Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
|
|
- Štěpánka Malá
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006
2 Prednášky: marca marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD.
3 Obsah 1 Aritmetické vektory a matice Aritmetické vektory Matice Operácie s maticami Hodnosť matice Determinant matice Inverzné matice
4 4 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 1 Aritmetické vektory a matice 1.1 Aritmetické vektory Definícia Nech n N. Usporiadanú n-ticu čísel a 1, a 2,..., a n nazývame n rozmerným aritmetickým vektorom. Čísla a 1, a 2,..., a n nazývame zložkami alebo súradnicami aritmetického vektora. Zápis: a 1 a 2 a = (a 1, a 2,..., a n (riadkový alebo a = (stĺpcový vektor.. a n Poznámka. V ďalšom texte budeme uvažovať vektory z R n resp. C n. Definícia Majme aritmetické vektory a = (a 1, a 2,..., a n a b = (b 1, b 2,..., b n, pre n N. (i Vektory a, b sa rovnajú práve vtedy, ak a i = b i, pre i = 1, 2,, n. (ii Súčtom vektorov a, b nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = a i + b i, pre i = 1, 2,, n. (iii Násobkom vektora a konštantou k nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = k a i = a i k, pre i = 1, 2,, n. (iv Nulovým vektorom nazývame vektor 0 = (0, 0,..., 0. (v Opačným vektorom k vektoru a nazývame vektor ( 1 a = a = ( a 1, a 2,..., a n. (vi Rozdielom vektorov a b nazývame vektor c = (c 1, c 2,..., c n, kde c i = a i b i, pre i = 1, 2,, n. Poznámka. Horeuvedenú definíciu môžeme analogicky vysloviť pre stľpcové vektory. Definícia Nech m, n N. Nech a 1, a 2,...,a m sú riadkové (stĺpcové n-rozmerné vektory. Lineárnou kombináciou vektorov a 1, a 2,...,a m nazývame vektor x = α 1 a 1 + α 2 a α m a m. Konštanty α 1, α 2,...,α m nazývame kombinačnými koeficientami. Lineárnu kombináciu nazývame triviálnou, ak sú všetky kombinačné koeficienty rovné nule.
5 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 5 Definícia Nech m, n N. Množinu n-rozmerných riadkových (stĺpcových vektorov nazývame lineárne nezávislou práve vtedy, ak každá lineárna kombinácia vektorov jej ľubovoľnej podmnožiny, ktorá sa rovná nulovému vektoru, je triviálna. Zápis: (α 1 a 1 + α 2 a α m a m = 0 α 1 = α 2 =... = α m = 0 a 1, a 2,..., a m sú lineárne nezávislé. Definícia Nech n N. Množinu n-rozmerných riadkových (stĺpcových vektorov nazývame lineárne závislou práve vtedy, ak nie je nezávislou. Nasledujúce vety uľahčujú rozhodovanie, či je množina vektorov lineárne závislá alebo nezávislá. Prvá z nich formuluje nutnú a postačujúcu podmienku pre lineárnu závislosť množiny vektorov. Veta 1.1 Nech m, n N. Množina vektorov a 1, a 2,...,a m R n, je lineárne závislá vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z nich dá zapísať ako lineárna kombinácia ostatných vektorov. Dôsledok 1 Dva vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak jeden je násobkom druhého. Veta 1.2 Množina vektorov obsahujúca nulový vektor je lineárne závislá. Veta 1.3 Množina vektorov, ktorá je lineárne závislá, ostane lineárne závislá aj po pridaní ďalšieho vektora. Príklad Zistime, či sú vektory x 1, x 2 a x 3 lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (1, 2, 3 x 1 = (1, 2, 3 a x 2 = (2, 1, 1 b x 2 = (2, 1, 1 x 3 = (1, 7, 9 x 3 = (1, 7, 8. Riešenie. a Utvoríme lineárnu kombináciu α x 1 +β x 2 +γ x 3 a zistíme, či má rovnica αx 1 + βx 2 + γx 3 = 0 len triviálne (nulové riešenie. Prepisom tejto rovnice α(1, 2, 3 + β(2, 1, 1 + γ(1, 7, 9 = (0, 0, 0 dostávame sústavu lineárnych rovníc α + 2β + γ = 0 2α β + 7γ = 0 3α + β + 9γ = 0.
