Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Prepis

1 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké

2 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE!

3 o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! H. A. Lorentz presvedčil matematikov o naliehavosti riešenia tejto otázky pre fyziku. Hermann Weyl (1950)

4 obsah 1 počítanie stavov 2 kocka a guľa 3 ako sa to spraví

5 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3

6 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3 KLASICKÝ PLYN: n i = e (µ ɛ i )/kt v E sa veľkosť bunky skráti (D: z vyjadrenia N zrátame µ a dosadíme ho do E); môže o nej klasický plyn vedieť, keď pochádza z QM? ÁNO, vie o nej:

7 počítanie stavov ideálny plyn pod lupou opis plynu: n i N = n i, E = n i ɛ i atď.; počítanie stavov: 1 stav v bunke s objemom (2π ) 3 Vd 3 p (2π ) 3 KLASICKÝ PLYN: n i = e (µ ɛ i )/kt v E sa veľkosť bunky skráti (D: z vyjadrenia N zrátame µ a dosadíme ho do E); môže o nej klasický plyn vedieť, keď pochádza z QM? ÁNO, vie o nej: z entropie: S = n i ln n i (D: rozdelíme stavy do priehradiek a zrátame, koľkými spôsobmi môžeme do každej e priehradky dodať príslušný počet častíc) [ S = Nk ln V ( ) ] mt 3/2 N 2π Sackur-Tetrode 2 z chemického potenciálu: µ = kt ten istý logaritmus

8 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:???

9 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke

10 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke čo by sme chceli: dôkaz, že ak sú stavy vysokoexcitované, ɛ 2 mv 2/3, kocka stačí čo platí v nej, platí v ľubovoľnej nádobe

11 počítanie stavov odkiaľ vieme veľkosť bunky? v kocke: z elementárneho výpočtu v iných nádobách:??? učebnice: majme plyn v kocke / Landau-Lifšic: WKB v 1D s ľub. U bunka 2π ; ľub. D: predstava o bunke sa dá použiť vďaka jej vyššie spomenutému súvisu s počtom vlastných kmitov vlnového poľa ALE tie sa uvažujú zasa len v kocke čo by sme chceli: dôkaz, že ak sú stavy vysokoexcitované, ɛ 2 mv 2/3, kocka stačí čo platí v nej, platí v ľubovoľnej nádobe s čim sa uspokojíme: nemusíme mať rozdelenie stavov vo FÁZO- VOM PRIESTORE, stačí v ENERGII

12 počítanie stavov naozaj kocka stačí? lokálne veličiny ako µ (pri degenerovanom plyne aj u, P atď.) by mali byť naozaj lokálne; ALE prečo by mali byť lokálne počty stavov?

13 počítanie stavov naozaj kocka stačí? lokálne veličiny ako µ (pri degenerovanom plyne aj u, P atď.) by mali byť naozaj lokálne; ALE prečo by mali byť lokálne počty stavov? 1910 Lorentz má prednášku v Göttingene, kde hovorí o charakteristických frekvenciách EM poľa v dutine, že ich rozdelenie by asymptoticky nemalo závisieť od tvaru dutiny; Hilbert si myslí, že sa to nepodarí dokázať za jeho života 1912 Weyl to dokazuje 1912 Sackur a Tetrode zostrojujú vzorec pre entropiu; veľkosť bunky určuje Sackur úvahou, v ktorej vystupuje čas pozorovania a krok v energii, a Tetrode z tlaku pár ortuti vzniká QM a veta o módoch EM poľa v dutine sa prenáša na stavy častíc plynu v nádobe

14 kocka a guľa formulácia úlohy KONEČNE! majme oblasť Ω s objemom V a rovnicu pre vlastné funkcie ( stavy ) s nulovými okrajovými podmienkami v tejto oblasti, ( + λ)φ = 0, φ Ω = 0;

15 kocka a guľa formulácia úlohy KONEČNE! majme oblasť Ω s objemom V a rovnicu pre vlastné funkcie ( stavy ) s nulovými okrajovými podmienkami v tejto oblasti, chceme dokázať, že ( + λ)φ = 0, φ Ω = 0; lim N(λ) = N (λ), λ kde N(λ) je počet stavov s vlastnými hodnotami < λ a N (λ) je limitné N(λ) zrátané pre kocku s objemom V, N (λ) = V 6π 2 λ3/2

