Lokalizácia Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV Katedra fyziky FEI STU Abstract Pri nízkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice. Preto s

Prepis

1 Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV Katedra fyziky FEI STU Abstract Pri nízkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice. Preto sa analýza elektrónového transportu nezaobíde bez znalostí kvantovej mechaniky. Elektrickú vodivost a jej neočakávané vlastnosti vysvetĺıme na základe kvantového - vlnového charakteru elektrónu. Typeset by FoilTEX

2 1. Úvod: odpor a vodivost nemusia spĺňat Ohmov zákonu. 2. Kvantový charakter pohybu elektrónu. 3. Interferencia vlny. 4. Kadial putuje elektrón? 5. kvantovej častice v náhodom potenciáli. Typeset by FoilTEX 1

3 Opakovanie: Ohmov zákon R 1 R 2 + = R 1 + R 2 L 1 L 2 L 1 + L 2 V klasickom vodiči predpokladáme, že elektrický odpor narastá úmerne predpoklad potvrdzuje naša každodenná skúsenost. dĺžke vodiča. Tento Typické vodiče: dĺžka 1 m Typické teploty: izbová teplota K. Zmenšujme teraz rozmer Ohmov zákon neplatí. (dĺžku) vodiča a znižujme teplotu. Dostaneme sa do oblasti, kedy Namiesto R = R 1 + R 2 môžeme napr. dostat R = R 1 + R 2 + R 1 R 2. (1) Typeset by FoilTEX 2

4 Ohmov zákon nie vždy platí R = R 1 + R 2 + R 1 R 2. (2) Takýto modifikovaný zákon vedie k exponenciálnemu nárastu odporu. Už neplatí R(L) L (3) ale máme R(L) exp(+l/ξ) (4) R L Samozrejme, vodivost, 1/R, je exponenciálne malá. Typeset by FoilTEX 3

5 Štatistika Meranie elektrického odporu R alebo elektrickej vodivosti σ prinesie nejaké čísla. Ich presnost je daná našou šikovnost ou kvalitou prístrojov samotným systémom (napr. vysokou teplotou, šumom z okolia apod). Intuitívne cítime, že výsledky by sme vedeli neustále zlepšovat. Jednou z ciet vylepšenia je znížit teplotu. Ale: Typeset by FoilTEX 4

6 Katastrofa V niektorých vzorkách boli pozorované experimentálne obrovské reprodukovatel né fluktuácie odporu. Ked sa zmenšovala teplota, fluktuácie neklesali, naopak narastali: g g exp «α T0 T (5) Vysvetlenie takéhoto nárastu je možné len v rámci kvantovej mechaniky. Typeset by FoilTEX 5

7 Štatistika a absencia ustrednenia. Transmission Fermi energy Výsledok merania vodivosti v silne neusporiadanej vzorke. Mením len energiu elektrónu, vzorka je tá istá. Vodivost sa mení o niekol ko rádov Transmission ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 E σ Dôležité: Vel ké zmeny vodivosti sú reprodukovatel né - zmenou energie tam a spät sa pohybujeme po tej istej krivke! Nejde preto o štatistické chyby merania, ale o vlastnost neusporiadaného systému. Typeset by FoilTEX 6

8 Katastrofa, alebo zaujímavá fyzika? Nové neočakávané vlastnosti pozorujeme pri vel mi nízkych teplotách absolútna nula: C = 0 K; izbová teplota: 300 K, súčasné experimenty: 100 mk. Vzorky sú malé: L L φ - preto elektróny prejdú naprieč vzorkou bez toho, aby interagovali napr. s kmitmi mriežky - pohyb elektrónu je kvantový vzorky sú neusporiadané - nejde o pravidelné kryštály Podstatné: obrovské fluktuácie nie sú výsledkom chyby merania. Ide o prejav novej fyziky, ktorú pri vyšších teplotách nevidíme. Typeset by FoilTEX 7

9 Kvantový popis pohybu elektrónu Pri vel mi nízkych teplotách nie je elektrón klasickou časticou, ale správa sa kvantovo - šíri sa priestorom ako vlna. Šírenie vĺn má svoje osobitosti, na ktoré sme si zvykli, ale intuitívne sa im bránime, ked ide o častice. V kove sa kvantové vlastnosti elektrónu prejavia len vtedy, ked je stredná vol ná dráha nepružných zrážok vel mi vel ká. To je možné, len ak je teplota nízka. Preto lokalizáciu vidíme len pri vel mi nízkych teplotách. Typeset by FoilTEX 8

