Funkcie viac premenných

Prepis

1 Funkcie viac premenných January 21, 215

2 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n parciálne derivácie podľa všetkých premenných, determinant ϕ 1 t1 (T) ϕ 1 t2 (T) ϕ 1 tn (T) ϕ 2 t1 (T) ϕ 2 t2 (T) ϕ 2 tn (T) ϕ n t1 (T) ϕ n t2 (T) ϕ n tn (T) nazývame Jacobiho funkcionálnym determinantom zobrazenia Φ (Jakobiánom). Zobrazenie Φ nazývame regulárnym na množine G, ak majú funkcie ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n spojité parciálne derivácie na G a pre každý bod z G je jakobián nenulový.

3 Príklady regulárnych zobrazení Nech zobraznie Φ priradí každej dvojici čísel (r, ϕ) bod (x, y) takto: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Potom cos ϕ r sin ϕ D Φ (r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ = r Ak r >, tak Φ je regulárne zobrazenie

4 Príklady regulárnych zobrazení Nech zobraznie Φ priradí každej trojici čísel (r, ϕ, u) bod (x, y, z) takto: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = u. Potom D Φ (r, ϕ, u) = r

5 Príklady regulárnych zobrazení Nech zobraznie Φ priradí každej trojici čísel (r, ψ, φ) bod (x, y, z) takto: x = r cos φ sin ψ, y = r sin φ sin ψ z = r cos ψ. Potom D Φ (r, φ, ψ) = r 2 sin ψ

6 Transformácia integrálu Nech zobraznie Φ je regulárne a prosté na množine G. Nech A je merateľná a uzavretá podmnožina množiny G. Nech je funkcia f (X). Potom platí: Množina Φ(A) je merateľná f (X)dX = f [Φ(T)] D Φ (T) dt Φ(A) A

7 Transformácia integrálu, príklad Vypočítajte x 2 + y 2 dxdy ak je daná takto: 1 x 2 + y 2 ; y x. Riešenie. Použijeme polárne súradnice. Určíme hranice pre r a ϕ: 1 x 2 + y 2 1 r 2. cos 2 ϕ + r 2. sin 2 ϕ 1 r r 2. y x ϕ 3 Pre integrant platí: x 2 + y 2 = r 2. cos 2 ϕ + r 2. sin 2 ϕ = r 2.1 = r 2. 3 Potom x 2 + y dxdy = r 2 [ ] 2 r.rdrdϕ = dϕ = 1 1 = 3 ( 1 3 ) dϕ = 15 dϕ = [ 15 ϕ] 3 = 15 8.

8 Transformácia integrálu, príklad Vypočítajte x 2 + y 2 dxdy ak je daná takto: x 2 + y 2. Riešenie. Použijeme polárne súradnice. Určíme hranice pre r a ϕ, oblasť je celý kruh, takže zobrazenie nebude prosté, preto treba vynechať úsečku s koncovými bodmi (, ); (2, ). Že to takto môžeme urobiť, bolo vysvetlené na prednáške : x 2 + y 2 r 2, ϕ 2. Pre integrant platí: x 2 + y 2 = r 2. cos 2 ϕ + r 2. sin 2 ϕ = r 2.1 = r [ ] 2 Potom x 2 + y 2 dxdy = r 2 r.rdrdϕ = 2 dϕ = dϕ = = [ϕ] 2 = 8.

9 Transformácia integrálu, príklad Vypočítajte objem množiny danej takto: x 2 + y 2 z 1. Riešenie. [ ] 1 Zrejme: V (C) = dxdydz = dz dxdy, pričom je daná C x 2 +y 2 takto: x 2 + y 2 1. Teda V (C) = 1 (x 2 + y 2 )dxdy. Teraz použijeme polárne súradnice na množine a dostaneme: x 2 y 2 dxdy = (1 r 2 ).rdrdϕ = r r 3 drdϕ = 2 = [ ] r 2 2 r dϕ = 2 [ 1 dϕ = 1 ϕ] 2 = 2.

10 Transformácia integrálu, príklad Vypočítajte zdxdydz ak je daná takto: x 2 +y 2 z x 3 2 y 2. Riešenie. Použijeme cylindrické súradnice. Určíme hranice pre r, ϕ a u. x 2 +y 2 z x 3 2 y 2 r2 cos 2 ϕ+r 2 sin 2 ϕ u r 3 2 cos 2 ϕ r 2 sin 2 ϕ r2 3 u r 2, ϕ 2, r r [ ] u Potom u.rdudrdϕ = 2 r2 2.r drdϕ = r 2 r r = r r 2 18.rdrdϕ = 2r r3 2 r5 18 drdϕ = 2 [ ] = r r 8 r6 dϕ = dϕ = dϕ = = 13.

11 Transformácia integrálu, príklad Vypočítajte x 2 + y 2 + z 2 dxdydz ak M je daná takto: M x 2 + y 2 + z 2 ; z 2 x 2 + y 2. Riešenie. Použijeme sférické súradnice. Určíme hranice pre r, φ a ψ. Zrejme r 2, z 2 x 2 + y 2 r 2 cos 2 φ sin 2 ψ + r 2 sin 2 φ sin 2 ψ z x 2 + y 2 r. cos ψ r. cos ψ r 2 sin 2 ψ(cos 2 φ + sin 2 φ r. cos ψ sin r.ψ cos ψ sin ψ cos ψ sin ψ 1 ψ a φ [ ] 2 Potom r 2.r 2 r. sin ψdrdψdφ = 5 5 sin ψ dψdφ = 2 = [ = sin ψdψdφ = ] φ [ 32 5 cos ψ] = 32 5 (2 2). 2 dφ = dφ =