16 kocka a guľa výpočet pre kocku stavy = súčiny trojíc sínusov s vlnovými dĺžkami a, 1 2 a, 1 3 a,... vrcholy mriežky s hranou π/a v 1. oktante k-priestoru N = objem 1 8 sféry s polomerom λ objem kocky s hranou π/a = 1 8 4π 3 λ3/2 (π/a) 3 = a3 6π 2 λ3/2

17 kocka a guľa výpočet pre kocku stavy = súčiny trojíc sínusov s vlnovými dĺžkami a, 1 2 a, 1 3 a,... vrcholy mriežky s hranou π/a v 1. oktante k-priestoru N = objem 1 8 sféry s polomerom λ objem kocky s hranou π/a = 1 8 4π 3 λ3/2 (π/a) 3 = a3 6π 2 λ3/2 výpočet pre guľu stavy φ klm = j l (kr)y lm (n), k λ je dané podmienkou j l (kr) = = 0; POZOR: nedá sa použiť j l 1 ( x sin x πl ) (dáva -ný!); 2 treba tangensovú aproximáciu, viď Gradštejn-Ryžik 8.453: 1 [ j l l+ x tgβ cos l + ( tgβ β) π ], x = l + 4 cos β

18 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách

19 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách načo nám to je? znamená to, že N na Ω je v limite približne, modulo fúgy, N na Ω (stavy sú iné, ale je ich rovnako veľa!)

20 ako sa to spraví kockovanie rozdeľme našu oblasť priehradkami na ν kociek C 1, C 2,..., C ν plus fúgy na okrajoch; koľko bude vo vykockovanej oblasti stavov s vlastnými hodnotami < λ? toľko čo SPOLU V KOCKÁCH, N(Ω, λ) = N(C α, λ) = νn(c, λ) D: každý stav φ C na C zadáva ν stavov na Ω takých, že φ = φ C v jednej kocke a φ = 0 vo všetkých ostatných kockách načo nám to je? znamená to, že N na Ω je v limite približne, modulo fúgy, N na Ω (stavy sú iné, ale je ich rovnako veľa!) minimaxový princíp HLAVNÁ FINTA len z toho, že v kockách je menej prípustných stavov než v súvislej oblasti, vieme dokázať, že λ sú tam vyššie alebo nanajvýš rovnaké

21 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM)

22 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM) načo je nám toto? počítajme: λ n = min (u, u) min (u, u) λ n u S n 1 u S n 1 dostali sme odhad N ZDOLA, N(λ) N (λ)

23 ako sa to spraví Veta: majme samozdružený operátor A na H s vlastnými hodnotami µ i usporiadanými podľa veľkosti, a nech Σ n 1 je ľubovoľný n 1-rozmerný podpriestor H; potom existuje u Σ n 1 také, že (u, Au) µ n (ak Σ n 1 = S n 1 priestor natiahnutý na prvých n 1 vlastných vektorov, potom jediné u-čka sú vlastné vektory s vlastnou hodnotou µ n, pre ktoré platí (u, Au) = µ n µ n je MAXIMUM MINÍM; viď variačný princíp v QM) načo je nám toto? počítajme: λ n = min (u, u) min (u, u) λ n u S n 1 u S n 1 dostali sme odhad N ZDOLA, N(λ) N (λ) Neumannove kocky DIRICHLETOVE KOCKY (s nulovou funkciou na stenách) dávajú odhad N zdola NEUMANNOVE KOCKY (s nulovou normálovou deriváciou funkcie na stenách) by mali dávať odhad N zhora

24 ako sa to spraví postup, krok 1: zavedieme vonkajšie kockovanie, čím dostaneme druhú vykockovanú oblasť Ω ; krok 2: všimneme si, že v Neumannových kockách je viac prípustných stavov než v súvislej oblasti, čo nám dá odhad N zdola; krok 3: urobíme v oboch odhadoch limitu nekonečného zjemňovania delenia na elementárne kocky A. M. D. G.