6 6 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Eliminujeme neznámu α v druhej a tretej rovnici pričítaním 2 násobku, resp. 3 násobku prvej rovnice k druhej, resp. tretej rovnici. Dostávame α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0. 5β + 6γ = 0 Odčítaním druhej rovnice od tretej rovnice eliminujeme neznámu β v tretej rovnici: α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0. γ = 0 Sústava má jediné riešenie α = 0, β = 0 a γ = 0. Z toho vyplýva, že vektory x 1, x 2 a x 3 sú lineárne nezávislé. b Analogickým postupom ako v predošlom príklade riešime sústavu α + 2β + γ = 0 2α β + 7γ = 0 3α + β + 8γ = 0 Po eliminácii α v druhej a tretej a β v tretej rovnici dostávame sústavu α + 2β + γ = 0 5β + 5γ = 0 0 = 0 Sústava má nekonečne veľa riešení (pre γ = t β = t, α = 3t pre t R. Ak zvolíme t = 1, tak α = 3, β = 1 a γ = 1 je netriviálne riešenie sústavy, a teda vektory x 1, x 2 a x 3 sú lineárne závislé. Poznámka. Použitím maticového zápisu môžeme problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti množiny vektorov riešiť podobne ako problém hodnosti matice (viď kapitola Aritmetické vektory a matice podkapitola Operácie s maticami. 1.2 Matice Definícia Maticou typu m n nazývame množinu prvkov zapísaných do tabuľky s m riadkami a n stĺpcami, pre m, n N: a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Zápis: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Poznámka. V ďalšom texte budeme uvažovať matice, ktorej riadky tvoria vektory z R n resp. C n...
7 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 7 V nasledujúcich riadkoch definujeme špeciálne typy matíc. 1. Riadková matica (riadkový vektor: A = (a 1, a 2,..., a n. a 1 a 2 2. Stĺpcová matica (stĺpcový vektor: A =.. 3. Transponovaná matica k matici A = (a ij typu m n je matica A = B = (b ij typu n m, kde b ij = a ji, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Príklad: A = ( a n A = Štvorcová matica (m = n: A = (a ij i, j = 1, 2,..., n. Nasledujú špeciálne prípady štvorcových matíc: 5. Diagonálna matica: D = (d ij, kde pre i, j = 1, 2,..., n { 0 pre i j d ij = ľubovoľné pre i = j Zápis: D = diag(d 11, d 22,..., d nn Príklad: D = Jednotková matica: E = (e ij, kde pre i, j = 1, 2,..., n { 0 pre i j e ij = 1 pre i = j Príklad: E = Nulová matica: O = (o ij, kde o ij = 0, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: O =
8 8 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 8. Symetrická matica: A = (a ij, kde a ij = a ji, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: A = Antisymetrická matica: A = (a ij, kde a ij = a ji ( a ii = 0, pre i, j = 1, 2,..., n. Príklad: A = Horná (dolná trojuholníková matica: A = (a ij, kde a ij = 0, pre i > j (i < j, i, j = 1, 2,..., n Príklad: A = horná B = dolná V prípade, ak sa nejedná o štvorcové matice, ale prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, dostávame nasledujúce typy matíc. 11. Lichobežníková matica: A = (a ij, kde a ij = 0, pre i > j, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Príklad: A = Stupňovitá (Gaussova matica: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n je lichobežníková matica, v ktorej každý nasledujúci riadok obsahuje aspoň o jednu nulu zľava viac ako predchádzajúci riadok. Príklad: A = Redukovaná stupňovitá (Jordanova matica: A = (a ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n je stupňovitá matica, v ktorej vedúci prvok (prvý zľava každého riadku je jednotka a v stĺpci vedúceho prvku sú ostatné prvky nulové. Príklad: A =
9 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Operácie s maticami Definícia Nech m, n N. Nech A = (a ij a B = (b ij sú matice typu m n. (i Matice A = (a ij, B = (b ij sa rovnajú práve vtedy, ak a ij = b ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: A = B (ii Súčtom matíc A, B nazývame maticu C = (c ij typu m n, pre ktorú c ij = a ij + b ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: C = A + B (iii Nech k je konštanta. Násobkom matice A a konštanty k nazývame maticu C = (c ij typu m n, pre ktorú c ij = k a ij, pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zápis: C = k A Pre horedefinované operácie s maticami platia nasledujúce vzťahy. Veta 1.4 Nech A = (a ij, B = (b ij, C = (c ij sú matice rovnakého typu a k, l sú konštanty. Platia rovnosti: (i A + B = B + A (ii A + (B + C = (A + B + C (iii (k + l A = k A + l A (iv k (A + B = k A + k B (v k (l A = (k l A Definícia Nech m, n, r N. Nech A = (a ij je matica typu m r a B = (b ij je matica typu r n. Súčinom matíc A, B nazývame maticu C = (c ij typu m n, kde pre i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n Zápis: C = A B c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ir b rj.
