Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 2008 Typeset by FoilTEX

Prepis

1 Klasické a kvantové vĺny na rozhraniach. Peter Markoš, KF FEI STU April 14, 28 Typeset by FoilTEX

2 Obsah 1. Prechod cez bariéru/vrstvu: rezonančná transmisia 2. Tunelovanie 3. Rezonančné tunelovanie 4. Vlna dopadajúca na rozhranie: odraz, transmisia, úplný odraz, Goos-Hänchenov jav Typeset by FoilTEX 1

3 Odraz od potenciálového stupienka I Rozptyl na potencialovom schode V= + 4, k=2, var(k)=.1 Ψ 2 R=.631 x Ak je energia väčšia, ako potenciálový stupeň, tak klasická častica vždy prejde a pokračuje, hoci s menšou rýchlost ou. Kvantová častica sa dokáže odrazit. Vieme určit len pravdepodobnost, že prejde na druhú stranu, ale na začiatku experimentu nevieme povedat, aký bude presne jeho výsledok. Typeset by FoilTEX 2

4 Odraz od potenciálového schodu Rozptyl na potencialovom schode V= - 4, k=2, var(k)=.1 Ψ 2 R=.3 x Kvantový elektrón sa dokáže odrazit aj od schodu smerom nadol. Toto nedokáže žiadna klasická častica. Typeset by FoilTEX 3

5 Klasický analóg: 2 eps=1/9 k=4 sigmak1=.4 sigmak2=.2 T= Prechod elektromagnetickej vlny cez rozhranie. Existuje jednoznačná súvislost medzi kvantovým elektrónom a klasickou elektromagnetickou vlnou Zásadné rozdiely: v disperznom zákone: elektrón má energiu E = k 2, EM vlna má frekvenciu ω = ck/n polarizácia dvojrozmernost úlohy (ale tá sa dá dosiahnut aj v prṕade elektrónu) Typeset by FoilTEX 4

6 Prechod potenciálovou bariérou Ae +ikx Fe +ik x Ce +ikx Be ikx Ge ik x De ikx l = 2a E V a a Typeset by FoilTEX

7 Transmisia 1 Transmission coefficient T β = 1 E > < E < V E > V V < V > E / V Typeset by FoilTEX 6

8 Rezonančná transmisia Real Ψ, Ψ 6 3 n = n = n = x /a Real Ψ, Ψ V < n = x /a Typeset by FoilTEX 7

9 Rezonančná transmisia t 1 r 2 r 1r 2 t 1e i4φ t 1 r 2 r 1t 2 ei3φ t 1 r 2 t 1e i2φ t 1 t 2 eiφ r 1 l Typeset by FoilTEX 8

10 Anti-transmisia Real Ψ, Ψ 4 2 n = n = V < n = x /a Typeset by FoilTEX 9

11 Tunelovanie 3 Real Ψ, Ψ 2 1 β = 1 E =.9 V ψ β = 1 E =.9 V x /a x/a Prechod elektrónu cez bariéru. Všimnite si, že pokles vlnovej funkcie nie je presne exponenci1álny, ale je výsledkom interferencie dvvoch exponenciálne klesajúcich módov. Typeset by FoilTEX 1

12 Tunelovanie Real Ψ 2 1 β = β = β = x /a Real Ψ 2 1 E /V = E /V = E /V = x /a Pravdepodobnost tunelovania závisí samozrejme na výške bariéry a na jej šírke. transparentná, ak vlnová dĺžka elektrónu (EM vlny) je podstatne väčšia, ako šírka bariéry. Bariéra je temer Typeset by FoilTEX 11

13 Príklad: kvantové tunelovanie elektrónu Rozptyl na Prechod barierou V=6 a=1, k=2, var(k)=.1 Ψ 2.4 Τ= x Elektrón je schopný pretunelova t cez bariéru, aj ked je jeho energia menšia ako je výška bariéry. klasická častica by sa totálne odrazila. Typeset by FoilTEX 12

14 Viazané stavy n = 7 n = 6 n = Ψ n (x) n = 4 n = 3 n = 2 n = x /a Typeset by FoilTEX 13

15 EM vlny: viazané stavy: n = 2 n = 7 x z Typeset by FoilTEX 14

16 Tunelovanie EM vlny cez planárnu vrstvu: n 1 > n Transmission ε 1 ε 2 ε n = 2 n = θ 1 /π Transmisia ako funkcia uhla dopadu: ak θ > θ crit, tak je možné len tunelovanie - T exponenciáne klesá s hrúbkou vrstvy. Θ n n 1 2 n 1 l Typeset by FoilTEX 1

17 Tunelovanie: n 1 > n 2 Θ n n 1 2 n 1 l Transmisia cez jednu vrstvu (pre s vlnu) k 2z = iκ je imaginárne T 1 = M 12 2, M 12 = i 2 v k 1z = ωn 1 c cos θ, κ = ωn 2 u t n2 1 c n 2 sin 2 θ 1 (n 1 > n 2 ) 2» κ + k 1z sinh κl 2 (1) k 1z κ T e 2κl 2 exponenciálne klesá! Typeset by FoilTEX 16

