Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in"

Prepis

1 Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok, bod, priamka,... nedefinujeme ich, ale pomocou nich definujeme ostatné pojmy, ktoré sa v teórii vyskytujú AXIÓMY niekol ko elementárnych tvrdení o vlastnostiach základných pojmov uznávame ich za pravdivé, bez d alšej argumentácie Budovat teóriu odhal ovat nové pravdivé tvrdenia o vlastnostiach základných pojmov Postup budovania teórie Sformulujeme hypotézu (PH zatial nepoznáme) a snažíme sa hypotézu dokázat DÔKAZ TVRDENIA T postupnost logických úvah, ktoré ukazujú, že platnost tvrdenia T logicky vyplýva z platnosti prijatých axióm a z tvrdení, ktoré už boli skôr dokázané. tvrdenie, ktoré chceme do teórie začlenit, musí byt najskôr dokázané - DEDUKTÍVNOSŤ 1

2 STRATÉGIA DOKAZOVANIA a) pokúsit sa tvrdenie T dokázat priamo b) utvorit negáciu tvrdenia T a tú sa pokúsit doviest do sporu c) utvorit obmenu tvrdenia T a tento dokázat priamo alebo sporom d) dôkaz vykonat matematickou indukciou Ak dokazujeme tvrdenie T sporom, alebo ak dokazujeme jeho obmenu, takýto dôkaz nazývame NEPRIAMY. 2 Základné metódy dôkazov 2.1 Priamy dôkaz tvrdenia T Pozostáva z konečného počtu implikácií T 1 T 2 T n T, ktorého prvý člen je axióma, alebo už dokázané tvrdenie a každé d alšie tvrdenie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, pričom posledným členom ret azca je dokazované tvrdenie T. 2.2 Nepriamy dôkaz tvrdenia T sporom Založený na zákone vylúčenia tretieho, podl a ktorého z dvojice výrokov T, T (negácia T ) musí byt práve jeden pravdivý. Ked teda dokážeme, že výrok T nie je pravdivý, vyplýva z toho pravdivost tvrdenia T. Pri dôkaze sporom postupujeme nasledovne: Predpokladáme platnost tvrdenia T a odvodzujeme z neho logické dôsledky tak dlho, až sa nám podarí odvodit tvrdenie U, o ktorom 2

3 vieme, že je nepravdivé (pretože jeho negácia U už bola skôr dokázaná). Vtedy hovoríme, že sme dospeli k sporu. T U, P (U) = 0. Keby sme v tej situácii pokladali T za pravdivé tvrdenie, boli by v našej teórii dokázatel né tvrdenia U aj U, a teda aj tvrdenie U U, ktoré je nepravdivé. Teória by preto bola sporná. To znamená, že predpoklad pravdivosti tvrdenia T je nesprávny, a teda T je nepravdivé tvrdenie, z čoho vyplýva, že T je tvrdenie pravdivé. Poznámka 1. Obe uvedené metódy možno použit aj v prípade, ked dokazované tvrdenie má tvar implikácie A B. 2.3 Priamy dôkaz implikácie A B Predpokladáme, že tvrdenie A platí. Nájdeme postupnost implikácií začínajúcu tvrdením A a končiacu tvrdením B, v ktorej každý člen je logickým dôsledkom predchádzajúcich tvrdení a axióm resp. skôr dokázaných tvrdení A T 1 T 2 T n B. Príklad 1. Dokážte, že pre každé dve reálne čísla a > 1, b > 1 platí: log a b + log b a 2. Dôkaz. Najskôr si urobíme rozbor. Pretože a > 1, b > 1, sú oba logaritmy kladné čísla z vlastností logaritmov vieme, že log a b = 1 log b a. Označme log a b = x. Potom stačí dokázat, že x + 1 x 2 pre každé kladné x. Postupnými úpravami dostaneme: x x x 2 2x (x 1) 2 0, 3

