0 x = x 0 + f x(a) t y = y 0 + f y(a) t z = f(a) t, t R. Uvažujme plochu P v E 3 danú rovnicou F (x, y, z) = 0 a bod A = [x 0, y 0, z 0 ], ktorý je bodom plochy P, t.j. F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Nech existujú parciálne derivácie F x(a), F y(a), F z(a). Rovnica dotykovej roviny ku ploche P v bode A je F x(a)(x x 0 ) + F y(a)(y y 0 ) + F z(a)(z z 0 ) = 0. Normálový vektor dotykovej roviny ku ploche je n = ( F x(a), F y(a), F z(a) ). Parametrické rovnice normálovej priamky ku ploche P v bode A sú x = x 0 + F x(a) t y = y 0 + F y(a) t z = z 0 + F z(a) t, t R. 6

7 Riešené príklady: Príklad Napíšme rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = 3x + y 3 xy v dotykovom bode A = [, ]. Riešenie: Funkcia z = f(x, y) je daná explicitne predpisom f(x, y) = 3x + y 3 xy. Najskôr určíme súradnicu z 0 dotykového bodu bodu A tak, aby ležal na zadanej ploche. Dosadíme zadané súradnice bodu A, x 0 =, y 0 =, do rovnice plochy. Dostaneme z 0 = f(x 0, y 0 ) = f(, ) = 3 + = 5, teda A = [,, 5]. Jeden z normálových vektorov dotykovej roviny má súradnice n = ( f x(a), f y(a), ). Preto vypočítame parciálne derivácie funkcie f(x, y) a určíme hodnoty týchto derivácií v dotykovom bode A f x = 6x y f x(a) = 6 + = 0 f y = 6y x f y(a) = 6 = Získali sme normálový vektor dotykovej roviny n = ( f x(a), f y(a), ) = (0,, ). Zapíšeme rovnicu dotykovej roviny k ploche dosadením vypočítaných súradníc normálového vektora n a dotykového bodu A do rovnice tvaru ρ : f x(a)(x x 0 ) + f y(a)(y y 0 ) (z f(a)) = 0 0 (x ) + (y + ) (z 5) = 0 Úpravou rovnice získame všeobecnú rovnicu dotykovej roviny 0x + y z 3 = 0. Parametrické rovnice normály zapíšeme v tvare X = A + t n, t R. Teda, x = + 0t y = + t z = 5 t, t R. Príklad Napíšme rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = ln ( x y ) v dotykovom bode A = [, ]. Riešenie: Plocha z = f(x, y) je daná explicitne predpisom f(x, y) = ln ( x y ). Určíme chýbajúcu z-ovú súradnicu dotykového bodu A, ktorý je bodom zadanej plochy z 0 = f(x 0, y 0 ) = f(, ) = ln( ) = ln = 0, teda A = [,, 0]. Vypočítame parciálne derivácie prvého rádu funkcie f(x, y) a hodnoty týchto derivácií v bode A f x = xy x y f y = x x y f x(a) = = f y(a) = = Určili sme súradnice normálového vektora dotykovej roviny n = ( f x(a), f y(a), ) = (,, ). Zapíšeme rovnicu dotykovej roviny k zadanej ploche v bode A ρ : f x(a)(x x 0 ) + f y(a)(y y 0 ) (z f(a)) = 0 (x ) + (y ) (z 0) = 0 x + y z 6 = 0. Parametrické rovnice normály ku grafu funkcie v bode A majú tvar X = A + t n, t R, x = + t y = + t z = t, t R. 7