10 10 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Pre súčin matíc platia pravidlá formulované v nasledujúcej vete. Veta 1.5 Nech A = (a ij, B = (b ij, C = (c ij sú matice typov, ktoré dovolia doleuvedené operácie a k je konštanta. Platia rovnosti: (i A (B C = (A B C (ii A (B + C = A B + A C (iii (A + B C = A C + B C (iv k (A B = (k A B = (A k B = A (k B = (A B k (v (A B = B A Definícia Nech n N. Nech A = (a ij je štvorcová matica rádu n. Maticu A r { E r = 0 A r = A A r 1 r = 1, 2,... nazývame r-tou mocninou matice A. Príklad Pre matice A = ( B = C = ( vypočítajme a 2A B b 3A + 2C c A B d B A e A 2 f B 2 g A h B. Riešenie. a 2A = 2 ( B = = ( = Keďže sčítavať môžme len matice rovnakého rozmeru, 2A B neexistuje..
11 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 11 b Na rozdiel od predchádzajúceho príkladu sú v tomto prípade obe matice rovnakého rozmeru, čiže všetky operácie môžeme uskutočniť. ( ( ( A + 2C = = c Podmienkou existencie súčinu dvoch matíc je, aby počet stĺpcov prvej matice bol rovný počtu riadkov druhej matice. Keďže pre C = A B je c ij = k a ik b kj dostávame ( A B = = ( , , ( = , , ( ( = = d Počet stĺpcov matice B sa nerovná počtu riadkov matice A, teda B A neexistuje. Všimnime si, že v našom prípade A B B A. e Jednoduchým dôsledkom podmienky existencie súčinu dvoch matíc je, že A 2 = A A sa dá vypočítať len v prípade štvorcovej matice, teda A 2 neexistuje. f B 2 = B B = g Transponovaná matica k danej matici vzniká zámenou riadkov a stĺpcov. Z prvého riadku sa tak stáva prvý stĺpec a naopak, atď. ( A = = h B = =
12 12 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Príklad ( Nájdime hodnotu polynómu P (x = x 3 3x 2 + 2x 5 pre 2 1 maticu A =. 3 0 Riešenie. P (A = A 3 3A 2 + 2A 5A 0 = A 3 3A 2 + 2A 5E = ( 3 ( 2 ( ( = = ( ( ( ( = 3 + = ( 8 3 = Hodnosť matice Definícia Nech m, n N. Hodnosťou matice A typu m n nazývame maximálny počet lineárne nezávislých aritmetických vektorov tvoriacich riadky resp. stĺpce matice A. Zápis: h(a Poznámka. Z horeuvedenej definície vyplýva, že h(a min {m, n} Definícia (ERÚ-ESÚ Ekvivalentnou riadkovou (stĺpcovou úpravou matice nazývame každú z nasledujúcich úprav: (i zmena poradia riadkov (stĺpcov (ii vynásobenie riadku (stĺpca nenulovou konštantou (iii pripočítanie lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov k niektorému riadku. Definícia Dve matice budeme nazývať ekvivalentné, ak sa jedna z matíc dá upraviť na druhú pomocou ekvivalentných riadkových a ekvivalentných stĺpcových úprav. Zápis: A B Nasledujúce vety sú nápomocné pri určovaní hodnosti matice. Veta 1.6 Nech matica A je ekvivalentná s maticou B, tak h(a = h(a. Veta 1.7 Každú maticu možno pomocou ekvivalentných úprav upraviť na ekvivalentnú stupňovitú (Gaussovu maticu.
