III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD."

Prepis

1 III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) 11. apríla 2019

2 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej derivácie

3 Derivácia funkcie v smere smerová derivácia Parciálne derivácie funkcie dávajú informáciu o správaní sa funkcie v smeroch rovnobežných so súradnicovými osami. Informáciu o tom ako sa funkcia správa v iných smeroch nám dáva tzv. derivácia funkcie v smere smerová derivácia. Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ). Obr.: Derivácia v smere, softvér Funkcia, ktorú dostaneme ak sa z bodu (x 0, y 0 ) vyberieme v smere vektora u má tvar ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R

4 Derivácia funkcie v smere smerová derivácia 1 Definícia 3.1 Nech f je definovaná v bode (x 0, y 0 ) a nech u = (u 1, u 2 ) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f ((x 0, y 0 ) + t(u 1, u 2 )), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode (x 0, y 0 ) a označujeme f u (x 0, y 0 ). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f ((x 0, y 0 ) + t (u 1, u 2 )) f (x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ) = lim = lim t 0 + t t 0 }{{} + t ϕ + (0) Alternatívne sa používa aj značenie df (x 0,y 0 ) d u alebo f (x 0,y 0 ) u. Úloha: ( ) Vypočítajte deriváciu funkcie f (x, y) = x 2 3xy 2y 2 v bode ( 1, 1) v smere vektora ( 3 5, 4 5). Úloha: V smere akých dvoch vektorov bude pojem derivácia v smere totožný parciálnej derivácii?. Svoje tvrdenie zdôvodnite. 1 Geometrický význam derivácie v smere je podobný ako parciálnych derivácíı, ide o smernicu dotyčnice ku grafu funkcie ϕ.

5 Derivácia funkcie viac premenných v smere Poznámka: Zrejme nie je t ažké ukázat, že v bode (x 0, y 0) D f platí df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) df ((x 0, y 0)) f ((x0, y0)) d =, i x d =, j y kde i = (1, 0), j = (0, 1). Analogicky vieme podobnú úvahu urobit aj pre funkciu viac premenných. Definícia 3.2 Nech f je definovaná v bode a E n a nech u = (u 1, u 2,..., u n) je jednotkový vektor. Položme ϕ(t) = f (a + t u), t R. Ak má funkcia ϕ deriváciu v bode t = 0, nazývame ju derivácia v smere jednotkového vektora u funkcie f v bode a a označujeme f u (a). T.j. ϕ(t) ϕ(0) f u (a) = lim t 0 + t }{{} ϕ + (0) = lim t 0 + f (a + t u) f (a) t Alternatívne sa používa aj značenie df (a) d u alebo f (a) u.

6 Je potrebné požadovat jednotkovost vektora u? df (a) d v Čo sa stane, ked budeme uvažovat v = c u, kde c R + a u je jednotkový vektor... f (a + t v) f (a) (f (a + t c u) f (a)) c = lim = lim t 0 + t t 0 + t c f (a + s u) f (a) df (a) = c lim = c s 0 + s d u. Pozorovanie c t = s = t 0 + s 0 + Hodnota derivácie funkcie v danom bode a v smere l ubovol ného vektora v závisí od vel kosti daného vektora v. Hmmm, to zrejme nie je žiadúce, chceme totiž hodnoty smerových derivácíı porovnávat! Jednotková vel kost vektora u je podstatná. 2 Poznámka: Obdobne ako u parciálnych derivácíı je možné zaviest derivácie v smere vyšších rádov. Pre pevne zvolený vektor u je f u (x, y) funkciou dvoch premenných x, y. Ak má táto funkcia mat v nejakom bode (x, y) deriváciu v smere v, nazývame ju druhá smerová derivácia v bode (x, y) v smeroch u a v a označíme f u v (x, y) alebo 2 f (x,y) u v. 2 V niektorých literatúrach, napr.[?] autori na tejto podmienke netrvajú. Treba si však potom dávat pozor na interpretáciu. V takom prípade nevieme porovnávat. Napr. ak derivácia v smere nej. vektora je väčšia neznamená to, že v tomto smere funkcia rastie/klesá rýchlejšie.

