O babirusách

Prepis

1 VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA

2 VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne abstrakcie. Pomenujte, v čom sú rozdiely medzi riešeniami.

3 GEOMETRICKÉ MYSLENIE Vizualizácia Analýza Abstrakcia Dedukcia Axiomatika

4 VIZUALIZÁCIA Charakteristika Žiaci rozlišujú útvary len na základe ich tvaru, často porovnávaním so známym prototypom. Vlastnosti útvaru ešte nie sú vnímané. Žiaci robia rozhodnutia na základe vnemov, nie zdôvodňovaním. Žiak nerozoberá útvar na časti. ŠVP ZŠ 1. stupeň základné útvary

5 VIZUALIZÁCIA

6 VIZUALIZÁCIA Ktoré z týchto útvarov sú trojuholníky? A. ani jeden nie je trojuholník B. iba V C. iba W D. iba W a X E. iba V a W

7 ANALÝZA Charakteristika Žiaci vidia útvary ako zbierku vlastností. Rozlišujú a pomenúvajú vlastnosti geometrických útvarov, ale medzi týmito vlastnosťami nevidia prepojenia. Žiak na tejto úrovni myslenia môže vymenovať všetky vlastnosti útvaru, ktoré pozná, ale nerozlišuje, ktoré sú nutné a ktoré sú postačujúce na opis útvaru. ŠVP ZŠ 2. stupeň!rovnobežník je prvýkrát spomenutý tu!

8 ANALÝZA

9 ANALÝZA Rovnoramenný trojuholník je trojuholník s 2 stranami rovnakej dĺžky. Tu sú 3 príklady. Ktoré z a. d. platí v každom rovnoramennom trojuholníku? A. tri strany musia mať rovnakú dĺžku B. jedna strana musí byť dvakrát dlhšia ako iná strana C. má aspoň dva uhly s rovnakou veľkosťou D. tri uhly musia mať rovnakú veľkosť E. žiadne z a. d. nie je správne v každom rovnoramennom trojuholníku

10 ABSTRAKCIA Charakteristika Žiak vníma vzťahy medzi vlastnosťami a medzi útvarmi. Na tejto úrovni, žiak dokáže tvoriť zmysluplné definície a poskytovať neformálne argumenty na potvrdenie svojho zdôvodnenia. Logické implikácie a vzťahy medzi triedami útvarov (napr. štvorce sú špeciálnym prípadom obdĺžnika) sú už pochopené. Istú rolu tu hrá formálna dedukcia, ale tá ešte pochopená nie je. ŠVP???

11 ABSTRAKCIA

12 ABSTRAKCIA Máme dve tvrdenia o ABC: Tvrdenie S: ABC má tri strany rovnakej dĺžky. Tvrdenie T: V ABC majú pri vrchole B a pri vrchole C rovnakú veľkosť. Ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý? A. Tvrdenia S a T sú určite obidva nepravdivé. B. Ak o ABC platí tvrdenie S, tak o ňom platí aj tvrdenie T. C. Ak o ABC platí tvrdenie T, tak o ňom platí aj tvrdenie S. D. Ak o ABC neplatí tvrdenie S, tak o ňom neplatí ani tvrdenie T. E. Žiaden z a. d. nie je pravdivý.

13 DEDUKCIA Charakteristika Žiaci dokážu konštruovať dôkazy, rozumejú úlohe axióm a definícií a poznajú úlohu nutných a postačujúcich podmienok Na tejto úrovni by žiaci mali byť schopní samostatne vytvoriť typické stredoškolské geometrické dôkazy ŠVP SŠ /pythagorean-theorem-proof.html

14 DEDUKCIA

15 DEDUKCIA Máme pravouhlý trojuholník ABC. Rovnostranné trojuholníky ACE, ABF a BCD boli skonštruované nad stranami trojuholníka ABC. Z týchto informácii možno dokázať, že AD, BE a CF majú spoločný bod. Čo môžeš z tohto dôkazu vyvodiť? A. Iba v tomto trojuholníku si môžeme byť istí, že AD, BE a CF majú spoločný bod. B. V niektorých, ale nie vo všetkých pravouhlých trojuholníkoch platí, že AD, BE a CF majú spoločný bod. C. V ľubovoľnom pravouhlom trojuholníku platí, že AD, BE a CF majú spoločný bod. D. V ľubovoľnom trojuholníku platí, že AD, BE a CF majú spoločný bod. E. V ľubovoľnom rovnostrannom trojuholníku platí, že AD, BE a CF majú spoločný bod.

16 AXIOMATIKA Charakteristika Žiak na tejto úrovni rozumie formálnym aspektom dedukcie, ako zavádzanie a porovnávanie matematických systémov. Žiak na tejto úrovni rozumie nepriamemu dôkazu a dôkazu sporom. Žiak dokáže porozumieť neeuklidovskej geometrii ŠVP Čiastočne SŠ (maturanti) VŠ

17 GEOMETRICKÉ MYSLENIE Vizualizácia Analýza Abstrakcia Dedukcia Axiomatika Posun do vyššej úrovne viac závisí na skúsenostiach ako na veku Úrovne nemožno preskakovať Medziúrovňová komunikácia nefunguje