13 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 13 Veta 1.8 Nech m N. Nech A je stupňovitá matica s m nenulovými riadkami, tak h(a = m. Veta 1.9 Nech A je ľubovoľná matica, tak h(a = h(a. Dôsledkom predchádzajúcich viet je jednoduchý algoritmus na určenie hodnosti matice: 1. K danej matici A nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu B. 2. h(a je rovná počtu nenulových riadkov matice B. Poznámka. Podobný algoritmus používame aj pri rozhodovaní, či je množina vektorov lineárne závislá alebo nezávislá. Príklad Určme hodnosť matice A = Riešenie. Pomocou ekvivalentných riadkových (stĺpcových úprav nájdeme ekvivalentnú stupňovitú maticu. Príslušné úpravy budeme graficky značiť do riadkov (resp. stĺpcov za (resp. pod upravovanú maticu. Teda v prvom a treťom riadku znamená napríklad, že sa tieto riadky navzájom vymenia. Tým dosiahneme, aby hlavný prvok v prvom stĺpci bol 1. Pomocou neho vynulujeme ostatné prvky v prvom stĺpci ( 3R 1 za druhým riadkom znamená, že sme od druhého riadku odpočítali trojnásobok prvého riadku. Analogicky pomocou hlavného prvku v druhom riadku (-5 vynulujeme členy druhého stĺpca pod hlavnou diagonálou. Podobne by sme pokračovali v úpravách ďalej. V tomto prípade výpočet končí, keďže zvyšné riadky sú nulové. A = R 1 2R 1 4R R 2 3R 2
14 14 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Hodnosť matice je rovná počtu nenulových riadkov stupňovitej matice, t.j. h(a = 2. Príklad V závislosti na parametri α určme hodnosť matice α 1 0 α A = 1 α α Riešenie. Pomocou ekvivalentných úprav prevedieme maticu na stupňovitý tvar a urobíme úplnú diskusiu riešenia vzhľadom na parameter α. Používame zápis uvedený v Príklade A = α 1 0 α 1 α α α α α α 0 0 2α 1 2αR α α 0 α 1 0 α α 0 α α 1 +R 1 +αr 1 +R 2 +αr α α 2. I. α = ± 1 2 II. α ± 1 2 h(a = 3. h(a = 4. Príklad Zistime, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé x 1 = (2, 3, 1, 4 x 3 = (5, 3, 1, 3 x 2 = (3, 0, 2, 2 x 4 = (4, 6, 2, 7. Riešenie. Vytvoríme maticu, ktorej riadky tvoria vektory x 1, x 2, x 3 a x 4. Pomocou ekvivalentných riadkových, resp. stĺpcových úprav upravujeme maticu na stupňovitý tvar. V prípade, že v priebehu výpočtu dostaneme aspoň jeden nulový riadok (t.j. hodnosť matice je menšia ako počet vektorov, sú
15 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 15 vektory lineárne závislé. V opačnom prípade (t.j. hodnosť matice sa rovná počtu vektorov sú lineárne nezávislé R2 +3R R R R 2 2R R 3 Vektory x 1, x 2, x 3 a x 4 sú lineárne závislé. 1.5 Determinant matice Definícia Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech M ij je štvorcová matica rádu n 1, ktorá vznikla z matice A vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca v prípade, ak n 2. Determinantom matice A nazývame číslo det A, pre ktoré platí: (i det A = a 11, pre n = 1 (ii det A = a 11 det M 11 a 12 det M ( 1 1+n a 1n det M 1n, pre n 2. Zápis: det A resp. A Pre výpočet determinantu matice rádu nanajvýš tri môžeme použiť takzvané krížové pravidlo nazývané tiež Sarusovo pravidlo: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 32 a 33 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21.
16 16 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Príklad Vypočítajme determinanty matíc ( 2 3 a A = b A = 1 4 Riešenie a Matica je stupňa 2, môžeme použiť krížové (Sarusovo pravidlo A = = = 8 3 = 5. b Matica je stupňa 3, môžeme opäť použiť krížové pravidlo. Ako pomôcku si podpíšeme prvé dva riadky. Výsledok bude pozostávať zo súčtu šiestich sčítancov. Prvý sčítanec vznikne súčinom prvkov na hlavnej diagonále. Pod ňou sa nachádzajú dve ďalšie "diagonály", súčinom prvkov na nich dostaneme druhý a tretí sčítanec (súčiny zľava. Podobným spôsobom vypočítame ďalšie členy, ak urobíme súčin prvkov na vedľajšej diagonále a "diagonálach" pod ňou (súčiny sprava. Súčiny zľava zoberieme so znamienkom plus a súčiny sprava so znamienkom mínus A = = ( = = ( = = 3. Pre matice rádu vyššieho ako štyri krížové pravidlo neplatí. Pri výpočte determinantov takýchto matíc používame rozvoj podľa i-tého riadku resp. rozvoj podľa j-tého stĺpca. Veta 1.10 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Platí det A = n ( 1 i+j a ij det M ij = j=1 n a ij A ij, j=1 i = 1, 2,, n det A = n ( 1 i+j a ij det M ij = i=1 n a ij A ij, j=1 j = 1, 2,, n Poznámka. Číslo A ij vystupujúce v predchádzajúcej vete nazývame algebraickým doplnkom matice A prislúchajúcim prvku a ij.
