Pocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD

Prepis

1 Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017

2 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej rovnice u tt = u xx + u yy + u zz u... skalár alebo vektor napr. intenzita EM poľa E. Dva typy fyzikálnych úloh: 1. EM vlny v homogénnom prostredí a na rozhran.í V homogénnom prostredí riešenie poznáme (rovinné vlny). Úlohou je správne zošiť známe riešenia na rozhraniach. 1.1 Vlnový balík v 1D 1.2 Vlnový balík v 2D 2. EM vlny v nehomogénnych (periodických) prostrediach. Numerické riešenie Maxwellových rovníc z prvých princípov. 2.1 Diskretizácia Maxwellovych rovníc 2.2 Numerické riešenie vlnovej rovnice pre EM vlny (FDTD)

3 Maxwellove rovnice - algoritmus Yee Cieľ: počítať šírenie EM vĺn v nehomogénnom prostredí: Fotonické kryštály Metamateriály Nehomogénne prostredie z x t y a r Metóda: diskretizácia časových Maxwellových rovníc v čase a v priestore, výpočet časového vývoja poľa.

4 Maxwellove rovnice - algoritmus Yee Úloha: diskretizácia priestoru, ktorá zachová platnosť Maxwellových rovníc H x z E z H x H y H z Diskretizácia E a H v rôznych bodoch. Fyzika: lokálne zachováme Maxwellove rovnice: H z H y H z E y y t D ds = H d l E x H y H x t B ds = x Zložky E a H sú definované na dvoch rôznych mriežkach. E d l

5 Maxwellove rovnice - algoritmus Yee v 2D Tri zložky poľa: napr. E z, H y a H z Pre každú z nich urobíme svoju diskretizáciu priestoru: H z H y H y H y E z E z E z H z H z Každý vektor je konštantný vo svojej elementárnej bunke (ohraničenej svojou farbou) Integrujem cez jednu malú plaketu S = δxδy: D ds t = H d l D z t δxδy = +δy [H y (x + δx/2) H y (x δx/2)] δx [H x (y + δy/2) H x (y δy/2)]

6 Maxwellove rovnice - algoritmus Yee v 2D D z t δxδy = +δy [H y (x + δx/2) H y (x δx/2)] δx [H [ x (y + δy/2) H x (y δy/2)] Hy = δxδy x H ] x y Dostali sme Maxwellovu rovnicu v diferenciálnom tvare. Podobne dostaneme rovnicu pre H y : domyslíme si plaketu" S = δxδz na ktorej je konštantné H y a obídeme ju v takom smere, aby vektor S bol rovnobežný s H y : B y t δzδx = δz [E z(x + δx/2) E z (x δx/2)] δx [E[ x (z + δz/2) E x (z δz/2)] Ez = δzδx x E ] x z druhý člen je teraz nulový, lebo E x 0. Všimnime si, že E x by bol lokalizovaný nad H y (posunutý o δz/2).

7 Časová diskretizácia Majme polia H x a H y v čase t, E z v čase t /2. Pole E z (t + /2) nájdeme pre každú plaketu z Maxwellovej rovnice [ Hy εe z (t + /2) = E z (t /2) + x H ] x y zo známych hodnôt E z (t + /2) nájdeme v čase t + hodnoty magnetických polí: Opakovanie: derivácia sa diskretizuje f (x) x = µh y (t + ) = H y (t) E z x µh x (t + ) = H x (t) + E z y f (x + δx/2) f (x δx/2) δx

8 Vzťah medzi t a δx Priestorový krok δx musí byť dostatočne malý, aby ohmatal nehomogenity vo vzorke. Vo všeobecnosti δ x < λ 10 Podobne ako pri difúznej rovnici nemôže byť priestorový krok príliš veľký: δ x > c t Dôvod: metóda FDTD je explicitná metóda, je potrebné ustrážiť numerické nestability.

9 Okrajové podmienky Nechceme, aby sa na hranici niečo odrazilo. Preto potrebujeme zabezpečiť nulový odraz dopadajúcej vlny totálnu absorpciu za hranicou Na rozhraní sa preto pridáva absorbujúce prostredie s čo najmenším koeficientom odrazu.

10 Zdroj EM vĺn Chceli by sme generovať monochromatickú EM vlnu s jedinou frekvenciou ω. Takú ale nevytvoríme. Najjednoduchší zdroj: v čase 0 t 2π ω generuje el. pole E sin ωt: Pole obsahuje rôzne frekvenčné zložky. Môžeme ho rozložiť do Fourierovho radu. Poloha zdroja: bodový, lineárny, plošný...

11 Energia Počítajme v každom čase celkovú energiu elektromagnetického poľa U = ij ε ij E ij 2 + µ ij H ij 2 (sumujeme cez jednotlivé body mriežky v 2D modeli) Celková energia bude rásť kým zdroj emituje žiarenie, potom musí zostať konštantnou až kým sa nezačne strácať absorpciou na hranici.