10 Príklad: kvantové tunelovanie elektrónu Rozptyl na Prechod barierou V=6 a=1, k0=2, var(k)=0.1 Τ=0.025 Ψ x Elektrón je schopný pretunelova t cez bariéru, aj ked je jeho energia menšia ako je výška bariéry. klasická častica by sa totálne odrazila. Typeset by FoilTEX 9

11 Iný príklad: Odraz od potenciálového stupienka I Rozptyl na potencialovom schode V= + 4, k0=2, var(k)=0.1 Ψ 2 R= x Ak je energia väčšia, ako potenciálový stupeň, tak klasická častica vždy prejde a pokračuje, hoci s menšou rýchlost ou. Kvantová častica sa dokáže odrazit. Vieme určit len pravdepodobnost, že prejde na druhú stranu, ale na začiatku experimentu nevieme povedat, aký bude presne jeho výsledok. Typeset by FoilTEX 10

12 Odraz od potenciálového schodu Rozptyl na potencialovom schode V= - 4, k0=2, var(k)=0.1 Ψ 2 R= x Kvantový elektrón sa dokáže odrazit aj od schodu smerom nadol. Toto nedokáže žiadna klasická častica. Typeset by FoilTEX 11

13 Neusporiadanost : rôzne modely. (a) Periodická mriežka. (b) Rovnaké atómy v rôznych polohách. (c) Náhodné polohy, konštantný počet susedov na každý uzol. (d) Rovnaké polohy, rôzne atómy. (e) Spinový. (f) Náhodné preskokové členy. Typeset by FoilTEX 12

14 Realizácia náhodnej vzorky Uvažujme najprv pre jednoduchost len jednorozmerný systém, v ktorom sa mení potenciál celkom náhodne: W Takto vyzerajú tir náhodné retiazky. Na prvý pohl ad sú skoro rovnaké, ale mikroskopicky sú úplne iné. Elektrón sa v každej z nich cíti inak n Elektrón prichádza zl ava, a budeme merat pravdepodobnost, že prejde naprieč takýmto systémom. Intuitívne je jasné, že táto pravdepodobnost bude úmerná vodivosti. Typeset by FoilTEX 13

15 Ako sa mení priepustnost takejto vzorky s dĺžkou Transmission Transmission W = W = Length of the system N Vzorka pozostáva z retiazky N bariér náhodnej výšky. priepustnost vzorky bude prudko klesat s jej dĺžkou. Je rozumné očakávat, že Pridaním dodatočnej bariéry sa priepustnost systému môže niekedy zväčšit. Typeset by FoilTEX 14

16 Dôvod: interferencia elektrónu samého so sebou Typeset by FoilTEX 15

17 Myšlienkový experiment W n Zoberieme náhodnú vzorku, nájdeme jej vodivost, a potom zmeníme náhodnú energiu v jedinom bode mriežky. Čo sa stane? Aby to bolo zaujímavejšie, urobíme tento experiment v dvojrozmerných vzorkách. Typeset by FoilTEX 16

18 Dvojrozmerný dobre vodivý systém 100 zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=2 g = % 10 % Vo vzorke sme postupne zmenili znamienko jedinej náhodnej energie. Obrázok ukazuje, ako táto zmena ovplyvnila vodivost. Zmena vodivosti je maličká, len o 1%. Elektrón prechádza celou vzorkou. Typeset by FoilTEX 17

19 Dvojrozmerný horšie vodivý systém 100 zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=6 g = % 10 % 100 % Tu sa situácia dramaticky mení: zmenou jedinej náhodnej energie v niektorých bodoch zmeníme vodivost o viac ako 100%! Typeset by FoilTEX 18

20 Dvojrozmerný vel mi slabo vodivý systém 2D_w20_100.g <ln g> vel mi silno neusporiadaný systém je temer nevodivý. Meriam vodivost pre vzoriek, Typická vodivost tohto je rádu g e 133 Štatistika: nájdem vzorky s vodivost ou o dvadsat rádov väčšou, resp. menšou. Vzorky sa ĺıšia len realizáciou náhodného potenciálu, jeho fluktuácie sú tie isté. Typeset by FoilTEX 19