7 Výpočet smerových derivácíı Počítat derivácie v smere ide aj inak (jednoduchšie?) ako len pomocou definície. Pre potreby takéhoto výpočtu si pripomeňme skalárny súčin dvoch vektorov: Nech u = (u 1, u 2 ) a v = (v 1, v 2 ) sú dva vektory, ich skalárny súčin označme u, v a počítame u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u, v = u v cos ϕ, kde 0 ϕ π. Veta 3.3 Nech funkcia f : z = f (x, y) je diferencovatelná v bode (x 0, y 0) a nech u = (u 1, u 2) je l ubovol ný vektor. Potom existuje derivácia funkcie f v bode (x 0, y 0) v smere vektora u a platí df (x 0, y 0) d u = gradf (x 0, y 0), u = f (x0, y0) u 1 + x f (x0, y0) u 2 y Poznámka: Z hore uvedeného vzt ahu vyplýva, že ak je gradf (x 0, y 0) = (0, 0), tak f u (x 0, y 0) = 0 pre každý vektor u.

8 Interpretácia smerovej derivácie a gradient funkcie dvoch premenných Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najvyššia? V smere akého vektora? 3 Ked že sa smerová derivácia podl a predch. vety dá počítat pomocou gradientu, hl adajme v akom vzt ahu s gradientom funkcie f v danom bode má byt vektor s najväčšou hodnotou smerovej derivácie. Označme δ uhol, ktorý zviera jednotkový vektor u s vektorom gradf (a), kde a = (x 0, y 0 ), potom smerová derivácia funkcie f v bode a má tvar df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MAX Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najvyššia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = 0, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = 0. u = c gradf (x 0, y 0 ) u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najvyššia v smere gradientu funkcie f v danom bode. 3 Predpokladajme hned, že gradf (x0, y 0 ) 0. Inak totiž ako bolo spomenuté vyššie, je smerová derivácia vo všetkých smeroch nulová.

9 Zamyslime sa Kedy je smerová derivácia v danom bode najnižšia? V smere akého vektora? Analogická formulácia problému: df (a) d u = grad f (a), u = grad f (a) u cos δ = grad f (a) cos δ. > MIN Kedy je hodnota hore uvedeného súčinu pre pevne dané a najnižšia? Zrejme, ked cos δ = 1 δ = π, t.j. vtedy, ked vektor u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = π. u = c gradf (x 0, y 0 ), c < 0 u je jednotkový vektor gradf (a) u = gradf (a) Smerová derivácia je najnižšia v smere opačnom ako gradient funkcie f v danom bode.

10 Veta 3.4 Nech gradf (x 0, y 0) 0. Potom smerová derivácia f u (x 0, y 0) v smere jednotkového vektora u je najväčšia pre vektor u = gradf (x 0,y 0 ) gradf (x 0,y 0 a najmenšia pre vektor ) u = gradf (x 0,y 0 ). gradf (x 0,y 0 ) Poznámky: Dôkaz tohoto tvrdenia sme v podstate urobili na predchádzajúcom slide. Maximálna hodnota smerovej derivácie je teda gradf (x 0, y 0) a minimálna hodnota je gradf (x 0, y 0). Interpretácia, význam gradientu: Gradient teda určuje smer, v ktorom funkcia najrýchlejšie rastie a vektor gradf (a) je vektor, ktorý udáva smer najväčšieho poklesu funkcie f v bode a. Úloha: Nájdite jednotkový vektor u, pre ktorý je smerová derivácia f u funkcie f (x, y) = 4 + x 2 + y 2 v bode (x 0, y 0 ) = (2, 1) maximálna, a určte jej hodnotu. 4 4 Riešenie je možné vizualizovat v sofvéri, softvér