4 čo platí pre každé reálne x. Tým sme s rozborom hotoví a v opačnom smere môžeme vykonat priamy dôkaz (rozbor sám o sebe nie je dôkaz). Platí a postupne (log a b 1) 2 0 (log a b) 2 2 log a b (log a b) log a b log a b + 1 log a b 2 log a b + log b a 2. Príklad 2. Dokážte, že funkcia f : y = 2x 2 je na intervale (, 0) rastúca. Dôkaz. Máme dokázat implikáciu x (, 0) : x 1 < x 2 2x 2 1 < 2x 2 2. Implikáciu dokážeme priamo. Nech platí x 1 < x 2 < 0 potom postupne x 1 > x 2 > 0 x 1 2 > x 2 2 x 2 1 > x 2 2 pretože x 2 0 2x 2 1 < 2x Nepriamy dôkaz implikácie A B sporom Predpokladáme platnost negácie dokazovanej implikácie, teda platnost tvrdenia (A B), ktoré je ekvivalentné s tvrdením A B (Dokážte!). Z toho tvrdenia postupne odvodzujeme dôsledky tak dlho, pokým dospejeme k sporu (A B) A B T 1 T 2 T n U, P (U) = 0. 4

5 Príklad 3. Dokážte, že prvočísel je nekonečne vel a. Dôkaz. Vykonáme ho sporom. Predpokladajme, že prvočísel je konečný počet. Označme ich p 1, p 2,..., p k, kde k N. Označme a = p 1 p 2... p k + 1. Číslo a N nie je prvočíslo, lebo je väčšie, ako každé z čísel p 1, p 2,..., p k. Číslo a nie je ani zložené číslo, pretože nie je delitel né žiadnym z prvočísel p 1, p 2,..., p k. Po delení čísla a l ubovol ným prvočíslom dostaneme zvyšok vždy 1. To znamená a = 1, čo je spor s vol bou čísla a. Číslo 1 je jediné prirodzené číslo, ktoré nie je ani zložené číslo, ani prvočíslo. Teda predpoklad o konečnom počte prvočísel je nepravdivý. Platí, že prvočísel je nekonečný počet. 2.5 Nepriamy dôkaz implikácie A B pomocou obmeny Zakladá sa na skutočnosti, že implikácia A B a jej obmena B A sú ekvivalentné. To znamená, že namiesto A B môžeme dokázat B A, ak je to výhodnejšie. B T 1 T 2 T n A. Príklad 4. Dokážte, že ak nemožno pravítkom a kružidlom zostrojit uhol s vel kost ou 1, nemožno zostrojit ani uhol s vel kost ou 19. Dôkaz. Tvrdenie dokážeme nepriamo. Namiesto implikácie A B dokážeme jej obmenu. B A, v našom prípade tvrdenie: Ak možno zostrojit uhol s vel kost ou 19, možno zostrojit aj uhol s vel kost ou 1. Predpokladajme teda, že vieme zostrojit uhol s vel kost ou 19. Potom vieme zostrojit aj uhol s vel kost ou = 361, a teda ja uhol s vel kost ou Dôkaz pomocou matematickej indukcie Táto metóda sa vo svojej základnej podobe používa na dôkaz tvrdení tvaru: Pre každé prirodzené číslo n platí T (n). Dôkaz pozostáva z dvoch krokov: 5