12 Poyntingov vektor Tok energie W (t) cez nami zvolené rozhranie získame integráciou Poyntingovho vektora: W (t) = ds P P = E H Samozrejme závisí od času. S

13 Fotonický kryštál: frekvenčné spektrum 0,8 0,6 Frequency 0,4 0,2 0 Γ X M Γ Teória hovorí, že frekvenčné spektrum FK má zakázané a povolené frekvenčné pásy. EM vlny s frekvenciou v zakázanom páse sa naprieč FK nemôžu šíriť.

14 Pedagogická ukážka Vonkajší lineárny zdroj, vlna prechádza cez fotonickú vrstvu. Dve frekvencie zdroja. Ktorá patrí do povoleného pásu?

15 FDTD a frekvenčné spektrum Umiestnime zdroj EM vĺn do vnútra fotonického kryštálu a počítajme pomocou FDTD časový vývoj vlny. Očakávame, že niektoré Fourierove zložky poľa zostanú uzamknuté v okolí zdroja.

16 FDTD a frekvenčné spektrum Ľahko vidíme, ktorá frekvencia patrí do zakázaného pásu. [Ivan Lapin, bakalárska práca, FEI STU 2010]

17 Poyntingov vektor Tok energie jednotkovou plochou za jednotku času P = E H Plochu definujme tak, aby uzatvárala zdroj P(t) závisí od času, preto nájdeme Fourierov obraz P(ω)

18 Energia Koľko energie mi zostáva v okolí zdroja? Časový vývoj pre štyri frekvencie zdroja.

19 Prechod EM vlny lineárnou kavitou Lineárna porucha v periodickej štruktúre má vlastný stav - frekvencie, pre ktoré sa vlna môže šíriť. Ak tieto frekvencie ležia v zakázanom páse, vlna z kanálu nemôže odísť - vlnovod Tok energie Tok energie x= x= e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Čas Čas Energia: EM vlna sa odráža od vyústenia kavity do voľného priestoru, preto tok energie mení znamienko vo vnútri kavity.

20 Prechod EM vlny cez fotonické štruktúry Prechod EM vlny cez zložitejšie vlnovody: FDTD simulácia šírenia EM vĺn v reálnom čase. Zdroj je umiestnený tesne pred ľavým vyústením kavity. Frekvencia zdroja leží v zakázanom páse. [M. Rudolf, dipl. práca FEI STU 2012]

21 Záver Sledovať časový vývoj elektromagnetických vĺn je zaujímavé, lebo vidíme celý proces šírenia môžeme ho kvantitatívne vyhodnotiť Numericky náročné: diskretizácia musí zodpovedať fyzikálnym rovniciam počítame všetky zložky elektromagnetického poľa E, H okrajové podmienky (nehovorili sme o nich) numerická presnosť Fourierova analýza Dodatok: Numerické problémy stability vlnovej rovnice, Laxova metóda.

22 Dodatok: Vlnová rovnica 2 u(x, t) t 2 = v 2 2 u(x, t) x 2 Zaveďme dve funkcie r = v u(x, t) u(x, t), s = t x Potom vlnovú rovnicu môžeme transformovať na systém dvoch jednoduchších rovníc: r(x, t) t ( ) r = s s(x, t) = v x ( 0 v v 0 ) ( r s s(x, t) t ) r(x, t) = v x

23 Vlnová rovnica Najjednoduchšia rovnica: u(x, t) t Naivná diskretizácia u(x, t) = v x u t = 1 [u(x, t + ) u(x, t)] u x = 1 [u(x + δ, t) u(x δ, t)] 2δ vedie k systému rovníc 1 a a 1 a.... u(x, t + ) =. 0 a.. u(x, t), a 1 a = v 2δ. Vlastné hodnoty matice sa nájdu ľahko

24 Vlnová rovnica Vlastné hodnoty matice sa nájdu ľahko: Λ = 1 i v δ Takže vidíme problém: Λ > 1 sin πn N + 1 Metóda je preto brutálne nestabilná.

25 Laxova metóda Upravíme časovú deriváciu: [ u(x, t + ) u t = 1 ] u(x + δ, t) + u(x δ, t) 2 Tým dostaneme iteračnú schému 0 1/2 + a /2 a 0 1/2 + a.... u(x, t + ) =. 0 1/2 a /2 a 0 S vlastnými hodnotami Λ n = cos α n i v δ sin α n, α n = πn N + 1

26 Laxova metóda Λ n = cos α n i v δ sin α n, α n = πn N + 1 a teda Λ < 1, ak v δ 1 Fyzika: vlna musí mať dostatok času na šírenie sa z jedného bodu mriežky na druhý. Ak má dlhý časový krok, nestihne sa poobzerať po okolí a program havaruje. Stabilita riešenia: podobná, ako pri difúznej rovnici. Explicitná metóda je stabilná len ak 2 δ 2 v 2 < 1. Napriek tomu sa explicitná metóda používa najčastejšie (programy FDTD).