11

12 3.4.1 Parciálna derivácia zloženej funkcie prvého rádu Obr.: Kompozícia funkcíı jednej premennej Pripomeňme si (Derivácia zloženej funkcie 1 premennej) Nech funkcia ϕ má deriváciu v bode x 0 a f má deriváciu v bode y 0 = g(x 0). Potom funkcia f g má deriváciu v bode x 0 a platí (f g) (x 0) = f (y 0) g (x 0). Poznámka: Pri označení f (x) = t pre každé x D f g si predchádzajúcu formulu vieme prepísat do tvaru: (f g) df (y0) (x 0) = dϕ(x0) dt d x

13 A: Zložená funkcia tvaru: F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) V prvej fáze nás bude zaujímat zložená funkcia v zjednodušenom tvare, schematicky ide o funkciu vonkajšia zložka vedl ajšie zložky {}}{{}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm f x t = (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) f (t) Veta 3.5 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) Nech funkcie t i = ϕ i (x), i = 1, 2,..., m majú deriváciu v bode a E 1 a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) má deriváciu v bode a, pričom platí F (a) = m i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F f (t1,..., tm) (x) = t 1 f (b) t i ϕ i (a). ϕ f (t1,..., tm) 1 (x) + ϕ f (t1,..., tm) 2 (x) + + ϕ m t 2 t (x). m

14 B: Zložená funkcia tvaru F (x) = f (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)) Napokon nás zaujíma zložená funkcia vo všeobecnom tvare, schematicky: vnútorné zložky {}}{ ϕ 1, ϕ 2,..., ϕm x t = [ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ m(x)] Veta 3.6 (Parciálne derivácia zloženej funkcie I) vonkajšia zložka {}}{ f f (t) Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m majú parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a), ϕ 2 (a),..., ϕ m(a)). Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n), ϕ 2 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) má parciálne derivácie podl a každej svojej premennej v bode a = (a 1, a 2,..., a n), pričom platí F (a) m f (b) = ϕ i (a), k = 1, 2,..., n. x k t i x k i=1 Poznámka: Všeobecne, pre vhodné x D f, máme F = f ϕ1 + f ϕ2 + + f ϕm, x 1 t 1 x 1 t 2 x 1 t m x 1 RNDr.. Lenka Halčinová, PhD.

15 Úloha: Preformulujte predchádzajúcu vetu, ak by sme potrebovali spočítat len parciálnu deriváciu podl a premennej x 2. Úloha: Je daná zložená funkcia F (x, y) = f (x y, x y ). a) Nájdite prvé parciálne derivácie funkcie F, b) Pomocou predchádzajúceho vzorca z časti a) určte prvé parciálne derivácie zloženej funkcie F, ak f (u, v) = u 2 + v 2, kde u = x y, v = x. Svoj výsledok potvrd te y priamym výpočtom. Úloha: Daná je rovnost kde z = f (x + ϕ(y)). a) Dokážte, že daná rovnost je pravdivá. b) Nájdite z x z x dϕ dy = z y, a z y pre f (t) = sin t, ϕ(y) = y

16 Poznámka: Dôsledkom predchádzajúcich úvah je tvrdenie: Nech funkcie t i = ϕ i (x 1, x 2,..., x n), i = 1, 2,..., m sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2,..., a n) E n a funkcia y = f (t 1, t 2,..., t m) je diferencovatel ná v bode b = (ϕ 1 (a),..., ϕ m(a)) E m. Potom zložená funkcia F (x 1, x 2,..., x n) = f (ϕ 1 (x 1, x 2,..., x n),..., ϕ m(x 1, x 2,..., x n)) je diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) a pre jej diferenciál v bode a platí n m f (b) df (a, h) = h k ϕ i (a). t i x k k=1 i=1