17 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 17 Použitím rozvoja podľa riadku (stĺpca môžeme previesť determinant matice rádu n na determinanty matice rádu n 1. Ich počet závisí od počtu nenulových členov a ij v danom riadku (stĺpci. Je teda výhodné, ak robíme rozvoj podľa riadku (stĺpca, v ktorom je najviac nulových členov. Ak takýto vhodný riadok (stĺpec nemáme, je lepšie determinant upraviť. V nasledujúcich vetách je formulovaný vplyv ekvivalentných úprav na hodnotu determinantu. Veta 1.11 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Nech matica B vznikla z matice A výmenou dvoch riadkov (stĺpcov, tak det B = det A Veta 1.12 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech matica B vznikla vynásobením i-tého riadku (j-tého stĺpca matice A konštantou c, tak det B = c det A Veta 1.13 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n 2. Nech matica B vznikla pripočítaním lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov k nejakému riadku (stĺpcu matice A, tak det B = det A Algoritmus na výpočet determinantu matice rádu vyššieho ako tri: 1. Použitím viet Veta 1.11, Veta 1.12 a Veta 1.13 vytvoríme riadok (stĺpec, v ktorom sa nachádza jeden nenulový člen. 2. Urobíme rozvoj podľa riadku (stĺpca z bodu Postup opakujeme, kým nemáme výsledok alebo neznížime rád na hodnotu nanajvýš tri a použijeme krížové pravidlo. Príklad Vypočítajme determinanty matíc a A = b A = c A = d A =
18 18 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. a Výpočet si môžeme uľahčiť tým, že použijeme jednu z ekvivalentných úprav a síce vynásobíme tretí stĺpec 1. Keďže sa tým hodnota determinantu zníži na 1 pôvodnej hodnoty, musíme výsledok vynásobiť V skutočnosti teda vynímame spoločný deliteľ členov stĺpca pred determinant A = = = 3( = Poznámka. Tento výsledok môžeme interpretovať aj nasledujúcim spôsobom: riadky (resp. stĺpce matice A sú lineárne závislé. b Po odčítaní druhého riadku od tretieho a štvornásobku druhého riadku od štvrtého riadku, urobíme rozvoj podľa prvého stĺpca. Je v ňom jediný nenulový člen a 21 = 1. Jeho pozícia určuje mocninu člena ( 1. Dostávame teda 1 krát ( krát subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním druhého riadku a prvého stĺpca. Ďalej pokračujeme krížovým pravidlom. A = = 1 ( R = 2 4R = = [ (6 9 4] = 6. c V tomto prípade vidíme hneď, že je výhodné urobiť rozvoj podľa štvrtého stĺpca, v ktorom je jediný nenulový člen. Následne urobíme rozvoj podľa tretieho stĺpca a potom podľa druhého stĺpca. Nakoniec krížovým pravidlom vyčíslime hodnotu determinantu. A = = 3 ( ( = 6(10 6 = 24. = 3 ( = = 3 2 ( =
19 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 19 d Determinant vyčíslime pomocou výsledku predchádzajúceho príkladu a vplyvu ekvivalentných úprav na hodnotu determinantu. Oproti predchádzajúcemu príkladu sú navzájom vymenené prvé dva riadky, to mení znamienko nášho determinantu. Štvrtý riadok je dvojnásokom pôvodného riadku, to zvyšuje hodnotu na dvojnásobok a analogicky posledný riadok je trojnásobkom, teda výsledok predchádzajúceho príkladu vynásobíme aj tromi. A = = ( 24 = 144. Pri výpočte determinantov sú užitočné súvislosti, ktoré sú formulované v nasledujúcich vetách. Veta 1.14 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech matica A vznikla transponovaním matice A, tak det A = det A Veta 1.15 Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Nech všetky prvky niektorého riadku (stĺpca matice A sú nuly, tak det A = 0 Veta 1.16 Nech n N. Nech A je trojuholníková matica rádu n. Potom determinant matice A je rovný súčinu prvkov na hlavnej diagonále. Veta 1.17 Nech n N. Nech A, B sú štvorcové matice rádu n. Potom 1.6 Inverzné matice det(a B = det A det B Definícia Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n a E jednotková matica rovnakého rádu. Maticu A 1 nazveme inverznou maticou k matici A práve vtedy, ak A A 1 = A 1 A = E. Veta 1.18 Ak k matici A existuje inverzná matica, tak je jediná. Definícia Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Maticu A nazveme regulárnou (singulárnou maticou práve vtedy, ak det A 0 (det A = 0.