8 Príklad 3 Napíšme rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = x + y + v dotykovom bode A = [, ]. Riešenie: Plocha z = f(x, y) je daná explicitne, f(x, y) = x + y +. Určíme z-ovú súradnicu bodu A, z 0 = f(x 0, y 0 ) = f(, ) = + + = 6 =, teda A = [,, ]. Vypočítame hodnoty parciálnych derivácií funkcie f(x, y) v bode A f x x = x + y + = x f x(a) = x + y + = f y y = x + y + = y f y(a) = x + y + Teda jeden normálový vektor k ploche má súradnice n = ( f x(a), f y(a), ) = (,, ). Násobkom zapísaného vektora n zíkame iný normálový vektor dotykovej roviny, napríklad n = (,, ). Zapíšeme rovnicu dotykovej roviny k ploche danej explicitne v bode A ρ : f x(a)(x x 0 ) + f y(a)(y y 0 ) (z f(a)) = 0 (x ) + (y ) (z ) = 0 Parametrické rovnice normály ku grafu funkcie f(x, y) v bode A majú tvar x + y z + = 0. x = + t y = + t z = t, t R. Príklad Napíšme rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie x y 3 z = 0 v dotykovom bode A = [, 3, ]. 6 Riešenie: Plocha je daná implicitne rovnicou F (x, y, z) = x y 3 z 6. Jeden z normálových vektorov dotykovej roviny má súradnice n = ( F x(a), F y(a), F z(a) ). Preto vypočítame parciálne derivácie funkcie troch premenných F (x, y, z) podľa jej premenných a určíme hodnoty derivácií v bode A dosadením súradníc bodu x 0 =, y 0 = 3, z 0 = do vypočítaných derivácií F x = x F x(a) = F y = y 3 F z = z 6 = z 8 F y(a) = F z(a) = Získali sme normálový vektor dotykovej roviny n = ( F x(a), F y(a), F z(a) ) = (,, ) (8,, ). Dosadíme vypočítané súradnice normálového vektora a dotykového bodu do normálovej rovnice dotykovej roviny ρ : F x(a)(x x 0 ) + F y(a)(y y 0 ) + F z(a)(z z 0 ) = 0 8 (x ) + (y + 3) (z ) = 0 Úpravou získame všeobecnú rovnicu dotykovej roviny k zadanej ploche v bode A v tvare 8x + y z = 0. Zapíšeme rovnice normály ku grafu funkcie v bode A, ktorá je určená rovnicou X = A + t n, t R. Tak získame parametrické rovnice tvaru x = + 8t y = 3 + t z = t, t R. 8

9 Príklad 5 Napíšme rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie x 3 3e y+z xyz = 6 v dotykovom bode A = [,, ]. Riešenie: Plocha je daná implicitne rovnicou F (x, y, z) = x 3 3e y+z xyz 6. Vypočítame hodnoty parciálnych derivácií funkcie F (x, y, z) v bode A F x = 3x yz F x(a) = = F y = 3e y+z xz F y(a) = 3 = 7 F z = 3e y+z xy F z(a) = 3 + = Normálový vektor dotykovej roviny má súradnice n = ( F x(a), F y(a), F z(a) ) = (, 7, ). Zapíšeme rovnicu dotykovej roviny k zadanej ploche v dotykovom bode A ρ : F x(a)(x x 0 ) + F y(a)(y y 0 ) + F z(a)(z z 0 ) = 0 (x ) 7 (y + ) + (z ) = 0 x 7y + z 7 = 0. Parametrické rovnice normály ku grafu funkcie v bode A sú tvaru X = A + t n, t R, x = + t y = 7t z = + t, t R. Ďalšie úlohy na precvičenie:. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = (y x 3) 3 v dotykovom bode A = [ 3, ]. [ρ : x y + z + 5 = 0, x = 3 + t, y = t, z = 8 + t, t R]. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = x y v dotykovom bode A = [5, 3]. [ρ : 5x 3y z = 0, x = 5 + 5t, y = 3 3t, z = t, t R] 3. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = e x+y +x y 3 v dotykovom bode A = [0, 0]. [ρ : x y z = 0, x = t, y = t, z = t, t R]. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie f(x, y) = sin (3x + y) v dotykovom bode A = [0, π]. [ρ : 3x + y z π = 0, x = 3t, y = π + t, z = t, t R] 5. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie e xy x 3 + 3yz + 5xz = 0 v dotykovom bode A = [, 0, ]. [ρ : x y + 0z + 9 = 0, x = + t, y = t, z = + 0t, t R] 6. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie x y z 9 = v dotykovom bode A = [,, 3]. [ ρ : 6x 6 y z 6 = 0, x = + t, y = t, z = 3 3t, t R] 7. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie ln (x z)+y x+ = 0 v dotykovom bode A = [, [, ]. ρ : y z = 0, x =, y = + t, z = t, t R] 8. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie arctg (x y + z ) = 0 v dotykovom bode A = [, 5, ]. [ρ : x y + z = 0, x = + t, y = 5 t, z = + t, t R] 9