17 3.4.2 Parciálne derivácie vyšších rádov zloženej funkcie Uvažujme zloženú funkciu F (x, y) = f (ϕ(x, y), ψ(x, y) ), }{{}}{{} u v Predpokladajme,že funkcie ϕ, ψ majú parciálne derivácie prvého rádu, ktoré sú diferencovatel né v bode a = (a 1, a 2 ) funkcia f má parciálne derivácie, ktoré sú diferencovatel né v bode b = (ϕ(a), ψ(a)). Potom sú funkcie F x, F diferencovatel né v bode a, pretože... (odtial máme, že existujú druhé parciálne y derivácie funkcie F v bode a). Rovnako, pokračujeme d alej... Potom parciálne derivácie druhého rádu sú nasledujúce: 2 F x 2 2 F y 2 F x F y ( = 2 f ϕ ) 2 u 2 x f ψ ϕ v u x x ) f ( = 2 f ϕ u 2 y 2 F y x = 2 F x y = 2 f v u ϕ u 2 y ψ ϕ y y ϕ x + 2 f v u = f ϕ + f ψ u x v x = f ϕ u y + ( 2 f ψ v 2 x + ( 2 f ψ v 2 y ( ψ ϕ y x + f ψ v y ) 2 + f 2 ϕ u x ) f 2 ϕ + ϕ y ψ x + f 2 ψ ; v x 2 + f u y 2 v ) + f u 2 ψ y 2. 2 ϕ y x + f v Poznámka: Ked že F x, F y sú diferencovatel né v bode a, tak vieme, že v tomto bode 2 F y x = 2 F x y Úloha: Odvod te formuly pre 2 F x 2, 2 F y 2, 2 F y x. 2 ψ + 2 f ψ ψ. y x v 2 y x

18 ROZŠIRUJÚCE učivo...

19 Diferenciál vyššieho rádu funkcie Pripomeňme si... Diferenciál k-teho rádu funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je daný d k f (a, x) = f (k) (a)(x a) k, kde f (k) (a) je k-ta derivácia funkcie f v bode a. Uvažujme funkciu dvoch premenných z = f (x, y), (x, y) O(a 1, a 2) Definícia 3.7 (Diferenciál funkcie f dvoch premenných k-teho rádu) Nech funkcia f : E 2 E 1 má v bode a = (a 1, a 2) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a rozumieme polynomickú funkciu (polynóm) dvoch premenných x, y stupňa najviac k tvaru d k f (a, x) = k j=0 ( k j ) k f (a) x k j y j (x a1)k j (y a 2) j a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Poznámka: Predpoklad spojitosti parciálnych Matematická derivácíı funkcie analýza f viv bode a súvisí RNDr. so zámennost ou Lenka Halčinová, parciálnych PhD. derivácíı v tomto bode.

20 Poznámky: Rozpísanie definície niektorých diferenciálov v bode a: f (a) f (a) df (a, x) = (x a 1 ) + (y a 2 ) x y d 2 f (a, x) = 2 f (a) x 2 (x a 1 ) f (a) (x a 1 )(y a 2 ) + 2 f (a) x y y 2 (y a 2 )2 d 3 f (a, x) = 3 f (a) x 3 (x a 1 ) f (a) x 2 (x a 1 ) 2 (y a 2 ) f (a) y x y 2 (x a 1 )(y a 2 )2 + 3 f (a) Formálne diferenciál k tého rádu funkcie f v bode a môžeme zapísat v tvare d k f (a, x) = [ x (x a1) + y (y a2) ] k f (a), y 3 (y a 2 )3 Analogicky vieme teda definovat Diferencovatel nost funkcie viac premenných k-teho rádu Nech funkcia f : E n E 1 má v bode a = (a 1, a 2,..., a n) spojité všetky parciálne derivácie k tého rádu. Diferenciálom k tého rádu funkcie f v bode a nazývame polynomickú funkciu (polynóm) n premenných x 1, x 2,..., x n stupňa najviac k, ktorú môžeme formálne zapísat v tvare [ ] d k f (a, x) = (x 1 a 1) + (x 2 a 2) + + k (x n a n) f (a) x 1 x 2 x n a funkciu f nazývame k krát diferencovatel nou v bode a. Symbolu [... ] k rozumieme rovnako ako v predchádzajúcom prípade Úloha: Nájdite d 3 f ((1, 1), (x, y)) funkcie f (x, y) = xy 2 + x 2 y. Úloha ( ): Odvod te všeobecný vzorec pre d 3 f ((a, b, c), (x, y, z)) pre funkciu f trikrát spojite diferencovatel nú v bode (a, b, c).