6 1. Dokážeme platnost tvrdenia T (1), kde T (1) je tvrdenie, ktoré vznikne dosadením hodnoty n = 1 do výrokovej formuly T (n). Na dôkaz T (1) môžeme použit l ubovol nú z metód dokazovania. 2. Nazýva sa tiež indukčný krok. Dokážeme tvrdenie: n N : T (n) T (n + 1). Čiže, z platnosti tvrdenie T (n) vyplýva platnost tvrdenia T (n + 1). Tým je dokázaná platnost tvrdenia T (n) pre každé n N. Poznámka 2. Treba si uvedomit, že na základe 1. kroku tvrdenie T (n) platí pre n = 1, potom na základe 2. kroku platí pre n = 2, potom opät na základe 2. kroku pre n = 3 atd. pre každé prirodzené číslo n. Príklad 5. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n je číslo 11 n n 1 delitel né číslo 133. Dôkaz. Vykonáme ho matematickou indukciou. 1. krok: Tvrdenie dokážeme pre n = 1. Pre n = 1 tvrdenie platí = = krok: Indukčný predpoklad je, že 11 n n 1 je delitel né číslo 133. Chceme dokázat, že tvrdenie platí aj pre n + 1, teda, že platí 11 (n+1) (n+1) 1 = 11 n n+1 je delitel né číslo 133. Upravíme 11 n n+1 = n n 1 = n n 1 = n n n 1 = 11(11 n n 1 ) n 1. Prvý člen je delitel ný číslom 133 podl a indukčného predpokladu, druhý člen je násobkom 133, teda celý výraz je delitel ný číslom 133. Tým sa dôkaz 2. kroku skončil. Záver: Tvrdenie platí pre n = 1 podl a 1. kroku. Potom podl a 2. kroku platí pre n = 2, opät podl a 2. kroku pre n = 3 atd. pre všetky prirodzené čísla n. 6

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

1

1 ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Microsoft Word - Final_test_2008.doc

Microsoft Word - Final_test_2008.doc Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou

Podrobnejšie

Axióma výberu

Axióma výberu Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky

Podrobnejšie

Zbierka úloh KMS 1. až 5. ročník ( ) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák

Zbierka úloh KMS 1. až 5. ročník ( ) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák Zbierka úloh KMS 1. až 5. ročník (2002 2007) Ondrej Budáč, Tomáš Jurík, Ján Mazák Prvé vydanie c Trojsten, Bratislava 2010 Väčšina úloh je prevzatá z rôznych matematických súťaží po celom svete. Zadania

Podrobnejšie

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),

Podrobnejšie

O babirusách

O babirusách VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 2

Paralelné algoritmy, cast c. 2 Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.

Podrobnejšie

2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010

2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010 2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 21. októbra 2010 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 5 1.2.1 Literatúra..................................

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

Microsoft Word - Transparencies03.doc

Microsoft Word - Transparencies03.doc 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk

Podrobnejšie

B5.indd

B5.indd Úvod do limitných prechodov Vladimír Janiš ÚVOD DO LIMITNÝCH PRECHODOV Autor: doc. RNDr. Vladimír Janiš, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Martin Kalina, CSc. RNDr. Pavol Krá, PhD. Vydavate : Belianum. Vydavate

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract:

1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract: 1 OBZORY MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 0/XXXX (00) Zadania úloh 67. ročníka Matematickej olympiády Úlohová komisia Matematickej olympiády Abstract: In this paper, we publish the problems of the homework

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle 1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar

Podrobnejšie

Monday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate

Monday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,

Podrobnejšie

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka

Podrobnejšie

Poznámky k cvičeniu č. 2

Poznámky k cvičeniu č. 2 Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

BRKOS

BRKOS Pomocný text Výroková logika autor: Viki Logika je nástroj, ktorý nám umoº uje matematicky uvaºova o veciach okolo nás. Dovo uje nám formalizova tvrdenia, ktoré chceme dokáza a zárove formalizova samotný

Podrobnejšie

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,

Podrobnejšie

12Prednaska

12Prednaska propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................

Podrobnejšie

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)

Podrobnejšie

Informačné technológie

Informačné technológie Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných

Podrobnejšie

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tretí Týždenne: 5 h ročne: 165 h 1 disponibilná hodina

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

(ıkolské kolo-PYT)

(ıkolské kolo-PYT) Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Generovanie LOGICKÝCH KONJUNKCIÍ doc. Ing. Kristína Machová, PhD. kristina.machova@tuke.sk http://people.tuke.sk/kristina.machova/ OSNOVA: 1. Prehľadávanie priestoru pojmov 2. Reprezentácia a použitie

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...