18 Dvojitá potenciálová bariéra: rezonančné tunelovanie. V T=1 2a 2b 2a E < V θ > θ crit Kvantová častica môže len tunelovat cez jednu bariéru. Pre určité energie častice ale nastáva rezonančná transmisia cez dve bariéry: T = 1 Analógia pre EM vlnu: napriek tomu, že je θ > θ crit, transmisia cez dve vrstvy môže byt T = 1. Typeset by FoilTEX 17

19 Rezonančná transmisia: dielektriká n b n a n b n a n b 1.8 Transmission l a olc Rezonančné tunelovanie: netriviálny jav, daný len vlnám. Pre 1 širšie doelektrické vrstvy je transmisia možná len pre vel mi presne definované frekvencie. Typeset by FoilTEX 18

20 Rezonančná transmisia: kov Transmisia EM vlny cez tenkú kovovú vrstvu. Absorption Transmission ω/ω p =.1 ω/ω p =.1 Transmission 1. Transmission ld olc olc Transmisia cez dvojvrstvu je o mnoho rádov väčšia, ako cez jednoduchú vrstvu. Typeset by FoilTEX 19

21 Rozptyl EM vlny na rozhraní 2 eps=1/9 k=4 sigmak1=.4 sigmak2=.2 T= Prechod EM vlny z opticky redšieho prostredia do opticky hustejšieho (ǫ 1 = 1, ǫ 2 = 9). Rôzne farby zodpovedajú vlnovému baĺıku v rôznych časoch. Typeset by FoilTEX 2

22 Úplný odraz EM vlny Snellov zákon n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 n je index lomu, n = ǫ. (2) Pokial je n 1 > n 2, tak vlna prejde do prostredia 2 len ak je uhol dopadu menší, ako kritickú uhol, θ 1 < θ c. kritický uhol získame z podmienky, aby uhol lomu θ 2 = π/2, teda sin θ 2 = 1: sin θ c = n 2 n 1 (3) Pre väčšie uhly dopadu, θ 1 > θ c nastáva úplný odraz. V prípade vlnového baĺıka musíme mysliett na to, že jednotlivé rovinné vlny majú rôzny vlnový vektir, k = (kx, k y ) a teda dopadajú na rozhranie pod rôznymi uhlami, tan θ = k x /k y. (hodnoty k x a k y sú generované z náhodných hodnôt k 1 a k 2 ). Preto sa môže stat, že niektoré zložky baĺıka sa neodrazia úplne (ich uhol dopadu môže byt menší, ako je kritický uhol). Tomu sa dá vyhnút vhodnou vol bou disperzie v rozdeleniach P(k 1 ) a P(k 2 ): ak je baĺık dostatočne úzky, a zvolený uhol dopadu θ 1 dostato cne vel ký, odrazia sa v setky komponenty baĺıka. Typeset by FoilTEX 21

23 Úplný odraz EM vlny Rozhranie eps1/eps2=1/.2 theta=pi/4 k=4 sigmak1=.4 sigmak2=.2deltat= Prechod EM vlny z opticky hustejšieho prostredia do opticky redšieho (ǫ 1 = 1, ǫ 2 =.2) Typeset by FoilTEX 22

24 Typeset by FoilTEX 23

25 Typeset by FoilTEX 24

26 Typeset by FoilTEX 2

27 Typeset by FoilTEX 26

28 Typeset by FoilTEX 27

29 Typeset by FoilTEX 28

30 Typeset by FoilTEX 29

31 Typeset by FoilTEX 3

32 Typeset by FoilTEX 31

33 Úplný odraz EM vlny Rozhranie eps1/eps2=1/.2 theta=pi/4 k=4 sigmak1=.4 sigmak2=.2deltat= Prechod EM vlny z opticky hustejšieho prostredia do opticky redšieho (ǫ 1 = 1, ǫ 2 =.2) Typeset by FoilTEX 32

34 Goos-Hänchenov efekt 2 y=-.98 x t = 22 t = y = x Odrazená vlna je posunutá vo vertikálnom smere o y, preto ze v proces odrazu od rozhrania trvá nejaký čas t: baĺık čiasto cne vniká do druhého prostredia, musí sa reorganizovat. Hĺbka vniku do druhého prostredia je samozrejme pre každú rovinnú vlnu iná. Vychádza κ = ik x = 2π r sin 2 θ 1 ǫ 2. (4) λ ǫ 1 Pole v druhom prostredí zaniká ako e κx. Preto hĺbka vniku do druhého prostredia, 1/κ λ je úmerná vlnovej dĺžke dopadajúcej vlny. dá s apreto čakat, že aj posuv v smere y bude λ, čo aj vyšlo. Typeset by FoilTEX 33

35 Spomalenie vlnového baĺıka 2 draha vlnoveho balika v casovych usekoch deltat= Dráha, ktorú prešiel vlnový baĺık v jednotlivých časových úsekoch. V procese odrazu sa musel reorganizovat, preto prešiel menšiu dráhu. Typeset by FoilTEX 34

36 Odraz od kovového povrchu - -1 Rozhranie vakuum - kov eps=-2 k=4 deltat= Odraz od prostredia so zápornou permitivitou. ǫ 2 = 2. Nie je celkom presné, lebo v prípade kovu permitivita musí závisiet od frekvencie. Vlna vniknuvšia do kovu sa bude čiastočne absorbovat, čo je dôvod ohriatia povrchu kovu. Typeset by FoilTEX 3