21 3.5 Taylorov polynóm funkcie viac premenných Pripomeňme si... Taylorov polynómom stupňa n funkcie f jednej reálnej premennej v bode a je polynóm tvaru T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + f (a) 1! a ked že d k f (x) = f (k) (x)(dx) k, tak dx + f (a) 2! (dx) f (n) (a) (dx) n n! T n(x) = T n(f, a; x) = f (a) + 1 1! df (a) + 1 2! d 2 f (a) n! d n f (a) Veta 3.8 (Taylorova veta) Nech funkcia y = f (x 1, x 2,..., x n) je (k + 1) krát diferencovatel ná na nejakom okoĺı bodu a = (a 1, a 2,..., a n). Potom pre každý bod x O(a) existuje číslo θ (0, 1) také, že platí df (a, x) f (x) = f (a) + 1! + d 2 f (a, x) 2! df (a, x) f (x) = f (a) + + d 2 f (a, x) 1! 2! + + d k f (a, x) k! + + d k f (a, x) k! }{{} k tytaylorov polynóm funkcie f v bode a,ozn.t k (f,a;x) 1 k+1 + R k, +R k

22 Poznámky: Ak bod a = (0, 0,..., 0), tak uvedený polynóm sa nazýva Maclaurinov polynóm. Z Taylorovej vety máme tzv. Taylorov vzorec: f (x) = T k (x) + R k (x), x O(a). V prípade, že funkcia viac premenných y = f (x 1, x 2,..., x n) je nekonečne vel a krát diferencovatel ná v bode a = (a 1, a 2,..., a n) (t.j. má diferenciál v bode a l ubovol ného rádu), tak nekonečný rad v tvare T (f, a; x) = k=0 nazývame Taylorov rad funkcie viac premenných f v bode a. 1 k! d k f (a, x), Úloha: Nájdite Taylorov rad funkcie v bode a = (0, 0). f (x, y) = e x+y Riešenie: Taylorov rad funkcie f je rad v tvare T (f, a; x) = radu je celý priestor E 2 ). k=0 (x+y) k k! (oborom konvergencie tohto

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,

Podrobnejšie

Axióma výberu

Axióma výberu Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín

Podrobnejšie

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

px II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

px II. Reálna funkcia viac premenných (Prezentácia k prednáškam) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. px (Prezentácia k prednáškam) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 21. marca 2019 Na úvod si zodpovedzme tieto otázky # 1 Prečo funkcia viac premenných? # 2 Čo sa očakáva, že v tejto chvíli mám v malíčku?

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

Základné stochastické procesy vo financiách

Základné stochastické procesy vo financiách Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Microsoft Word - Transparencies03.doc

Microsoft Word - Transparencies03.doc 3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

8

8 8. Funkcie pre prácu s údajmi 8.1. Základné funkcie pre prácu s údajmi MATLAB umožňuje aj štatistické spracovanie údajov. Jednotlivé prvky sú zadávané ako matica (vektor). V prípade matice sa operácie

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018

S rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 S 230 280 270 0 1 2 3 4 5 1 rok 2 roky t = 4 1 rok MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku informatiku Monika Molnárová Košice 2018 MATEMATIKA I A REPETITÓRIUM Z MATEMATIKY pre Hospodársku

