Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií"

Prepis

1 Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1, a odvesny sú dve súradnice bodu B. V pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta a tak dostaneme vzťah, ktorý spája sínus a kosínus. V. sin α + cos α = 1 V. tg α = cotg α = tg α.cotg α = 1 Skúsme nájsť uhly, v ktorých goniometrická funkcia nadobudne rovnakú resp. opačnú hodnotu sínus je y-ová súradnica bodu na jednotkovej kružnici, preto bod s rovnakou y-ovou súradnicou nájdeme symetricky podľa osi y bod B' opačné sínusové hodnoty nadobudnú v bodoch symetrických podľa osi x bodom B a B' body B''' a B'' sin α = sin (180 α) sin x = sin (π x) sin α = -sin (180 + α) sin x = -sin (π + x) sin α = -sin (360 α) = -sin (-α) sin x = -sin (π x) = -sin (-x) kosínus je x-ová súradnica bodu na jednotkovej kružnici, preto bod s rovnakou x-ovou súradnicou nájdeme symetricky podľa osi x bod B' opačné kosínusové hodnoty nadobudnú v bodoch symetrických podľa osi y bodom B a B' body B'' a B'''

2 cos α = cos (360 α) = cos (-α) cos x = cos (π x) = cos (-x) cos α = -cos (180 α) cos x = -cos (π x) cos α = -cos (180 + α) cos x = -cos (π + x) tangens je y-ová súradnica bodu na dotyčnici x = 1, preto bod s rovnakou x-ovou súradnicou nájdeme symetricky podľa začiatku súradnicovej sústavy, ale ten uhol je presne o periódu (180 = π rad) ďalej máme medzi základnými vlastnosťami funkcie tangens opačnú tangensovú hodnotu nadobudne v bode symetricky podľa osi x bodu B bod B' tg α = -tg (180 α) tg x = -tg (π x) kotangens je x-ová súradnica bodu na dotyčnici y = 1, preto bod s rovnakou y-ovou súradnicou nájdeme symetricky podľa začiatku súradnicovej sústavy, ale ten uhol je presne o periódu (180 = π rad) ďalej máme medzi základnými vlastnosťami funkcie kotangens opačnú kotangensovú hodnotu nadobudne v bode symetricky podľa osi y bodu B bod B'

3 cotg α = -cotg (180 α) cotg x = -cotg (π x) Ďalšie vzťahy môžeme nájsť ak skúmame goniometrické hodnoty doplnkových uhlov. Bod B na jednotkovej kružnici patrí k orientovanému uhlu α. Ak doplníme rovnobežne s y-ovou osou na pravouhlý trojuholník, odvesny tohto trojuholníka sú goniometrické hodnoty cos α a sin α ako súradnice bodu na jednotkovej kružnici. Ak teraz urobíme osovo súmerný obraz podľa priamky s rovnicou y = x k trojuholníku BOxB, vznikne trojuholník B'OyB'. K bodu B' patrí orientovaný uhol 90 α: a bod B' má presne súradnice vymenené. Preto: V. sin α = cos 90 α sin x = cos x cos α = sin 90 α cos x = sin x Podobne postupujeme aj s tangensom a kotangensom. Znovu urobíme osovo súmerný obraz podľa priamky s rovnicou y = x bodu B B' a priamky x = 1 y = 1.

4 K bodu B' patrí orientovaný uhol 90 α: a bod B' má presne súradnice vymenené. Preto: V. tg α = cotg 90 α cotg α = tg 90 α tg x = cotg x cotg x = tg x P. Práve tieto vlastnosti využili v matematických tabuľkách v jednej tabuľke sú sínusové a kosínusové hodnoty (takisto v jednej tangensové a kotangensové hodnoty) ostrých uhlov. Zhora sú sínusové, a zdola ako doplnkové uhly, môžeme prečítať kosínusové hodnoty. Ešte určme goniometrické hodnoty v niektorých vybraných uhloch. Najprv v bodoch spoločných so súradnicovými osmy: 0 = 360 ; 90 ; 180 ; 70. sínus y-ová súradnica; kosínus x-ová súradnica; tangens ; kotangens sin x cos x tg x 0 0 cotg x 0 0 Ďalšie uhly sú ostré: 30 ; 45 a 60. Nakoľko 30 a 60 sú doplnkové uhly, využijeme už známe vzťahy. Začneme so sínusom 30 -ového uhla.