21 Dvojrozmerný vel mi slabo vodivý systém p(ln g) ln g Takto vyzerá typické pravdepodobnostné rozdelenie vodivosti v silne neusporiadnaom systéme. Typeset by FoilTEX 20

22 Dvojrozmerný vel mi slabo vodivý systém 100 zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W= % 0.1 % 1 % 10 % 100 % Ak je systém naozaj silne neusporiadaný, vyberie si elektrón jednu dráhu. Typeset by FoilTEX 21

23 Dvojrozmerný vel mi slabo vodivý systém 100 zmena logaritmu g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r 80 1 % W=20 10 % W=20 1 % W=10 10 % W= ale tá dráha nemusí tiect udoĺım ako tečie rieka medzi horami. Typeset by FoilTEX 22

24 Dvojrozmerný vel mi slabo vodivý systém Uvažujme štatistický súbor vzoriek, a pre každú z nich počítajme pravdepodobnost prechodu (transmisiu) elektrónu naprieč vzorkou. 2D_w20_w10_100.g -100 ln g W = ln g W = 10 porovnáme systémy s rôznou neusporiadanost ou: vzorky su identické, len rozsah náhodnosti je v tej druhej 2 väčší. (W = 10 resp. W = 20). Výpčet sme urobili Neexistuje žiadna korelácia medzi získanými hodnotami! Typeset by FoilTEX 23

25 Napríklad: Logaritmus pravdepodobnosti prejst vzorkou pre jednotlivé vzorky: vzorka č. W=10 W= Hoci je pravdepodobnost vždy malá, ĺıši s aod vzorky ku vzorke faktorom až e 3 30 pre W = 10 (slabšia neusporiadanost, ale pri silnej neusporiadanosti až faktorom e Typeset by FoilTEX 24

26 Absencia difúzie v neusporiadanom systéme Častice aj vlny sa priestorom môžu vol ne šírit, pokial nenarazia na prekážky. častice sa od prekážky odrazia, vlny sa rozptýlia. rozptýlené časti vĺn vzájomne interferujú. P. W. Anderson (1958): Ak sa vlna šíri v neusporiadanom (náhodnom) prostredí, môže sa stat, že zastane - nie je schopná pohybu. Typeset by FoilTEX 25

27 Časový vývoj V čase t = 0 pridáme elektrón do prostriedka neuspriadanej mriežky a sledujeme časový vývoj vlnovej funkcie. Ψ( r, t) i h t = HΨ( r, t) Ak je neusporiadanost dostatočne vel ká, vlnový baĺık sa prestane rozpínat - elektrón je lokalizovaný v konečnej časti systému. Typeset by FoilTEX 26

28 T=0.4 T 0 λ=12 <r 2 > = 83 Typeset by FoilTEX 27

29 T=12 T 0 λ=12 <r 2 >=110 Typeset by FoilTEX 28

30 T=20 T 0 λ=12 <r 2 >=134 Typeset by FoilTEX 29

31 T=28 T 0 λ=12 <r 2 >=141 Typeset by FoilTEX 30

32 T=36 T 0 λ=12 <r 2 >=123 Typeset by FoilTEX 31

33 Pravdepodobnost návratu P = lim t p(t) do východzieho bodu (Anderson 1958). Taký systém nie je schopný viest elektrický prúd. Typeset by FoilTEX 32

34 Ergodická hypotéza Transmission Transmission Fermi energy realization of random energies V experimente nikdy nepripravíme vzoriek, sme radi, ked máme jednu. Našt astie, zmena Fermiho energie (energie elektrónu) je ekvivalentná zmene vzorky! Typeset by FoilTEX 33

35 Záver Kvantový charakter elektrónu je zodpovedný za nový jav: elektrónovú lokalizáciu má štatistickú povahu, pretože je výsledkom interferencie mnohých odrazený vĺn Poznámka: pretože lokalizácia je daná vlnovou povahou pohybu kvantového elektrónu, môžeme očakávat, že podobne mô zeme pozorovat lokalizáciu svetla. Typeset by FoilTEX 34