Podrobnejšie

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný

Podrobnejšie

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka

Podrobnejšie

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX

Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 2008 Typeset by FoilTEX Bariéra, rezonančné tunelovanie Peter Markoš, KF FEI STU February 25, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. Prechod potenciálovou bariérou, rezonančná transmisia, viazané stavy. 2. Rozptylová matica S a transfer

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 2

Paralelné algoritmy, cast c. 2 Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1

Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

Microsoft Word - Final_test_2008.doc

Microsoft Word - Final_test_2008.doc Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou

Podrobnejšie

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu

Podrobnejšie

Poznámky k cvičeniu č. 2

Poznámky k cvičeniu č. 2 Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení

Podrobnejšie

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30

ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely čast 3: zmiešané modely (ARMA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK ARMA modely časť 3: zmiešané modely(arma) p.1/30 ARMA modely - motivácia I. Odhadneme ACF a PACF pre dáta a nepodobajú sa

Podrobnejšie

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc

Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia

Podrobnejšie

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu

Viacnásobne použitelné oblasti spolahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Viacnásobne použitel né oblasti spol ahlivosti pre viacrozmernú kalibráciu Martina Chvosteková Ústav merania Slovenská akadémia vied 22. január, Rekreačné zariadenie Rybník, 2018 Obsah 1 Predpoklady, model

Podrobnejšie

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY

VZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY 5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje

Podrobnejšie

Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX

Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................

Podrobnejšie

POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp

POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním exp POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 KAMŠ FMFI Katarína Janková 1.prednáška Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovaním experimentov náhodnej povahy. V mnohých situáciách opakovanie

Podrobnejšie

Microsoft Word - mnohouholnik.doc

Microsoft Word - mnohouholnik.doc Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc

Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou

Podrobnejšie

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5

Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5 Príklady a komentáre k Fyzike 1 Letný semester 2008/2009 Obsah 1. Vektory Peter Markoš, Katedra fyziky FEI 2. Derivácie 3. Pohyb 4. Riešené príklady 5. Neriešené príklady 1 Príklady 1 - vektory 1. Súradné

Podrobnejšie

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put

Podrobnejšie

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Úvodná prednáška z RaL

Úvodná prednáška z RaL Rozvrhovanie a logistika Základné informácie o predmete Logistika a jej ciele Štruktúra činností výrobnej logistiky Základné skupiny úloh výrobnej logistiky Metódy používané na riešenie úloh výrobnej logistiky

Podrobnejšie

Microsoft Word - titulna strana_tiraz_Riecan

Microsoft Word - titulna strana_tiraz_Riecan Miniteória pravdepodobnosti Beloslav Riečan 2015 MINITÓRIA PRAVDPODOBNOSTI Autor : Dr.h.c. prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Recenzovali : doc. RNDr. Katarína Janková, CSc. doc. RNDr. Marta Vrábelová,

Podrobnejšie

1

1 1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

Monday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate

Monday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,

Podrobnejšie

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a

Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 2017 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. Každé dve ženy sa dajú porovnat a Aplikace matematiky- záverečná práca Juraj Bodík 28. septembra 207 Definície Žena - objekt ohodnotený celým číslom. aždé dve ženy sa dajú porovnat a rozlíšit, t.j. žiadne dve nemajú rovanké hodnotenie.