5 Na obrázku vzdialenosť BC je sínus 30. Ak urobíme osovo súmerný obraz bodu B podľa x-ovej osi, vznikne bod B' (takisto vo vzdialenosti sin 30 od bodu C). Trojuholník BB'O je rovnoramenný, lebo strany (ramená) OB a OB' sú zhodné polomer jednotkovej kružnice. Uhol ramien ( BOB') je dvakrát 30 = 60. V rovnoramennom trojuholníku uhly na základni sú zhodné zvyšok do 180 treba deliť: = 10. A polovica je 60. Takže náš rovnoramenný trojuholník má všetky vnútorné uhly 60 -ové BB'O je rovnostranný. Preto vzdialenosť BB' = 1. Je to dvojnásobok hodnoty sin 30 sin 30 = 0,5. Ale túto hodnotu nadobudne aj cos 60 naraz vypĺňame dva stĺpce tabuľky (vzťahy pre doplnkové uhly) Pokračujeme s kosínusom 30 -ového uhla. Tu využijeme základný vzťah medzi sínusom a kosínusom. sin x + cos x = 1 sin 30 + cos 30 = 1 + cos 30 = 1 + cos 30 = 1 / cos 30 = 1 cos 30 = / cos 30 = = Podobne sin 60 sa rovná tejto hodnote. Tangens a kotangens vypočítame ako podiel sínusových a kosínusových hodnôt: tg 30 = = cotg 30 = = =. = = = cotg 60 =. = = tg 60 Ostal ešte jeden stĺpec prázdny goniometrické hodnoty pre 45 -ový uhol

6 Trojuholník BOC je pravouhlý, a ďalší jeho vnútorný uhol je 45 -ový. Preto OBC je takisto 45 -ový. Ak sú v trojuholníku dva vnútorné uhly zhodné, potom ten trojuholník je rovnoramenný. Konkrétne: strany OC a BC sú zhodné. To znamená, že sínus a kosínus 45 -ového uhla je rovnaká hodnota. Znovu vychádzame zo základného vzťahu: sin x + cos x = 1 sin 45 + cos 45 = 1 a keďže sú rovnaké, prejde do tvaru.sin 45 = 1 /: sin 45 = / sin 45 = = = = cos 45 Tangens a kotangens 45 je podiel rovnakých hodnôt rovnajú sa jednej. A týmto je naša tabuľka vyplnená. sin x cos x tg x cotg x

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...

Podrobnejšie

prijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc

prijimacky 2014 MAT 4rocne ver A.doc Priezvisko a meno: " Sem nepíš! Kód: M-A-4r Kód: M-A-4r 1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava Test z matematiky (verzia A 12. máj 2014) Pokyny pre žiakov 1. 2. Tento test obsahuje

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

Telesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c

Telesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

O babirusách

O babirusách VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne

Podrobnejšie

Programátorské etudy - Pascal

Programátorské etudy - Pascal MODIFIKÁCIA OBRÁZKOV ÚLOHA NA HODINU Dorobte projekt Modifikácia obrázkov, ktorý je zameraný na prácu s grafickou plochou ako dvojrozmerným poľom. Modifikáciu 13 máte predpripravenú. Doprogramujte ďalšie

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

M59dkZ9ri10

M59dkZ9ri10 MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal

Podrobnejšie

MATEMATIKA

MATEMATIKA ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností

Podrobnejšie

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A

Podrobnejšie

Matematika - úroven B.pdf

Matematika - úroven B.pdf MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma typmi úloh: Pri úlohách s