20 20 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Definícia Nech n N. Nech A je štvorcová matica rádu n. Maticu B nazveme adjungovanou maticou k matici A práve vtedy, ak b ij = A ji (algebraický doplnok prvku a ji, pre i, j = 1, 2,..., n. Zápis: A 11 A A 1n adj A = A 21 A A 2n A n1 A n2... A nn Nasledujúca veta popisuje jednu z možností ako nájsť inverznú maticu k regulárnej matici a síce pomocou adjungovanej matice. Veta 1.19 Nech A je regulárna matica. Potom k nej existuje inverzná matica A 1 a platí A 1 = 1 (adj A det A Ďalšou možnosťou ako nájsť inverznú maticu k regulárnej matici je pomocou ekvivalentných riadkových úprav. Zostrojíme blokovú maticu (A E, v ktorej prevádzame postupne ekvivalentné úpravy tak, aby sme na mieste matice A, t.j. pred čiarou, dostali jednotkovú maticu E. Matica za čiarou je potom hľadaná inverzná matica za predpokladu, že bola pôvodná matica regulárna. Pri tomto postupe nie je výhodné počítať determinant a týmto spôsobom zisťovať či matica regulárna je. Toto zistíme v priebehu výpočtu (viď Veta Veta 1.20 Nech A je štvorcová matica. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné. (i A je regulárna. (ii det A 0. (iii K matici A existuje inverzná matica. (iv Množina vektorov pozostávajúca z riadkov (stĺpcov matice A je lineárne nezávislá. (v Hodnosť matice A sa rovná počtu jej riadkov a počtu jej stĺpcov. Veta 1.21 Nech A, B sú regulárne matice rovnakého rádu. Potom (A B 1 = B 1 A 1
21 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 21 Príklad Vypočítajme inverznú maticu k danej matici. a A = c C = Riešenie. ( b B = d D = ( a Determinant matice A = 0, t.j. matica je singulárna a teda inverzná matica k nej neexistuje. b Determinant matice je rovný B = 2, t.j. matica je regulárna a teda inverzná matica k nej existuje. Nájdeme ju pomocou adjungovanej matice. B 1 = 1 ( B11 B 12. B B 21 B 22 B ij reprezentuje subdeterminant, ktorý vznikne vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca v pôvodnej matici vynásobený ( 1 i+j. B 11 = ( b 22 = 5, B 12 = ( b 21 = 4, B 21 = ( b 12 = 3, B 22 = ( b 11 = 2. Teda B 1 = 1 2 ( ( 5 3 = c Keďže determinant matice C = 1, matica je regulárna. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade nájdeme inverznú maticu pomocou adjungovanej matice. C 11 = ( = 2, C 12 = ( = 1, C 13 = ( C 22 = ( = 1, C 21 = ( = 2, = 1, C 23 = ( = 2,
22 22 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE C 31 = ( C 33 = ( = 1. Teda C 1 = = 3, C 32 = ( = 0, = = d Predchádzajúci výpočet ukázal, že časová náročnosť výpočtu pre maticu stupňa 3 je podstatne vyššia ako bola pre maticu stupňa 2. V prípade matice D by to dokonca znamenalo vyčíslenie jedného determinantu rádu 4 a 16 determinantov rádu 3. Preto použijeme pre výpočet inverznej matice druhú možnosť. Napíšeme si blokovú maticu (D E. Pomocou ekvivalentných riadkových operácií upravíme v prvej časti výpočtu blokovú maticu na tvar, kde matica pred čiarou je horná trojuholníková (prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule (D E = R R 1 +4R 1 +5R 1 R 2 R 2 2R 3 R 4.