Podrobnejšie

trafo

trafo Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N

Podrobnejšie

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn

1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedn 1 Matematika 2 Lineárna algebra Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika V tejto časti seriálu dokončíme príklad, ktorý sme minule začali - výpočet matematického kyvadla. K tomu ale budeme potrebovať vedieť, čo je to Taylorov rozvoj. Ďalej si ukážeme, ako

Podrobnejšie

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013

1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 1-INF-155 Algebra 2 Martin Sleziak 10. februára 2013 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 2 Grupy a podgrupy 5

Podrobnejšie

Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos

Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia

Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 4 1.3 Základné označenia................................. 4 2 Množiny a zobrazenia

Podrobnejšie

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh 7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22

Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Autoregresné (AR) procesy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK Autoregresné(AR) procesy p.1/22 Príklad 1 AR(2) proces z prednášky: x t =1.4x t 1 0.85x t 2 +u t V R-ku: korene charakteristického polynómu

Podrobnejšie

FYZIKA I Rámcove otázky 1998

FYZIKA I Rámcove otázky 1998 Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY SYMETRICKÉ POLYNÓMY A ROZKLAD POLYNÓMU NA IREDUCIBILNÉ ČINITELE BAKALÁRSKA PRÁCA 2014 BYSTRÍK KUBALA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V

Podrobnejšie

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov

Podrobnejšie

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode

Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov mode Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model Beáta Stehlíková Cvičenia z časových radov, FMFI UK Modelovanie nového produktu na trhu: Bassov model p.1/19 Úvod Frank Bass (1926-2006) - priekopník matematických

Podrobnejšie

Stochastické procesy Beáta Stehlíková Finančné deriváty, SvF STU, LS 2011/2012 Stochastické procesy p.1/29

Stochastické procesy Beáta Stehlíková Finančné deriváty, SvF STU, LS 2011/2012 Stochastické procesy p.1/29 Stochastické procesy Beáta Stehlíková Finančné deriváty, SvF STU, LS 2011/2012 Stochastické procesy p.1/29 I. Wienerov proces, Brownov pohyb Stochastické procesy p.2/29 Stochastické procesy Stochastický

Podrobnejšie

Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005

Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 Katedra matematiky Fakulty humanitných a prírodných vied Prešovskej univerzity v Prešove ZOBRAZENIA a KUŽEĽOSEČKY Doc. RNDr.Ján Duplák, PhD. 2005 c Doc. RNDr. J á n D u p l á k, CSc. PREDSLOV Obsah AFINNÉ

Podrobnejšie

Pokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia

Pokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering

Podrobnejšie

Základy práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným

Základy práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným Základy práce s textovými reťazcami Doteraz sme v MATLABe pracovali s datovými typmi: reálne číslo, vektor, matica. Veľmi dôležitým a často používaným dátovým typom je textový reťazec. Ako si môžeme predstaviť

Podrobnejšie

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle 1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar

Podrobnejšie

SRPkapitola06_v1.docx

SRPkapitola06_v1.docx Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné

Podrobnejšie

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník

Microsoft Word - Príloha P2 - zadania pracovných listov pre 6. ročník P1 zadania pracovných listov pre 6. ročník 6.ročník, PL-1A (vstupný) 1. Vytvorte všetky trojciferné čísla z číslic 1, 2, 7, 0. 2. Sú dané veľkosti uhlov: 23, 37, 49, 89,112, 90, 147, 152, 176. Rozdeľte

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2011/2012 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

ZB_Daikin_SETUP_HPSU_compact_V52_ _00_0417_SK.book

ZB_Daikin_SETUP_HPSU_compact_V52_ _00_0417_SK.book Kontrolný zoznam pre uvedenie do prevádzky V5.2 Daikin Altherma EHS(X/H)(B) - 04P30B - 08P30B - 08P50B - 16P50B Vykonané opatrenia označte! Slovenčina Vykonané opatrenia označte! Inicializácia: Vnútorný

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

1

1 ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda

Podrobnejšie

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc

Microsoft Word - 8.cvicenie.doc Cvičenie Cvičenie 8.. ko je šecifikovaný argument? Riešenie. rgument je usoriadaná dvojica = ( Φ, ), kde {,,, } Φ = ϕ ϕ ϕ n je teória tvorená množinou formúl, ktorá vyhovuje odmienkam: () Φ (odmienka konzistentnosti),

Podrobnejšie