Podrobnejšie

1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja 1 1 Turingove stroje 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja Predstavme si kol ajnice pevný, na je

1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja 1 1 Turingove stroje 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja Predstavme si kol ajnice pevný, na je 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja 1 1 Turingove stroje 1.1 Základné princípy práce Turingovho stroja Predstavme si kol ajnice pevný, na jednu stranu nekonečný, rad (nerozoznatel ných) štvorčekov,

Podrobnejšie

Základné stochastické procesy vo financiách

Základné stochastické procesy vo financiách Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky x, y R platí f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + 1)f(x)

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia

Podrobnejšie

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh 7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna

Podrobnejšie

M59dkZ9ri10

M59dkZ9ri10 MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal

Podrobnejšie

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

ŠkVP_MAT

ŠkVP_MAT Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací

Podrobnejšie

NÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1

NÁVRH  UČEBNÝCH  OSNOV  PRE  1 PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:

Podrobnejšie

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY 5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to

Podrobnejšie

MO_pred1

MO_pred1 Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia

Podrobnejšie

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5

Podrobnejšie

Klasická metóda CPM

Klasická metóda CPM Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).

Podrobnejšie

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Di

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Di Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Niektoré metrické vlastnosti čiastočných náhodných booleovských funkcií Diplomová práca 2013 Bc. Jakub Husár iii Katedra Informatiky

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s obdĺžnikovým dnom je 6 998,4 hektolitrov. Propagačný

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,

Podrobnejšie

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

1

1 1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami

Podrobnejšie

UČEBNÉ OSNOVY

UČEBNÉ OSNOVY Matematika Charakteristika predmetu Predmet matematika je na primárnom stupni vzdelávania prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí vedomosti

Podrobnejšie

Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,

Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model

Podrobnejšie

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych

Podrobnejšie

midterm2019

midterm2019 Midterm 2019 Meno a priezvisko: obsahuje 5 príkladov, spolu 6+5+5+5+6 = 27 bodov 1) [6 bodov] Prvočíselný Prvočísel je nekonečne veľa, elegantný Euklidov dôkaz sporom hovorí: Ak by ich bolo konečne veľa,

Podrobnejšie

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A

Podrobnejšie

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put

Podrobnejšie

Microsoft Word - navrh-na-tvvp-matematika-pre-tretiakov-bs

Microsoft Word - navrh-na-tvvp-matematika-pre-tretiakov-bs Návrh na tematický výchovno-vzdelávací plán pre predmet (TVVP) (aktualizovaný na školský rok 2019/2020) Stupeň vzdelania: ISCED 1 primárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami

Podrobnejšie

1)

1) Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite

Podrobnejšie

XXVI b 07 Navrh VZN granty spojene.pdf

XXVI b 07 Navrh VZN granty spojene.pdf Mestská as Bratislava - Ružinov Materiál na rokovanie Miestneho zastupite stva mestskej asti Bratislava Ružinov d a 19. 3. 2014 Návrh všeobecne záväzného nariadenia mestskej asti Bratislava Ružinov...zo

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme,

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, že pre všetky prirodzené čísla n platí a n+1 = a 2

Podrobnejšie

Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p ISSN Budúci učitelia elementaristi a ich vedomosti o zlomkoch Future Elementary School T

Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p ISSN Budúci učitelia elementaristi a ich vedomosti o zlomkoch Future Elementary School T Acta Mathematica Nitriensia Vol. 2, No. 1, p. 27 35 ISSN 2453-6083 Budúci učitelia elementaristi a ich vedomosti o zlomkoch Future Elementary School Teachers and their Knowledge of Fractions Valéria Švecová

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

Zoznamové farbenia grafov

Zoznamové farbenia grafov Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Zoznamové farbenia grafov (Diplomová práca) Lukáš Špalek Vedúca: RNDr. Edita Máčajová, PhD. Bratislava, 2010

Podrobnejšie

Úloha 1. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnak

Úloha 1. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnak Úloha. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru 4. Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnako vel ké kocky. Aká dlhá bola strana Petržlenovej kocky?

Podrobnejšie