Podrobnejšie

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,

Podrobnejšie

UČEBNÉ OSNOVY

UČEBNÉ    OSNOVY UČEBNÉ OSNOVY Predmet: Matematika 8. 9. ročník (ISCED ) Charakteristika predmetu: Učebný predmet matematika na. stupni ZŠ je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky

Podrobnejšie

ŠkVP_MAT

ŠkVP_MAT Súkromné Gymnázium DSA, Komenského 40, 083 01 Sabinov MATEMATIKA Učebné osnovy 3. september 2018 Názov predmetu Časový rozsah výučby Názov ŠkVP Názov ŠVP Stupeň vzdelania Dĺžka štúdia Forma štúdia Vyučovací

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati

Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k temati Otázky k štátnej skúške z predmetu didaktika matematiky Prípravy študenta na štátnice - tvorba 14-tich rôznych príprav na vyučovaciu jednotku k tematickým okruhom uvedeným nižšie - vyučovacia jednotka

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta,

Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, Stavba Lobačevského planimetrie Dodatok In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 110 116. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403692

Podrobnejšie

(ıkolské kolo-PYT)

(ıkolské kolo-PYT) Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V

Podrobnejšie

1 Tvorba aplikácie Cieľom práce je vytvorenie aplikácie, do ktorej vstupuje navigačná správa a výstupom je KML súbor, ktorý zobrazuje spojnice stanice

1 Tvorba aplikácie Cieľom práce je vytvorenie aplikácie, do ktorej vstupuje navigačná správa a výstupom je KML súbor, ktorý zobrazuje spojnice stanice 1 Tvorba aplikácie Cieľom práce je vytvorenie aplikácie, do ktorej vstupuje navigačná správa a výstupom je KML súbor, ktorý zobrazuje spojnice stanice družice. Vytvorenie aplikácie prebiehalo v programovom

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

Microsoft Word - veronika.DOC

Microsoft Word - veronika.DOC Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dv SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 64. ročník Matematickej olympiády 2014/2015 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z8 1. Písmenkový logik je hra pre dvoch hráčov, ktorá má nasledujúce pravidlá: 1. Prvý

Podrobnejšie

Maturita 2008 Test B

Maturita 2008 Test B MATURITA 008 EXTERNÁAS MATEMATIKA úrove B kód testu: 8940 NEOTVÁRAJTE, POKAJTE NA POKYN! PREÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 0 úloh. V teste sa stretnete s dvoma tpmi úloh: Pri úlohách s

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Microsoft Word - mnohouholnik.doc

Microsoft Word - mnohouholnik.doc Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice

Podrobnejšie

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh MEMO I-1. Nájdite všetky funkcie f: R R také, že pre všetky x, y R platí f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + (y + 1)f(x)

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje

Podrobnejšie

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn 1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

Vyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonome

Vyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonome Vyšetrovanie riešiteľnosti konštrukčných úloh pomocou trigonometrie Božena Koreňová ABSTRACT: In the first part, the presented paper considers the importance and mission of teaching mathemathics at elementary

Podrobnejšie

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme,

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. O postupnosti (a n ) n=1 vieme, že pre všetky prirodzené čísla n platí a n+1 = a 2

Podrobnejšie

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte

Podrobnejšie

Zadání čtvrté série

Zadání čtvrté série Pomocný text Vektory V na²om pomocnom texte Vás prevedieme postupne afínnou geometriou, skalárnym sú inom dvoch vektorov, vektorovým sú inom a zmienime sa krátko o orientovanom obsahu a jeho vyuºití. Tento

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

Matematika

Matematika Matematika Stupeň vzdelania: základné Forma štúdia: denná Vyučovací jazyk: slovenský Časový rozsah výučby: v piatom až deviatom ročníku v jednom školskom roku je časový rozsah 165 hodín. 5. roč. 6. roč.