23 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE 23 Následne pokračujeme v úpravách, aby sme pred čiarou dostali diagonálnu maticu. Posledným krokom je vhodné násobenie riadkov, aby matica naľavo bola jednotková matica. V takom prípade je inverznou maticou matica napravo od čiary R 3 R2..( 1.( 1 Teda D 1 = Inverzné matice môžeme použiť aj pri riešení niektorých typov maticových rovníc. Príklad Pomocou inverznej matice riešme maticové rovnice a b ( X ( = X ( =
24 24 1 ARITMETICKÉ VEKTORY A MATICE Riešenie. a Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať v tvare A X B = C, kde ( ( ( A =, B = a C = Pri výpočte využijeme fakt, že matice A a B sú regulárne, z čoho vyplýva, že k nim existujú inverzné matice. Ak teda rovnicu vynásobíme zľava inverznou maticou k matici A, dostávame A 1 A X B = E X B = X B, kde E je príslušná jednotková matica. Analogicky odstránime maticu B na pravej strane, keď vynásobíme rovnicu sprava B 1. Takže X = A 1 C B 1. X = ( = ( ( ( ( = ( ( 3 6 = b Danú maticovú rovnicu môžeme formálne zapísať nasledujúcim spôsobom A X B = C. Pripočítaním matice B k obom stranám rovnice dostávame A X = B + C. Ďalej postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, t.j. X = A 1 (B + C. Použijeme výsledok Príkladu c. X = = = = = =.
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
Podrobnejšie1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d
KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i
Podrobnejšie8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
PodrobnejšieŠtudent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp
Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá
PodrobnejšieS rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018
S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku
Podrobnejšie2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieMetódy násobenie v stredoveku
1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili
PodrobnejšieZeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk
PodrobnejšieMicrosoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
Podrobnejšie1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn
1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
PodrobnejšieIII. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.
III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
PodrobnejšieMicrosoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc
3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky
PodrobnejšieMicrosoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc
6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4
PodrobnejšieAxióma výberu
Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
PodrobnejšieVzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
PodrobnejšieMicrosoft Word - 06b976f06a0Matice - Uzivatelska Dokumentacia
Matice Užívateľská dokumentácia k programu Autor: Miroslav Jakubík 2009 Obsah 1 Úvod... 2 1.1 Stručný popis programu... 2 1.2 Spustenie programu... 2 1.3 Otvorenie dokumentu... 3 1.4 Ovládanie programu...
Podrobnejšie9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU
Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný
PodrobnejšieInformačné technológie
Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných
PodrobnejšieO možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky
O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011
PodrobnejšieFunkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
PodrobnejšieMicrosoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieCvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky
Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne
PodrobnejšieTeória pravdepodobnosti Zákony velkých císel
10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia
PodrobnejšieMultikriteriálna optimalizácia
Multikriteriálna optimalizácia Tomáš Madaras Ústav matematických vied, PF UPJŠ, Košice Príklad Vyberte smartfón s najlepšími parametrami z nasledovnej ponuky: model displej cena pamäť výdrž váha foto (")
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
Podrobnejšie8
8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie
PodrobnejšieĎalšie vlastnosti goniometrických funkcií
Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,
PodrobnejšieMatematika 2 - cast: Funkcia viac premenných
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť
PodrobnejšiePoznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac
SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
Podrobnejšie(ıkolské kolo-PYT)
Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V
PodrobnejšieInformačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
PodrobnejšiePriebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieČísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a
Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9
PodrobnejšieKlasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
PodrobnejšieARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30
ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa
PodrobnejšieNeineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieMicrosoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
PodrobnejšieMicrosoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
Podrobnejšie1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda
PodrobnejšieMatematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh
7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Prog_p08.ppt
Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými
Podrobnejšie(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))
1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic
PodrobnejšieMicrosoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník
P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
PodrobnejšieMicrosoft Word - mnohouholnik.doc
Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4
PodrobnejšieJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit roo
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov
PodrobnejšieKatedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005
Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ
PodrobnejšieFAQ
Import skladových kariet Potrebujete si preniesť do programu OMEGA zoznam skladových kariet, prípadne nový cenník z Excelu? Vyžite funkciu importu skladových kariet: V menu Sklad Skladové karty potvrdíme
PodrobnejšieMetrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
Podrobnejšietrafo
Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N
PodrobnejšieNumerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.
Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava
PodrobnejšieTESTOVANIE STABILITY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMETRICKÝCH MERANÍ DRUŽICE GOCE NADOL
S L O V E N S K Á E C H N I C K Á U N I V E R Z I A V B R A I S L A V E S A V E B N Á F A K U L A K A E D R A G E O D E I C K Ý C H Z Á K L A D O V ESOVANIE SABILIY PROCESU POKRAČOVANIA GRADIOMERICKÝCH
PodrobnejšieOtázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati
Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka
Podrobnejšie1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013
1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšiePrehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;
Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...
PodrobnejšieObsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia
PodrobnejšieTue Oct 3 22:05:51 CEST Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, kto
Tue Oct 3 22:05:51 CEST 2006 2. Začiatky s jazykom C 2.1 Štruktúra programu Štruktúra programu by sa dala jednoducho popísať nasledovnými časťami, ktoré si postupne rozoberieme: dátové typy príkazy bloky
PodrobnejšieUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ján Eliaš Problémy spojené s výpočtem největšího společného dělitele Katedra
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BKLÁŘSKÁ PRÁCE Ján Eliaš Problémy spojené s výpočtem největšího společného dělitele Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: doc.
PodrobnejšiePocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD
Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej
PodrobnejšieAnalýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU
Analýza sociálnych sietí Geografická lokalizácia krajín EU Ekonomická fakulta TU v Košiciach 20. februára 2009 Vzt ahy medzi krajinami - teória grafov Doterajšie riešenia 1 problém farbenia grafov (Francis
PodrobnejšieRepublika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV
Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A
PodrobnejšieBariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX
Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieNÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
PodrobnejšieOperačná analýza 2
Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:
Podrobnejšie1)
Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite
PodrobnejšiePowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
Podrobnejšie1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
PodrobnejšieParalelné algoritmy, cast c. 3
Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,
PodrobnejšieEN
KOMISIA EURÓPSKYCH SPOLOČENSTIEV Brusel 12/IV/2006 konečné rozhodnutie K(2006)1502 ROZHODNUTIE KOMISIE z 12/IV/2006, ktorým sa mení a dopĺňa rozhodnutie K(2005) 1452, konečné znenie z 26. mája 2005, o
PodrobnejšieTabuľky_teoria
Tabuľky v programe Microsoft Word Vytvorenie tabuľky Pred samotným vyhotovením tabuľky sa odporúča pripraviť si náčrt, na ktorom sa rozvrhne rozdelenie údajov do riadkov a stĺpcov. Tabuľku vytvoríme pomocou
PodrobnejšieInteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky
Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first
PodrobnejšieÚvodná prednáška z RaL
Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky
PodrobnejšieVzhľadom k tomu, že Žiadosť o platbu č
Postup na identifikáciu žiadateľa ako podniku v ťažkostiach podľa Usmernenia Spoločenstva o štátnej pomoci na záchranu a reštrukturalizáciu firiem v ťažkostiach (2004/C244/02) Pred tým, ako bude uvedený
PodrobnejšieMESTSKÝ ÚRAD V ŽILINE Materiál na rokovanie pre Komisie Mestského zastupiteľstva v Žiline Číslo materiálu: /2019 K bodu programu SPRÁVA O VÝSLEDKOCH K
MESTSKÝ ÚRAD V ŽILINE Materiál na rokovanie pre Komisie Mestského zastupiteľstva v Žiline Číslo materiálu: /2019 K bodu programu SPRÁVA O VÝSLEDKOCH KONTROL Materiál obsahuje: Materiál sa odporúča prerokovať
PodrobnejšieTesty z CSS_2015_16
Previerkové otázky na skúšku z ČSS 1. Vyjadrite slovne a matematicky princíp superpozície pre lineárnu diskrétnu sústavu. 2. Čo fyzikálne predstavuje riešenie homogénnej a nehomogénnej lineárnej diferenčne
PodrobnejšieSK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s obdĺžnikovým dnom je 6 998,4 hektolitrov. Propagačný
PodrobnejšieMicrosoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx
Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď
Podrobnejšieprijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc
Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje
Podrobnejšie