Podrobnejšie

V. Matematika a práca s informáciami Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami rozvíja logické a kritické myslenie ţiakov, ich schopnosť an

V. Matematika a práca s informáciami Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami rozvíja logické a kritické myslenie ţiakov, ich schopnosť an V. Matematika a práca s informáciami Vzdelávacia oblasť Matematika a práca s informáciami rozvíja logické a kritické myslenie ţiakov, ich schopnosť analyzovať a syntetizovať, argumentovať, komunikovať

Podrobnejšie

Microsoft Word - Minimovka.doc

Microsoft Word - Minimovka.doc FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE PÍSOMNÁ ČASŤ DIZERTAČNEJ SKÚŠKY Bratislava 2004 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Katedra

Podrobnejšie

Informačné technológie

Informačné technológie Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných

Podrobnejšie

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:

Podrobnejšie

Tabuľky_teoria

Tabuľky_teoria Tabuľky v programe Microsoft Word Vytvorenie tabuľky Pred samotným vyhotovením tabuľky sa odporúča pripraviť si náčrt, na ktorom sa rozvrhne rozdelenie údajov do riadkov a stĺpcov. Tabuľku vytvoríme pomocou

Podrobnejšie

Microsoft Word - Varianta_A_final_18.doc

Microsoft Word - Varianta_A_final_18.doc Prehľad vzorcov Kvadratická rovnica: x + px + q = 0; x, = Goniometrické funkcie: sin x cos x tg xcotg x, x k sin x sin x cos x ; cos x cos x sin x π sin x cos x ; cos π x sin x tg x cotg x, x k π π cotg

Podrobnejšie

Príloha č

Príloha č SKÚŠOBNÉ SITÁ Prvá časť Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly. Táto príloha sa vzťahuje na skúšobné sitá (ďalej len sito ), ktoré sa používajú ako určené meradlá

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Objem vody v mestskom bazéne s obdĺžnikovým dnom je 6 998,4 hektolitrov. Propagačný

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

1)

1) Prijímacia skúška z matematiky do prímy gymnázia s osemročným štúdiom Milá žiačka/milý žiak, sme veľmi radi, že ste sa rozhodli podať prihlášku na našu školu. Dúfame, že nasledujúce úlohy hravo vyriešite

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

T 06 Striedavý prúd

T 06 Striedavý prúd T 08 Striedavý prúd (Odporúčaná literatúra: Základy elektrotechniky I., strany 219 324) Zostavil: Peter Wiesenganger 1. ÚVOD Nutnou podmienkou vzniku striedavého prúdu bolo predchádzajúce vypracovanie

Podrobnejšie

NÁZOV RUKOPISU PRÍSPEVKU DO DIDAKTICKÉHO ČASOPISU MIF

NÁZOV RUKOPISU PRÍSPEVKU DO DIDAKTICKÉHO ČASOPISU MIF AKTIVITY MODELUJÚCE VEDECKÚ PRÁCU V RÁMCI TÉMY ODRAZ A ROZPTYL SVETLA Ágnes Bazso, Miroslava Urbašíková Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Abstrakt: V príspevku

Podrobnejšie

Metódy násobenie v stredoveku

Metódy násobenie v stredoveku 1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 5 ho

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 5 ho Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 5 hodín týždenne, spolu 165 hodín Ročník : šiesty Škola

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

trafo

trafo Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

ZvukPostup

ZvukPostup Postup merania B. Trpišová, J. Kúdelčík Úlohy: 1. Generovanie signálu 2. nalýza grafu signálu. Monofrekvenčný zvuk B. Rázy 3. Meranie rýchlosti zvuku vo vzduchu. Meranie rýchlosti zvuku z oneskorenia zvukového

Podrobnejšie

Úloha 1. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnak

Úloha 1. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnak Úloha. Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru 4. Ked že považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnako vel ké kocky. Aká dlhá bola strana Petržlenovej kocky?

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,

Podrobnejšie

E/ECE/324

E/ECE/324 E/ECE/324 E/ECE/TRANS/505 11. júl 2016 Rev.1/Add.98/Rev.3/Amend.2 D O HO D A O PRIJATÍ JEDNOTNÝCH TECHNICKÝCH PREDPISOV PRE KOLESOVÉ VOZIDLÁ, VYBAVENIE A ČASTI, KTORÉ SA MÔŽU MONTOVAŤ A/ALEBO POUŽÍVAŤ

Podrobnejšie

gis7 prifuk

gis7 prifuk Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid

Podrobnejšie

ŠIESTA ČASŤ

ŠIESTA ČASŤ VZOR OHLÁSENIE O OBALOCH UVEDENÝCH NA TRH V SLOVENSKEJ REPUBLIKE A PLNENÍ MIERY ZHODNOCOVANIA A RECYKLÁCIE ODPADOV Z OBALOV Rok:... Odtlačok pečiatky: Evidenčné číslo: Vyplní ministerstvo Dátum doručenia:

Podrobnejšie

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika V tejto časti seriálu dokončíme príklad, ktorý sme minule začali - výpočet matematického kyvadla. K tomu ale budeme potrebovať vedieť, čo je to Taylorov rozvoj. Ďalej si ukážeme, ako

Podrobnejšie

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :

Podrobnejšie

Testovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat

Testovanie Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matemat Testovanie 9 2019 Matematika Výsledky a analýza priemernej úspešnosti žiakov 9. ročníka ZŠ v testovaných oblastiach a v jednotlivých úlohách z matematiky Test z matematiky riešilo spolu 37 296 žiakov 9.

Podrobnejšie

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5 Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné

Podrobnejšie

INFORMAČNÁ BROŽÚRA o teste z matematiky pre ôsmakov od školského roku 2018/2019 Ústredná skúšobná komisia Varšava 2017

INFORMAČNÁ BROŽÚRA o teste z matematiky pre ôsmakov od školského roku 2018/2019 Ústredná skúšobná komisia Varšava 2017 INFORMAČNÁ BROŽÚRA o teste z matematiky pre ôsmakov od školského roku 2018/2019 Ústredná skúšobná komisia Varšava 2017 Redakčný tím: Edyta Warzecha (ÚSK) Renata Świrko (ÚSK v Gdansku) Iwona Łuba (ÚSK v

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý

Podrobnejšie

FYZIKA I Rámcove otázky 1998

FYZIKA I Rámcove otázky 1998 Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).

Podrobnejšie

Microsoft Word - zapis-predmetov-AiS

Microsoft Word - zapis-predmetov-AiS Zápis predmetov do AiS na aktuálny akademický rok Pred zápisom predmetov Vám odporúčame pozorne si prečítať študijný plán pre Váš študijný program. Môžete si ho zobraziť v AiSe kliknutím na "Študijné programy"

Podrobnejšie

bakalarska_praca

bakalarska_praca Univerzita arlova v Praze Matematico-fyziální faulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matúš epič Využití internetu ve výuce goniometricých rovnic a nerovnic atedra didatiy matematiy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Robová

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Úlohy: Inteligentné modelovanie a riadenie model MR mobilný robot s diferenciálnym kolesovým podvozkom 1. Vytvorte simulačnú schému pre snímanie tréno

Úlohy: Inteligentné modelovanie a riadenie model MR mobilný robot s diferenciálnym kolesovým podvozkom 1. Vytvorte simulačnú schému pre snímanie tréno Úlohy: Inteligentné modelovanie a riadenie model MR mobilný robot s diferenciálnym kolesovým podvozkom 1. Vytvorte simulačnú schému pre snímanie trénovacích a testovacích dát dopredného neurónového modelu

Podrobnejšie